Mathematische Logik

Prädikatenlogiken
Mathematische Logik
Vorlesung 7
Alexander Bors
6. & 27. April 2017
1
A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Überblick
1 Formale Prädikatenlogiken erster Stufe (Quelle: Ziegler,
pp. 3–24)
(Abgeleitete) Axiome und Schlussregeln des Hilbertkalküls
Der Gödelsche Vollständigkeitssatz und Folgerungen
2
A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Erinnerung
Die letzte Vorlesungseinheit war zur Gänze der Semantik jener
formalen Systeme, die wir für die Prädikatenlogik erster Stufe
einführen werden, gewidmet. Wir haben u.a.
den Wert eines σ-Terms sowie den Wahrheitswert einer
σ-Formel unter einer Belegung in einer σ-Struktur definiert,
syntaktisches Einsetzen in einen Term sowie in eine Formel
definiert und mit dem Substitutionslemma einen
Zusammenhang zur Semantik hergestellt,
den Begriff einer σ-Tautologie definiert und einfache Resultate
dazu bewiesen.
Erinnerung: Eine σ-Formel ϕ heißt σ-Tautologie, falls ϕ unter allen
Belegungen in allen σ-Strukturen gilt.
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Logik
Prädikatenlogiken
Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Plan für die heutige Einheit
Wie schon letztes Mal angekündigt, werden wir heute
die Axiome und Schlussregeln des zu einer fixierten Signatur σ
assoziierten formalen Systems auflisten,
verifizieren, dass alle aufgelisteten Axiome Tautologien sind
und die Schlussregeln von Tautologien nur auf weitere
Tautologien führen,
abgeleitete Axiome und Schlussregeln auflisten und herleiten
sowie
den Gödelschen Vollständigkeitssatz formulieren und mit
seinem Beweis beginnen.
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A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Aussagenlogische σ-Tautologien
Wir klären zuerst den Begriff einer aussagenlogischen σ-Tautologie.
Definition 2.4.1
Es sei σ eine Signatur. Eine aussagenlogische σ-Tautologie
entsteht aus einer aussagenlogischen Tautologie (offiziell rein unter
Verwendung der Junktoren ¬ und ∧ gebildet, wobei wir inoffizielle
Abkürzungen wie vereinbart zulassen) durch Ersetzen der
Aussagenvariablen durch beliebige σ-Formeln.
Beispiel: P0 ∧ P1 → P0 ist eine aussagenlogische Tautologie.
Damit ist z.B. folgende σgroup -Formel eine aussagenlogische
σgroup -Tautologie:
∀x0 : (x0 · x0 = 1) ∧ ∃x1 : (x1 6= 1) → ∀x0 : (x0 · x0 = 1).
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A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Aussagenlogische (σ, T )-Tautologien cont.
Man beachte, dass in Definition 2.4.1 der Vorgang des “Ersetzens
der Aussagenvariablen durch σ-Formeln” nicht mehr ausführlich
rekursiv definiert wird. Wir überlassen dies den ZuhörerInnen als
Übungsaufgabe, ebenso wie den Beweis von
Lemma 2.4.2
Es sei σ eine Signatur, f = f (p1 , . . . , pn ) eine aussagenlogische
Formel. Bezeichnen wir mit f (ϕ1 , . . . , ϕn ) jene σ-Formel, die aus
f (p1 , . . . , pn ) entsteht, indem man für i = 1, . . . , n die
Aussagenvariable pi durch die σ-Formel ϕi ersetzt, so gilt, für alle
Belegungen β in jeder σ-Struktur M:
M |= f (ϕ1 , . . . , ϕn )[β] ⇔ µ̃(f ) = 1.
Hierbei bezeichnet µ̃ die Funktion, welche jeder aussagenlogischen
Formel mit Aussagenvariablen aus {p1 , . . . , pn } ihren
Wahrheitswert unter der Belegung µ : {p1 , . . . , pn } → {0, 1},
µ(pi ) = 1 ⇔ M |= ϕi [β] für i = 1, . . . , n, zuordnet.
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Prädikatenlogiken
Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Axiome und Schlussregeln des σ-Hilbertkalküls
Es sei σ eine Signatur. Der σ-Hilbertkalkül ist das formale System,
dessen Formeln die σ-Formeln sind, dessen Tautologien die
σ-Tautologien sind und dessen Axiome und Schlussregeln im
Folgenden angegeben werden.
