Approximationsalgorithmen WS10/11 ¨Ubungsblatt 4

TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut TI, FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen
Prof. Dr. M. Dietzfelbinger, Dipl.-Inf. Sascha Grau
Vorlesung Approximationsalgorithmen
Approximationsalgorithmen WS10/11
Übungsblatt 4
Aufgabe 1 (GreedyEdgeCol)
Betrachten Sie den Algorithmus GreedyEdgeCol, der ganz analog zu GreedyCol
die Kanten des Eingabegraphen G einfäbt. D.h. er durchläuft die Kanten von E in
zufälliger Reihenfolge e1 , . . . , em und gibt ei stets die kleinste Farbe, die noch nicht für
inzidente Kanten benutzt wurde. Sei GEC(G) das Ergebnis des Algorithmus, ausgeführt
auf dem Graphen G.
(a) Bestimmen Sie eine obere Schranke κ(G) für |w∗ (G) − w(G, GEC(x))| in Abhängigkeit vom Maximalgrad ∆(G). Beweisen Sie Ihre Behauptung.
(b) Geben Sie einen Beispielgraphen an, der Ihre Schranke κ(G) realisiert, d.h. für
den eine Kantenreihenfolge existiert, so dass GreedyEdgeCol gerade den Wert
w∗ (G) + κ(G) ergibt.
Aufgabe 2 (Kantenfärbung)
Beschreiben Sie eine Implementierung des Algorithmus von Vizing zur Kantenfärbung,
die für einen Graphen G = (V, E) Zeit O(|E| · |V |) benötigt.
Aufgabe 3 (Max-kBinPacking)
Von einer Menge S von n Objekten mit Volumina s1 , . . . , sn ∈ N sollen möglichst viele
in k gleichgroße Kisten der Größe C ∈ N verpackt werden. Dabei sei k konstant.
(a) Beschreiben Sie Max-kBinPacking formal durch seine vier Komponenten.
(b) Geben Sie einen polynomiellen Algorithmus Pack für Max-kBinPacking an mit
einer absoluten Güte κPack (I) ≤ k − 1 an. Beweisen Sie die Gütegarantie.
Hinweis: Greedy-Algorithmus
Aufgabe 4 (Smallest Degree Last)∗
Geben Sie eine dreifärbbare Familie von Graphen an, auf welcher der Algorithmus
Smallest Degree Last (SDL) eine Färbung mit Ω(n) Farben liefert, d.h. bei n Knoten werden mindestens c · n Farben verwendet, für ein c > 0.
Hinweis: Nutzen Sie aus, dass die Färbungsreihenfolge von SDL durch die Knotengrade
des Graphen fest vorgegeben werden kann. Erweitern Sie einen zweifärbbaren Kerngraphen so, dass der entstehende Graph dreifärbbar bleibt, die ungünstige Färbungsreihenfolge von SDL aber zur Nutzung von Ω(n) Farben führt.
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Approximationsalgorithmen WS10/11
Übungsblatt 4
Aufgabe 5 (P 6= NP ⇒ Graph Coloring 6∈ APX)∗
Gegeben sei das NPO-Problem Graph Coloring: Für einen Graphen G, färbe die
Knoten von G mit der minimalen Anzahl von Farben, so dass keine zwei Knoten gleicher
Farbe adjazent sind.
(a) Zeigen Sie folgendes:
Liegt Graph Coloring in der Klasse APX, so muss für jede beliebige Konstante
ε > 0 ein (1 + ε)-Approximationsalgorithmus existieren.
Hinweis: Self-Improvement - Reduzieren Sie das Problem auf sich selbst, indem
Sie aus G einen Graphen G2 konstruieren, der k 2 -färbbar ist gdw. G k-färbbar ist.
Wie entwickelt sich die Gütegarantie für eine Lösung auf G2 , wenn die Lösung auf
G betrachtet wird?
(b) Welche Schlussfolgerung würde sich dann aus Graph Coloring ∈ APX für die
Komplexität des Planar Graph Coloring Problems ergeben?