HelAs_4_Oszillationsgleichungen - Kiepenheuer
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HELIOSEISMOLOGIE & ASTEROSEISMOLOGIE IV. Oszillationsgleichungen Markus Roth & Svetlana Berdyugina Fakultät für Mathematik und Physik Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Kiepenheuer-Institut für Sonnenphysik Überblick stellare Oszillationen Eigenschaften von Sonnen(-ähnlichen) Pulsationen • Kleine Amplitude; können deshalb als lineare Störungen des Gleichgewichts angesehen werden • Perioden sind viel kürzer als thermische Zeitskala in den meisten Sternen; deshalb Annahme adiabatischer Oszillationen gerechtfertigt. • Modi sind wahrscheinlich hauptsächlich durch den konvektiven Fluss und turbulente Druckstörungen gedämpft • Modi werden stochastisch durch die Konvektion angetrieben • Amplituden werden durch ein Gleichgewicht zwischen Energiezufuhr und Dämpfung bestimmt. Deshalb gibt es Anregung von beobachtbaren Oszillationen über einen breiten Frequenzbereich Nicht-sonnenähnliche Oszillationen: • Intrinsisch getrieben, der Stern funktioniert wie eine Wärmemaschine (in der kritischen Schicht) • Begrenzung der Amplitude unklar, führt zur irregulären Auswahl von beobachtbaren Modi Pulsierende Sterne im HR Diagramm Grundgleichungen der (nicht-viskosen) Hydrodynamik Energie Gleichung, adiabatische Näherung Relative Größen: Kleine Störungen um das Gleichgewicht Linearisierte Grundgleichungen Kontinuitätsgleichung Bewegungsgleichung Poisson Gleichung Adiabatizität Schallwellen im homogenen Medium Innere Schwerewellen In Wirklichkeit hat man erhöhte Trägheit wegen horizontaler Bewegungen Stern zum „Leben“ erwecken Statischer Stern – eindimensional: Masse m ist keine geeignete Koordinate mehr, um dreidimensionale Bewegungen im Stern zu beschreiben Bewegung eines Gaspakets mit Masse m im dreidimensionalen Stern: Bewegungsgleichung (3D) Kontinuitätsgleichung (keine Massenquellen und -senken) Grundgleichungen der (nicht-viskosen) Hydrodynamik Störungen dieses zeitabhängigen Modells – durch kleine Bewegungen Alle Größen können in der Form © (r ,t) = ©0(r) + ©‘(r, t) , wenn ©‘ << ©0 geschrieben werden. gestörte Größe = Gleichgewichtsmodell + kleine zeitabhängige Störung ) Einsetzen in die Grundgleichungen der Hydrodynamik ) Beibehalten von Termen bis erster Ordnung in der Störung ) Abziehen der Gleichgewichtsgrößen Linearisierte Grundgleichungen Kontinuitätsgleichung Bewegungsgleichung Poisson Gleichung Adiabatizität Separation von (, ) Separation der Auslenkung in Radialteil und Horizontalteil (radiale Richtung hat besonderen Status): Bewegungsgleichung separiert dann auch: Radiale Komponente Horizontale Komponente Kontinuitätsgleichung: Separation von (, ) Divergenz anwenden auf horizontalen Bewegungsgleichung: Divergenz von Gleichgewichtsgrößen verschwindet, da keine horizontalen Anteile Einsetzen der Kontinuitätsgleichung: Poisson Gleichung ausgeschrieben für Radial- und Horizontalteil: Die letzten drei Gleichungen nochmals Ableitung nach den Winkelvariablen µ u. Á nur in Verbindung mit ! weitere Vereinfachung möglich Bis jetzt: Gleichungen sind ein System partielle Differentialgleichungen in erster Ordnung in den vier Variablen Separation von (, ) Ziel, Abhängigkeit von den Winkelkoordinaten weiter vereinfachen. Weiterer Separationsansatz mit Funktion f(, ) in der Art, dass f(, ) Eigenfunktion des horizontalen Laplace-Operators ist: Koeffizienten sind unabhängig von Á, d.h. weitere