Zur Annäherung algebraischer Zahlen durch arithmetisch

V
MATHEMATISCHE
NACHRICHTEN
IM A U F T R A G E
D E U T S C H E N
A K A D E M I E
ZU
DER
D E R
B E R L I N
HERAUSGEGEBEN
E R H A R D
G R E L L ,
VON
SCHMIDT
GEMEINSAM
H E I N R I C H
W I S S E N S C H A F T E N
MIT
G E O R G HAMEL,
H.L.SCHMID
UND
K U R T
H E L M U T
HASSE,
SCHRÖDER
10. B A N D
1953
AK ADE M I E - V E R L A G
MATH. NACHR. • I 0 . B A S D
B E R L I N
• NE. 1 — 6 • U E B L I N • J-ULI/DEZEMKEB,
1953
I n h a l t des 10. Bandes
BANASCHKWSKI, BERNHARD,
Über d e n Satz v o n Z o r n
181 186
B A N A S C H K W S K J , B E R N H A R D , ü b e r d i e K o n s t r u k t i o n wohlgeordneter Mengen
BECHERT, HERBERT,
. . 239 245
E i n e Eigenschaft der klassischen Grcensehen F u n k t i o n e n
erster u n d zweiter A r t
55 61
D Ö R O E. K A R L , u n d S C H Ü F E , H A N S K O N R A D , Über E l i m i n a t i o n i n beliebigen M e n g e n
mit
allgemeinsten Operationen
315 WO
E M E R S L E B E N , O T T O , Das elektrostatische Selbstpotential äquidistanter Ladungen
auf einer K r e i s l i n i e
135-167
J O N A S , H A N S , Zwei Klassen v o n Flächen, deren B e s t i m m u n g v o n einem I n t e g r a l
der T e l e g r a p h e n g l e i c h u r g
abhängt
63 74
J O N A S , H A N S , D i e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g der Affinsphären i n einer neuen Gestalt
K A N O L D , H A N S - J O A C H I M , Über befreundete
Zahlen. I I
331 352
99 I I I
K \s( n , F R I E D R I C H , Z u r Annäherung algebraischer Zahlen d u r c h a r i t h m e t i s c h
charakterisierte r a t i o n a l e Zahlen
KOCHKNDÖRFFER,
85 98
R U D O L F , Z w e i Reduktionssätze z u m E i n b e t t u n g s p r o b l e m für
abelsche Algebren
75 8-1
K R U K E B I R C , K l AUS. Über den Gaußschen u n d den Stokesschen Integralsatz. I . 261 314
LAMPKKÜLT,
E R I C H , Über
moduln. 1
/-reguläre R i n g e ,
'
reguläre
Ideale
u n d Eiklärungs• 353 382
L A U F F E K , R U D O L F , Z u r Topologie der K o n f i g u r a t i o n v o n Desargues. 11 . - • 179 1.80
M O H R . E R N S T . I n t e g r a t i o n v o n gewöhnlichen D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n m i t k o n stanten K o e f f i z i e n t e n m i t t e l s Operatorenrechnunu
MOHR,
ERNST.
Mittels
1 49
Über die F u n k t i o n a l g l e i c h u r g des arithmetisch-geometrischen
' . . .
129 133
M O H R , E R N S T , E i n f a c h e r Beweis des verallgemeinerten Determinantensatzes v o n
Sylvester nebst einer Verschärfung
257 -260
P R A C H A R , K A R L . Über Z a h l e n d e r F o r m «
2
-f&
2i
n
einer a r i t h m e t i s c h e n P r o -
gression
5 1 - 5 4
SCHMEIDLER, WERNER,
SCHMIDT,
JÜRGEN,
Algebraische Integralgleichungen. I I
247-255
Beiträge z u r F i l t e r t h e o r i e . I I
SCHRÖDER, JOHANN,
.197-
232
Fehlerabschätzungen z u r Störungsrechnung bei l i n e a r e n
Eigenwertproblemen
m i t Operatoren eines H i l b e r t s c h e n R a u m e s .
S C H Ü F E , H A N S K O N R A D , siehe D Ö R G E ,
. . . 113- 128
KARL
W O L F , P A U L , Galoissche A l g e b r e n m i t vorgegebener Galoisgruppe über e i n e m T e i l körper des Grundkörpers. I I
233
Z A C H A R I A S , M A X , Über eine m i t der B y d z o v s k y s c h e n K o n f i g u r a t i o n ( 1 2 , 1 6 ) v e r bundene Hessesche K o n f i g u r a t i o n
4
238
3
187—196
Z E L L E R , K A R L , T r a n s f o r m a t i o n e n des D u r c h s c h n i t t s u n d der V e r e i n i g u n g v o n
Folgenräumen
175—177
Z L A M A L , M I L O S , A s y m p t o t i s c h e Eigenschaften der Lösungen l i n e a r e r D i f f e r e n t i a l gleichungen
B e r i c h t i g u n g e n .
169—174
. .
383
Zur Annäherung algebraischer Z a h l e n
durch arithmetisch charakterisierte rationale Z a h l e n
Von
FRIEDRICH KASCH
in
Göttingen
(Eingegangen am 5 . 1 . 1 9 5 3 )
Ergebnisse
V o n C . L . S I E G E L s t a m m t die Idee, bei der Annäherung algebraischer Z a h l e n
d u r c h r a t i o n a l e die a r i t h m e t i s c h e n Eigenschaften der Näherungszahlen z u berücksichtigen ( [ 1 ] , S. 7 3 6 , Fußn.). I n anderer Weise w u r d e diese Idee v o n
T H . S C H N E I D E R herangezogen ( [ 3 ] ) u n d v o n K . M A H L E R w e i t e r ausgebaut ([1], [2]).
