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Research Collection
Doctoral Thesis
Ueber die Randwerte meromorpher Funktionen und
hinreichende Bedingungen für Regularität von Funktionen einer
komplexen Variablen
Author(s):
Meier, Kurt Ernst
Publication Date:
1950
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-000091997
Rights / License:
In Copyright - Non-Commercial Use Permitted
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Über die Randwerte meromorpher Funktionen
und hinreichende
von
Bedingungen fiir Regnlarität
Funktionen einer
komplexen Variablen
VON DER
EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN ZÜRICH
ZUR ERLANGUNG DER
WÜRDE EINES DOKTORS DER MATHEMATIK
GENEHMIGTE
PROMOTIONSARBEIT
VORGELEGT VON
KURT E. MEIER
VON SCIIIEHS
(GRAUBÜNDEN)
Referent:
Herr Prof. Dr. W. SAXER
Korreferent:
Herr Prof. Dr. M. PLANCHEREL
19 5 0
ART.
INSTITUT
ORELL
ZÜRICH
FÜSSLI
AG.,
Separatdruck
Commentarii Mathematici
Orell Füssli
aus
Helvetici, vol. XXIV, fasc.
Verlag,
Zürich
4
Über
die Randwerte
und hinreichende
von
meromorpher
Funktionen
für
Regularität
Bedingungen
Funktionen einer
komplexen Variablen
EINLEITUNG
vorliegende Arbeit zerfällt in zwei Teile, welche scheinbar nur
wenig Beziehung zueinander haben ; jedoch rechtfertigt sich die gemein¬
Die
same
Darstellung der
darin enthaltenen Resultate
dadurch, daß
sie
ähnliche Begriffe
eng verwandten Fragestellungen hervorgehen,
wenden und fast mit denselben Mitteln gewonnen werden können.
Der erste Teil
welcher
aussagt,
und beschränkte
|
z
|
1
=
gibt
einen
Beitrag
zum
bekannten Satz
daß eine im Innern des Einheitskreises
analytische
Funktion
f(z)
|
z
\
von
< 1
aus
ver¬
Fatou,
reguläre
fast überall auf dem Rand
Winkel-Grenzwerte besitzt. Der vorliegende Satz schließt sich
[1] herrührende Verschärfung des Fatouschen
meromorphe Funktionen bezieht.
wir
stellen
Sodann
Bedingungen an die Randwerte meromorpher
Funktionen, welche zur Folge haben, daß eine analytische Fortsetzung
an
eine
von
A. Pleßner
Satzes an, welche sich auf
gewisse Randpunkte des Definitionsgebietes dieser Funktionen
möglich ist. Es handelt sich dabei um eine Verschärfung eines
Satzes von F. Wolf [2] und einige einfache Anwendungen der Beweis¬
methode auf das Schwarzsehe Spiegelungsprinzip.
Als Grundgebiete habe ich in diesen Sätzen Gebiete gewählt, deren
Rand ein Intervall der reellen Achse enthält ; die meisten Begriffsbildun¬
mühelos auf den Fall beliebiger Gebiete
gen und Beweise lassen sich aber
über
hinaus
übertragen,
welche
von
rektifizierbaren Kurven berandet werden.
sogenannte Regularitätsbedingungen, das heißt
hinreichende Bedingungen dafür, daß eine im Gebiet G eindeutig defi¬
nierte komplexe Funktion, im ganzen Gebiet G, oder doch wenigstens in
Der zweite Teil enthält
einem
Teilgebiet desselben, regulär analytisch ist.
gewisse Analogie zu Sätzen
Es deckt sich hier eine
238
des ersten Teils auf,
in fast unveränderter Form übernommen
Beweisgedanken
indem viele
werden können.
Teil
zweite
Der
Resultate
schließt
von
J. Ridder
sich leicht eine
von
einer
mit
welche
Regularitätsbedingung,
und S. Kametani [4] enthält, und
[3]
P. T. Maker
[5] angegebene Verschärfung
aus
der
des Satzes
Morera herleiten läßt.
von
In allen diesen Sätzen handelt
Mindestmaß
es
sich in erster Linie
Voraussetzungen
mengentheoretisches Hilfsmittel
Als
darum, mit einem
auszukommen.
an
tritt im
wiederholt ein
folgenden
auf1) :
vollständiger metrischer Raum E als Vereinigungsmenge
abzählbar vieler Teilmengen darstellen läßt : E
EEn, so enthält
mindestens eine der abgeschlossenen Hüllen En eine volle Kugel.
Es ist noch zu bemerken, daß sämtliche Integrale im Lebesgueschen
Sinn zu verstehen sind, und demgemäß bedeutet die Ausdrucksweise,
eine gewisse Bedingung sei in einem Gebiet „fast überall" erfüllt, daß die
Menge der Ausnahmepunkte das Lebesguesche Maß 0 besitzt.
Satz
von
R.Baire
Wenn sich ein
=
ÜBER DIE RANDWERTE MEROMORPHER FUNKTIONEN
I.
A. Zum Satz
Begriffe
1.
Gebiet
einem
x1
^
x
Mit
und
0
Bezeichnungen.
der
oberen
von
Fatou
Die Funktion
f(z)
(f [xlt x2], 0<<x<7i) bezeichnen
gehenden Strahl, dessen Punkte z durch
2
charakterisiert sind. Die
Die
sei
so
s(f, tx)
1 + r-ei0i
=
zu
folgendermaßen
komplexe Zahl a sei
falls eine auf
stiert,
Der
in
definiert
f
von
aus¬
gehörige Bild-Häufungsmenge
:
dann und
gegen f
wir den
r>0
,
diesem Strahl
dann Element
nur
konvergierende Punktfolge
von
S
(£, <x),
zlt z2,...
exi¬
daß
lim/^jt)
')
meromorph
^ x2 der reellen Achse enthält.
s(f,ct)
S(i, tx)
sei
Halbebene, dessen Rand ein Intervall
obige
Satz ist ein
Spezialfall
eines
=a
.
allgemeineren Theorems
von
R. Baire.
Vgl. [6],
S. 64.
239
CS (f, «) sei das
Komplement
S
in
bezug auf die
(0<oc<ß<n)
(f, <x)
w(C;x,ß)
von
Wir bezeichnen ferner mit
Vollebene E.
den Winkel¬
raum, dessen Punkte
z
den
| + r-e{*
=
Bedingungen
<x
genügen, und W(Ç
Pleßner
2.
Satz
von
[1]
; «,
/?)
f(z)
sei wieder die
Pleßner. Voraussetzung
Behauptung:
r>0
,
zugehörige Bild-Häufungsmenge.
hat den Fatouschen Satz
[x1; x2]
/ (z)
:
—
verschärft
folgendermaßen
sei
Menge
Es existiert eine
daß in allen Punkten £6
1)
< 99 < ß
meromorph
Z Q
:
in G.
[x1, x2] vom Maß 0, so
folgenden Fälle zutrifft :
Z einer der
besitzt in | einen Winkel-Grenzwert.
