Mathematik für Ingenieure - *ISBN 3-8273
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A. Hoffmann B. Marx W. Vogt Mathematik für Ingenieure Lineare Algebra, Analysis – Theorie und Numerik 1. Auflage ein Imprint von Pearson Education München • Boston • San Francisco • Harlow, England Don Mills, Ontario • Sysney • Mexico City Madrid • Amsterdam Inhaltsverzeichnis Kapitel 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Kapitel 2 2.1 2.2 2.3 2.4 Kapitel 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Kapitel 4 4.1 4.2 I Grundlagen 1 Elementare Logik 7 Aussagen Aussagenverknüpfungen und Aussagenfunktionen Boolesche Algebra und Boolesche Funktion Aussageformen und Quantoren Beweistechniken Aufgaben 8 9 18 26 28 31 Elementare Mengenlehre 33 Mengen und Elemente Konstruktion von Mengen, Verknüpfung von Mengen Kartesisches Produkt von Mengen Aufgaben 34 36 39 43 Algebra, Ordnung und Toplogie der reellen Zahlen 45 Induktion Algebraische Strukturen bei den Zahlen Ordnungsstrukturen bei den Zahlen Verträglichkeit zwischen Algebra und Ordnung Toplogie der Zahlen Darstellung von Zahlen im Computer Elemente der Kombinatorik Aufgaben 46 47 49 50 52 60 63 68 Komplexe Zahlen 71 Gaußsche Zahlenebene, Körper der komplexen Zahlen Geometrische Veranschaulichung der Operationen 72 75 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 Die Addition, Subtraktion und Multiplikation mit reellen Zahlen Die trigonometrische Darstellung – Multiplikation – Division Die Exponentialdarstellung einer komplexen Zahl, ez , sin z, cos z Berechnung der n –ten Wurzeln aus einer komplexen Zahl 75 80 82 84 5 Inhaltsverzeichnis 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 Kapitel 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 Kapitel 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 Kapitel 7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 6 Riemannfläche – Logarithmus – Potenzgesetze und Logarithmengesetze Die komplexe Vollebene – der Punkt z = ∞ Geometrie in der komplexen Vollebene Topologie der komplexen Zahlen Anwendung der komplexen Zahlen in der Elektrotechnik Aufgaben 86 90 90 92 93 104 Relationen und Abbildungen 107 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften Mächtigkeit von Mengen Beispiele von Funktionen Umkehrfunktion einer reellen Funktion einer Veränderlichen Die symmetrische Gruppe der Abbildungen SM Aufgaben 108 118 121 132 137 140 II Lineare Algebra 143 Lineare Räume 147 Axiomensystem, Beispiele Matrizen Basis, Dimension Affiner Raum Unterräume, Dimensionssätze Lineare Gleichungssysteme - Gaußalgorithmus Matrixrang , Inverse Matrix Koordinaten - Darstellung und Transformation Aufgaben 148 151 161 165 168 177 183 186 193 Lineare Abbildungen 197 Definition, Beispiele, Grundlagen Lösungsprinzipien linearer Gleichungen Koordinatenmatrix einer linearen Abbildung Transformation der Koordinatenmatrix Lineare Funktionale im Raum X ∗ – duale Basis Basisdarstellung linearer Abbildungen Basis- und Koordinatentransformation in X ∗ Die duale Abbildung L# , Annullatoren 198 205 210 213 214 220 224 227 Inhaltsverzeichnis 7.9 Kapitel 8 8.1 8.2 8.3 8.4 Kapitel 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 Kapitel 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 Kapitel 11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 Kapitel 12 12.1 12.2 Aufgaben 234 Multilineare Abbildungen 237 Definition, Koordinaten, Tensor Potenzabbildung und Polynome Determinantenform und Determinante Aufgaben 238 244 245 258 Lineare Abbildungen in Hilberträumen 261 Raum mit Skalarprodukt, QR-Zerlegung Adjungierte Abbildungen Selbstadjungierte Endomorphismen Orthogonale und unitäre Abbildungen Normale Endomorphismen Aufgaben 262 277 280 286 291 293 Spektralzerlegung linearer Endomorphismen 297 Eigenwerte, Eigenvektoren, Hauptachsentransformation Positive (negative) Definitheit Spektralzerlegung normaler Endomorphismen Analytische Funktionen normaler Endomorphismen Vertauschbarkeit normaler Endomorphismen Jordannormalform von Endomorphismen Analytische Funktionen beliebiger Endomorphismen Aufgaben 298 309 311 314 320 321 328 331 Singulärwertzerlegung linearer Abbildungen 335 Singulärwertzerlegung Norm einer linearen Abbildung Pseudoinverse einer linearen Abbildung Lineare Quadratmittel-Approximation Aufgaben 336 339 340 344 350 III Analysis 353 Folgen 357 Konvergenz Rechnen mit Zahlenfolgen 358 368 7 Inhaltsverzeichnis 12.3 12.4 12.5 Kapitel 13 13.1 13.2 13.3 13.4 Kapitel 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 Kapitel 15 15.1 15.2 15.3 15.4 Kapitel 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 Kapitel 17 17.1 17.2 17.3 8 Konvergenzkriterien für Zahlenfolgen Reihen Aufgaben 371 375 388 Normierte Vektorräume 393 Norm Prähilberträume Vollständigkeit Aufgaben 394 396 400 405 Stetigkeit 409 Topologische Grundbegriffe Grenzwerte von Funktionen Stetige Funktionen Banachscher Fixpunktsatz Aufgaben 410 414 418 426 435 Funktionenfolgen 439 Gleichmäßige Konvergenz Potenzreihen Elementare Funktionen Aufgaben 440 445 452 467 Differenziation 469 Die Differenzierbarkeit einer Abbildung Partielle Ableitungen Mittelwertsätze Der Taylorsche Satz Die Differenzierbarkeit implizit definierter Funktionen Extrema von Funktionen mehrerer Variabler 470 479 490 503 514 526 16.6.1 Extrema von Funktionen ohne Nebenbedingung 16.6.2 Extrema von Funktionen mit Nebenbedingungen 526 534 Aufgaben 542 Integralrechnung in einer Variablen 545 Das bestimmte Riemannsche Integral Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Integrationsregeln und Integrationstechniken 546 562 567 Inhaltsverzeichnis 17.4 17.5 17.6 17.7 Kapitel 18 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 Kapitel 19 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 Kapitel 20 20.1 20.2 20.3 20.4 Kapitel 21 21.1 21.2 21.3 21.4 Uneigentliche Integrale 574 17.4.1 Unbeschränkter Integrationsbereich 17.4.2 Unbeschränkter Integrand 574 579 Parameterabhängige Integrale Anwendungen der Integralrechnung 581 588 17.6.1 Volumen eines Rotationskörpers 17.6.2 Parametrisierte Kurven, Bogenlänge 17.6.3 Einige Begriffe der Kurvengeometrie 588 590 600 Aufgaben 616 IV Numerische Methoden 619 Direkte Verfahren für lineare Gleichungssysteme 623 LU-Zerlegung und Gauß-Algorithmus Pivotisierung und Pivotstrategien Matrixinversion und Cholesky-Zerlegung Matrixnormen, Konditionszahlen und Fehlerschätzung Aufgaben 624 631 638 644 660 Iterative Verfahren für große lineare Gleichungssysteme 663 Splitting-Verfahren Systeme mit spezieller Struktur und Relaxation Krylov-Unterräume und Arnoldi-Verfahren GMRES-Verfahren und BiCG-Verfahren Aufgaben 664 674 682 687 699 Approximation von Eigenwerten und Eigenvektoren 703 Vektoriteration und inverse Iteration QR-Zerlegung und QR-Verfahren 704 710 20.2.1 QR-Zerlegung 20.2.2 QR-Verfahren 712 716 Krylov-Unterraum-Methoden Aufgaben 724 734 Numerische Methoden für nichtlineare Gleichungssysteme 737 Picard-Verfahren Newton-Verfahren Vereinfachte Newton-Verfahren Anwendungen des Newton-Verfahrens 739 748 763 769 9 Inhaltsverzeichnis 21.5 21.6 21.7 21.8 Kapitel 22 22.1 22.2 22.3 22.4 22.5 22.6 10 Großdimensionale nichtlineare Systeme Parameterabhängige nichtlineare Systeme Numerische Kurvenverfolgung Aufgaben 780 785 791 800 Numerische Interpolation und Integration 803 Polynom-Interpolation von Funktionen Newton- und Hermite-Interpolation Spline-Interpolation Anwendungen von Splines Numerische Integration 804 811 818 824 828 22.5.1 Newton-Cotes- und Gauß-Legendre-Formeln 22.5.2 Zusammengesetzte Integrationsformeln 22.5.3 Romberg-Verfahren und adaptive Integrationsformeln 828 835 837 Aufgaben 844 Literaturverzeichnis 847 Sachregister 853