Schließlich bewies T h . Schneider kürzlich einen Satz, der seine u n d die Mahlerschen Ergebnisse zusammenfaßt u n d verallgemeinert ([4]). Dieser Satz k a n n f o l gendermaßen f o r m u l i e r t w e r d e n :
Es
den
sei
,
, ~-,
. . . eine Folge verschiedener
rationaler Zahlen mit
folgen-
Eigenschaften:
q%£
> (Pi> ft) =
2. Die Zahlen
p und q
L
(* =
1
>
i
i
!> 2 , 3 , . . . ) ;
(i = 1, 2 , 3 , . . . ) besitzen Faktor Zerlegungen
in
ganze
Zahlen:
wobei die
Primzahlen
3. Die Zahlen
und q [ Potenzprodukte von nur endlich
sind. Es werden bezeichnet'.
f
(i = 1, 2 , 3 , . . . ) sind
I
9t
Lösungen
vielen, von i
der
unabhängigen
Ungleichung
< li
(
wobei <x eine reelle, irrationale
algebraische
Dann gilt
] — logg* i
+
=
Zahl
O
Q
und JLI > OJ + a ist.
,
Dieser Satz, der ohne die a r i t h m e t i s c h e n Voraussetzungen für \i = 2 bereits
falsch i s t ([5]), e r l a u b t i m Spezialfall E x p o n e n t e n w e r t e u > 0 . Diese Tatsache
ist insbesondere für die A n w e n d u n g z u r K o n s t r u k t i o n transzendenter Z a h l e n
v o n Interesse. T h . Schneider stellte i n diesem Z u s a m m e n h a n g die Frage, ob
es gelingt, eine ähnliche Aussage z u beweisen, w e n n e t w a die Näherungsnenner
t
K a s c h , Annäherung algebraischer Z a h l e n
Sß
„ i m wesentlichen' aus Fakultäten bestehen. D a ß dies möglich i s t , soll hier gezeigt werden.
D a b e i w i r d zugleich eine Verschärfung der B e h a u p t u n g
1
] —
iQggi+i
=
0
O
hergeleitet, die eine gewisse Aussage darüber m a c h t , daß ,,große'
^ogg-
1
*
n
^
-^°^
e r
e
a
^
1
Quotienten
dieser Q u o t i e n t e n n i c h t „ w e i t " auseinanderliegen.
e r
Diese Verschärfung e r g i b t sich bereits aus der Bewelsmethode des vorstehenden
Satzes u n d h a t auch für diesen
Gültigkeit.
W i r zeigen:
Satz 1 , Es sei
naler Zahlen
9i
= £j,
9.2
mit folgenden
= f ,
2
= £ , . . . eine Folge verschiedener
3
9z
ratio-
Eigenschaften:
!• Vi ^
(Pi> Qi) =
(i =
2, 3, . . . ) ;
2. Die q besitzen eine Faktorzerlegung in ganze Zahlen
1
q =q'q ,
{
(1)
] ^ Ä
3. Es gibt ganze rationale
Zahlen
=
Ö
)
mit q (f
f
i
ff
i
{
und es sei
;
I
= 1^1, und es sei
F ~ log/«
hm .
— a><>;
& ;
i->oo loggr,
4. Die Zahlen
—
9f
genügen
der
Ungleichung
a ——
wobei a eine reelle algebraische
Ii >
1 +
co
r
Zahl
und
co ( ( 1 — coj) ( 2 +
+
2
co )
+
2
(o\)
ist.
Dann ist
l i m " logft+i
(2)
f-oo
Darüber
hinaus
(3)
Cö , ()J
x
, l > ' • • 5 Cff, . 6, J
(6)
Q 0 >
der gegebenen Folge mit der
,05 • ' «5 4>tf , ft 5 C ( / , IM ' • •
?
lim
^
i ^ i ! l i . =
g^>«
*
= o o , falls
2
^,
l o
gilt:
Jim ,
(5)
=
S ^
0
gilt: Für jede Teilfolge
(4)
für die
l
&
l i m 6^ = c o ,
falls
ri — 1 .
r\ >
T i ^ ^ i ^ i = ~ .
i^oo
0&n<b
t
log?.,,»
1.
3
Bezeichnung
K a s c h , Annäherung algebraischer Z a h l e n
87
Daß ( 2 ) aus der l e t z t e n B e h a u p t u n g f o l g t , i s t sofort einzusehen. D a z u h a t
man nur die ursprüngliche Folge so z u u n t e r t e i l e n , daß l i m
= oo gilt,
Mas offenbar möglich i s t .
~*°°
^' °
x4us d e m Beweis e r g i b t sich, daß m a n diesen Satz a u c h m i t d e m z u v o r
angegebenen Satz k o m b i n i e r e n u n d e t w a über die f u n d q[ noch die d o r t für
die y u n d q angegebenen Voraussetzungen machen könnte, u m d a m i t [x w e i t e r
zu v e r k l e i n e r n . D a r a u f soll jedoch hier n i c h t eingegangen w e r d e n , ebensowenig
auf eine mögliche Verallgemeinerung beider Sätze auf die Annäherung algebraischer Z a h l e n d u r c h algebraische Z a h l e n , die für den F a l l , daß über die Näherungswerte keine a r i t h m e t i s c h e n Voraussetzungen gemacht w e r d e n , bereits bek a n n t ist ( [ 3 ] ) .