2) Jede Bild-Häufungsmenge
W(C;oc,ß) (0<<x<ß<n)
ist identisch
mit der Vollebene.
In diesem Abschnitt beweise ich
Satz 1.
so
folgenden
Voraussetzung: f(z) meromorph
Behauptung: Es
daß für jedes |
existiert eine
[x1; x2]
hat in f einen
—
Teilmenge
Z
einer der
in 0
(=j= 00).
ZG [xlt x2] vom Maß 0,
folgenden Fälle zutrifft :
Winkel-Grenzwert2).
1)
f(z)
2)
f(z) nimmt in jedem Winkelraum w(!-,oc,ß) (0<ot-<ß<n) jeden
ceCS(£,x)-CS(£,ß) unendlich oft an.
Wert
Der Satz
von
£ [xlt x2] —Z
Pleßner ist in Satz 1 enthalten
der Fall 2 des Satzes
:
Tritt nämlich im Punkt
hat
W(£,tx,ß)
^ [xl! x2],
also
+
W(C,<x,ß)2S(C,oc) + S(i,ß)
W{S,*,ß)3S{C,«)
S(S,ß),
Es
aber
immer
+ CS(£, «) CS{S, ß)
CS(Ç,a) CS(£, ß)
gilt
und
schließt
damit
man sofort
E,
W(S,x,ß)
C[S(S,x) + S(S,ß)]
=
CS(tj, oc)-CS(i, ß)
und
,
dazu,
wie
ein,
1
in
so
jedem
man
Punkt
^
=
•
=
d. h. im Punkt | tritt der Fall 2 des Satzes
Der
Satz 1
enthält neben dem
Spezialfall. Voraussetzungen
2)
Nach einem Satz
wo/(z)
von
Pleßner ein.
Pleßner
Lusin und Privaloff
1') f(z)
hat in
z.
B.
folgenden
:
[7]
hat die
der Punkte
Menge
einen unendlichen Winkel-Grenzwert besitzt, das Maß
also statt 1 setzen:
240
von
Satz
von
0
•
f
(/(z) =|=°o).
f einen endlichen Winkel-Grenzwert.
e
[xlt x2~\,
Man kann
sei in G
/ (z)
1)
holomorph.
jedem Punkt £ einer beliebigen Menge M £ [xx, x2] existieren
s(tj,ct), s(£,ß) (a.<ß), aufweichen /(z) beschränkt ist.
Behauptung : In fast allen Punkten £ 6 M hat / (z) einen (endlichen)
Zu
2)
zwei Strahlen
Winkel- Grenzwert.
Ein Zusatz
3.
zum
Satz
von
Pleßner.
Aussage 2 des Satzes von Pleßner folgendermaßen leicht
2') Es gibt sogar vom Punkt f ausgehende Strahlen s(f, oc),
deren zugehörige Bild-Häufungsmenge S (|, a) mit der Vollebene iden¬
tisch ist ; und zwar ist die Menge der Werte «, für welche dies der Fall ist,
eine Menge 2. Kategorie bezüglich (0, n).
Man kann die
verschärfen
:
(Der Beweis dieser Bemerkung ergibt sich leicht mit Hilfe des in der
Einleitung erwähnten Baireschen Satzes und wird hier nicht durch¬
geführt.)
Beweis
4.
Satz 1.
zu
^£[x1,x2], zu welchen reelle
Zahlen a, ß, ô existieren (0< cc<ß<n, ô>0), sowie eine komplexe
Zahl c, so daß
C8{i,a)-CS{(, ß) ^0, cÇCS(Ç,<x)-CS{Ç, ß) und
M sei die
a)
/(z) ^
c
z
Menge
in allen Punkten z/^
f +
=
»•ela
r>0
,
begrenzten Dreiecks.
In jedem Punkt f
füllt
:
nämlich
Ist
[x1; x2]
f
1)
von
aller Punkte
—
M,
so
;
[xlf x2]
des
z
—
w(C,tx,ß)
=
M
von
den Geraden
f + r-e'ß
ist die
=
r>0 ;
Aussage
irgendein
folgenden
0 für diesen
y
=
ô
2 des Satzes 1
Winkelraum
tritt einer der
CS(Ç, <x) CS(£, ß)
,
:
Fälle ein
eines
er¬
Punktes
:
Winkelraum, und die Aussage
2
Satz 1 ist trivialerweise erfüllt.
2) GS(£,*)>C3(£,ß)J=0. In diesem Fall nimmt f(z) jeden Wert
cECS(£,oc) CS(Ç, ß) in w(£,<x,ß) beliebig nahe bei f an (sonst wäre ja
£ 31). Auch hier ist also die Aussage 2 von Satz 1 erfüllt.
•
Um Satz 1
Punkten
b) Wir
für
k ^
|
zu
M
führen
1)
sei
beweisen, genügt
also
zu
zeigen,
daß
/ (z)
in fast allen
einen Winkel-Grenzwert hat.
folgende Bezeichnung ein : w1=oo,w.2,w3,... (wk ^00
irgendeine Folge von Punkten, welche in der ganzen
w-Ebene überall dicht
16
es
liegen.
Commentarii Mathematici Helvetici
241
Wir denken
ferner die
Tripel (<p, ip, -&) von rationalen Zahlen
(0<<p<y><n, 0<#<1) irgendwie numeriert und (<pT, ft, #t) sei das
Tripel mit der Nummer r. Unter DT (|) verstehen wir nun das Dreieck,
welches
uns
von
den Geraden
z
£ +
=
:
r-eivz, r>0;
wird. Alle Dreiecke
begrenzt
z
Ç +
=
r-ei*z,
mit festem
Dt(£)
In ähnlicher Weise bezeichnen wir mit
den
Ç + r-ei<x,
=
Mit Hilfe dieser
a,
x
(£
t
; a,
=
sind also
&T
kongruent.
das Dreieck mit
ß, ô)
r>0;
z
Bezeichnungen
Zahlen) :
=
Ç +
r-eiP, r>0; y—à.
definieren wir
nun
Mengen A(q,o, t)
natürliche
Der Punkt
(wir
A
y
Begrenzungsgeraden
z
(q,
r>0;
M
|
setzen zunächst
sei dann und
q ^
nur
dann Element
falls reelle Zahlen
voraus),
1
(0< <x<ß<jz, <5>0) und eine komplexe
daß folgende Bedingungen erfüllt sind :
Zahl
c
mit
oc,
|
A
von
c
ß,
—
(q
,
t)
a,
ô existieren
we
| <
—
,
so
*)
Dtfä£ *(£;*, ß, d)
ß)
| f(z)
y)
f(z)^c
—
we
Für den Fall
«')
=2
ß')
I /(z) I <
/)
f(z) ^oo
«
|
,
> —für alle
z
^ £ auf dem Rand
für
zeA{S;*,ß,d), z^Ç.
q
1
=
lauten diese
Bedingungen
von
A (f ;
«,
ß, <3)
,
:
,
o
auf dem Rand
für zeA,
von
z^g
A(S;cc, ß, ô)
,
.
