Analysis I

Mitschrift zur Vorlesung
Analysis I
gehalten von
Dr. Markus Weimar
1
Dieses Dokument ist ein Projekt der Fachschaft Mathematik an der Universität Siegen.
Hierbei handelt es sich somit um kein offizielles Skript, sondern eine persönliche Mitschrift, an der Noch gearbeitet wird.
Sollten Fehler auffallen, könnt Ihr euch an folgende E-Mail-Adresse (mailto:ella@fsr-math.
de) wenden.
Analysis I
im Wintersemester 2016/2017 an der Universität Siegen
Inhaltsverzeichnis
Griechisches Alphabet
I
Grundlagen und Notation
1.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . .
1.2 Naive Mengenlehre . . . . . . . . .
1.3 Relationen . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Abbildungen . . . . . . . . . . . . .
1.5 (Über-) Abzählbarkeit . . . . . . .
1.6 Körper . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Beschränktheit und Vollständigkeit
Literaturhinweise
i
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1
. 1
. 4
. 6
. 7
. 10
. 13
. 16
18
i
Griechisches Alphabet
α
β
γ
δ
ε ()
ζ
η
ϑ (θ)
A Alpha
B Beta
Γ Gamma
∆ Delta
E Epsilon
Z Zeta
H Eta
Θ Theta
ι
κ
λ
µ
ν
ξ
o
π ($)
I
K
Λ
M
N
Ξ
O
Π
Iota
Kappa
Lambda
My
Ny
Xi
Omikron
Pi
ρ (%)
σ (ς)
τ
υ
ϕ (φ)
χ
ψ
ω
P
Σ
T
Υ
Φ
X
Ψ
Ω
Rho
Sigma
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
Kapitel I
Grundlagen und Notation
1.1
Aussagenlogik
Definition 1.1.1. Seien A,B Aussagen.
Dann meint
•) ¬A
Nicht A / Das Gegenteil von A
(Negation)
•) A ∧ B
A und B
(Konjugation)
•) A ∨ B
A oder B oder beide
(Disjunktion)
•) A ⇒ B
aus A folgt B (auch B ⇐ A)
(Implikation)
•) A ⇔ B
A gilt genau dann, wenn B gilt /
aus A folgt B und umgekehrt
(Äquivalenz)
Bemerkung 1.1.2.
•) Aussagen sind logische Ausdrücke (entweder wahr oder falsch), z.b Heute ist Mon”
tag“, Alle Katzen sind grau“.
”
•) Ausdrücke in Def. 1.1.1 sind selbst wieder Aussagen
•) formale Definition über Wahrheitstafeln, z.B.
A
B
A∨B
A∧B
A
¬A
w
w
w
w
w
f
w
f
f
w
f
w
f
w
f
w
f
f
f
fw
oder Rückriff auf Bekanntes, z.B.
:⇔
(¬A) ∨ B
↑
wird def. durch“
”
A ⇔ B :⇔ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
A⇒B
•) Sprachreglung für A ⇒ B“: A ist hinreichend für B
”
B ist notwendig für A
1
2
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
Beispiel 1.1.3.
(i) Für A : x natürliche Zahl ∧ x2 − 3x + 2 = 0
B:x=1 ∨ x=2
gilt A ⇔ B
Beweis. B ⇒ A “: Einsetzen!
”
A ⇒ B “: 0 = x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) ⇒ x = 2 ∨ x = 2
”
(ii) Für Aussagen A, B gilt Kontraposition
(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)
z.B. A: Es regnet“
”
B: Es stehen Wolken am Himmel“
”
(Achtung: aus A ⇒ B folgt i.A. nicht B ⇒ A bzw. ¬A ⇒ ¬B! )
(iii) ¬(¬A) ⇔ A, z.B. A: Logik ist elegant“
”
(iv) aus (A ⇒ B) und B ⇒ C folgt A ⇒ C (Transitivität),
z.B.: A: Es regnet“, B: Wolken am Himmel“, C: Es ist kühl“
”
”
”
(v) Für ∨, ∧ gelten Kommutativ-/Assoziativ-/Distributiv-Gesetz und DeMorgansche
Regeln.
(vi) A ∧ ¬A immer wahr (Tautologie), genauso: B ⇒ B
Definition 1.1.4 (Quantoren). Es meint
•) ∀x :
für alle x gilt“
”
•) ∃x : es existiert (mind.) ein x, sodass“
”
•) es existiert genau ein x, sodass“
”
∃!x :
•) @x :
(auch
V
(auch
W
x
x
)
)
es existiert kein x, sodass“
”
Beispiel 1.1.5. Im Kontext natürlicher Zahlen gilt
(i) ∀x : x2 ≥ 0
(ii) ∃x : x2 − 3x + 2 = 0
(iii) ∃!x : (x − 1)2 = 0
(iv) @x : x2 ≤ 0
Bemerkung 1.1.6. Sei A(x) eine von x abhängige Aussage.