Axiome des σ-Hilbertkalküls:
1
2
Alle aussagenlogischen σ-Tautologien.
Die folgenden, so genannten Gleichheitsaxiome:
∀x : x = x.
∀x∀y : (x = y → y = x).
∀x∀y ∀z : (x = y ∧ y = z → x = z).
Für jedes f ∈ σop , k-stellig: ∀x1 · · · ∀xk ∀y1 · · · ∀yk : (x1 =
y1 ∧ · · · ∧ xk = yk → fx1 · · · xk = fy1 · · · yk ).
5 Für jedes R ∈ σrel , k-stellig: ∀x1 · · · ∀xk ∀y1 · · · ∀yk : (x1 =
y1 ∧ · · · ∧ xk = yk → (Rx1 · · · xk ↔ Ry1 · · · yk )).
1
2
3
4
7
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Axiome und Schlussregeln des σ-Hilbertkalküls
Axiome des σ-Hilbertkalküls cont.:
3
Die so genannten ∃-Quantorenaxiome: Für jede σ-Formel ϕ,
jeden σ-Term t und jede für t in ϕ freie Variable x, die
folgende σ-Formel: ϕ xt → ∃x : ϕ.
Schlussregeln des σ-Hilbertkalküls:
1
Modus ponens: Für beliebige σ-Formeln ϕ und ψ, die Regel
ϕ,ϕ→ψ
.
ψ
2
∃-Einführung: Für alle σ-Formeln ϕ und ψ sowie alle Variablen
ϕ→ψ
x, welche nicht frei in ψ vorkommen, die Regel ∃xϕ→ψ
.
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Axiome, Schlussregeln und Tautologien
Wie angekündigt, werden wir nun folgendes Resultat beweisen:
Lemma 2.4.3
Es sei σ eine Signatur.
1
Jedes Axiom des σ-Hilbertkalküls ist eine σ-Tautologie.
2
Für die beiden Schlussregeln des σ-Hilbertkalküls gilt: Sind
die Voraussetzungen der Regel (die σ-Formeln im “Zähler”)
σ-Tautologien, so sind auch die Folgerungen (die σ-Formeln
im “Nenner”) σ-Tautologien.
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A. Bors
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Axiome, Schlussregeln und Tautologien cont.
Beweis von Lemma 2.4.3
Wir zeigen zuerst Punkt (1), also, dass alle Axiome
σ-Tautologien sind.
Für aussagenlogische σ-Tautologien folgt das direkt aus
Lemma 2.4.2.
Für die Gleichheitsaxiome kann man es ohne Probleme direkt
nachrechnen.
Für die ∃-Quantorenaxiome führen wir das Argument aus. Es
sei also β eine Belegung in einer σ-Struktur M. Dann folgt
mit dem Substitutionslemma:
M
M |= ϕ xt [β] ⇒ M |= ϕ[β t x[β] ] ⇒ M |= ∃xϕ[β].
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Axiome, Schlussregeln und Tautologien cont.
Beweis von Lemma 2.4.3 cont.
Nun zum Beweis von Punkt (2), betreffend die Schlussregeln.
Zum Modus Ponens: Wenn ϕ und ϕ → ψ beides
σ-Tautologien sind, dann heißt das: ϕ gilt in allen
σ-Strukturen unter jeder Belegung, ebenso wie ϕ → ψ. Damit
kann es keine σ-Struktur sowie eine Belegung in dieser
Struktur geben, sodass ψ falsch wird, denn dann wäre die
Implikation ϕ → ψ ebenfalls falsch, ein Widerspruch.
Zur ∃-Einführung: Es sei ϕ → ψ eine σ-Tautologie, M eine
σ-Struktur und β eine Belegung in M. Wir müssen zeigen,
dass die Implikation ∃xϕ → ψ in M unter β gilt.
Das ist klar, wenn ∃xϕ in M unter β falsch ist, also können
wir M |= ∃xϕ[β] annehmen.
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Axiome, Schlussregeln und Tautologien cont.
Beweis von Lemma 2.4.3 cont.
Nach Definition heißt das, es gibt ein a ∈ M mit M |= ϕ[β xa ].
Da nach Annahme ϕ → ψ eine σ-Tautologie ist, gilt
insbesondere M |= (ϕ → ψ)[β xa ], also folgt aus M |= ϕ[β xa ],
dass M |= ψ[β xa ].