%
o g
,
i
i
i
Satz 1 k a n n z u r K o n s t r u k t i o n transzendenter Zahlen b e n u t z t werden. W i r
beweisen dazu den folgenden Satz.
Satz 2 . Die
ist transzendent,
1. Die u
sind
v
Reihe
OO
wenn folgende
natürliche
Zahlen
OO
Voraussetzungen
mit l i m
v-*co
2. r
v
V v + 1
U
und \s \ t ^ B
r
y
v
d
v
1:
sind,
Teilfolge der Folge aller Reihenglieder,
und für die mit der
Bezeichnung
o» @«,,i> • • • '
0 <
die den Bedingungen
genügen, wobei B > 0 eine beliebige Konstante
3. Es gibt eine unendliche
von 0 verschieden sind
0)
= c>
sind:
v
= t ^ - > wobei s , t ganze rationale Zahlen
v
erfüllt
o> • . • > Qa J) >
t
s
t
v
und d < c ist;
deren
Elemente
£tf ,o> • • •
3
gilt:
a) l i m 6 • == o o ,
?—>-oo
b) l i m - r
<
oo.
I n diesem Satz ist z u m Beispiel die Aussage e n t h a l t e n , daß bei sonst gleichen
Voraussetzungen die Potenzreihe
OO
für rationale A r g u m e n t e + 0 transzendente F u n k t i o n s w e r t e besitzt.
Die Voraussetzungen 1. u n d 3. des Satzes sind e t w a erfüllt, w enn u ~ [c ]
m i t beliebigem c > 1 u n d r =|= 0 gesetzt w i r d .
Z u m Beweis v o n Satz 2 w i r d v o n Satz 1 sowohl die anfangs erwähnte V e r schärfung v o n (2) als auch die V e r k l e i n e r u n g des E x p o n e n t e n
bis auf / t > 1
für CD = co — 0 tatsächlich gebraucht, so daß Satz 2 n i c h t aus den bisher
b e k a n n t e n Approximationssätzen folgen dürfte.
B e i m Beweis beider Sätze w i r d v o n gewissen a r i t h m e t i s c h e n Eigenschaften
der Fakultäten Gebrauch gemacht, die i n den Hilfssätzen 4 u n d 5 hergeleitet
werden.
r
v
1
2
v
v
K a s e h , Annäherung algebraischer Z a h l e n
88
Beweis von Satz 1
1 . D e r Beweis schließt sich a n den des anfangs erwähnten Satzes an und
b e n u t z t die d o r t angegebenen Hilfssätze, die ohne Beweis übernommen werden ).
1
H i l f s s a t z 1. r
l 5
r , . . . , r seien natürliche Zahlen.
Man
k
2
r
2 =
=
K
schneide
den Quader
2
k
mit der (k — lydimensionalen
Ebene
—
der
kleineren
Quaderabschnitt
Gitterpunkte,
Oberfläche)
t — ek
die
liegen,
in
dem
und der Anzahl
(e > 0 , unabhängig
Zusatz.
Gitterpunkte
Daraus
des
folgt
= - D
t
er
der Gitterpunkte
von k) und hinreichend
sofort,
daß
auch
Quotient
Q aus der
(mit
Einschluß
des ganzen
großes
der Quotient
Quaders
k beliebig
Q
Anzahl
seiner
ist
aus der Anzahl
f
für
klein.
der
Quaderabschnitts
2 =
und der Anzahl
= 2
r
K
der Gitterpunkte
des
Quaderabschnitts
k
<t
für
t = ek und hinreichend
Hilfssatz
l 5
. . . , r ).
verschwindendes
x
algebraische
man
t — ek
R(z ,
l
x
vom Grade
n^2.
(e > 0 , unabhängig
Zahl
von, k)
erfüllt ist, so gilt: Es gibt ein
f
in z
ist.
. . . , z ) mit ganzrationalen
k
(x = 1, . . . , k) so,
nicht
Koeffizienten
daß
Werte
. . . , z*)
d*i+"-+**R(zn
dzl
1
sind,
r
klein
1 mit Q < ^
Polynom
und höchstens vom Grade
1. die
Setzt
k
und wählt k derart, daß Hilfssatz
identisch
k beliebig
2. Es sei <x=j=0 eine reelle
sei r = m a x ( r
Ferner
großes
• • • dz\
k
d*i+-+*kB( ,
...,z )
Zl
dzl
1
k
=
• • • dzl
0
k
falls
ist und r
2. die
l y
. . . ,r
k
nichtnegative
ganzrationale
Zahlen
bedeuten;
Ungleichung
< y ; / 7 U +
y. = l
W) "
f
) D e r Beweis könnte a u c h n a c h d e m Mahlerschen V o r b i l d [ 1 ] geführt werden, wobei
m a n insbesondere ohne d e n Schubfachschluß a u s k o m m t . W i r b e n u t z e n die Schneidersche
Methode, d a w i r d a n n aus [ 4 ] außer d e n Hilfssätzen weitere Ergebnisse u n m i t t e l b a r übern e h m e n können.