Dann:
(i) ¬(∀x : A(x))⇔∃x : ¬A(x), z.B. ∃y :
”
x
y
= 3“
(ii) @x : A(x) ⇔ ¬(∃x : A(x)) ⇔ ∀x : ¬A(x), z.B. x2 < 0“
”
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
3
Beweis-Prinzipien
:::::::::::::::::::::
für A ⇔ B “wobei A: bekannte (wahre) Aussage/Def./voraus.
”
B: neue/nicht-triviale Aussagen
•) direkt: zeige A ⇒ . . . ⇒ B und verwende Bsp.
•) inderekt: zeige ¬B ⇒ . . . ⇒ E (d.h. falsche Aussage)
(dann ist wegen f ⇒ bel.“insb. ¬B ⇒ ¬A wahr und damit nach Kontraposition
”
auch A ⇒ B )
Satz 1.1.8
Außerdem
•) Ringschluss für Äquivalenzen Bild
Bsp.1.1.3
•) Vgl. von Wahrheitstafeln (Logik)
Bsp 1.1.5
•) für Existenz:
-) explizite Angabe/konstruktiv
Bsp.1.1.5(ii)
-) probabilistische Methode “(hier nicht!)
”
•) für Eindeutigkeit: Wähle zwei Objekte mit fraglicher Eigenschaft und zeige Gleichheit (später)
•) vollständige Induktion (später)
•) Falsifikation durch Gegenbeispiel, z.B. ist Alle Studenten sind rothaarig“ falsch
”
(Beweis: umschauen)
•) Zerlegung in Teilbeweise
Bsp.1.1.3(i), Satz 1.1.8
Anschließend 2 nicht-triviale Beispiele:
Lemma 1.1.7. Sei n nat. Zahl. Dann gilt: n2 gerade ⇒ n gerade (d.h. n = 2k mit k nat.
Zahl)
Beweis. (Nutze Kontraposition)
n ungerade ⇒ n = 2k − 1 ⇒ n2 = 4k 2 − 4k + 1 ⇒ n2 ungerade
√
Satz 1.1.8. 2 ist irrational.
Beweis. (inderekt)
Annahme:
∃ ganze Zahlenp, q :
√⇒
2>0,
,
kürzen
quadrieren
√
2=
p
q
∃ teilerfremde natürliche Zahlena, b : 2 =
⇒ a2 = 2b2 , d.h.a2 gerade
⇒
Lemma 1.1.7
2
2
a2
b2
a gerade, d.h.
a = 2k ⇒ 2b2 = (2k)2 = 4k ⇒ b = 2k 2 , d.h
|:2
b gerade
2
⇒
Lemma 1.1.7
b gerade
E (a, b gerade aber teilerfremd) ⇒ Annahme falsch
Bemerkung. Problem: brauchten Konzepte wie nat., ganze, (un-)gerade Zahlen (gibt es
die Überhaupt? Lassen sich bekannte Rechenregeln formal beweisen?)
Später!
4
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
1.2
Naive Mengenlehre
Definition 1.2.1 (Gregor Cantor). M heißt Menge :⇔ M ist Zusammenfassung von
bestimmten wohlunterschiedenen Objekten x unserer Anschauung oder unseres Denkens.
Ggf. heißt x Element von M (schreibe x ∈ M ).
Mengennotation:
1.) aufzählend, z.B. M1 := {1, 2} (hier z.B. 2 ∈ M )
2.) via Eigenschaft/logischer Ausdruck E(x)
z.B. M2 = {x| |x nat. Zahl{zmit x2 < 7}}
⇔E(x)
Bemerkung 1.2.2.
(i) Mengen gleich :⇔ alle Elemente gleich, z.B. M1 = M2
(insbesondere ungeordnet, wiederholungsfrei)
(ii) Mengen als Elemente sinnvoll, z.B. {{M o, . . . , F r}, {Sa, So}} =: Z
|
{z
=:A
} |
{z
=:W
}
als Menge von Zeiträumen mit A ∈ Z (nicht M o ∈ Z)!
(iii)
naiv “, da Def.1.2.1 problematisch, z.B. Russellsche Antinomie ( Barbier-Paradoxon“):
”
”
Für R := {x| x 6∈ x} gilt R ∈ R ⇔ R 6∈ R E d.h. R darf keine Menge sein! (für
gutartige“Mengen geht alles gut!)
Zermelo- Fraenkel-Mengenlehre
”
(iv) Man schreibt (selbsterklärend)
M = {x ∈ X| . . .}, ∀x ∈ X : . . . , usw.
Definition 1.2.3. Seien A,B Mengen. Dann heißt die Menge
•) A ∪ B := {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
Vereinigung von A und B
•) A ∩ B := {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
Schnitt von A und B
•) A \ B := {x|x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
Differenz, A ohne B
•) A × B := {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}
kartesisches Produkt von A und B
Weiter heißt A Teilmenge von B (bzw. B Obermenge von A, schreibe A ⊆ B oder B ⊇ A)
:⇔ ∀x : (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Falls A ⊆ B heißt AC := B \ A Komplement von A und B
Schließlich nennt man
•) ∅ := { }
•) P := {X|X ⊆ A}
•) A ∩ B = ∅
Leere Menge
Potenzmenge von A
⇔: A und B disjunkt
Bemerkung 1.2.4.