Daher muss M |= ψ[β xa ] gelten, und da x in ψ nicht frei
vorkommt, folgt M |= ψ[β] und somit auch
M |= (∃xϕ → ψ)[β], wie wir zeigen wollten.
Bevor wir uns den abgeleiteten Axiomen und Schlussregeln
zuwenden, führen wir eine Terminologie und Notation ein.
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Beweisbarkeit und der Korrektheitssatz
Definition 2.4.4
Es sei σ eine Signatur. Eine σ-Formel ϕ heißt σ-beweisbar, falls sie
im σ-Hilbertkalkül ableitbar ist. Wir schreiben dafür: `σ ϕ.
Aus Lemma 2.4.3 folgt unmittelbar:
Satz 2.4.5 (Korrektheitssatz)
Es sei σ eine Signatur. Jede σ-beweisbare σ-Formel ist eine
σ-Tautologie, also: `σ ϕ ⇒|=σ ϕ.
Der Gödelsche Vollständigkeitssatz behauptet, dass auch die
Umkehrung des Korrektheitssatzes gilt.
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Abgeleitete Axiome und Schlussregeln
Lemma 2.4.6
Es sei σ eine Signatur. Im Folgenden meinen wir mit “beweisbar”
stets “σ-beweisbar”.
1
2
3
Verallgemeinerter Modus Ponens: Sind ϕ1 , . . . , ϕn sowie
ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn → ψ beweisbare σ-Formeln, so ist auch ψ
beweisbar. Insbesondere gilt: Sind ϕ1 , . . . , ϕn beweisbar, so
auch ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn .
∀-Quantorenaxiome: Ist x frei für t in ϕ, so ist ∀xϕ → ϕ xt
beweisbar.
∀-Einführung: Ist x nicht frei in ϕ und ist ϕ → ψ beweisbar,
so ist auch ϕ → ∀xψ beweisbar. Insbesondere gilt: Ist ψ
beweisbar, so auch ∀xψ.
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Abgeleitete Axiome und Schlussregeln cont.
Beweis von Lemma 2.4.6
Zu Punkt (1): Man sieht leicht, dass folgende σ-Formel eine
aussagenlogische σ-Tautologie (insbesondere ein Axiom des
σ-Hilbertkalküls) ist:
((ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn ) → ψ) → (ϕ1 → (ϕ2 → (· · · (ϕn → ψ)) · · · )).
Durch eine Anwendung von Modus Ponens erhält man also
die Beweisbarkeit von
ϕ1 → (ϕ2 → (· · · (ϕn → ψ)) · · · )
und damit, nach n-maliger weiterer Anwendung von Modus
Ponens, dass `σ ψ.
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Abgeleitete Axiome und Schlussregeln cont.
Beweis von Lemma 2.4.6 cont.
Zu Punkt (2): ¬ϕ xt → ∃x¬ϕ ist ein ∃-Quantorenaxiom, und
t
t
→ ∃x¬ϕ) → (¬∃x¬ϕ → ϕ )
x
x
ist eine aussagenlogische σ-Tautologie, entstanden durch
Einsetzen in die aussagenlogische Tautologie
(¬P0 → P1 ) → (¬P1 → P0 ). Durch eine Anwendung von
Modus Ponens sieht man, dass `σ ¬∃x¬ϕ → ϕ xt , wie
gewünscht.
(¬ϕ
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Abgeleitete Axiome und Schlussregeln cont.
Beweis von Lemma 2.4.6 cont.
Zu Punkt (3): Nach Annahme ist ϕ → ψ beweisbar, und
(ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ) ist eine aussagenlogische
σ-Tautologie. Nach Modus Ponens gilt also auch
T `σ ¬ψ → ¬ϕ. Da nach Annahme x nicht frei in ψ
vorkommt, dürfen wir mittels ∃-Einführung auf ∃x¬ψ → ¬ϕ
schließen. Aussagenlogik lässt uns dann hieraus wiederum auf
ϕ → ¬∃x¬ψ schließen, wie gewünscht.
Zum “Insbesondere” in Punkt (3): Angenommen, `σ ψ.
Fixiere eine beweisbare σ-Formel ϕ, die x nicht frei enthält
(z.B. das Gleichheitsaxiom ∀x : x = x). ψ → (ϕ → ψ) ist eine
aussagenlogische σ-Tautologie, und man erhält mit Modus
Ponens `σ (ϕ → ψ), durch ∀-Einführung also auch
`σ ϕ → ∀xψ, also mit Modus Ponens `σ ∀xψ.