Da die
Mengen CS(Ç, ot)-CS(£, ß) ihrer Definition zufolge offen sind,
leicht ein, daß jeder Punkt feJtf mindestens einer der
Mengen A(q,o, t) angehört (wir setzen im folgenden c^oo voraus.
Der Fall c=oo läßt sich ganz analog behandeln).
Wenn f 6M ist, gibt es Werte«, ß, ô, c, so daß £(£,«) + S(f, ß) =£ E,
ceCS(C,<x)-CS(C,ß); f(z)^c, ze A(Ç ;<x, ß, Ô). Da S(S,x) + S($,ß)
abgeschlossen ist und c zur Komplementärmenge gehört, gibt es ein
6 > 0,
daß
auf der Begrenzung des Dreiecks
so
c | ^
| / (z)
A(£;<x,ß, ô). Gäbe es nämlich auf ihr eine Folge {zfc} mit lim/(Zj.)
sieht
so
man
—
=
cG
c,
so
müßten sich die Punkte zk in £ häufen. Das ist aber
wegen
OS(£,«)• (7$(f, ß) ausgeschlossen.
und g so, daß
242
| we
—
c
|
1
<
—
.
Man wähle dann
a
so, daß
2
-
ff
< 6
gilt
Es
M
daher
=
SA
(q
a,
,
r).
c) Wir erteilen den Parametern q, a, r irgendwelche bestimmte Werte
A (r, s, t)
daß / (z) in fast allen Punkten f
r, s, t. Es soll gezeigt werden,
Maß
ist
natür¬
0, so
einen Winkel-Grenzwert besitzt. Ist A (r, s, t) vom
lich nichts
f0
k
zu
beweisen.
sei ein nicht-isolierter Wert der
Menge A(r,s,t)
ein bestimmtes
=
Dreieck
c
$k&A(r,s,t),
und
1,2,... eine gegen ihn konvergierende Folge.
0, 1, 2,...
Wir denken uns jedem Punkt f s, fc
=
=
Ak
=
A
(Çk
; ock,
ßk, dk) zugeordnet
mit
q
=
r,
a
=
s,
r
=
t,
ck.
Auf dem Rand des Durchschnitts
A0-Ak (k =£ 0) gilt
l/(*) -«Vi >
und
/ (z) ^
c0
im Innern.
nun
4
Wegen
^<è
folgt
somit für den Rand
von
A0-Ak
\H*)-c*\>Ys
Die Funktion
•
.
/(z)-Co
ist
nun
regulär auf A0-Ak.
Auf dem Rand
gilt
3s
<-2«
m
also auch im Innern.
Aus
2
und
l/(*)-Col>3^
folgt
somit für
z
6
A0- Ak
Wegen Dt(|ft) £ Ak (k
k
—
1,2,3,...
1
|c0-ttv|<—.
=
0, 1, 2,...) überdecken die Mengen A0-Ak,
das Innere des Dreiecks
Dt (f0) vollständig und daher
gut:
\f(z)-wr\^—
,
zGDt[S0), z*U243
Menge der nicht-isolierten Punkte von A (r,s,t).
abzählbar.) Die abgeschlossene Hülle B läßt eine
D
zu (P perfekter Kern, D abzählbar).
+
Nun sei B(r, s,t) die
A
(Die Menge
Zerlegung B
Man sieht
—
B ist
P
=
sofort
nun
:
1)
P enthält alle Punkte
2)
In
jedem
Punkt
f
\f(z)
d)3)
e
von
P
Komplement
Intervallen ik, k
(xx, x2)
=
P sei die
Punkten
f
Kurve, welche
P
:
zeD<(£)
-wr\>Ys'
Das
offenen
gilt
A bis auf abzählbar viele.
—
P
>
2^f
besteht
aus
'
abzählbar vielen
1, 2, 3,...
in den
der x-Achse
mit
zusammenfällt, und jedes Inter¬
vall
(Ak, Gk) auf dem in der
nebenstehenden Figur eingezeich¬
neten Streckenzug AkBkCk über¬
springt.
ik
=
Diese
Kurve ist
rektifizierbar
und besitzt daher
Punkten £
P
fast
in
eine
allen
Tangente, welche notwendig mit
der x-Achse
zu¬
sammenfallen muß.
Man erkennt
Ç
e
alle
nun
leicht, daß die Vereinigungsmenge aller Dt(£),
Gebiete 01,02,.. .,Gn zerfällt, die
in höchstens endlich viele
P
von
Gebietes
rektifizierbaren
Gk
Kurven umschlossen
enthält ein Stück
Die Funktion
F(z)
=
von
ist in
j^—
und besitzt daher in fast allen
sind.
Der
Rand
jedes
P.
jedem Gebiet Gk beschränkt
Randpunkten
von
Gk
einen Winkel-Grenz¬
wert.
Randpunkt eines der Gebiete Gk, und da¬
Punkt | 6 P einen Winkel-Grenzwert in
jedem
F(z)
Gebiete
der
auf
eines
Gk.
bezug
Besitzt Pin $ eine Tangente und /(z) einen Winkel-Grenzwert in bezug
auf Gk, so auch in bezug auf G. F(z) hat also im Gebiet G in fast jedem
Punkte £6P einen Winkel-Grenzwert und dies gilt daher auch für f(z).
Jeder Punkt £
3)
P ist aber
Die Methode dieses Abschnitts stammt
darstellung
244
6
in fast
her besitzt
in
[7].
von
J. Privaloff. Man
vergleiche die
Beweis-
£P(r,s,i) einen Winkel-Grenz¬
tA(r, s, t). (Der Beweis wurde nur voll¬
1 ganz analog.)
für
r^l. Er verläuft für r
ständig durchgeführt
Da wir nur abzählbar viele Mengen A (q a, t) haben, gilt dies auch
/(z)
e)
besitzt also in fast allen
wert, also auch in fast allen
f
=
,
für fast
27 A(q,o,
jedes |
t)
M.
=
B. Zu einem Satz
Das Intervall
5.
x1 <
Randstück der Gebiete
unteren
x
der reellen Achse sei
der oberen
seien
bezeichnen wir die
F.Wolf
gemeinsames
G2 (in der
und
f2 (z) meromorph in Gx bzw.
/t (z)
Funktion, welche
/x (z) in G1 und
^ x2
Gt (in
Halbebene) ; ferner
von
und
Halbebene)
/ (2)
/2(z) inö2ist.
Wir fragen nach Beziehungen, welche zwischen den Randwerten der
Funktionen ^(zjund f2(z) in den gemeinsamen Randpunkten £^[xt,x2]
bestehen müssen, damit / (z), bei geeigneter Festsetzung der Funktions¬
werte in den Punkten £, mindestens in einem Punkt £ 6 (xx, x2) regulär
analytisch ist. Unser Ziel ist dabei, mit einem möglichst geringen Maß an
G2.
Mit
=
=
auszukommen.
Voraussetzungen
Zu dieser
Satz
von
Frage
F.
hat F. Wolf
Wolf.