•) Für A = ∅ und bel. Menge B ist A ⊆ B,
∀x ∈ A : . . . immer wahr,
∃x ∈ A : . . . immer falsch
•) Venn-Diagramm:
5
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
•) allgemeiner: I 6= ∅ (Index-)Menge, Ai Menge ∀i ∈ I
[
Ai := {x|∃i ∈ I : x ∈ Ai }, z.B. A1 ∪ A2 für I = {1, 2}
i∈I
\
Ai := {x|∀i ∈ I : x ∈ Ai }, z.B. A1 ∩ A2 ∩ A3 für I = {1, 2, 3}
i∈I
•) (a, b) geordnetes Paar mit (a, b) = (c, d) :⇔ a = c ∧ b = d
(i.A also (a, b) 6= (b, c) und damit A × B 6= B × A )
•) A ⊂ B (echte Teilmenge) :⇔ A ⊆ B ∧ A 6= B
Proposition 1.2.5. Für Mengen A, B gilt
(i) A = B ⇔ A ⊆ ∧ B ⊆ A
(ii) A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B ⇔ A ∩ B = A
Weiter gelten Kommutativ-/Assoziativ-/Distributivitätgesetze für ∪ und ∩
Beweis.
(i) A ⊆ B ∧ B ⊆ A
Def. ⊆“
⇔”
∀x : (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
∧ ∀x : (x ∈ B ⇒ x ∈ A)
⇔ ∀x : [(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ⇐ x ∈ B)]
⇔
∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ B)
⇔
A=B
Def. ⇔“
”
Def. =“
”
(ii) Nutze Def. 1.2.3
Rest: Nutze Bsp 1.1.3
Beispiel 1.2.6.
(i) Für (Achtung informell!):
N
:= {1, 2, 3, . . .}
N0 := {0} ∪ N = {0, 1, 2, . . .}
Z
:= N0 ∪ {−x|x ∈ N} = {0, 1, −1, 2, −2, . . .}
Q
:= {x|∃p ∈ Z, q ∈ N : x = pq }
R
:= {±x|∃k ∈ N ∀i ∈ N ∃n ∈ {0, 1, . . . , 9} :
x = n1 n2 . . . , nn+k nk+2 . . .}
natürliche Zahlen
natürliche Zahlen mit 0
ganze Zahlen
rationale Zahlen
reelle Zahlen
(Darstellung als unendlicher Dezimalbruch)
R
:= R ∪ {−∞, ∞}
erweiterte reelle Zahlen
gilt
N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ R (teste damit Prop. 1.2.5 (i)(ii)!)
(ii) M := {a, b, c} ⇒ P = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
und {a, b} ∩ {b, c} = {b}, {b} ∪ {a} = {a, b}, M \{a} = {b, c}
(iii) N2 := N × N = {(n, m)|n, m ∈ N} = {(1, 1), (1, 2), . . . , (2, 1), (2, 2) . . .}
6
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
1.3
Relationen
Definition 1.3.1.
(i) Seien A, B Mengen, a ∈ A, b ∈ B.
•) R heißt Relation auf A × B mit Graph GR
:⇔ GR ⊆ A × B
•) a steht in Relation R zu b (schreibe aRb)
:⇔ (a, b) ∈ GR
(ii) Für A = B heißt die Relation R
(1.) reflexiv
:⇔ xRx
∀x ∈ A
(2.) transitiv
:⇔ xRy ∧ yRz ⇒ xRz
∀x, y, z ∈ A
(3.) symmetrisch
:⇔ xRy ⇒ yRx
∀x, y ∈ A
(4.) antisymmetrisch
:⇔ xRy ∧ yRx ⇒ x = y
∀x, y ∈ A
(5.) total
:⇔ xRy ∨ yRx
∀x, y ∈ A
•) Quasi-Ordnung
:⇔ (1.) ∧ (2.) gilt
•) Halbordnung
:⇔ (1.) ∧ (2.) ∧ (4.) gilt
•) totale Ordnung
:⇔ (1.) ∧ (2.) ∧ (4.) ∧(5.) gilt
•) Äquivalenzrelation
:⇔ (1.) ∧ (2.) ∧ (3.) gilt
Beispiel 1.3.2.
