Automaten und formale Sprachen 1 Grundlagen und formale Beweise

Automaten und formale Sprachen
Notizen zu den Folien
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Grundlagen und formale Beweise
Venn-Diagramme (Folie 6)
Im oberen Diagramm der Folie 6 sind zwei Mengen angegeben: A und B. Es ist explizit ein Element
von A angegeben, das kein Element von B ist. Ob B Elemente hat (und ob es Objekte gibt, die
Element von sowohl A als auch von B sind) ist nicht Explizit angegeben.
Im zweiten Diagramm ist A eine Teilmenge von B.
Beispiele zu Mengenoperationen (Folie 7)
Sei A = {1, 3, 5} und B = {2, 3, 4}. Dann gilt:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
A ∩ B = {3}
A \ B = {1, 5}
B \ A = {2, 4}
Beispiele zur Potenzmenge (Folie 8)
P({a, b}) = ∅, {a}, {b}, {a, b}
P({1, 2, 3}) = ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
P(P(∅)) = P({∅}) = {∅, {∅}}
Bemerkung: es ist für alle Mengen A der Fall, dass ∅ ⊆ A und A ⊆ A. Das heißt, dass es immer
der Fall ist, dass ∅ ∈ P(A) und A ∈ P(A).
Beispiele zum Kreuzprodukt (Folie 10)
{1, 3} × {2, 4} = {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4)}
{a, b, c} × {1} = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)}
A×∅=∅
(für alle Mengen A)
Beispiele zu Relationeneigenschaften (Folien 12 und 14)
a
(a)
b
c
a
(b)
d
b
c
a
(c)
b
d
1
c
a
(d)
d
b
c
d
Relation (a) ist reflexiv, transitiv und symmetrisch. Sie ist deswegen auch eine Quasi-Ordnung
und eine Äquivalenzrelation. Die Relation ist nicht antisymmetrisch und deshalb keine Ordnung.
Relation (b) ist symmetrisch. (Sie hat keine der anderen genannten Eigenschaften.)
Relation (c) ist transitiv und antisymmetrisch. (Sie hat keine der anderen genannten Eigenschaften.)
Relation (d) ist transitiv und antisymmetrsich. (Sie hat keine der anderen genannten Eigenschaften.)
Beispiele zu Funktionen (Folie 15)
Sei A = {a, b, c} und B = {1, 2, 3}. Gegeben seien:
f1 = (a, 1), (b, 1), (c, 2)
f2 = (a, 1), (b, 2), (c, 3)
f3 = (a, 1), (a, 2), (b, 1), (c, 2)
f4 = (b, 1), (c, 2)
Die Relation f1 und f2 sind Funktionen von A nach B; f1 ist weder injektiv noch surjektiv, aber
f2 is sowohl injektiv als auch surjektiv. Die Relation f3 ist keine Funktion von A nach B, denn
es gibt zwei y ∈ B so dass (a, y) ∈ f3 , nämlich 1 und 2. Die Relation f4 ist auch keine Funktion
von A nach B, denn es gibt keine y ∈ B so dass (a, y) ∈ f4 (es wird auch gesagt: h ist nicht auf a
definiert).
Beispiel (Quadratfunktion): Sei die Funktion f folgendermaßen definiert:
f (n) = n2
f : Z → N,
Dann ist f eine Funktion, weil es für jede z ∈ Z genau eine n ∈ N gibt, mit f (z) = n. Zum
Beispiel:
f (−3) = 9
···
f (−2) = 4
f (1) = 1
f (0) = 0
f (−1) = 1
f (2) = 4
···
f (3) = 9
Wahrheit und Gültigkeit (Folie 17)
In der Mathematik gibt es einen subtilen Unterschied zwischen Wahrheit und Gültigkeit.
• Eine mathematische Aussage ist wahr, wenn sie mit der Wirklichkeit übereinstimmt. (Mit
der Frage was die Wirklichkeit“ für einen Mathematiker ist, beschäftigen wir uns in dieser
”
Vorlesung nicht.)
• Eine mathematische Aussage ist gültig, wenn wir sie beweisen können.
Gültigkeit ist also eine stärkere Eigenschaft als Wahrheit: wenn eine Aussage gültig ist, ist sie
auch wahr. Seit Gödel wissen wir aber, dass es wahre Aussagen gibt, die nicht beweisbar sind.