Voraussetzungen
1)
/i(z)
sei
holomorph
2)
Für
|
(xx, x2)
lässig)
e
4) folgendes
in
bewiesen
:
:
G^, /2(z) holomorph
in
(abzählbare Ausnahmemenge
G2.
von
Punkten
zu¬
existieren
lim
/j (| + i y)
und
lim
/2 (f
—
i y)
und besitzen denselben endlichen Wert.
Behauptung: Es existiert eine holomorphe Funktion /(z), welche
f2 (z) in G2 und auf einer im Intervall (x2, x2) überall
f1 (z) in Gt,
dichten Menge von Punkten £ regulär ist.
=
=
6.
Um diesen Satz
zu
verschärfen, führen wir folgende Begriffe und
Bezeichnungen ein : Die Menge S± (£) sei wie folgt definiert : a 6 /Sj (!)
gelte dann und nur dann, falls es eine Nullfolge y±, y2,... (yk > 0) gibt,
ist. Ferner sei C^Ç) das Komplement von
so daß
a
lim/j (f + i 2/„)
=
$i(!)
in
bezug auf die Vollebene E. Ganz entsprechend seien
/2(z) beziehenden Mengen S2(tj) und C2(£)
die Funktion
«) Vgl. \2],
die sich auf
definiert.
s. 883.
245
Mit diesen
Satz 2.
2)
leer
Voraussetzungen
und
/x(z)
1)
Die
Bezeichnungen gilt folgender
/2(z) seien meromorph
in
G1 bzw. G2 (=|^oo).
Menge JV der Punkte |, für welche C^-C^S) oder ^(£) St (|)
von 1. Kategorie und vom Maß 0 bezügl. [x1} x2].
•
ist, sei
Behauptung
/i(z) inC?!,
dichten Menge
:
=
Beweis
7.
a, x
l/i (£ + »»)
Punkten f
Satz
Folge von Punkten
liegt. Die Menge M(q,a, r)
sei
eine
folgt
ist
(da
definiert
l/i(f-*y)
:
dann und
M{q,a,r)
von
und
wq\ >-
![*!, *,]-^
so
ist.
w^,^,...
sei Element
-
regulär
sei wie
Zahlen)
diesem Fall existieren
e, a, t,
2.
/ (z), welche
(xx, x2) überall
Funktion
meromorphe
auf einer im Intervall
Vollebene E überall dicht
zur
natürliche
G2, und
in
f2(z)
von
von
f [«!, a;8]
Für
Es existiert eine
=
mj^oo, welche
(q,
:
~wq
für
\>-
dann, falls
nur
o<«/<-.
C,(|)-C2(£) ^0, 0^)0,(1) # 0. In
Cx (£) C2 (£) offen ist), natürliche Zahlen
•
daß
Jeder Punkt £
halten, d. h.
ist also in einer der
[x1; x2]
:
_
_
n
[x1,x2]
=
„-..
v
,
ZM(q,o,r) +
Mengen M(q
,
a,
r)
ent¬
,T
N
.
Menge erster Kategorie und die Mengen M (q, a, r) sind
abgeschlossen. Damit folgt aus dem in der Einleitung erwähnten
Kategoriesatz von Baire, daß mindestens eine der Mengen M(q,o, t)
ein volles Teilintervall von \xlt x2] enthält.
Es gibt also natürliche
Zahlen r, s, t, sowie ein Teilintervall
[x[, x2] c [xx, x2], so daß
M(r, s, t) 3 [x[, x2].
N ist eine
F-, (z)
und
=
ebenso
Nach dem
f
6
[x[, x2]
ist also beschränkt für
7-
.
F2 (z)
.
Satz
von
.
Fatou
Ft (f +
»-V + 0
246
.
fl(z)—wr
die Grenzwerte
lim
für
=
x,
<
x
xi
^ x <. x'9,
1-^-^2'
existieren
also
in
<
0>
fast
:
*
2/)
und
lim
^ (f
!/->- + 0
-
»
*/)
xL,
w
>
*
-"
allen
0 <y
—
^
-
-
J
.
Punkten
Z gleich. (Z Menge vom
Voraussetzung 2 auf \x[, x2]
linearen Maß 0.)
Nun sei F(z) in Q1 durch Fx(z), in G2 durch F2(z) und in den Punk¬
Z durch den gemeinsamen Grenzwert von Fx(z)
ten von
[x'i, x'2]
und F2(z) definiert.
Es sei ferner I(£x, £2> Vi, V2)
^F{z)dz, erstreckt über den Rand
des Rechtecks |x < x < £2, r\x < y < rj2 (ßxe [x[, x2], Ç2e[x[, x2],
und sind wegen
—
—
=
~Y^r,1<0' T>7?2>0)
•
I(|x,£2,t?(,rf2)
<%<0, 0<r)'2 <?j2 ist nun I(^,£2,r\x,rj2)
dem
damit
aus
und
Lebesgueschen
folgt
(Cauchyscher Integralsatz)
Für
=
rjx
Grenzwertsatz
:
J(!i,£«,»h,ih)
Das letzte
Integral
—
—
t
^ y ^ -f~
t
die Funktionswerte
Behauptung
8.
Die
von
schließt
—
*(£!, fi.0,0)
verschwindet aber ;
Mit Hilfe des Satzes
Verschärfung [5],
=
es
ist also
Morera, in einer
man
nun, daß
geeignet
P. T. Maker bewiesenen
von
F(z)
regulär analytisch ist,
.
im Rechteck
sofern
man
festsetzt und daraus
x[
<
auf der
ergibt
x
^
x'2,
Menge
Z
sich sofort die
des Satzes.
Mengen S^S), <S2(f),
C^d),
Hilfe der Randwerte der Funktionen
sind oben definiert mit
C2(f)
/1(z)
und
/2(z),
welche
man
bei
den Punkt f erhält. Betrachtet
man hingegen
entsprechender Satz beweisen.
Der Menge St (f) entspricht dabei die Menge W1 (£), die wir folgender¬
radialer
Annäherung
Winkel-Randwerte,
maßen definieren
an
so
läßt sich ein ganz
:
gelte dann und nur dann, falls ein Winkel w(|,a,/9)
(0<oc<ß<7t) existiert und eine darin gegen £ konvergierende Folge
a.
(zke01), so daß lim/1(zs)
21,22,...
aeW1(S)
=
Ferner sei
Kx (£)
solcher Winkel
die
existiert,
Menge
so
daß
aller
lim
komplexer
a
fx (zk)
=
Zahlen a, für welche ein
für keine in diesem Win-
konvergierende Punktfolge z1,z2>... (zkS01) gilt.
entsprechend seien mit Hilfe der Funktion f2(z) die Mengen
W2{£) und K,{$) definiert.
kel gegen |
Ganz
247
Satz 3.
Voraussetzungen
1)
wie in Satz 2.
2)
Die
leer
ist,
:
Menge N der Punkte f,
sei
erster
von
Behauptung
:
für welche
Kategorie
vom
Maß 0
oder
analog
wie in Satz 2 und wird deshalb
durchgeführt.