(i) Max studiert Mathe
a ∈ A (R) b ∈ B
→ Relation studiert“auf A × B
”
(ii) Äquivalenzrelation =“ auf M × M mit M = {a, b, c}
”
totale Ordnung ≤“ auf Z × Z, z.B. (1, 2) ∈ G≤ , (7, −3) 6∈ G≤
”
Halbordnung ⊆“ auf P, z.B.({b}, {b, c}) ∈ B⊆
”
Quasi-Ordnung teilt“ auf Z × Z
”
Relation < “ auf N × N nicht reflexiv
”
Bemerkung 1.3.3. ∃ weitere Eigenschaften (z.B. Linkstotal“: ∀a∃b : aRb) und Zusam”
menhänge (z.B. total ⇒ reflexiv, Bew: y := x)
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
1.4
7
Abbildungen
Hauptstudienobjekt der Analysis
Definition 1.4.1. Seien X, Y Mengen
(i) ϕ heißt Abbildung zwischen X und Y / Funktion von X nach Y
(schreibe ϕ : X → Y, x 7→ y := ϕ(x))
(ii) Für x ∈ X, y ∈ Y mit y := ϕ(x) heißt
•) y Bild von x unter ϕ/ Wert von ϕ in x
•) x Urbild von y unter ϕ
(iii) Für A ⊆ X heißt ϕ(A) := {y ∈ Y |∃x ∈ A : y = ϕ(x)}
Bild von A unter ϕ
(iv) Wϕ := ϕ(X) ⊆ Y heißt Wertebereich von ϕ
(v) Für B ⊆ Y heißt ϕ−1 (B) := {x ∈ X|∃y ∈ B : y = ϕ(x)}
Urbild von B unter ϕ
(vi) Dϕ := ϕ−1 = Y heißt Definitionsbereich von ϕ
(vii) Gϕ := {(x, ϕ(x))| x ∈ X} ⊆ X × Y heißt Graph von ϕ
(viii) Für A ⊂ X heißt die Abbildung ϕ|A : A → Y mit ϕ|A (x) := ϕ(x ∀x ∈ A
Einschränkung von ϕ auf A
Definition 1.4.2. Seien ϕ : X → Y , ψ : A → B Abbildungen
(i) ϕ = ψ :⇔ X = A ∧ Y = B ∧ ∀x ∈ X : ϕ(x) = ψ(x)
(ii) Für Wψ ⊆ X ist die Verknüpfung ϕ◦ψ : A → Y definiert durch (ϕ◦ψ)(x) := ϕ(ψ(x))
Beispiel 1.4.3.
(i) f : R → R, f (x) = x2 ⇒ Wf = {x ∈ R|x ≥ 0}, f ({1, 2, 3}) = {1, 4, 9}
Für ϕ : N0 →, ϕ(x) := x2 ist ϕ 6= f aber ϕ = f |N0
(ii) idX : X → X, x 7→ idX (x) := x heißt Identität auf X
(iii) Bsp. 1.3.2 (i) definiert keine Funktion (2 Gründe!)
(iv) X: Zeitpunkt, Y : Messwerte, ϕ(x): Temperatur T zur Zeit x
(v) Bild
z.B. ψ : N → N0 = Wψ , ψ(x) = x − 1 und ϕ aus (i)
⇒ ϕ ◦ ψ : N → R, (ϕ ◦ ψ)(x) = (x − 1)2
Satz 1.4.4. Für Abbildungen f : W → X, g : X → Y, h : Y → Z ist deren Komposition
wohldefiniert und assoziativ, d.h.
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ) als Abb. W → Z
Beweis. klar nach Def. 1.4.2(ii)
Definition 1.4.5. Eine Abbildung ϕ : X → Y heißt
8
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
(i) injektiv
:⇔ ∀x1 , x2 ∈ X : (ϕ(x1 ) = ϕ(x2 ) ⇒ x1 = x2 )
(ii) surjektiv
:⇔ Wϕ = Y
(iii) bijektiv
:⇔ (i) ∧ (ii) gilt
Beispiel 1.4.6.
(i) f aus Bsp. 1.4.3 ist weder injektiv noch surjektiv
(ii) ϕ aus Bsp. 1.4.3 ist injektiv, nicht surjektiv
(iii) idX und ψ aus Bsp. 1.4.3 sind bijektiv
(iv) + : N0 × N0 →, (a, b) 7→ a + b ist surjektiv, nicht injektiv
Satz 1.4.7. Eine Abbildung ϕ : X → Y ist
(i) injektiv ⇔ ∀x1 , x2 ∈ X : (x1 6= x2 ⇒ ϕ(x1 ) 6= ϕ(x2 ))
(ii) bijektiv ⇔ ∃ψ : Y → X : ψ ◦ ϕ = idX ∧ ϕ ◦ ψ = idX
Ggf. ist ψ eindeutig bestimmt
Beweis.
(i) klar nach Def. 1.4.4 nach Bsp 1.1.3(ii) (Kontraposition)
(ii) ::
⇒“: ϕ bijektiv ⇒ ϕ surj. ∧ inj.
”
⇒ ∀y ∈ Y ∃x ∈ X : y = ϕ(x) ∧ x eindeutig, d.h x = xy
⇒ ψ : Y → X, y 7→ ψ(y) := xy erfüllt gewünschtes.
⇐“: zeigen: ϕ surjektiv ∧ injektiv
”::
• Ann: ϕ nicht surjektiv ⇒ Wϕ ⊂ Y
⇒ ∃ ỹ ∈ Y : ∀ x ∈ X : ϕ(x) 6= ỹ aber ỹ = idy (ỹ)
=
↑
ϕ◦ψ=idY
ϕ(ψ(ỹ)) E ⇒ ϕ surj.
| {z }
∈X
• Seien x1 , x2 ∈ X mit ϕ(x1 ) = ϕ(x2 ) (∗)
⇒ x1 =
ψ(ϕ(x1 )) = ψ(ϕ(x2 )) = x2 ⇒ ϕ inj.