Trotzdem, wird in der Mathematik eine Aussage im Allgemeinen erst für wahr angenommen, wenn
wir sie beweisen können. In dieser Vorlesung ist der Unterschied zwischen wahr“ und gültig“
”
”
nicht weiter von Bedeutung; wir werden deswegen die Worte als synonym betrachten.
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Beispiel eines Beweises (Folie 24)
Satz. Sei A eine Menge, und ⊆ A × A eine Quasi-Ordnung auf A. Definiere die Relation ≈ wie
folgt:
x ≈ y falls x y und y x.
Dann ist ≈ eine Äquivalenzrelation.
Beweis. Nach Definition müssen wir zeigen, dass ≈ eine Äquivalenzrelation ist, das heißt, dass ≈
reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Reflexiv. Nehme an, dass a ∈ A. Weil eine Quasi-Ordnung ist, ist reflexiv. Deswegen gilt
a a (und andersum). Wir schließen, dass a ≈ a. Weil a ≈ a für ein beliebiges a ∈ A, ist
die Relation ≈ reflexiv.
Symmetrisch. Nehme an, dass a, b ∈ A und a ≈ b. Nach Definition folgt aus a ≈ b, dass a b
und b a. Daraus folgt, dass b a und a b, und deswegen gilt auch b ≈ a. Weil dies gilt
für beliebige a, b ∈ A, schließen wir, dass ≈ symmetrisch ist.
Transitiv. Nehme an, dass a, b, c ∈ A, a ≈ b und b ≈ c. Nach Definition folgt aus a ≈ b dass
a b und b a. Außerdem folgt nach Definition aus b ≈ c dass b c und c b. Weil eine Quasi-Ordnung ist, ist sie transitiv. Deswegen folgt aus a b und b c, dass a c.
Außerdem folgt aus c b und b a, dass c a. Weil a c und c a gilt nach Definition,
dass a ≈ c. Dies gilt für beliebige a, b, c ∈ A, und deswegen können wir schließen, dass ≈
transitiv ist.
Weil ≈ reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, ist sie eine Äquivalenzrelation.
Beispiel eines Beweises über Mengen (Folie 27)
Satz. Für Mengen A, B, C gilt:
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
Beweis. Es gibt zwei Richtungen zu beweisen:
⇒ Nehme an, dass x ∈ (A ∩ B) ∪ C. Nach Definition, gilt entweder x ∈ (A ∩ B) oder x ∈ C.
• Wenn x ∈ (A ∩ B), dann gilt, dass x ∈ A und x ∈ B. Aus x ∈ A folgt, dass x ∈ (A ∪ C).
Aus x ∈ B folgt, dass x ∈ (B ∪ C). Weil x ∈ (A ∪ C) und x ∈ (B ∪ C) gilt, dass
x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
• Wenn x ∈ C, dann gilt nach Defintion, dass x ∈ (A ∪ C) und x ∈ (B ∪ C). Weil
x ∈ (A ∪ C) und x ∈ (B ∪ C) gilt, dass x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
Weil wir in beiden Fällen x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) abgeleitet haben, gilt x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
⇐ Nehme an, dass x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Nach Definition von ∩ heißt das, dass x ∈ (A ∪ C) und
x ∈ (B ∪ C). Aus x ∈ (A ∪ C) folgt, dass entweder x ∈ A oder x ∈ C.
• Nehme an, dass x ∈ A. Wegen x ∈ (B ∪ C) gibt es zwei Möglichkeiten:
– Wenn x ∈ B, dann haben wir wegen x ∈ A, dass x ∈ (A ∩ B). Deswegen gilt, dass
x ∈ (A ∩ B) ∪ C.
– Wenn x ∈ C, dann gilt sofort, dass x ∈ (A ∩ B) ∪ C.
In beiden Fällen gilt x ∈ (A ∩ B) ∪ C, und deswegen können wir x ∈ (A ∩ B) ∪ C
schließen.
• Nehme an, dass x ∈ C. Dan folgt sofort, dass x ∈ (A ∩ B) ∪ C.
In beiden Fällen gilt x ∈ (A∩B)∪C, und deswegen können wir x ∈ (A∩B)∪C schließen.