C. Zum Schwarzsehen
Spiegelungsprinzip
Das Gebiet G sei wiederum in der oberen Halbebene
9.
W^S)- Wt(S)
bezüglich [x1; x2].
wie in Satz 2.
Der Beweis verläuft hier ganz
nicht
und
K^)- K2 (£)
sein Rand enthalte das Intervall
machen
xx
^
x
gelegen
und
^ x2 der reellen Achse. Wir
folgende
Annahme.
Zu fast
jedem Punkt £e[x1,x2] existiere ein Winkel
W(£;ot,ß) (0<oc<ß<7i) und eine darin gegen f konvergierende Punkt¬
folge z1,z2,..., so daß lim/(zft) reell ist (eventuell =oo).
Ich
gebe
folgenden Bedingungen an, aus welchen unter obiger An¬
Randpunktes IG^, x2] folgt, in
welchem / (z) regulär ist.
Eine Bedingung dieser Art ist z. B. die folgende (f(z) muß hier im Ge¬
biet G als regulär vorausgesetzt werden) :
im
nahme die Existenz mindestens eines
N (N Menge erster
Bedingung 1. Zu jedem Punkt f [#i, x2]
Kategorie bezüglich [xlt x2]) existieren zwei Strahlen «(!,<%) und
s(C,ß) (0<oc<ß<7t), aufweichen /(z) beschränkt ist.
Die folgenden zwei derartigen Bedingungen gelten auch noch, wenn
/ (z) in G meromorph ist.
—
Bedingung 2. Für jedes f
bezüglich [x1, x2]) enthalte
zwei
Punkte, welche
zu
6
N (N Menge erster Kategorie
[xr, x2]
zugehörige Menge 0(f)5) mindestens
—
die
verschiedenen Seiten der reellen Achse
liegen.
N (N Menge erster Kategorie
Bedingung 3. Für jedes | 6 [x1} x2]
bezüglich [xlt x2]) enthalte die zugehörige Menge if(f)6) mindestens
—
zwei
6)
6)
248
Punkte, welche
wegen der Definition
wegen der Definition
zu
verschiedenen Seiten der reellen Achse
vgl. I. B. 6.
vgl. I. B. 8.
liegen.
/(z)
fx{z) setzt, und die Funktion /2(z) in dem
zur
/j (z)
gespiegelten Gebiet G2 definiert durch /2 (z)
(z£ö2), so könnte man den Beweis für die Gültigkeit der obigen drei
Bedingungen nach der im Satz 2 vorgezeichneten Methode führen ;
jedoch ist der hier vorliegende Fall, in welchem /(z) reelle Randwerte
besitzt, schon sehr eingehend untersucht worden, so daß man sich an
einigen Stellen auf schon vorhandene Resultate stützen kann.
Ich führe hier nur den Beweis zur Bedingung 2 durch, denn die beiden
Wenn
10.
man
=
reellen Achse
=
anderen Beweise verlaufen ganz ähnlich.
Beweis
=£oo der
w
liegen
Bedingung 2. Es sei w1,w2,... eine Folge von Punkten
oberen Halbebene, welche in dieser Halbebene überall dicht
zur
w[,
und
eine
w2,...
entsprechende Folge
Punkten der untern
von
Halbebene.
Mit
M(q,
a,
der Punkte f6
\ftè +
C(|)
ist
£6 [xlt x2]
welche
zu
zu
t) (q,
[xlt x2],
r
natürliche
Zahlen) bezeichnen
in welchen für
iy)-wQ\>^-
ihrer
—
a,
und
jedes 0<y <
—
wir die
:
T
-ufa\>Y
\f(è + iy)
Menge
•
gemäß eine offene Menge. Für jedes
Voraussetzung mindestens zwei Werte,
Seiten der reellen Achse liegen. Folglich gibt es
Definition
N enthält sie nach
verschiedenen
jedem f [xx, x2]
Daraus schließt
—
^natürliche Zahlen q, a,
r, so daß für
0<y ^
—
man
[x1,x2]
=
N +
2M(q,o,t)
.
Aus dem Baireschen
Kategoriensatz folgt wieder, daß wenigstens eine
(abgeschlossenen) Mengen M(g,a,r) ein ganzes Teilintervall
[z[, x'2]cz [x-l, x2] umfaßt ; es sei dies M(r,s,t). Also :
der
M(r,s,t)z>
Im Gebiet
lx[
^
a;
[x[,x'z]
^ x2, 0<y< —-1 sind
.
nun
wr und
w's
keine Häu¬
fungswerte von /(z). Da wT und w'f zu verschiedenen Seiten der reellen
Achse liegen, folgt damit nach einem Satz von C. Carathéodory[8], daß
/ (z) in jedem Randpunkt 16 (x[, x'2) entweder regulär ist oder einen
Pol besitzt.
Daraus ergibt sich unmittelbar die Behauptung.
249
FÜR ANALYTIZITÄT
II. HINREICHENDE BEDINGUNGEN
Funktion
Die
1.
einem Gebiet ß der
f(z)
u(x,y)~\-i-v(x,y) (z
»/-Ebene eindeutig definiert, und
=
x
x
=
es
möglichst abgeschwächter Form angegeben werden,
Existenz
mindestens
Punktes
regulär analytisch ist.
Auch hier spielen wieder,
z
eG
sichern,
lim
Mit
IM^m
2«
-> oo
bezeichnen wir das
C(z)
/(z)
Teil, gewisse Häufungswert¬
wie im ersten
mengen eine Rolle. Wir definieren :
a£H(z) gelte dann und nur dann, falls eine gegen
Folge z1,z2,... existiert, so daß
k
welche die
welchem
in
in
sollen Bedin¬
gungen in
eines
sei
+ iy)
a
=
z
konvergierende
.
Z
Komplement
H(z) in bezug auf die
von
Vollebene E.
H'
(z) und H" (z) seien analog
solche
Punktfolgen
den Parallele
zur
Satz 4.
2t, z2,...
gilt
H'
(z)
H"
•
—
gegen
z
konvergieren.
folgender
:
N
enthalte für
(2)
y-Achse
nun
Voraussetzungen
f(z) sei stetig in G.
G(z) ^0 für zEG
1)
2)
3)
definiert, jedoch werden nur
zugelassen, welche auf der durch z gehen¬
x-Achse bzw.
Mit dieser Definition
wie H (2)
(N Menge erster Kategorie bezüglich G).
jedes z mindestens einen endlichen Wert.
Behauptung: Es existiert mindestens ein Punkt 26ff, in welchem
/ (z) regulär ist. (Natürlich folgt daraus sofort, daß unter den angegebe¬
nen Voraussetzungen die Punkte z, in welchen /(z)
regulär ist, im Ge¬
biet ff überall dicht liegen.)
Beweis
2.
welche
liche
zur
liegt.
folgendermaßen definiert
M(g,a,r), falls
1A—'7
z'
250
—-
—
z
—
we
z
6 ff
—
JV
ist nach
^
—
a
;
:
0 <
ß sei dann und
2
'
2'
—
z
'
<
Voraussetzung G (2) ^ 0,
H(z) abgeschlossen ist, gibt es natürliche Zahlen
Für
Da
Die
sei
von
Folge von Punkten w/oo,
Menge M(q, a, x) (q, a, r natür¬
sei eine
w1, w2,...