↑
ϕ◦ψ=idX
(∗)
Eindeutigkeit:
Sei auch τ : Y → X mit τ ◦ ϕ = idX ∧ ϕ ◦ τ = idY
::::::::::::::
⇒ ψ = ψ ◦ idY = ψ ◦ (ϕ ◦ τ ) = (ψ ◦ ϕ) = idX ◦ τ = τ
Satz 1.4.4
Definition 1.4.8. Ist ϕ bijektiv, so heißt ϕ−1 := ψ aus Satz 1.4.7 Inverse/Umkehrfunktion
von ϕ
Proposition 1.4.9. Für bijektive Abbildungen in ϕ : X → Y, ψ : Y → Z ist
(i) ϕ−1 : Y → X bijektiv mit (ϕ−1 )−1 = ϕ
(ii) ψ ◦ ϕ : X → Z bijektiv mit (ψ ◦ ϕ)−1 = ϕ−1 ◦ ψ −1 : Z → X
Beweis. Übung (Satz 1.4.7(ii) nutzen!)
Bemerkung 1.4.10.
(i) anschaulich:
Bild
(ii) geeignete
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
•) Wahl von Y erzwingt Surjektivität
•) Einschränkung auf A ⊆ X erzwingt Injektivität
(iii) ϕ : X → X bijektiv heißt Permutation von X
z.B.
X = {1, 2, 3} : ϕ1 = idX
ϕ2 : 1 7→ 1
2 7→ 3
3 7→ 2
9
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
1.5
10
(Über-) Abzählbarkeit
Definition 1.5.1.
(i) Mengen A, B heißen gleichmäßig (schreibe A ∼ B)
:⇔ ∃ϕ : A → B bijektiv
(ii) Menge M heißt
(1.) endlich :⇔ M = ∅ ∨ ∃n ∈ N : {1, 2, . . . n} ∼ M
(2.) abzählbar unendlich :⇔ N ∼ M
(3.) abzählbar :⇔ (1.) ∨ (2.)
(4.) überabzählbar :⇔ ¬ (3.)
(iii) Für M abzählbar heißt
card(M ) :=













0,
falls M = ∅
n,
falls M ∼ {1, . . . , 3} für n ∈ N
ℵ0 ,
falls M ∼ N
(auch |M | oder #M ) Kardinalität von M
Bemerkung 1.5.2. ∼ ist Äquivalenz-Relation auf Klasse aller Mengen. Insbesondere ist
n aus (1.) eindeutig bestimmt
Lemma 1.5.3. Für M 6= ∅ gilt:
(i) M abzählbar ⇔ ∃AM ⊆ N : AM ∼ M
(ii) M abzählbar ∧ L ⊆ M ⇒ L abzählbar
Beweis.
(i) ⇒“:
trivial, ⇐“:
vllt. später
”::
” ::
(ii) OBdA ∅ =
6 L 6= M
Setze 4 = M \ L ⇒ ∅ =
6 4 ⊂ M, M \ 4 = L.
Mit AM ⊆ N, Bijektion ϕM : AM → M aus (i),
definiere AL := AM \ ϕ−1
M (4) ⊂ DϕM ⊆ N
⇒ ϕL := ϕM |AL : AL → M \ 4L bijektiv, d.h. AL ∼ L
⇒ L abzählbar.
(i)
Proposition 1.5.4. N2 ∼ N
Beweis. Wählen ϕ : N → N × N bijektiv gemäß Cantorischem Diagonalverfahren“:
”
11
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
1
N\N
2
3
(1, 1) -(1, 2)
1
4
(1, 3) -(1, 4)
...
...
(2, 1)
2
(2, 2)
(2, 3)
d.h. ϕ(1) := (1, 1)
ϕ(2) := (1, 2)
?
(3, 2)
(3, 1)
3
4
(4, 1)
...
...
?
Satz 1.5.5. I 6= ∅, abzählbar, Mi abzählbar ∀i ∈ I
⇒ V :=
S
i∈I
Mi abzählbar.
Beweis. OBdA V 6= ∅ ⇒ ∃x0 ∈ V
I abz.
∃J ⊆ N, ϕ : J → I bijektiv
⇒
Lemma1.5.3(i)
∀j ∈ J ist Mϕ(j) abz., d.h. ∃Aj ⊆ N, ϕj : Aj → Mϕ(j) bijektiv.
Setze ψ : N2 → V ,
ψ(j, k) :=



ϕj (k),


x0 ,
falls j ∈ J, k ∈ Aj (k-tes Element der j-ten Menge)
sonst
⇒ ψ surjektiv
⇒
Bem1.4.10(ii)
∃L ⊆ N2 : ψ : L → bijektiv, d.h. L ∼ V .
L
Prop. 1.5.4 ⇒ N2 abz.
