HelAs_4_Oszillationsgleichungen - Kiepenheuer

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HELIOSEISMOLOGIE &
ASTEROSEISMOLOGIE
IV. Oszillationsgleichungen
Markus Roth & Svetlana Berdyugina
Fakultät für Mathematik und Physik
Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Kiepenheuer-Institut für Sonnenphysik
Überblick stellare Oszillationen
Eigenschaften von Sonnen(-ähnlichen)
Pulsationen
• Kleine Amplitude; können deshalb als lineare Störungen des
Gleichgewichts angesehen werden
• Perioden sind viel kürzer als thermische Zeitskala in den meisten
Sternen; deshalb Annahme adiabatischer Oszillationen
gerechtfertigt.
• Modi sind wahrscheinlich hauptsächlich durch den konvektiven Fluss
und turbulente Druckstörungen gedämpft
• Modi werden stochastisch durch die Konvektion angetrieben
• Amplituden werden durch ein Gleichgewicht zwischen Energiezufuhr
und Dämpfung bestimmt. Deshalb gibt es Anregung von
beobachtbaren Oszillationen über einen breiten Frequenzbereich
Nicht-sonnenähnliche Oszillationen:
• Intrinsisch getrieben, der Stern funktioniert wie eine Wärmemaschine (in
der kritischen Schicht)
• Begrenzung der Amplitude unklar, führt zur irregulären Auswahl von
beobachtbaren Modi
Pulsierende
Sterne im HR
Diagramm
Grundgleichungen der (nicht-viskosen)
Hydrodynamik
Energie Gleichung, adiabatische
Näherung
Relative Größen:
Kleine Störungen um das
Gleichgewicht
Linearisierte Grundgleichungen
Kontinuitätsgleichung
Bewegungsgleichung
Poisson Gleichung
Adiabatizität
Schallwellen im homogenen Medium
Innere Schwerewellen
In Wirklichkeit hat man erhöhte Trägheit wegen horizontaler Bewegungen
Stern zum „Leben“ erwecken
Statischer Stern – eindimensional:
Masse m ist keine geeignete Koordinate mehr, um
dreidimensionale Bewegungen im Stern zu
beschreiben
Bewegung eines Gaspakets mit Masse m im dreidimensionalen Stern:
Bewegungsgleichung (3D)
Kontinuitätsgleichung
(keine Massenquellen und -senken)
Grundgleichungen der (nicht-viskosen)
Hydrodynamik
Störungen dieses zeitabhängigen Modells –
durch kleine Bewegungen
Alle Größen können in der Form
© (r ,t) = ©0(r) + ©‘(r, t) , wenn ©‘ << ©0
geschrieben werden.
gestörte Größe = Gleichgewichtsmodell + kleine zeitabhängige Störung
) Einsetzen in die Grundgleichungen der Hydrodynamik
) Beibehalten von Termen bis erster Ordnung in der Störung
) Abziehen der Gleichgewichtsgrößen
Linearisierte Grundgleichungen
Kontinuitätsgleichung
Bewegungsgleichung
Poisson Gleichung
Adiabatizität
Separation von (, )
Separation der Auslenkung in Radialteil und Horizontalteil
(radiale Richtung hat besonderen Status):
Bewegungsgleichung separiert dann auch:
Radiale Komponente
Horizontale Komponente
Kontinuitätsgleichung:
Separation von (, )
Divergenz anwenden auf horizontalen Bewegungsgleichung:
Divergenz von Gleichgewichtsgrößen verschwindet,
da keine horizontalen Anteile
Einsetzen der Kontinuitätsgleichung:
Poisson Gleichung ausgeschrieben für Radial- und Horizontalteil:
Die letzten drei Gleichungen nochmals
Ableitung nach den Winkelvariablen µ u. Á nur in Verbindung mit
! weitere Vereinfachung möglich
Bis jetzt:
Gleichungen sind ein System partielle Differentialgleichungen in erster Ordnung
in den vier Variablen
Separation von (, )
Ziel, Abhängigkeit von den Winkelkoordinaten weiter vereinfachen.