Vollebene E dicht
Zahlen)
Element
Satz 4.
zu
nur
dann
—
.
t
also
q, a,
H(z) =£ E.
r,
so
daß
/(g')-/(g)
z'
<1
0<|z'
>
Wq
z
—
r
JV + £M{g,a, r).
Folglich gilt : G
Die Menge Äf ist von erster Kategorie, und infolge der Stetigkeit
von f(z) sind die Mengen
M(q,o, t) abgeschlossen. Damit folgt aus
dem in der Einleitung erwähnten Kategoriesatz von R. Baire, daß
mindestens eine der Mengen M(q,o, t) ein volles Teilgebiet von G
enthält. Es gibt also natürliche Zahlen r, s, t, sowie ein Teilgebiet
G* c G, so daß M(r,s,t) z> G*.
=
folgenden
Wir nehmen im
Für die Funktion
F(z)
/ (z)
=
G* besitze einen Durchmesser ^
an,
—
F(z')
-
gilt
wr
z
J(z)
t
nun
1
>
z^z', zeG*, z'eö*.
sofern
Durch
w
=
F(z) wird das Gebiet G* also schlicht und stetig auf ein
abgebildet. Man kann daher in r*
0(w) einführen, welche ebenfalls stetig
kehrungsfunktion
Für w^w', wer*, w'eT* gilt nun
die Um¬
Gebiet J1* der w-Ebene
z
=
0(w')
w'
und
—.
daher
besitzt
Differential im Sinn
Es sei
nun
w0
=
in
0(w)
—
—
fast
0{w)
<s
w
jedem
Stoltz-Frechet
\on
F (z0) ein
Punkt
von
z"
totales
[9].
k
1,2,3,...
welche
gezogenen Parallele
gegen
daß
längs der durch z
z0 konvergieren, so
r* ein
Punkt, in welchem 0 (w) ein totales Diffe¬
rential besitzt. Nach Voraussetzung 3 existieren zwei
z'
ist.
/(4)-/(*o)
__*
zur
Punktfolgen
,
x-Achse bzw.
y-Achse
/(z*)-/(*o)
und
denselben endlichen Grenzwert besitzen, der wegen
—
z
von
—
z'
wr verschieden ist.
w.
^>—(z=£z',
S
Die beiden
zG*
z'
eG*)
Bildfolgen
251
w'k
F{z'k)
=
wl
,
=
F(4)
A
;
=
fallen daher unter rechtem Winkel in den Punkt
0(wi)-0(wo)
hm
fc-*oo
Daraus
folgt aber,
W0
stetig
ist und beschränkte
man auf die Regularität
Looman-Menchoff7).
Daraus
von
.,
Mit
gilt
-,
ferner
•
t.
der
in
J1*,
7^
Q(z,h)
von
des Satzes.
^
='K
schließt
!
f(z + ih)—f(z)
M ^
f(z)
—
'-+-!
.'—'-^
—
:
Satz 5.
Voraussetzungen
:
1) Im Gebiet 0 sei f(z) längs den Parallelen
2)
[4].
B. auf Grund des Satzes
z.
Behauptung
,,,
,
Bezeichnung
.
W0
—
T* differenzierbar. Da 0 (w)
w e
f(z + h)
„
3.
gilt
Differenzenquotienten besitzt,
0(w)
sich sofort die
ergibt
es
im Punkt w0 differenzierbar ist
0(w)
daß
Tl
Wk
h-f-oa
ist also in fast allen Punkten
0 (w)
ferner
Wk
—
ein und
w
0(V%)-0(WO)
hm
=
;
1, 2, 3,...
limQ(z, h)
=
(h reell) für zeG
0
N
—
zur x-
(N
:
und
y-Achse stetig.
Menge
vom
Flächen-
A->0
maß 0 und
erster
von
Behauptung :
/ (z) regulär ist.
4.
Kategorie bezüglich 0).
Es existiert mindestens ein Punkt
Der Beweis stützt sich auf
Hilfssatz
1.
Voraussetzungen
1) Im Gebiet
stetig.
2) Im
Punkt
sei
Behauptung : Es
\F(z)\<M{>M).
|
|
>
nur
M läßt sich ganz
x-
und
y-Achse
von
D, in welchem
für den Fall
analog
| F(z) \<M
behandeln.
Ist \F(z0) \<M, so existiert wegen der
F(z) nach x ein reelles h0>0, so daß | F(z0 + h) | <M
reellen h mit | h \^h0.
von
') Vgl. [6].
252
zur
Teilgebiet
Beweis des Hilfssatzes 1:
Stetigkeit
für alle
:
\F(z) \<M(>M).
existiert mindestens ein
F (z)
in welchem
:
Ich führe den Beweis dieses Hilfssatzes
durch. Der Fall
0,
zwei Hilfssätze
F(z) längs den Parallelen
D sei
zeD
folgende
z
Beachte die
Bemerkung S. 200,
unten.
Es sei
|
K h0,
h
Die
M (A)
nun
(A natürliche Zahl) die Menge
für welche
F
(z0 +
h + i
es
Es existiert daher nach Baire
und eine natürliche Zahl l,
\F(z) \<M gilt
K +
i
Hilfssatz
•
u(x, y)
1)
2)
und
hi
—
v(x, y)
und
zur x-
jedem Punkt
In
so
=
ZMW
^-y(k reell).
M (l)
z>
F(z)
von
.
ein Teilintervall
daß
i'^f,
Voraussetzungen
den Parallelen
M, sofern \k\
mit
(A1;A2)£ (
h0,h0)
—
(hx, h2).
im ganzen Rechteck mit den Ecken
nun
Zo +
-j-.
2.
<
sind
[~h0, + h0]
z0 +
k) |
abgeschlossen (infolge der Stetigkeit
gilt (wegen der Stetigkeit von F (z) nach y)
M (A)
Mengen
nach a;) und
|
der Werte h
zo +
K
—
*
•
zo +
y>
K +
*
•
y
•
:
seien im Gebiet D
y-Achse stetig.
sei [ Q(z, h) [ ^
zD
m
(& reell) fast überall in
D.
integrierbar
für
jedes
und
längs
reelle h mit
|ä|' <—.
1
TO
3)
lim
Q(z, h)
=
0
A-*0
Behauptung
u(x, y) + i-v(a;, y) ist im Gebiet Z) holomorph.
ergibt sich leicht aus dem untenstehenden
(vgl. Bemerkung a).
:
/(z)
=
Der Beweis des Hilfssatzes 2
Satz 7
5.
Beweis
Punkte
zu
Satz 5.
Ist
M (A)
(A natürliche Zahl) die Menge
der
z6G, in welchen \Q(z,h)\ ^ A für alle reellen hm.it 0<|A[^-r
A
so
gilt wegen Voraussetzung
Q
2
=
N +
ZM{X)
.