1
K a s c h , Annäherung
(n = 1 , . • . , k) ganzrationale
erfüllt ist, wobei die Q ^zO
x
liche Zahl
y
nur von k, e, a
x
Hilfssatz
3.
q > 0 und (p ,
x
x
satz 2 bestimmte
Es
algebraischer Z a h l e n
y
2
seien
Polynom.
Zahlen sind und die natür-
abhängt ).
p, . . . , p,
x
q, . . . , q
k
x
Dann
gilt:
ganzrationale
k
= 1 (x = 1, . . . , k). Ferner
q)
89
sei R(z ,
1
Zahlen
mit
. . . , z ) das in
Hilfs-
k
Ist
k
(8)
logg* > y r
I J (n + l )
;.=x+I
2
(* = 1, . . . , *)
2
k
+ l)
(jür x = k bedeute JJ
l ) , so existieren
die Zahl
2
k — 1
Zahlen
k
(9)
x
50, daß
( » = 1,
T I (rx + l)
;.=>H-i
Q<
d*i + - + * * - i 2 ? ( s i , . . . ,z*)
Selbstverständlich
folgt dann
4=0
q ^r .
x
x
2. W i r stellen zunächst fest, daß m a n ohne Einschränkung
(1')
— 1)
]
i m
l2SfL =
voraussetzen k a n n . Wegen Z^! <^ q\
a
,
s t a t t (1) a u c h
1
für fast alle i u n d auf G r u n d der S t i r -
+0}i
lingschen F o r m e l g i l t l <^ l o g ^ für fast alle i. D e m n a c h k a n n m a n v o n der a n t
gegebenen Zerlegung q = q[ q'l z u einer Zerlegung q = q[ q" m i t l i m
i
u n d 41U
U übergehen, w o b e i
=
= co
i
G i l t der Satz für oy u n d ö) >
l
2
s
f u n d 7 <^ ^ g i l t . D a n n i s t l i m
i
i
t
—
cö ^co •
2
2
auch für co u n d co .
o
1
Ferner b e m e r k e n w i r , daß q < < ^
i
+ 1
2
für fast alle i g i l t , so daß für jede w a c h -
sende Folge v o n I n d i z e s die Folge der zugehörigen q gegen o o strebt.
t
3. D e r Beweis w i r d i n d i r e k t geführt. W ir nehmen a n , daß es eine Folge (3)
7
g i b t , für die
log<7 .,„ i
a
+
~ ^ ~
,!™
z
=
(
'
7
° °
<
ist. A u s dieser A n n a h m e k a n n zunächst gefolgert werden, daß es d a n n z u z w e i
beliebigen festen Z a h l e n B, G m i t 0 <
B <
eine unendliche Folge
C
von
natürlichen Z a h l e n u , u , . . . g i b t u n d z u j e d e m u eine Z a h l a-j, bezeichnet m i t
x
i
a
— d)>
a
(10)
s
o
daß
m
^
%
i
=
gilt:
^
<
W
i
^
<
^
.
U m dies einzusehen, ordne m a n jeder Z a h l a - die ganze Z a h l u z u , die der U n i
?
gleichung
logg«j,o
<
ß
^ogg^.o
<
Wf —
=
1
) Ebenso sollen alle noch a u f t r e t e n d e n Z a h l e n y , y , y , . . . n u r v o n
noch einzuführenden Z a h l d, n i c h t aber v o n r . .. ,r
abhängen.
2
2
19
3
k
4
e, a u n d einer
90
K a s c h , Annäherung algebraischer Z a h l e n
genügt. D a n n i s t
log fr,, o
^
— F ~
, 1
,
W /
= IT
<
Ist
l
9
-^-log^.o <
( )
n
^
2 ,
^ V <
o
1
-s-log^.o.
^ogq
aftbj
erfüllt, so g i l t (10). I s t r\ = 1, so f o l g t aus ^ < q
u n d (5)
i + l
m i t beliebig vorgegebenem N für h i n r e i c h e n d großes
F o l g l i c h g i l t (11) m i t
N >
0
. I s t *j > 1, so f o l g t aus (4) m i t rj — 1 > d >
q
</a.,6 ^
o
a
Wegen l i m b — o o u n d rj — <5 > 1 i s t d a n n für h i n r e i c h e n d großes j
{
-^-logfy.o ^
logq
c
ap0;
also g i l t auch j e t z t (11). D a m i t j - > o o auch die zugeordneten
gegen c o
wachsen, g i b t es d a r u n t e r eine unendliche Folge u < u < • • • der behaupteten
Art.
Es seien i m folgenden k r . . . , r
die i n den Hilfssätzen a u f t r e t e n d e n
natürlichen Z a h l e n , über die noch genauer verfügt w i r d . W i r setzen
t
)
l
i
k
B=r^~\
und
(10)
der
für
(
1 2
2
C
+l)r =or
k
b
verstehen u n t e r u u . . . u n d
a ) , . . • die zugehörigen Folgen, die
genügen. D a n n w i r d b e h a u p t e t : Z u fast allen u dieser Folge u n d jeder
Z a h l e n d = k — x m i t x — 1, . . . , Je g i b t es ein
m i t 0 ^ w- <
b,
das
19
29
( 2
{
x
{i)
n
)
^ r p * " < logg
fl(0
,
TO
<
r^*
erfüllt ist. A u f G r u n d v o n (10) g i l t zunächst
J
og qa , o < «*i
~\
V)
(7 %
< log g
fl(o
,
x
(% — 1, . . . , k) denke
6 ( o
.