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Formulierung des Vollständigkeitssatzes
Satz 2.5.1 (Gödelscher Vollständigkeitssatz)
Es sei σ eine Signatur. Dann gilt: Eine σ-Formel ϕ ist genau dann
σ-beweisbar, wenn sie eine σ-Tautologie ist, also: `σ ϕ ⇔|=σ ϕ.
Beachte: Nach Lemma 2.3.22 hängt der Begriff einer σ-Tautologie
ϕ nicht wirklich von σ ab; σ muss lediglich so groß sein, dass es
alle in der Formel ϕ vorkommenden Konstanten-, Operations- und
Relationssymbole umfasst. Daher ist die Notation |= ϕ (ohne
explizite Erwähnung von σ) wohldefiniert, und nach dem
Vollständigkeitssatz ist damit auch die Notation ` ϕ wohldefiniert.
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A. Bors
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Prädikatenlogiken
Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Überblick über den Beweis des Vollständigkeitssatzes
Der wesentlichste Schritt zum Beweis von Satz 2.5.1 wird der
Beweis eines bemerkenswerten Satzes über Widerspruchsfreiheit
von σ-Theorien sein. Zuerst ein paar Begriffe:
Definition 2.5.2
Es sei σ eine Signatur. Eine σ-Theorie ist eine Menge T von
σ-Sätzen, und eine σ-Struktur M heißt ein Modell für T , falls
M |= τ für jeden σ-Satz τ ∈ T . T heißt widerspruchsfrei, falls es
keine σ-Sätze ϕ1 , . . . , ϕn ∈ T gibt, sodass `σ ¬(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn ).
Im vorigen Kapitel (dem historischen Überblick) hatten wir
“Widerspruchsfreiheit” für formale Systeme definiert. Man kann
auch die Widerspruchsfreiheit von T mit der Widerspruchsfreiheit
eines geeigneten formalen Systems, des (σ, T )-Hilbertkalküls, in
Verbindung setzen. Mehr dazu am Ende dieses Abschnittes.
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A. Bors
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Überblick über den Beweis des Vollständigkeitssatzes cont.
Der vorhin erwähnte “bemerkenswerte Satz” ist folgender:
Satz 2.5.3
Es sei σ eine Signatur, T eine σ-Theorie. Dann gilt: T ist genau
dann widerspruchsfrei, wenn T ein Modell hat.
Bemerkungen:
Die Richtung “⇐” in Satz 2.5.3 wird eine relativ leichte
Folgerung aus dem Korrektheitssatz, Satz 2.4.5, sein.
Die andere Richtung ist wesentlich aufwändiger. Wir
skizzieren ihren Beweis grob, bevor wir sie im Detail beweisen,
aber zuerst zeigen wir, wie aus Satz 2.5.3 der
Vollständigkeitssatz folgt.
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A. Bors
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Überblick über den Beweis des Vollständigkeitssatzes cont.
Proposition 2.5.4
Satz 2.5.3 impliziert Satz 2.5.1.
Beweis
Wir nehmen also die Aussage von Satz 2.5.3 als gegeben an
und zeigen damit Satz 2.5.1.
Die Richtung “⇒” in Satz 2.5.1 ist gerade der
Korrektheitssatz, den wir bereits bewiesen haben.
Zur Richtung “⇐”: Wir zeigen die Kontraposition:
Angenommen, ϕ ist nicht σ-beweisbar. Wir müssen zeigen,
dass ϕ keine σ-Tautologie sein kann.
Nach Lemma 2.4.6(2) (den ∀-Quantorenaxiomen) ist auch der
universelle Abschluss ψ von ϕ nicht σ-beweisbar.
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Überblick über den Beweis des Vollständigkeitssatzes cont.
Beweis von Proposition 2.5.4 cont.
Damit ist nach Definition die σ-Theorie T := {¬ψ}
widerspruchsfrei. Denn ansonsten gäbe es ja ϕ1 , . . . , ϕn ∈ T
mit `σ ¬(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn ), also (da ϕi ≡ ¬ψ und unter
Verwendung von Aussagenlogik) `σ ψ ∨ · · · ∨ ψ, also (wieder
unter Verwendung von Aussagenlogik) `σ ψ, ein Widerspruch.