Separation f(µ,Á ) = f1(µ) f2(Á) Erfüllt mit Separation von (, ) Ergebnis: Die r-abhängigen Variablen in dem Differentialgleichungssystem können geschrieben werden als: Den gemeinsamen Faktor Ylm exp (-i!t) kürzt man aus den Gleichungen heraus und erhält ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen: Energiegleichung: Separation von (, ) Separation der skalaren Größen, z.B: Auslenkungsvektor: Effekt des horizontalen Laplace Operators auf eine beliebige Störung ’: Kugelflächenfunktionen Schwingungen in Sternen Nicht radiale Modi: Quadrupol Modus l=2, m=0 Rich Townsend l=2, m=2 Schwingungen in Sternen Separierte Gleichungen Separation der Zeit gemäß exp(- it); adiabatische Oszillationen: Lamb Frequenz, Schallgeschw., Brunt-Väisälä-Frequenz System gewöhnlicher Differentialgleichungen vierter Ordnung für die vier Variablen: Randbedingungen Im Zentrum singulärer Punkt (Taylor-Entwicklung in r) Für l ≠ 0 folgt: »r » rl-1, p’, ©’ » rl; für l=0: »r» r An der Oberfläche: r=R 1. Forderung der Kontinuität der Lösung und ihrer Ableitung; außerhalb des Sterns verschwindet die Dichtestörung, Poisson Gl. analytisch lösbar. Im Unendlichen : 2. Lagrangesche Druckstörung verschwindet: Die Diff.Gl.en und Randbedingungen bestimmen die Frequenzen (Eigenwert) nl Frequenzabhängigkeit vom inneren Aufbau der Sonne Frequenzen hängen von dynamischen Größen ab: Jedoch können aus dem hydrostatischen Gleichgewicht und der Poisson-Gleichung p und g aus ½ bestimmt werden. Deshalb sind adiabatische Oszillationen vollständig charakterisiert durch oder äquivalent Frequenzen von Model S n=/2p Beobachtete Modi der Sonne Experimenteller Beweis Franz-Ludwig Deubner, 1974 Genäherte Gleichungen Cowling Näherung Hohe radiale Ordnung ! Störungen variieren schneller mit r als Gleichgewichtsgrößen ) Ableitungen von Gleichgewichtsgrößen vernachlässigbar Kombination der zwei verbleibenden Gleichungen: Moden-Einfang (“Mode Trapping”) Lokales Verhalten von »r hängt vom Vorzeichen von K(r) ab: K positiv: lokales oszillieren K negativ: exponentielles Verhalten Eigenfunktionen oszillieren als Funktion von r, falls Asymptotische Frequenzen Dispersionsrelation für akustische Wellen Deshalb Wellenpfade Ort des Umkehrpunkts Einfluß auf Eigenfunktionen rt rt Seismologie der Sonne Unterschiedliche Wellen laufen durch unterschiedliche Bereich in der Sonne → Information aus verschiedenen Tiefen Seismologie der Sonne damit möglich „Helioseismologie“ Aus den Tönen, auf den Aufbau des Instruments schließen Voraussetzungen: • Sehr genaue Messung der Frequenzen, um die Wellen trennen zu können → lange u. ununterbrochene Messungen Frequenzauflösung: Asymptotische Frequenzen Dispersion Beziehung für akustische Wellen Deshalb Bedingung für stehene Wellen mit oberflächengeneriertem Phasensprung a Folgerung: Duvall’sches Gesetz (Duvall 1982; Nature 300, 242) Beobachtetes Duvall’sches Gesetz Beobachtetes Duvall’sches Gesetz Beobachtetes Duvall’sches Gesetz Beobachtetes Duvall’sches Gesetz Beobachtetes Duvall’sches Gesetz Beobachtetes Duvall’sches Gesetz F(w) Innerer Aufbau der Sonne Inversion der Integralgleichung für die Schallgeschwindigkeit (ähnlich für die Dichte): Schallgeschwindigkeit c2 [m2/s2] [g/cm3] Dichte (Kosovichev, 1996) (Vorontsov, 2002) Differenz zwischen theoretischem Modell und Helioseismologie: ca. 2% Zentraltemperatur der Sonne Die Zentraltemperatur der Sonne beträgt: 15,7 Millionen Grad Celsius Unsicherheit: 2% (Vorontsov, 2002)