Ferner ist
Aus
beiden Beziehungen zusammen f o l g t aber (12).
Z u j e d e m n v o n einem festen I n d e x an u n d j e d e m d
i
m a n sich n u n ein q
a
neten q
a
n
., welches (12) genügt, ausgezeichnet. Für diese ausgezeich-
n
k a n n m a n die Schreibweise q ,
= ( i>
d)
a u
a{i) n
x
einführen. D a n n folgt
aus (12)
(13)
v
'
Aus
±
r
a
f
^
der Folge der u
t
-•>*" <
i
o
g
g
(
; ^ / ;
}
logq(u, dy/)
<
^ f - ^ " k
w i r d n u n eine solche unendliche Teilfolge ausgewählt,
daß die k Grenzwerte
(14)
lim
l o g g («!,<**)•]
,
,
7
,
Kcisc-h, Annäherung algebraischer Zahlen
91
für die u. aus dieser Teilfolge existieren. Das ist möglich, denn bei festem r
t
k
u n d veränderlichem u liegen die Ausdrücke r
{
7 j
| ^ ^ | ^ ' w e g e n (13) i n einem
endlichen I n t e r v a l l .
Bei den weiteren Überlegungen w i r d die so gewonnene Teilfolge z u g r u n d e
gelegt, die w i r der einfachen Schreibweise wegen wieder u ,u ,...
l
nennen.
2
Das z u j e d e m u. vermöge (12) gehörende &-tupel v o n Näherungsnennern
t
werde m i t
q(u
d ) = & , . . . , q(u
i9
x
d) =
i9
k
q
k
bezeichnet. D a n n erfüllen dieses &-tupel für fast alle u
{
die Voraussetzung (8)
v o n H i l f s s a t z 3.
A u f der rechten Seite der U n g l e i c h u n g (8) steht nämlich ein v o n u unabhäni
giger A u s d r u c k , während die q m i t u wachsen. Z u j e d e m &-tupel v o n zugehörigen
x
Näherungswerten ^
—£
x
{
(x — 1, . . . , k)
Zahlen
gibt
es d a n n
nichtnegative
ganze
k
so daß
ft)
p !• • • o
( « = i , . . . , f c - i ) ,
I J (n + i)
Q«<
! dz i
+ 0
• • • dzj;*-i
e
ist. Für diesen A u s d r u c k führen w i r die abkürzende Schreibweise i ? ( ( f ) ) e i n .
(e)
4. E s soll n u n e i n möglichst kleiner ganz rationaler F a k t o r Q > 0 so bes t i m m t w e r d e n , daß QR ((C))
{e)
g a n z r a t i o n a l , also
ie*(.>ttf))|£i
ist.
Um
dabei die a r i t h m e t i s c h e n Voraussetzungen über die Näherungsnenner
heranziehen z u können, zeigen w i r zunächst:
H i l f s s a t z 4. Sei mit natürlichen Zahlen ra, s, t
(s!) rg /!;
m
dann gibt es einen ganzrationalen
Faktor
g — g (s, m, t) mit
(s\) \t\g,
m
der bei festem m und gleichmäßig
in t
0
156*
Hm
genügt.
B e w e i s . Offenbar g i l t
(s\)
| {ms)\.
m
I s t ms ^ t, so g i l t die B e h a u p t u n g m i t g = 1. I s t t < ms, so i s t m i t g =
(ra $)!
^ •'
die erste B e d i n g u n g erfüllt. A u f G r u n d der Voraussetzung ist
(ra s)!
(ra s)!
ti
—
(s\)
m
u n d d u r c h A n w e n d u n g der S t i r l i n g s c h e n F o r m e l folgt hieraus m i t einer geeigneten K o n s t a n t e n v — v (m)
,
x
.
K a s c h , Annäherung algebraischer Zahlen
92
D a andrerseits s! ^ s
m i t 1 > <5 > 0 für fast alle s i s t , g i l t wie b e h a u p t e t
bei festem m u n d gleichmäßig i n t
s{1
s
Auf
6 )
lim
_^oo
1
i 5 f ^ ^ l i m
^ — = 0.
g( )
-*co (! - <5)slogs
7
l o
s !
r
S
G r u n d dieses Hilfssatzes können w i r z u r B e s t i m m u n g v o n Q die a r i t h -
metischen Voraussetzungen
heranziehen.
D a für cüi — 1 die B e h a u p t u n g des Satzes bereits i n der des anfangs
er-
wähnten Satzes e n t h a l t e n i s t , können w i r der einfachen Abschätzung halber
i m folgenden
co <
x
1 , also 1 — coj > 0
voraussetzen.