Nach Satz 2.5.3 hat T somit ein Modell. Also gibt es eine
σ-Struktur, in der ψ falsch ist. Somit ist ψ, und damit nach
Lemma 2.3.21 auch ϕ, keine σ-Tautologie, wie
gewünscht.
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Überblick über den Beweis des Vollständigkeitssatzes cont.
Wir skizzieren nun zunächst grob den Beweis der
Implikationsrichtung “⇒” in Satz 2.5.3.
Es sei also T eine widerspruchsfreie σ-Theorie, und wir
müssen ein Modell für T finden.
Diese Konstruktion eines Modells führen wir nicht für alle
widerspruchsfreien σ-Theorien aus, sondern nur für “besonders
schöne” Theorien, die vollständigen Henkin-Theorien. Bei
diesen ist die Definition des Modells sehr naheliegend; es
handelt sich um ein so genanntes Modell aus Konstanten, und
wir werden auch zeigen können, dass diese Theorien bis auf
Isomorphie sogar genau ein Modell aus Konstanten haben.
Anschließend bleibt nur noch zu zeigen, dass sich jede
widerspruchsfreie σ-Theorie T zu einer vollständigen
Henkintheorie T ∗ erweitern lässt. Da jedes Modell von T ∗
auch ein Modell von T ist, sind wir dann fertig.
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A. Bors
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Neue Konstanten und vollständige Diagramme
Diese Folie dient als Motivation zu Henkin-Theorien.
Definition 2.5.5
Es sei σ eine Signatur, C eine Menge, welche zu
A(σ) ∪ {=, ¬, ∧, ∃} ∪ {x0 , x1 , . . .} disjunkt ist. Dann heißt C eine
Menge neuer Konstantensymbole für σ, und die Erweiterung von σ
um C , notiert σ + C , ist die Erweiterung von σ, die entsteht,
indem man die Elemente aus C als Konstantensymbole ansieht.
Definition 2.5.6
Es sei σ eine Signatur, M eine σ-Struktur mit Trägermenge M.
Weiter sei C = {ca | a ∈ M} eine Menge neuer Konstantensymbole
für σ (eines für jedes Element aus M). Das vollständige Diagramm
von M zu C ist die Menge aller (σ + C )-Sätze, die in der
(σ + C )-Struktur M∗ gelten, welche als Expansion von M mit
∗
caM = a, a ∈ M, eindeutig definiert ist.
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Henkin-Theorien
Man sieht leicht, dass vollständige Diagramme stets
(σ + C )-vollständige Henkin-Theorien über der Menge C aus
neuen Konstantensymbolen sind, in folgendem Sinne:
Definition 2.5.7
+
Es sei σ + eine Signatur, C ⊆ σconst
.
1
2
Eine σ + -Theorie T + heißt Henkintheorie über C , falls es zu
jeder σ + -Formel ϕ(x) (in einer freien Variable x) eine
Konstante c ∈ C gibt mit (∃xϕ(x) → ϕ(c)) ∈ T + .
Eine σ + -Theorie T ∗ heißt σ + -vollständig, wenn sie
widerspruchsfrei ist, und wenn für jeden σ + -Satz ϕ gilt:
ϕ ∈ T ∗ oder ¬ϕ ∈ T ∗ .
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Das Konstanten-Modell einer vollständigen Henkin-Theorie
Für den Beweis von Satz 2.5.3 beginnen wir damit, zu zeigen, dass
jede σ + -vollständige Henkin-Theorie bis auf Isomorphie genau ein
Modell aus Konstanten besitzt, in folgendem Sinne:
Definition 2.5.8
Es sei σ + eine Signatur, T eine σ + -Theorie. Eine σ + -Struktur M
heißt ein Modell aus Konstanten für T , falls
1
M ein Modell für T ist und
2
+
die Funktion σconst
→ M, c 7→ c M , surjektiv ist.
Satz 2.5.9
Es sei σ + eine Signatur, T ∗ eine vollständige σ + -Henkintheorie
+
(über irgendeiner Teilmenge C ⊆ σconst
). Dann besitzt T ∗ bis auf
Isomorphie genau ein Modell aus Konstanten.
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Ableitungen aus einer Theorie
Bevor wir beginnen, Satz 2.5.9 zu beweisen, brauchen wir ein paar
Vorarbeiten. Wir beschäftigen uns mit folgendem Konzept:
Definition 2.5.10
Es sei σ eine Signatur, T eine σ-Theorie. Für eine σ-Formel ϕ
schreiben wir T `σ ϕ (und sagen, ϕ sei aus T ableitbar), falls es
n ∈ N (möglicherweise n = 0) und ψ1 , . . . , ψn ∈ T gibt mit
`σ ψ1 ∧ · · · ∧ ψn → ϕ (wobei diese Implikation im Fall n = 0
einfach die Formel ϕ selbst sei).