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Beispiel eines Widerspruchsbeweises (Folie 28)
Satz.
√
2 ist irrational, das heißt, es gibt keine p, q ∈ Z, so dass
p
q
=
√
2.
Beweis. Wir nehmen die Negation der zu beweisenden Aussage an und leiten einen Widerspruch
ab. Wir nehmen also an, dass es ganze Zahlen p und q gibt, so dass
p √
= 2.
q
Weil wir p und q durch gemeinsame Teiler teilen können, können wir, ohne Beschränkung der
Allgemeinheit, davon ausgehen, dass p und q teilerfremd sind.
Beide Seiten mit q multiplizieren liefert
p=
√
2 · q,
und quadratieren liefert
p2 = 2q 2 .
Das heißt, dass p2 eine gerade Zahl ist. Weil das Quadrat einer ungeraden Zahl immer ungerade
ist, muss p auch eine gerade Zahl sein. Das heißt, dass
p = 2a
für eine ganze Zahl a. Daraus folgt
2q 2 = p2 = (2a)2 = 4a2 ;
teilen durch 2 liefert
q 2 = 2a2 .
Sowohl q 2 als auch q sind also auch gerade Zahlen.
Dass p und q beide gerade sind, ist aber im Widerspruch zur Tatsache, dass p und q teilerfremd
sind (2 ist Teiler beider Zahlen). Unsere Annahme war√also falsch, und deswegen schließen wir,
dass es keine ganze Zahlen p und q gibt, so dass p/q = 2.
Beispiel eines Beweises durch Induktion (Folie 30)
Satz. Für alle n > 0 gilt, 1 + 2 + · · · + n =
n · (n + 1)
.
2
Beweis. Wir beweisen den Satz mit vollständiger Induktion.1
• Induktionsanfang. Für n = 1 gilt:
1
X
1 · (1 + 1)
2
= =1=
i
2
2
i=1
(Bemerkung:
n
X
i ist Kurznotation für 1 + · · · + n.)
i=1
1 Vollständige
Induktion ist Induktion auf den natürlichen Zahlen.
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• Induktionschritt. Nehme an, dass
n
X
i=
i=1
n · (n + 1)
.
2
(Dies ist die Induktionsvoraussetzung.) Dann gilt:
n+1
X
i=
i=1
n
X
i + (n + 1)
i=1
=
=
=
=
Der mit (IH) geschrifteten
n · (n + 1)
+ (n + 1)
(IH)
2
n · (n + 1) (2n + 2)
+
2
2
2
n + 3n + 2
2
(n + 1) · (n + 2)
2
Schritt folgt aus der Induktionsvoraussetzung.
Wegen vollständiger Induktion, gilt der Satz.
2
Sprachen und Grammatiken
Sprachen (Zu Folie 54)
Sei Σ = {(, ), +, −, ∗, /, a}, so können wir die Sprache EXPR der korrekt geklammerten Ausdrücke
definieren. Es gilt beispielsweise:
• (a − a) ∗ a + a /(a + a) − a ∈ EXPR
• (((a))) ∈ EXPR
• ((a+) − a( 6∈ EXPR
Andere Sprachen (über einem beliebigem Alphabet Σ):
• Σ∗ , die Sprache aller Wörter über Σ
• ∅, die leere Sprache
• {}, die Sprache, die nur das leere Wort enthält. Bemerkung: ∅ 6= {} !!!
Typische Sprachen über dem Alphabet Σ = {a, b}:
• L1 = {w ∈ Σ∗ | w enthält aba als Teilwort}
• L2 = {an bn | n ∈ N}
an bedeutet: das Symbol a, n mal Wiederholt. Im Allgemeinen bedeutet wn , wo w ein Wort
ist, w n Mal wiederholt.
Beispiel: a5 = aaaaa, (ab)3 = ababab.
Beispielableitung in einer Grammatik (Zu Folie 63)
Eine Ableitung des Wortes aabbcc in der Grammatik der Folie 40:
S ⇒ aSBC ⇒ aaBCBC ⇒ aaBBCC ⇒ aabBCC ⇒ aabbCC ⇒ aabbcC ⇒ aabbcc
Das heißt, aabbcc ∈ L(G).
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