Zunächst f o l g t aus (14) z u vorgegebenem <5 m i t 1 — coj >
d > 0 u n d für
h i n r e i c h e n d großes u
x
also auf G r u n d v o n (1)
ferner ist
und folglich
mit
(15)
1 =
( 1 + ( 0 ^ + 3) ( 1 - 0 , + 3 ) ) .
t l ^ - a
Also g i l t
(* = 1,
u n d auf G r u n d v o n H i l f s s a t z 4 f o l g t daraus
ff*/* 9 h
mit
lim
Dann
3 o g
fr
=0.
gilt
#
| («*/*^)
%
mit
+
1
<
+ r - rß 1
r, - r ß
\
x
t
k
für x — 1 , . . . , k — 1 u n d ß j . = T i . . F o l g l i c h g i l t d a n n auch
x=l
x=l
^
k -
1)
K a s c h , Annäherung algebraischer
Zahlen
93
mit
(16)
rjcß
Um
diesen
Ausdruck
weiter
r
k
abzuschätzen,
zeigen
wir,
(x — 1, . . . , k — 1) i s t , also für die N e n n e r i n der S u m m e v o n
(17)
r
für h i n r e i c h e n d großes r
k
ß > ( l
]/r >
r
x
k
(16)
-d)r
x
g i l t . A u s (13) u n d (14) f o l g t
k
D a außerdem offenbar
- r
x
daß
die U n g l e i c h u n g
Sei, _ d
3
k
i > 3(3^
+
3<h
+ 1
+
X )
besteht, e r g i b t sich
CT
Für h i n r e i c h e n d großes r
k
(7
/
folgt dann
(18)
r > { r
x
also w i e b e h a u p t e t ]/r >
\
x
+
i
+ l ) \
für « = ! , . . . , & — 1. D a m i t w i r d aus (16)
x
w o b e i die letzte U n g l ieichung
e i c h u n g g i l t , w e i l auf G r u n d v o n H i l f s s a t z 1 für alle i n
*(«,....,*)
, . . . , z ) u n d d a m i t erst recht für alle i n
t
a
t
s
ä
c
h
.
k
l i e h a u f t r e t e n d e n P o t e n z p r o d u k t e z\i . . . z£*
ist. D a wegen (18) offenbar
ß
(x = 1, . . . , k) i s t , g i l t ferner
<^ r
x
x
D a m i t haben w i r i n
Q = nq'* *ng:*täf*)
r
l d
u
n
x - i
x=i
den gesuchten F a k t o r , für
-
1
den
\Q (M))\
d9)
ist.
R
^
1
5. E s soll n u n | Q i ? ( ( f ) ) | nach oben abgeschätzt werden, u n d zwar zunächst Q.
Für hinreichend großes q = q (u , d ) g i l t auf G r u n d v o n (1) u n d (14)
(e)
x
x
i
x
94
K a s c h , Annäherung algebraischer Z a h l e n
Auf Grund v o n Hilfssatz 4 ist
n
Schließlich g i l t wegen der 2. u n d 3. Voraussetzung des Satzes 1 für —- <<5
(«i'/J**"*" ^ ^ ' ^ £ ^ - > «
1
+
1
<8
+w
+,a)i,
*(i=i(T ') ).
+
+a
D a n n i s t insgesamt
mit
= co, + 20 + (1
+ o> + 2(3)
2
D i e Abschätzung v o n R( \((0)
n
e
a
c
n
( 4 (1 +
T
T
) + <5).
e
oben, die auf G r u n d v o n Hilfssatz 2,
der Voraussetz4iiig, daß die — Lösungen v o n a — — < gr** sind, u n d (18) erf o l g t , übernehmen w i r aus Bern Beweis des anfangs erwähnten Satzes ([4], F o r mel (18)). Sie l a u t e t
m i t r = m a x (r , . . . , r ) u n d einer geeigneten K o n s t a n t e y . D a m i t ist
x
k
3
(20)
\QE (&)\^yl lV
M
q
mit
* ~^ (T ~ ) ~
=
£
(1
6)2
+ ^ + 2(5 +
(1 -
W
+ co + 2(5)
l
f | + )+ (5),
2
fi
wobei ß d u r c h (15) gegeben i s t .
6. E s k a n n n u n gezeigt w e r d e n , daß für
jLl = 1 + (0 + C0 ((1 — COj) (2 + o> ) + o>j) + v
1
2
2
m i t i> > 0 u n d hinreichend kleine <5, e > 0 der E x p o n e n t ^ negativ w i r d .
D a zwischen e u n d 6 bisher keine Beziehung hergestellt w u r d e , k a n n e = <5
gesetzt werden. D a n n gelten für hinreichend kleines <5 folgende U n g l e i c h u n g e n
(J--«)(i-*)«>i-*,
T^T(T
+
£
HT
+
2
^
A u s co ^ 1 f o l g t
> 2 ; w e i l dafür die B e h a u p t u n g des Satzes b e k a n n t i s t ,
können w i r , u m die folgende Abschätzung z u vereinfachen, co < 1, ^ 2 u n d
d a m i t auch 1 —
+ a> < 2 u n d 1 + co (l — co,) < 2 voraussetzen. Sei ferner
2
2
2
2
d =
1
~^
a>1
; wegen 1 — o)i > 0 i s t d a n n d =|= 0 , u n d es g i l t
£ r g ( l + A ) (1+CÜ (1 2
ah) + 3 6 ) ,
also für hinreichend kleines d
( 1 +
+ 2 ^ ( ^ ( 1 + ) + <5)
£
<J (1 - o>, + eo + 2 5 ) ( ( l +
2
1) (1
+ «> (1 - «>,) + 3 5 )
2
^ 4 - U ~ «>i + «>») (1 + « > « ( l - « » i ) ) + - T - . +
1 6 < 5
-
(1 +
2<5) + <3)
K a s c h , Annäherung algebraischer Z a h l e n
Damit
95
wird
Es i s t also v < 0 für d >
oder <5 <
^
™^
.