Beachte: ∅ `σ ϕ genau dann, wenn `σ ϕ.
Wir werden als nächstes zeigen, dass sich dieser
Beweisbarkeitsbegriff sehr ähnlich zu dem bereits
eingeführten, `σ , verhält.
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Ableitungen aus einer Theorie cont.
Lemma 2.5.11
Es sei σ eine Signatur, T eine σ-Theorie. Dann gilt für alle
σ-Formeln ϕ und ψ:
1
T `σ τ für jedes τ ∈ T .
2
Wenn `σ ϕ, dann auch T `σ ϕ.
3
T `σ ϕ ∧ ψ genau dann, wenn T `σ ϕ und T `σ ψ.
4
Wenn T `σ ϕ und T `σ ϕ → ψ, dann T `σ ψ.
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Ableitungen aus einer Theorie cont.
Beweis von Lemma 2.5.11
Punkt (1) folgt sofort aus `σ τ → τ .
Zu Punkt (2): Folgt aus der Konvention für den Fall n = 0.
Punkt (3): Übung.
Punkt (4): Da T `σ ϕ, gibt es ψ1 , . . . , ψm ∈ T mit
`σ (ψ1 ∧ · · · ∧ ψm → ϕ) ≡: α. Ebenso folgt aus T `σ ϕ → ψ,
dass es χ1 , . . . , χn ∈ T gibt mit
`σ (χ1 ∧ · · · ∧ χn → (ϕ → ψ)) ≡: β. Nach Lemma 2.4.6(1)
(verallgemeinerter Modus Ponens) folgt `σ α ∧ β. Setze
γ :≡ ψ1 ∧ · · · ∧ ψm ∧ χ1 ∧ · · · ∧ χn → ψ. Nach Aussagenlogik
gilt `σ α ∧ β → γ, und somit nach Modus Ponens `σ γ,
woraus nach Definition T `σ ψ folgt.
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Prädikatenlogiken
Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Deduktive Abgeschlossenheit
Definition 2.5.12
Es sei σ eine Signatur. Eine σ-Theorie T heißt σ-deduktiv
abgeschlossen, falls für alle σ-Sätze τ gilt: T `σ τ ⇔ τ ∈ T .
Beachte, dass die Richtung “⇐” immer gilt, nach Lemma
2.5.11(1).
Lemma 2.5.13
Es sei σ eine Signatur. Dann gilt: Vollständige σ-Theorien sind
σ-deduktiv abgeschlossen.
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Logik
Prädikatenlogiken
Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Deduktive Abgeschlossenheit cont.
Beweis von Lemma 2.5.13
Angenommen, T ist vollständig und T `σ τ . Wir müssen
zeigen, dass τ ∈ T .
Indirekt: Angenommen, τ ∈
/ T . Da T vollständig ist, gilt
dann ¬τ ∈ T , also nach Lemma 2.5.11(1) auch T `σ ¬τ .
Nach Lemma 2.5.11(3) folgt T `σ τ ∧ ¬τ , d.h.,
`σ (ψ1 ∧ · · · ∧ ψn ) → (τ ∧ ¬τ ) für geeignete ψ1 , . . . , ψn ∈ T .
Nun muss man nur noch Aussagenlogik und Modus Ponens
anwenden, um `σ ¬(ψ1 ∧ · · · ∧ ψn ), also die
Widersprüchlichkeit von T , zu erhalten, im Widerspruch zur
Annahme, T sei vollständig (und damit nach Definition auch
widerspruchsfrei).
31
A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Modell aus Konstanten: Eindeutigkeit
Beweis von Satz 2.5.9
+
Eindeutigkeit: Setze C + := σconst
. Angenommen, M und N
sind beides Modelle aus Konstanten für T ∗ , mit
Trägermengen M = {c M | c ∈ C + } und N = {c N | c ∈ C + }.
Da T ∗ vollständig ist und M sowie N Modelle von T ∗ sind,
muss für jeden σ + -Satz τ gelten:
M |= τ ⇔ τ ∈ T ∗ ⇔ N |= τ .