⇒
Lemma1.5.3(ii)
L abz.
⇒
Bem1.5.2
Satz 1.5.6. N, N0 , Z, Q und alle endlichen karthesischen Produkte aus ihnen sind abzählbar unendliche Mengen und damit insbesondere gleichmächtig.
Beweis.
•) Sei M ∈ {N, N0 , Z, Q}
⇒ 1.) M abz.
(M = N : wegen ϕ = idN in Def 1.5.1)
Rest: als abz. Vereinigung nach Def. 1.5.1
p
N0 = N ∪ {0}, Z = N0 ∪ {−n|n ∈ N}, Q =
|p ∈ Z
n∈N n
|
{z
}
S
∼Z
12
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
2.) ∀n ∈ N : {1, 2, . . . , n + 1} ⊆ M
⇒ M nicht endlich
⇒ M abzählbar unendlich
•) Für endl. Produkt M1 × . . . × Mk nutze Cantor-Diagonlverfahren(Bew. Prop.1.5.4).
Satz 1.5.7. Zwischen je zwei verschiedenen reellen Zahlen liegen überabzählbar viele weiter.
Beweis. gzz.: M := {0, n1 n2 n3 . . . |nj ∈ {0, 1}} überabzählbar.
Inderekt mittels Cantors zweitem Diagonalargoment:
Annahme: M abzählbar M = {a1 , a2 , . . .} mit
a1 = 0, a11 a12 a13 a14 . . .
a2 = 0, a21 a22 a23 . . .
wobei aij ∈ {0, 1}
a3 = 0, a31 a22 a23 . . .
...
Setze b := 0, b1 b2 b3 . . . mit bj :=



0, falls ajj = 1
1, falls ajj = 0
⇒ b ∈ M , aber b 6= aj ∀j ∈ N E M nicht abzählbar.


Folgerung 1.5.8. R und R \ Q sind überabzählbar
Beweis.
•) R abzählbar, (0, 1) := {x ∈ R|0 < x < 1} ⊆ R
•) R \ Q abzählbar
⇒
Satz1.5.5,
Satz1.5.6
⇒
Lem.1.5.3(ii)
R = (R \ Q) ∪ Q abzählbar E
Beispiel 1.5.9.
•) Wie in Satz 1.5.7 zeigt man: P(N) überabzählbar
•) (0, 1) ∼ R wegen ϕ(x) :=
1
1−x
−
1
x
•) N ∼ {2n|n ∈ N} wegen ϕ(n) := 2n
(0, 1) abzählbar E
13
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
1.6
Körper
Definition 1.6.1. Eine Menge K zusammen mit den Abbildungen
+ : K × K → K, (x, y) 7→ x + y
(Addition)
· : K × K → K, (x, y) 7→ x · y
(Multiplikation)
heißt Körper :⇔
(A1) ∀x, y, z ∈ K : x + (y + z) = (x + y) + z
(+ ist assoziativ)
(A2) ∀x, y ∈ K : x + y = y + x
(+ ist kommutativ)
(A3) ∃0 ∈ K∀x ∈ K : x + 0 = x
(∃ Null)
(A4) ∀x ∈ K∃(−x) ∈ K : x + (−x) = 0
(∃ additive Inverse)
(M1) ∀x, y, z ∈ K : x(yz) = (xy)z
(· ist assoziativ)
(M2) ∀x, y ∈ K : xy = yx
(· ist kommutativ)
(M3) ∃1 ∈ K \ {0} ∀x ∈ K : x · 1 = x
(M4) ∀x ∈ K \ {0} ∃
1
x
∈K:x·
1
x
=1
(∃ Eins)
(∃ multiplikative Inverse)
(D) ∀x, y, z ∈ K : x(x + y) = xy + xz
(Distributiv-Gesetz)
Beispiel 1.6.2.
(i) K ∈ {R, Q} mit üblicher Addition und Multiplikation sind Körper, K ∈ {N, N0 , Z}
aber nicht!
(ii) K = F2 := {0, 1} mit
⊕ 0 1 und 0 1
0 0 1
0 0 0
1 1 0
1 0 1
Bemerkung 1.6.3. Notation −x, x1 zunächst nur symbolisch.