%
100
v
A
E s sei n u n <5 i n dieser Weise gewählt, k u n d r sind d u r c h die Hilfssätze
u n d i m Beweis n u r u n t e r e Schranken auferlegt w o r d e n , die d u r c h geeignete
W a h l erfüllt werden können. D a n n w i r d wegen % < 0 die rechte Seite v o n (20)
für h i n r e i c h e n d großes q = q {u , d ) kleiner als 1 , i m W i d e r s p r u c h z u (19).
D a m i t i s t a u c h die A n n a h m e , der Satz sei falsch, z u m W i d e r s p r u c h geführt.
k
k
k
{
k
Beweis von Satz 2
Den
Beweis v o n Satz 2 beginnen w i r m i t d e m folgenden
H i l f s s a t z 5. Für
die natürlichen
der größte
Exponent,
Exponent,
mit dem p in ——
Zahlen
mit dem die Primzahl
aufgeht,
u_,
v
v
U v
aufgeht,
;> d>
und e
f
v
1.
der
Iste
P
größte
so ist
also für e > 0
f
v
4
~
sei
v
p in u !
e ^ ^ - l e j
v
u
x
+ l),
^
1
d -
B e w e i s . A u s der b e k a n n t e n Beziehung
=
f o l g t einerseits
+
" =
e
A n d r e r s e i t s g i l t wegen
ULI
.p !
+
2
p - 1 '
^ d > 1
Uv
V —1
U
,
J t ( l -i-V
[«»]_[
e
1.
Beide Beziehungen liefern z u s a m m e n
• ' » • • t ( ' - 7 ) i
i
1
* T (
1
- T ) - ' -
also die B e h a u p t u n g .
Der Beweis v o n Satz 2 w i r d wieder i n d i r e k t geführt. U n t e r der A n n a h m e ,
daß f algebraisch sei, können w i r die Voraussetzungen v o n Satz 1 als erfüllt
nachweisen, j e d o c h zeigen, daß dessen B e h a u p t u n g n i c h t g i l t .
Zunächst f o l g t u n m i t t e l b a r aus den Voraussetzungen v o n Satz 2, daß d i e
angegebene Reihe k o n v e r g i e r t . Ferner k a n n i n der 2. Voraussetzung w e g e n
c > 1 u n d c > d a u c h d > 1 vorausgesetzt werden. D a n n g i l t für fast alle v(21)
^l±L^d>l,
so daß dies ohne Einschränkung der A l l g e m e i n h e i t sogleich für alle derartigenQ u o t i e n t e n der gegebenen Reihe vorausgesetzt w e r d e n k a n n .
96
K a s c h , Annäherung algebraischer Z a h l e n
D i e Folge der i n Satz 1 v o r k o m m e n d e n Näherungswerte — == Ci setzen w i r
j e t z t gleich m i t der Folge der P a r t i a l s u m m e n 2JQV> die z u Q =t= 0 gehören.
X
Wir
bezeichnen:
(Ii
^
Zl
l
u\ •
v
v=0
u n d es sei
nt>,
Es soll zunächst gezeigt werden, daß
4(1%
u
nehmen zunächst an, es sei q _
i
ffT ~
also u _ = —
K
Qi-i
v
tul
Xi
x
qi_
x
D a n n ist m i t der Bezeichnung
1
"
Xi
u.
'
x
Zunächst
mit
i
— JJ t u ,_ \.
1
j - ist.
x
^.-i*«.) =
(u' ,
2
abzuschätzen s i n d . I m allgemeinen g i l t
~ r-i'
wobei
= 0 i s t , w o z u die F a k t o r e n f
w
denken
wir
diesen
Bruch
durch
gekürzt u n d kennzeichnen die gekürzten Größen d u r c h einen
Querstrich:
(22)
T ,u
ff'
K
x
D a n n k a n n ein P r i m f a k t o r des Nenners, der i n u
Xm
e n t h a l t e n i s t , n i c h t i m Zähler
aufgehen. A l s gemeinsame F a k t o r e n v o n Zähler u n d N e n n e r k o m m e n also n u r
die höchsten P r i m z a h l p o t e n z e n des Nenners i n Frage v o n P r i m z a h l e n , die
u
Xi
n i c h t t e i l e n . Diese sollen j e t z t b e s t i m m t werden, u n d z w a r die höchsten dera r t i g e n P r i m z a h l p o t e n z e n v o n u ._
x
p ^ *.-i>
u
u
n
!. Offenbar g i l t für diese P r i m z a h l e n zunächst
x
d i h r e A n z a h l cr£._i k a n n m i t H i l f e des Primzahlsatzes abgeschätzt
werden :
Uy..~\
< ( 1 +
o_
f
y
x
u.
u.
x
<5)-=—
< -j
x
-— <
N i m m t m a n zunächst an, daß u
f
von
H
T = °V
= u'
Xi
für 1 + ä <
d ).
z
i s t , so g i l t für die P r i m f a k t o r e n
!, die i n u , n i c h t aufgehen, m i t der Bezeichnung v o n H i l f s s a t z 5 e! . = 0 ,
f
x
x
2d
also e
Xi
^ d — 1>
u n c
* ^ g
einer Potenz <^ J Z T J
faktoren von u _ \
x
x
a u
u
c
g
n
^- ^
u
r
e n t
°^
e
as
m
solche P r i m z a h l p i n u _ \
e
g
Xi
r ö
ß
t e
t
auch nur m i t
P o t e n z p r o d u k t /£. aller dieser P r i m -
besteht daher die Abschätzung
2d
) Diese u n d alle folgenden Abschätzungen g e l t e n stets n u r für h i n r e i c h e n d großes %
b z w . xi bzw. v, ohne daß dies jeweils erwähnt w i r d .