Es folgt für c, d ∈ C + :
c M = d M ⇔ M |= c = d ⇔ N |= c = d ⇔ c N = d N .
Damit ist die Funktion F : M → N, c M 7→ c N , wohldefiniert
und eine Bijektion. Wir zeigen, dass F sogar ein
Isomorphismus zwischen M und N ist.
32
A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Modell aus Konstanten: Eindeutigkeit cont.
Beweis von Satz 2.5.9
Wir rechnen nach:
Für alle c ∈ C + : F (c M ) = c N : klar nach Definition.
Für alle R ∈ σrel , k-stellig, und alle c1 , . . . , ck ∈ C + :
(c1M , . . . , ckM ) ∈ R M ⇔ M |= Rc1 · · · ck ⇔ N |= Rc1 · · · ck ⇔
(c1N , . . . , ckN ) = (F (c1M ), . . . , F (ckM )) ∈ R N .
Für alle f ∈ σop , k-stellig, und alle c1 , . . . , ck ∈ C + : Es sei
c ∈ C + so gewählt, dass f M (c1M , . . . , ckM ) = c M . Dann gilt
also M |= fc1 · · · ck = c, und damit auch N |= fc1 · · · ck = c.
Es folgt: F (f M (c1M , . . . , ckM )) = F (c M ) = c N =
f N (c1N , . . . , ckN ) = f N (F (c1M ), . . . , F (ckM )).
33
A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Modell aus Konstanten: Existenz
Wir wenden uns nun dem Existenz-Beweis für ein Modell M
aus Konstanten zu. Da wir bereits wissen, dass die
Interpretationsfunktion C + → M, c 7→ c M surjektiv sein
muss, wäre die naheliegende erste Idee, die Menge C + selbst
als Trägermenge für M zu verwenden, jedes
Konstantensymbol aus C + als es selbst zu interpretieren und
zusätzlich auf C + geeignete Operationen und Relationen zu
definieren.
Beachte allerdings: Es kann natürlich durchaus sein, dass
(c = d) ∈ T ∗ für verschiedene Konstantensymbole c und d.
In diesem Fall müssen aber die Interpretationen von c und d
im zu konstruierenden Modell natürlich gleich sein.
34
A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Modell aus Konstanten: Existenz cont.
Somit wird nicht C + selbst die Trägermenge, sondern die
Quotientenmenge (Menge aller Äquivalenzklassen) C + / ∼,
wobei ∼ die Äquivalenzrelation auf C + , gegeben durch
c ∼ d :⇔ c = d ∈ T ∗ , ist. Wir müssen aber erst nachweisen,
dass ∼ tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist.
Da `σ+ ∀x : x = x (ist das erste Gleichheitsaxiom) sowie
`σ+ ∀x : (x = x) → c = c für jedes c ∈ C + (ist ein
∀-Quantorenaxiom), folgt mittels Modus Ponens, dass auch
`σ+ c = c, also nach Lemma 2.5.11(2) T ∗ `σ+ c = c und
somit (c = c) ∈ T ∗ wegen der deduktiven Abgeschlossenheit
von T ∗ nach Lemma 2.5.13, womit ∼ reflexiv ist.
Mit ähnlichen Argumenten sieht man, dass ∼ auch
symmetrisch und transitiv ist; wir überlassen die Details den
HörerInnen als Übung.
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A. Bors
Logik
Prädikatenlogiken
Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Modell aus Konstanten: Existenz cont.
Damit können wir nun guten Gewissens
M := C + / ∼= {[c] | c ∈ C + } setzen ([c] bezeichnet die
Äquivalenzklasse von c), sowie c M := [c]; die Interpretationen
der Konstantensymbole der Signatur σ + im zu definierenden
Modell M sind also geklärt.
Es bleibt noch Folgendes zu tun:
die Interpretationen der Operations- und Relationssymbole zu
erklären sowie
zu zeigen, dass M ein Modell von T ∗ ist, dass also M |= τ für
jeden Satz τ ∈ T ∗ (dass M ein Modell aus Konstanten ist, ist
nach Definition klar).
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A. Bors
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Modell aus Konstanten: Existenz cont.
Wir beginnen mit der Erklärung der Interpretation R M von R,
einem k-stelligen Relationssymbol aus σ. Wir haben eigentlich
gar keine Freiheit bei der Wahl von R M , denn es soll ja für
alle c1 , . . . , ck ∈ C + gelten: ([c1 ], . . . , [ck ]) =
(c1M , . . . , ckM ) ∈ R M ⇔ M |= Rc1 · · · ck ⇔ Rc1 · · · ck ∈ T ∗ .