(beachte: in F) ist 1 ⊕ 1 = 0 und damit 1 = 1
Eigenschaften und Auswahl an Rechenregeln:
Satz 1.6.4. Sei K mit +, · Körper. Dann
(i) Äquivalenz-Umformungen:
∀x, y, z ∈ K : x = y ⇔ x + y = y + z
∀x, y ∈ K, z ∈ K \ {0} : x = y ⇔ xy = yz
(ii) 0 und 1 sind eindeutig bestimmt
(iii) Additive und multiplikative Inverse sind jeweils eindeutig bestimmt
(iv)
∀x ∈ K : −(−x) = x
1
∀x ∈ K \ {0} : 1 = x
x
(v) Nullteilerfreiheit: ∀x, y ∈ K : xy = 0 ⇔ x = 0 ∨ y = 0
14
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
Beweis. (Exemplarisch, Rest Übung)
(i) für +: Seien x, y, z ∈ K
⇒“: x + y =
y+z
↑
”::
x=y
⇐“: x = x + y = x + (z + (−z)) = (x + z) + (−z)
”::
(A3)
(A4)
(A1)
= (y + z) + (−z) = y + (z + (−z)) = y + 0 = y
x+y=y+z
(A1)
(A4)
(A3)
(ii) für · : (M 3) gelte für 1, 10 ∈ K
⇒ 10 = 10 · 1 = 1 · 10 = 1
M2
(M 3)
für 1
(M 3)
für 10
(iv) für +: Sei x ∈ K ⇒ ∃(−x) ∈ K ⇒ ∃(−(−x)) ∈ K und
(A4)
(A4)
(−(x)) + (−x) = (−x) + (−(−x))
(A2)
⇒ −(−x) = x
=
(A4)
für (−x)
0 = x + (−x)
(A4)
für x
(i)
(v) Seien x, y ∈ K.
⇐“: Sei x = 0 (y = 0 analog)
”::
0y + 0y = (0 + 0)y = 0y = 0y + 0 = 0 + 0y ⇒ 0y = 0 (∗)
D
(A3)
(A3)
(A2)
(i)
⇒“: Sei xy = 0.
”::
Fall x = 0 ⇒ x = 0 ∨ y = 0 Fall x 6= 0 ⇒ y = y · 1 = y x x1 = (yx) x1
(M 3)
M4
= (xy) x1 = 0 ·
(M 2)
xy=0
(M 2)
1
=0
x (∗)
Bemerkung 1.6.5. Wegen Satz 1.6.4 sind
− : K × K → K,
(x, y) 7→ x − y := x + (−y)
x
1
(x, y) 7→ := x ·
y
y
÷ : K × K \ {0} → K,
in jedem Körper K (mit +, −) wohldefiniert und erfüllt die üblichen Rechenregeln (z.B.
a
± dc = ad±bc
)
b
bd
Definition 1.6.6. Sei K mit +, · ein Körper und ≤ eine totale Ordnung auf K × K. Dann
heißt K durch ≤ angeordnet :⇔ ∀x, y, z ∈ K
O1 x < y ⇒ x + z < y + z
O2 x < y ∨ 0 < z ⇒ xz < yz
wobei a < b. ⇔ (a ≤ b) ∨ (a 6= b) für a, b ∈ K
Satz 1.6.7. Ist K durch ≤ angeordnet, so gilt
(i) ∀x, y ∈ K genau eine der Bezeichnungen
x < y,
x = y,
x>y
(Trichotomie)
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
(ii) ∀x ∈ K \ {0} :
1
x
15
> 0 ⇔ x > 0 ⇔ 0 > −x
(iii) ∀x, y, z ∈ K : x < y ⇔ x + z < y + z,



∀x, y ∈ K, z ∈ K \ {0} : x < y ⇔ 

xz < yz, falls z > 0
xz > yz, falls z < 0
(iv) ∀x ∈ K \ {0} : x2 > 0. Insbesondere ist 1 > 0
(Äquivalenz-Umformung)
Beispiel 1.6.8.
(i) R, Q
(ii) F E (denn 0 < 1 = 1 ⊕ 0 < 1 ⊕ 1 = 0 d.h. 0 < 0 ⇒ 0 ≤ 0 ∨ 0 6== 0 E)
Bemerkung 1.6.9.
(i) Sehen in Bsp.1.6.8(ii): Jeder angeordneter Körper enthält (Modell von) N und damit
auch (N0 ,Z und) Q als Teilmenge
(ii) Wegen Satz 1.6.4(i) gilt Satz1.6.7(iii) auch für ≤“
”
Definition 1.6.10. Sei K mit +, · Körper. Ist L ⊆ K mit 0, 1 ∈ L bzgl. der auf L
eingeschränkten Abbildungen +, · selbst ein Körper, so heißt L Teilkörper von K und K
Oberkörper von L.
Beispiel 1.6.11.
(i) Q Teilkörper von R (nach Bem. 1.6.9 kleinster“)
”
(ii) F2 kein Teilkörper von Q, da anderes ⊕, (iii) Z kein Teilkörper von R, da kein Körper
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
1.7
16
Beschränktheit und Vollständigkeit
Definition 1.7.1. Sei K ein durch ≤ angeordneter Körper, M ⊆ K und s ∈ K. Dann
heißt
(i) M nach oben beschränkt :⇔ Für Mengen aller oberen Schranken von M in K,
O(M ) := {s ∈ K|∀x ∈ M : x ≤ s}
gilt O =
6 ∅
(ii) s Supremum von M in K (s = sup M )
:⇔ s ∈ O(M ) ∧ ∀t ∈ O(M ) : s ≤ t
(iii) s Maximum von M (s = max M ) :↔ s = sup M ∧ s ∈ M
Bemerkung 1.7.2. sup M ( kleinste obere Schranke“) ist eindeutig bestimmt, falls es
”
existiert.