Weiterer Separationsansatz mit Funktion f(, ) in der Art, dass
f(, ) Eigenfunktion des horizontalen Laplace-Operators ist:
Koeffizienten sind unabhängig von Á, d.h. weitere Separation f(µ,Á ) = f1(µ) f2(Á)
Erfüllt mit
Separation von (, )
Ergebnis:
Die r-abhängigen Variablen
in dem Differentialgleichungssystem können geschrieben werden als:
Den gemeinsamen Faktor Ylm exp (-i!t) kürzt man aus den Gleichungen heraus
und erhält ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen:
Energiegleichung:
Separation von (, )
Separation der skalaren Größen, z.B:
Auslenkungsvektor:
Effekt des horizontalen Laplace Operators auf eine beliebige Störung ’:
Kugelflächenfunktionen
Schwingungen in Sternen
Nicht radiale Modi: Quadrupol Modus
l=2, m=0
Rich Townsend
l=2, m=2
Schwingungen in Sternen
Separierte Gleichungen
Separation der Zeit gemäß exp(- it); adiabatische Oszillationen:
Lamb Frequenz,
Schallgeschw.,
Brunt-Väisälä-Frequenz
System gewöhnlicher Differentialgleichungen vierter Ordnung für die vier Variablen:
Randbedingungen
Im Zentrum singulärer Punkt (Taylor-Entwicklung in r)
Für l ≠ 0 folgt: »r » rl-1,
p’, ©’ » rl;
für l=0: »r» r
An der Oberfläche: r=R
1. Forderung der Kontinuität der Lösung und ihrer Ableitung; außerhalb des Sterns
verschwindet die Dichtestörung, Poisson Gl. analytisch lösbar. Im Unendlichen :
2. Lagrangesche Druckstörung verschwindet:
Die Diff.Gl.en und Randbedingungen bestimmen die Frequenzen (Eigenwert) nl
Frequenzabhängigkeit vom inneren
Aufbau der Sonne
Frequenzen hängen von dynamischen Größen ab:
Jedoch können aus dem hydrostatischen Gleichgewicht und der
Poisson-Gleichung p und g aus ½ bestimmt werden.
Deshalb sind adiabatische Oszillationen vollständig charakterisiert durch
oder äquivalent
Frequenzen von
Model S
n=/2p
Beobachtete Modi der Sonne
Experimenteller Beweis
Franz-Ludwig Deubner, 1974
Genäherte Gleichungen
Cowling
Näherung
Hohe radiale Ordnung ! Störungen variieren schneller mit r als Gleichgewichtsgrößen
) Ableitungen von Gleichgewichtsgrößen vernachlässigbar
Kombination der zwei verbleibenden Gleichungen:
Moden-Einfang (“Mode Trapping”)
Lokales Verhalten von »r
hängt vom Vorzeichen von K(r) ab:
K positiv: lokales oszillieren
K negativ: exponentielles Verhalten
Eigenfunktionen oszillieren als Funktion von r, falls
Asymptotische Frequenzen
Dispersionsrelation für akustische Wellen
Deshalb
Wellenpfade
Ort des
Umkehrpunkts
Einfluß auf
Eigenfunktionen
rt
rt
Seismologie der Sonne
Unterschiedliche Wellen laufen durch unterschiedliche Bereich in der Sonne
→ Information aus verschiedenen Tiefen
Seismologie der Sonne damit möglich
„Helioseismologie“
Aus den Tönen, auf den Aufbau des
Instruments schließen
Voraussetzungen:
•
Sehr genaue Messung der
Frequenzen, um die Wellen trennen
zu können
→ lange u. ununterbrochene
Messungen
Frequenzauflösung:
Asymptotische Frequenzen
Dispersion Beziehung für akustische Wellen
Deshalb
Bedingung für stehene Wellen mit oberflächengeneriertem Phasensprung a
Folgerung: Duvall’sches Gesetz (Duvall 1982; Nature 300, 242)
Beobachtetes Duvall’sches Gesetz
Beobachtetes Duvall’sches Gesetz
Beobachtetes Duvall’sches Gesetz
Beobachtetes Duvall’sches Gesetz
Beobachtetes Duvall’sches Gesetz
Beobachtetes Duvall’sches Gesetz
F(w)
Innerer Aufbau der Sonne
Inversion der Integralgleichung für die Schallgeschwindigkeit (ähnlich für die Dichte):
Schallgeschwindigkeit
c2 [m2/s2]
 [g/cm3]
Dichte
(Kosovichev, 1996)
(Vorontsov, 2002)
Differenz zwischen theoretischem Modell und Helioseismologie: ca. 2%
Zentraltemperatur der Sonne
Die Zentraltemperatur der Sonne
beträgt:
15,7 Millionen Grad Celsius
Unsicherheit: 2%
(Vorontsov, 2002)
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