Daher müssen wir nur zeigen, dass R M wohldefiniert ist durch
([c1 ], . . . , [ck ]) ∈ R M :⇔ Rc1 · · · ck ∈ T ∗ .
Es seien also c1 , . . . , ck , d1 , . . . , dk ∈ C + mit ci ∼ di für
i = 1, . . . , k. D.h., es gilt (ci = di ) ∈ T ∗ , bzw. äquivalent
T ∗ `σ+ ci = di , i = 1, . . . , k.
Nach Lemma
Vk 2.5.11(3) und mit Induktion nach k folgt damit
∗
T `σ+ i=1 (ci = di ).
V
Zudem: T ∗ `σ+ ( ki=1 (ci = di ) → (Rc1 · · · ck ↔ Rd1 · · · dk ))
(folgt aus einem der Gleichheitsaxiome durch “Einsetzen”
(∀-Axiom plus Modus Ponens)).
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Modell aus Konstanten: Existenz cont.
Nach Modus Ponens, der Definition der abkürzenden
Schreibweise ↔ sowie Lemma 2.5.11(3) gilt also
T ∗ `σ+ Rc1 · · · ck → Rd1 · · · dk und
T ∗ `σ+ Rd1 · · · dk → Rc1 · · · ck .
Damit sieht man (erneut wegen Modus Ponens), dass die
(metatheoretische) Äquivalenz
(T ∗ `σ+ Rc1 · · · ck ) ⇔ (T ∗ `σ+ Rd1 · · · dk ) gilt.
Und damit folgt (unter Verwendung der deduktiven
Abgeschlossenheit von T ∗ ):
(Rc1 · · · ck ∈ T ∗ ) ⇔ (Rd1 · · · dk ∈ T ∗ ), wie für die
Wohldefiniertheit von R M erforderlich.
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A. Bors
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Modell aus Konstanten: Existenz cont.
Um die Definition der σ + -Struktur M abzuschließen, müssen
wir noch die Interpretationen der Operationssymbole
definieren.
Es sei also f ein k-stelliges Operationssymbol aus σ + . Wir
zeigen zwei Dinge:
Für alle c1 , . . . , ck ∈ C + gibt es ein c0 = c0 (c1 , . . . , ck ) ∈ C +
mit (fc1 · · · ck = c0 ) ∈ T ∗ .
2 [c0 ] ist durch [c1 ], . . . , [ck ] eindeutig bestimmt.
1
Sobald wir diese zwei Aussagen gezeigt haben, ist klar, dass
durch f M (c1M , . . . , ckM ) := c0 (c1 , . . . , ck )M eine k-stellige
Operation auf M wohldefiniert ist.
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A. Bors
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Modell aus Konstanten: Existenz cont.
Zur ersten Aussage: Da `σ+ fc1 · · · ck = fc1 · · · ck , folgt
mittels ∃-Quantorenaxiom `σ+ ∃x : fc1 · · · ck = x. Und da T ∗
eine Henkin-Theorie ist, gibt es c0 ∈ C + mit
(∃x : (fc1 · · · ck = x) → fc1 · · · ck = c0 ) ∈ T ∗ . Unter
Verwendung von Lemma 2.5.11 und der deduktiven
Abgeschlossenheit von T ∗ erhalten wir damit
(fc1 · · · ck = c0 ) ∈ T ∗ .
Zur zweiten Aussage: Geht sehr ähnlich wie der Beweis der
Wohldefiniertheit von R M ; für die Details siehe die Übungen.
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Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz
Ausblick auf nächstes Mal
In der nächsten Vorlesungseinheit werden wir
zeigen, dass die gerade definierte σ + -Struktur M tatsächlich
ein Modell von T ∗ ist (und damit den Beweis, dass
vollständige Henkin-Theorien jeweils bis auf Isomorphie genau
ein Modell aus Konstanten haben, abschließen),
die Behauptung, dass allgemein jede konsistente Theorie T
ein Modell hat, auf den dann bereits behandelten Fall
vollständiger Henkin-Theorien reduzieren (womit dann der
Vollständigkeitssatz zur Gänze bewiesen ist),
einige interessante Folgerungen aus dem Vollständigkeitssatz
diskutieren.
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A. Bors
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