Beispiel 1.7.3. Sei K ∈ {R, Q} mit üblicher Ordnung
(i) M1 := {x ∈ K|x > 0} nicht nach oben beschränkt, @ sup, max
(ii) M2 := {x ∈ K|x < 1} ist nach oben beschränkt, s = sup M2 = 1, @ max M2
(iii) M3 := {x ∈ K|x ≤ 1} ist nicht nach oben beschränkt, s = sup M3 = max M3 = 1
Satz 1.7.4. Sei K angeordneter Körper, M ⊆ K, s ∈ K. Dann
s = sup M ⇔ (1.)s ≥ x ∀x ∈ M
(2.)∀ε ∈ K mit ε > 0 ∃xε ∈ M : xε > s − ε
Beweis. Wegen (1) ⇔ s ∈ O gzz.: (2) ⇔ ∀t ∈ O(M ) : s ≤ t
⇒“: Annahme: ∃t ∈ O(M ) : s > t
”::
⇒ ε := s − t ∈ K, ε > 0
⇒ ∃xε ∈ M : xε > s − ε = t E zu t ∈ O(m)
(2)
⇐“: Annahme: ∃ε ∈ K mit ε > 0, sodass ∀x ∈ M : x ≤ s − ε
”::
⇒ t := s − ε ∈ O(m) und t < s E zu s ≤ t
Bemerkung 1.7.5.
(i) Analog zu Def. 1.7.1 definiert man für Teilmengen angeordneter Körper Infimum
(Minimum) als größte unter Schranke (in M ).
Satz ?? gilt entsprechend.
(ii) M ⊆ K heißt beschränkt :⇔ M nach oben und unten beschränkt
Proposition 1.7.6. Sei K angeordneter Körper und A, B ⊆ K. Dann gilt (sofern die
Infima/Suprema jeweils existieren)
(i) inf A ≤ sup A
(ii) A ⊆ B ⇒ inf B ≤ inf A und sup A ≤ sup B
17
KAPITEL I. GRUNDLAGEN UND NOTATION
(iii) inf(A ∪ B) = inf{inf A, inf B} und
sup(A ∪ B) = sup{sup A, sup B}
(iv) A ∩ B 6= ∅ ⇒ inf(A ∩ B) ≥ sup{inf A, inf B}
und sup(A ∩ B) ≤ inf{sup A, sup B}
Bemerkung 1.7.7. Unterschied zwischen Q und R?
M := {x ∈ K|0 < x ∧ x2 < 2} ist beschränkt, aber nur für K = R existiert supm ∈ K
Definition 1.7.8. Sei K ein durch ≤ angeordneter Körper.
K heißt vollständig :⇔ ∀M ⊆ K mit M 6= ∅ und M nach oben beschränkt ∃ sup M ∈ K
Beispiel 1.7.9. R vollständig, Q nicht.
Satz 1.7.10. Sei K ein durch ≤ angeordneter Körper. Dann sind folgende Aussagen
äquivalent:
(1.) K ist vollständig
(2.) ∀ ⊆ K mit L 6= ∅ und L nach unten beschränkt ∃ inf M
(3.) Sind A, B ⊆ K, sodass A, B 6= ∅ und ∀(a, b) ∈ A × B a ≤ b
Beweis. Ringschluss
(1) ⇒ (2): Zu L ⊆ K betrachte ML := {−x ∈ K | x ∈ L}
⇒ x ∈ L : (x ≥ t ⇔ −x ≤ −t)
(∗)
ML 6= ∅, nach oben beschränkt (da L nach unten beschränkt)
⇒ ∃s = sup ML ∈ K ⇒ −s = inf L
::::::::::
(1)
(∗), t:=−s
(2) ⇒ (3): Nach Voraussetzung ist B nach unten (durch jedes a ∈ A) beschränkt.
::::::::::
∃c := inf B ∈ K
⇒ ∀(a, b) ∈ A × B
a
≤
größte
untere Schranke
c
≤
⇒
(2)
b
unter Schranke
(3)
⇒ (1) : Sei M ⊆ K mit M 6= ∅ und M nach oben beschränkt.
::::::::::
Setze A := M , B := {b ∈ K | ∀a ∈ A : a ≤ b}
⇒ B = O(A), A, B 6= ∅, ∀(a, b) ∈ A × B : a ≤ b
⇒ ∃c ∈ K : ∀(a, b) ∈ A × B : a ≤ c ≤ b
(3)
⇒ c = sup A
Def.
Hauptsatz 1.7.11.
(i) Es existiert ein vollständiger, durch eine Relation ≤ angeordneter Körper R mit
entsprechenden Abbildungen + und · .
(ii) R ist (im Wesentlichen) eindeutig bestimmt.
Definition 1.7.12. Man nennt R den Körper der reellen Zahlen.
LITERATURHINWEISE
18
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. . . sowie die zugehörigen Übungsbücher/Repetetorien/etc. oder auch (beinahe) jedes andere Lehrbuch, Kompendium oder Skript, welches Analysis 1 im Titel trägt (ggf. mit
Zusätzen wie für das Lehramt, für Physiker, oder Ähnlichem).