3
K a s c h , Annäherung algebraischer Zahlen
D a m i t h a b e n w i r bisher gezeigt: I s t u
= u ,, so k a n n i n (22) der Zähler u n d i m
Xm
y
Xonner der A u s d r u c k %i \ n u r d u r c h den F a k t o r
gekürzt werden.
y
N u n i s t u . =u' v ,
r
y
x
und u.
Xi
97
k a n n weniger P r i m t e i l e r e n t h a l t e n als
x
falls v _ größte P r i m z a h l p o t e n z p r o d u k t e v o n u
x
Xi
u ,
Xw
enthält. D a n n k a n n der Zähler
d u r c h weitere P r i m z a h l p o t e n z p r o d u k t e v o n u \ t e i l b a r werden. Das P r o d u k t e / "
y
aller dieser P r i m z a h l p o t e n z p r o d u k t e k a n n j e d o c h auf G r u n d v o n H i l f s s a t z 5
abgeschätzt w e r d e n :
\d
/^<
.
_ 1
Insgesamt haben w i r d a m i t
2d
(•23)
L=fi/: £%
t
x
t
,
d
id
- <;
1
•
1
y. -l
{
D a b e i h a t t e n w i r die Voraussetzung q _
(
= / 7 ^ ^ . . - i - gemacht. I m F a l l e , daß
t
»'=0
1
n u r e i n T e i l e r dieses P r o d u k t s i s t , ist diese Abschätzung offenbar
qi-i
ebenfalls
gültig, so daß (23) i n j e d e m F a l l e g i l t .
E s i s t n u n die rechte Seite v o n (23) w e i t e r z u majorisieren. D a v . T e i l e r v o n
x
y. -l
;
ntv\ y..\
s
u
n
d
wegen \s \,t <B
(24)
a
l
S
»
| g
^/7M«
V°
2d
0
/• < e ~
d
gilt
dV
v
v
g
f
JB-o
S
.
(r-i-Woid
l
=B
"~
l
,
d ^ - l ^
d-1
F o l g l i c h ist
^
=
i
i
m
J ^ L <,
l
i
logA
m
Aus (24) f o l g t ebenso, daß co = 0, u n d wegen
l i c h für 6 <
—
I
d
+
1
o.
^ d > 1 erhält m a n schließ-
x
c7
=
'
^
«„
,(l+<5)
^
w (t-<5)
y
,
U m u n t e r der A n n a h m e , daß f algebraisch i s t , auch die 4.
des Satzes als erfüllt nachzuweisen,
Math. Xachr. 1953, B d . 10, H . 1/2
schätzen w i r
Voraussetzung
ab. E s ist wegen
7
98
K a s c h , Annäherung algebraischer Z a h l e n
w o b e i die letzte U n g l e i c h u n g g i l t , w e i l der K l a m m e r a u s d r u c k i m E x p o n e n t e n
nur für e n d l i c h viele v, unabhängig v o n j ^ , p o s i t i v ist. y ist dabei eine geeignete
K o n s t a n t e , die n i c h t v o n x abhängt. Dieser A u s d r u c k k a n n w e i t e r abgeschätzt
w e r d e n ; er ist für h i n r e i c h e n d großes % kleiner oder gleich
t
i
1
v * * ^
1
*H-i
also insgesamt
U
Wählt m a n n u n 1 <
«
d(l-<5>
v
2
.
1
*l
LI < d u n d 0 < <5 ^ 2 ( d + ^ )
?
s o
i s t
d
(
l
~~ ^
ö
2
>
^
also
1
U d{l-ö)*
U
<
+
Ii
1
-
1
=
^
1
1
(Uy.\)t*
\ i !
x
H
i
u n d d a m i t die 4. Voraussetzung v o n Satz 1 erfüllt.
Es b l e i b t n u n noch z u zeigen, daß die B e h a u p t u n g v o n Satz 1 n i c h t z u t r i f f t .
U m Satz 1 m i t l i m b = 00 anwenden z u können, muß gezeigt werden, daß
y
i
t-VCO
rj > 1 i s t . Wegen co = co = 0 g i l t m i t d > 0
x
2
logtfi+i ^
logg*
a l S
°
-
g«nog(g<d) (1 - (3) ^
qilogqt(l+ö)
~
1 - <5
l+ö>
, = Umi2l£±L^d>i.
1
i ^ o o logg,
-
Wegen l i m 6 = 00 müßte für die P a r t i a l s u m m e n , die m i t den i n (7) gegebenen
i
Reihengliedern enden, (6) gelten. Offenbar steht das i m W i d e r s p r u c h zur V o r aussetzung 3 b v o n Satz 2. D a m i t ist f als transzendent e r k a n n t .
Literatur
[1] K . M A H L E E , E i n A n a l o g o n zu einem Schneiderschen Satz. Proc. A k a d . W e t . A m s t e r d a m
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[5] C. 1 ^ S I E G E L , Über Näherungswerte algebraischer Z a h l e n . M a t h . A n n . 84, 80—99 (1921).