N ist eine
Menge von erstei Kategorie. Damit folgt aus dem Baireschen
Kategoriesatz, daß mindestens eine der Mengen M (A) ein ganzes Teil¬
gebiet von 0 enthält. Es existieren also eine natürliche Zahl l und ein
Gebiet
sogar
GxczG, so
r> G1.
daß
~M(l)
=>
Gx. Aus Hilfssatz
1
folgt
nun
leicht
M (l)
Der Hilfssatz 1 sichert ferner die Existenz eines Gebietes G*
c
0lt
in
welchem
f(z) beschränkt ist, und damit sind u(x, y) und v(x, y) als
beschränkte, nach x und y stetige Funktionen über G* integrierbar8).
8) Vgl. [10],
S. 644.
253
/(z) erfüllt
Die Funktion
in G* sämtliche
nun
Voraussetzungen
von
Hilfssatz 2.
6.
Eine ähnliche
Voraussetzungen
Satz 6.
1) Im Gebiet
2)
lim sup
macht
Aussage
|/(Z + Ä)-/(Z)
-+-
zur x-
Mm sup
;
oo
z£G
alle
für
(h reell) gelte
bezüglich G)
den Parallelen
<
h
A-»-0
Satz 6
:
:
/(z) längs
G sei
folgender
—
und
f(z + ih)-f(z)
h
(N Menge
N
«/-Achse stetig.
erster
<+oo
Kategorie
r)t
3) Auf
der
Menge
der Punkte
df
existieren, sei fast überall
Beweis
aller
Punkte
| /(z +
Es
i
h)
gilt
-
zu
dx
Es sei
Satz 6.
z
G
f(z) | < X-1
wieder G
=
mit beschränkten
.
h
überall existieren.
G,
in welchem
—
(h reell)
|
z
man
|
für
h
\ <y
.
Kategoriesatz
(wie im Beweis zum Satz 5),
Gebiet GtcG existieren, so daß
Aus dem Baireschen
wieder
l, sowie ein
von
sitzt, ergibt sich daher,
daß in
G1
die
Wegen Voraussetzung
dx
Der Hilfssatz 1 sichert
nun
(x, y) und
G* wieder alle Bedingungen
8.
0
~-
Lebesgue, nach welchem eine reelle Funktion
Differenzenquotienten fast überall eine Ableitung be-
Mit Hilfe des Satzes
die
=
dy
TM
und
(X natürliche Zahl) die Menge
und
f (z) | ^ X \ h |
| / (z + h)
N + Z M (X).
daß eine natürliche Zahl
u
—^-
-=—
M{X)
welchen
in
,
und dem Hilfssatz 1 schließt
über welches
dt
\- i
-r
Es existiert mindestens ein Punkt
Behauptung :
f(z) regulär ist.
7.
G, in welchen zugleich
z
Ableitungen
3
gilt
-^-
und
-=—
also fast überall in
fast
Gx
dy
wieder die Existenz eines Gebietes G*
v
cff,,
(x, y) integrierbar sind, und damit sind in
von
Hilfssatz 2, Satz 5, erfüllt.
gebe ich noch eine Bedingung an, welche
/(z) im ganzen Definitionsgebiet G nach
Zum Schluß dieser Arbeit
Regularität
der Funktion
sich zieht. Ich führe hier diesen Satz an, obwohl seine Beweismethode
254
etwas
aus
dem Rahmen der
obigen Betrachtungen
herausfällt ; denn
lassen sich daraus leicht zwei Sätze herleiten, auf welche wir
Arbeit wiederholt gestützt haben
in der
von
:
Hilfssatz 2 und der Satz
uns
es
in dieser
von
Morera
P.T. Maker bewiesenen verschärften Form.
Wir führen
folgende Bezeichnung
Q(z,h)
=
wieder ein
1
f(z + h)
n
-
f{z) +
i
f(z + ih)
—
i
f(z)
~
h
Damit Q (z,
h) unabhängig von z 6 G und h definiert ist, setzen wir fest :
0, zÇQ.
f(z)
Ist At, A2,... eine Nullfolge von reellen Zahlen, so
sagen wir, die
zugehörige Funktionenfolge Q\(z)
Q{z, hx) konvergiere auf dem
Rechteck R(x1 <T x < x2, yx ^ y ^ y2) ,,im Mittel"
gegen 0, falls
=
=
lim
A-»-oo
J§Q\dxdy
=
0
.
B
Wir sagen ferner, eine gewisse Bedingung sei für „fast alle Rechtecke
R G" erfüllt, falls die Ecken jener Rechtecke, für welche diese Bedin¬
gung nicht erfüllt ist, auf einer festen
Punktmenge
vom
Flächenmaß 0
liegen.
Mit diesen
9.
Satz 7.
Bezeichnungen gilt
nun
Voraussetzungen :
u(x,y) und v(x, y) seien über
1)
folgender
G
integrierbar.
2) Es existiere eine Nullfolge h±, h2,...
von reellen Zahlen, so daß die
zugehörige Funktionenfolge Q\{z)
Q(z, h\) auf fast jedem Rechteck
R(xt < x < x2, yx < y < y2), welches in G liegt, im Mittel gegen 0
=
strebt.
Behauptung
^(2)
10.
a)
nun
f(z)
=
=
Beweis
:
Es existiert eine in G
u(x, y) + i-v(x, y)
zu
reguläre
Funktion F (z),
in fast allen Punkten
so
daß
zß,
Satz 7.
Der Einfachheit halber nehmen wir an, G sei die
ganze Ebene. Ist
eine reelle Funktion
X(x,y) über jedes endliche Intervall
R[Xi ^
x
^ x2) Vi ^ y ^ y2) integrierbar,
so
besitzt das Mittel
(q>0)
255
+ e
^Q(x,y)
=
| j
-^T
—
folgende Eigenschaften9)
lim
ce)
Ag (x, y)
X(x +
s,
y +
t)dtds
—e
q
:
A (x,
—
+8
in fast allen Punkten
y)
(x, y),
e->o
ist auf
Xe(x, y)
ß)
jedem endlichen Intervall
R(xt <
absolut
< x2, yx < y < 2/2)
x
im Tonellischen Sinn, das heißt
stetig
ferner im Intervall
fast alle
y£{yi, y2)
Funktion
von
und dazu sind die
x^(xt, x2),
y für fast alle
dx
stetig
;
Ableitungen
dl,
Q
'
dy
integrierbar.
b) Setzen
^-
ist auf R
x
dX0
über R
Xe(x, y)
<! x2 absolut stetig als Funktion von x für
und *m Intervall y1 ^ y ^ y2 absolut stetig als
x1 ^
wir
/e(z + K)
fe(z)
nun
/e(z) +
-
uQ(x, y) -\- i-v9(x, y),
=
*
•
/e(z + iAx)
+e
Die linke Seite dieser
Gleichung
-
*
•
/a(z)
so
wird
=
+e
besitzt für X
->oo
in fast allen Punkten
z
den Grenzwert
dy
dx
(Wegen 8 existieren
0
r
Die rechte Seite
z
=
x
+ iy
ja
und
——
dx
hingegen
Riemannsche
strebt wegen
fe(z)
überall.)
Voraussetzung
2 für fast alle
erfüllt also in fast allen Punkten die
Bedingung
dx
256
fast
gegen 0.
Die Funktion
9) Vgl. [11],
-^
dy
S. 258.
dy
Cauchy-
Da ferner
und
uQ(x, y)
nach einem Satz
von
stetig (Tonelli) sind, folgt
regulär analytisch ist [5].
absolut
ve(x,y)
P.T. Maker, daß
fe(z)
inÖ
h ^ r] ^ y + h werde mit
Ä<|<a; + A,?/
c) Das Quadrat x
R(x, y,h) bezeichnet. Wir betrachten ein bestimmtes solches Quadrat
R{x0, y0, h0) c G und beweisen, daß die Funktionen fe(z) auf
R0
diesem Quadrat gleichmäßig beschränkt sind.
Zu diesem Zweck wählen wir ein h1>h0 (Aa bleibt im folgenden fest),
für welches jedes Quadrat R{x,y,h^) z> R0 ganz in G liegt.
Mit A (a;, y) bezeichnen wir die Funktion | u (x, y) \ + | v {x, y) | und
I(x,y) sei das Integral j" X ds, erstreckt über den Rand des Quadrates
R(x, y, Ax). Nach « gilt für fast alle (x, y) :
—
—
=
\imle{x,y)
I(x, y)
=
.
e->o
Wir wählen
2
|
Vi
—
Vo
nun
I <^i
den Punkt
—
(xlt y^) so, daß 2 | xx
x0 | <h1
^o und lim Ie (x1} yj existiert und endlich ist.
—
—
h0,
e->o
Aus dem
Cauchyschen Integralsatz folgt
nun
für
R0
z
leicht
IM^-^îîçhj-JI/.
(Integral
Ferner
und
über den Rand
R (xt, yx,
von
gilt
$\fe\ds^$leds
(Änderung
der
Integrationsreihenfolge)
$AQds
Für q
d)
->
0
ht) erstreckt.)
=
Ie{x1,y1)
.
bleibt aber die rechte Seite beschränkt.
Die Funktionen
fe(z)
sind also in
beschränkt ; ferner existiert nach
«
lim
R0 regulär und gleichmäßig
fast überall in R0.
(z)
fQ
e-*-o
Auf Grund des bekannten Satzes
von
Vitali schließt
man
daraus
leicht,
daß die Grenzfunktion
]imft{z)=F(z)
,
e-*-o
welche nach
17
«
fast überall
=
Commenter!! Mathematici Helvetici
f(z) ist,
in
R0 regulär
ist.
257
Bemerkungen
11.
a) Aus Satz
Satz 7'.
1)
2)
zu
folgt
7
Satz 7.
leicht
Voraussetzungen
u(x,y)
und
limQ(z,hx)
:
v(x, y) seien über G integrierbar.
Es existiere eine reelle
3)
:
Nullfolge hx, h2,...,
Es existiere eine über G
integrierbare
{1=1,2,3,...).
\Q(z,hd\<g(*)
Behauptung
:
dieses Satzes
gueschen Grenzwertsatzes
Voraussetzung
Funktion g (z) ^ 0,
so
daß
wie in Satz 7.
Gültigkeit
Die
daß fast überall in G
so
0.
=
2
sich sofort mit Hilfe des Lebes-
(Satz 7') folgt damit nämlich
Satz 7.
zu
Satz 7' ist eine
ergibt
Aus 2 und 3
:
weitgehende Verschärfung
eines
S.Kametani [4]
von
ganz ähnlich bewiesenen Satzes.
Der
obige
Satz enthält außerdem das
Hauptresultat
J.Ridder [3] und liefert ferner sofort den Hilfssatz 2
b)
Z
c
Punkten
G
sei eine
ztG
—
Menge
welche
=
/ (z)
mittelbar
aus
Maß 0 und
f(z)
von
sei
regulär
in allen
Z.
Hinreichend dafür, daß
werden kann
vom
zu
eines Satzes
Satz 5.
(d. h.,
/ (z)
über die
daß eine in G
ist auf G
Satz 7'
—
Z)
ergibt
ist
Menge Z analytisch fortgesetzt
holomorphe Funktion F(z) existiert,
folgende Bedingung, die sich fast un¬
:
u(x, y) und v(x, y) seien über G integrierbar und es existiere eine
integrierbare Funktion g(z) > 0, so daß \Q(z,h)\ ^ g(z), sofern
zeG-Z, z + heG-Z, z + iheG -Z (h reell).
c) Mit Hilfe der Beweismethode des Satzes
von
P.T. Maker herrührende
Satz.
1)
Voraussetzungen
u(x, y)
und
seien über G
integrierbar.
von
auch leicht die
Morera her [5]
:
:
v(x, y)
2) Für fast jedes Rechteck B(xt <
258
man
Verschärfung
x
< x2, yx < y < y2)
schwinde das über seinen Rand erstreckte
Behauptung
7 leitet
des Satzes
wie in Satz 7.
J7(z)
dz.
aus
G
ver¬
Man kann hier den Beweis
nehmen
:
Neu
zu
begründen
von
Satz 7 in fast unveränderter Form über¬
ist nur, daß für
die
f(z)
Cauchy-Riemann-
Bedingung
sche
öx
ay
folgt
fast überall erfüllt ist, und dies
aus
ist über den Rand des
der
Relation10)
j
ig2
ay
ox
(Das Integral
sofort
Quadrates R(x, y ; q)
zu
erstrecken.)
am
Rande ihres
BIBLIOGRAPHIE
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19 (1946) S. 266.
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Carathéodory, Vorlesungen
[10]
C.
[11]
L. M. Graves,
Theory
über reelle Funktionen. New York
(Eingegangen
10)
Nach L. M. Graves
(1948).
of functions of real variables. New York 1946.
den 5. Januar
1950.)
[11], S. 58, gilt fast überall
v + Q
v—e
und daraus
folgt
leicht
obige
Relation.
259
LEBENSLAUF
Am
22. Juli 1924 wurde ich in Rorschach
Nach
dem
Besuch
Rorschacher
der
Sekundärschule und der
bestand
ich
1944
Anschließend
die
Primär- und
Oberrealschule
St. Gallen
Maturitätsprüfung Typus
studierte
Mathematik und
geboren.
ich
der
Physik
an
der
Abteilung
Eidgenössischen
C.
für
Tech¬
nischen Hochschule in Zürich und erwarb mir im
Herbst 1948 das Diplom als Mathematiker.
bin
ich
als
Assistent
für höhere Mathematik
Herrn Prof. Dr. W. Sazer
regung
und
Ratschläge
herzlich danke.
Ebenso
tätig,
zur
dem
ich
Arbeit
spreche ich Herrn Prof.
im Oktober 1949.
bei
für An¬
vorliegenden
M. Plancherel meinen herzlichsten Dank
ZÜRICH,
Seither
Dr.
aus.
Kurt E. Meier.