Algebra und Zahlentheorie

Algebra und Zahlentheorie
Marcel Kerber
Mitschrift
VL6
30.4.12
1
Kongruenzen
1.1
Korollar
Seien m1 , . . . , mn paarweise teilerfremde Zahlen, dann ist die Abbildung
ϕ : Z |m1 ·...·mn Z
ϕ(x mod m1 · . . . · mn )
→ Z |m1 Z × . . . × Z |mn Z
=
(x mod m1 , . . . , x mod mn )
bijektiv.
Notation
x mod m = x̄ ∈ Z |mZ Äquivalenzklasse, deren Repräsentant x ist.
x ∈ Z : x mod m1 · . . . · mn ∈ Z |m1 ·...·mn Z
x mod mi ∈ Z |mi Z
Beweis
1. ϕ ist wohldefiniert, d.h. die Definition hängt nicht von der Wahl von x ab:
x, y
∈ Z : x mod m1 · . . . · mn = y mod m1 · . . . · mn ⇔ m1 · . . . · mn | x − y
⇒
mi | x − y ∀i ∈ 1, . . . , n
⇒
x mod mi = y mod mi ∀i ⇒ ϕ wohldef iniert
1
2. ϕ ist injektiv:
ϕ(x mod m1 · . . . · mn )
=
ϕ(y mod m1 · . . . · mn )
(x mod mi )i=1,...,n
=
(y mod mi )i=1,...,n
⇒ x mod mi
=
y mod mi ∀i
⇔ mi
|
x − y ∀i
m1 · . . . · mn
|
x−y
⇒ x mod m1 · . . . · mn
=
y mod m1 · . . . · mn
⇒
mi paarw. teilerf r.
3. ϕ ist surjektiv:
ai mod mi ∈ Z |mi Z i = 1, . . . , n
⇒ System
V L5
x
= a1 mod m1
..
.
x
= an mod mn
lösbar
⇒ ϕ(x mod m1 · . . . · mn ) = (a1 mod m1 , . . . , an mod mn )
4. ϕ bijekt.
1.2
Bemerkung äquivalenz von Aussagen
Seien X, Y endliche Mengen mit #X = #Y und f : X → Y Abbildung, dann
ist folgendes Äquivalent:
f ist
1. bijektiv
2. surjekt.
3. injekt.
klappt nur bei endlichen Mengen, z.B. X = Y = N, f (n) = 2n: injekt, aber
nicht surjekt.
Beispiel
1.
• ϕ−1 : Z |5Z → Z |35Z
2
5̄ ) = x mod 35, charakterisiert durch x ≡ 3 mod 5 und x ≡
• ϕ( |{z}
3̄ , |{z}
?
3 mod 5 5 mod 7
5 mod 7
• wissen: ∃ 1-dtg. Lsg. in Z |35Z
• x ≡ 3 mod 5 ⇒ x ∈ {3, 8, 13, . . . , 33, . . .}
• betrachte x für x ≡ 5 mod 7
• ⇒ x = 33 auch drin
• ⇒ ϕ−1 (3 mod 5, 5 mod 7) = 33 mod 35
2. ϕ−1 (2 mod 5, 4 mod 7) = 32 mod 35
Die eulersche ϕ−Abbildung
2
2.1
Definition Eulerabb.
Sei n ∈ N
1. ϕ(1) := 1
2.
n > 1 : ϕ(n)
=
#{a mod n : ggT (a, n) = 1
|
{z
}
teilerf remd
Beispiele
ϕ(2) = 1
ϕ(3) = 1
ϕ(4) = 1
ϕ(5) = 1
=
Anzahl der invertierbaren El. in Z |mZ = #Z |mZ
=
#{a ∈ {1, . . . , n − 1} : ggT (a, n) = 1}
teilerfremde
1
1,2
1,3
1,2,3,4
Für p prim: ϕ(p) = p − 1
2.2
Satz Multiplikativität Eulerabb.
ϕ ist multiplikativ, d.h. für m, n ∈ N, ggT (m, n) = 1 gilt:
ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n)
3
Beweis
• Sei 1 ≤ a ≤ mn − 1 : a | mn
• da ggT (m, n) = 1 ⇒ keine gemeinsamen Primfaktoren
• ⇒ a = a1 a2 : a1 | m, a2 | n, 1 ≤ a1 ≤ m − 1, 1 ≤ a2 ≤ n − 1
a|mn
• m = pk1 · . . . · pks
• n = q l1 · . . . · q lr
• umgekehrt a1 | m ∨ a2 | n ⇒ a1 a2 | mn
•
ϕ(mn)
=
#{a1 a2 | mn : a1 | m, a2 | n, 1 ≤ a1 ≤ m − 1, 1 ≤ a2 ≤ n − 1}
=
#{a1 | m : a1 ∈ 1, . . . , m − 1}} · #{a2 | m : a2 ∈ 1, . . . , m − 1}}
= ϕ(m)ϕ(n)
2.3
Proposition
p prim
1. ϕ(pν ) = pν − pν−1
Q
2. n ∈ N : ϕ(n) = n p|n (1 − p1 )
Beweis Teil1
•
ϕ(pν )
=
#{d ∈ 1, . . . , pν − 1} : ggT (d, pν ) = 1}
= pν − #{d ∈ {1, . . . , pν − 1} : ggT (d, pν ) > 1 }
|
{z
}
⇔ggT (d,p)>1⇔p|d
•
p | d ⇒ d = pd1
d1
≤ pν − 1
≤ pν−1 − 1
•
⇒ ϕ(pν )
= pν − 1 − #{pd1 : d1 ≤ pν−1 − 1}
= pν − 1 − (pν−1 − 1) = pν − pν−1
4
Beispiel ϕ(9) = ϕ(32 ) = 9 − 3 = 6
Beweis Teil2
• Sei n ∈ N bel.
• n = pν11 · . . . · pνss Primfaktozerlegung, νi ≥ 1
•
ϕ(n)
=
ϕ(p1ν1 ) · . . . · ϕ(psνs )
=
(pν11 − pν11 −1 ) · . . . · (pνss − psνs )
1
1
p1ν1 (1 − ) · . . . · psνs (1 − )
p1
ps
1
1
pν11 · . . . · pνss (1 − ) · . . . · (1 − )
p
ps
{z1
}
|
multiplikativ
=
=
n
=
Y
1
n (1 − )
p
p|n
3
Sigmaabbildung
3.1
Def. σ − Abb.
n∈N
σ(n) =
X
d|n
d∈N
Bsp
• σ(3) = 1 + 3 = 4
• σ(4) = 1 + 2 + 4 = 7
• σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12
5
d
3.2
Def vollkommene Zahlen
n ∈ N heißt vollkommen, falls σ(n) = 2n, z.B. σ(6)
3.3
Vermutung
∃∞ vollkommene Zahlen
3.4
Proposition
p prim, a ∈ N
σ(pa ) = 1+p+. . .+pa =
pa+1 −1
p−1
[xn+1 −1 = (x−1)(xn +xn−1 +. . .+x2 +8+1)]
Bsp
• σ(p2 ) = 1 + p + p2 =
• σ(
pa q b
|{z}
p3 −1
p−1
) = σ(pa )σ(q b ) : Teiler von pa q b der Form pa0 q b0 , a0 ≤
paarw.versch.prim
a, b0 ≤ b
X
X
P
a0
a0 b0
=
p
q
=
(
p
)(
pb0 ) =
0 ≤ a0 ≤ a
| {z } | {z }
0 ≤ b0 ≤ b
σ(pa )
σ(q b )
3.5
Def befreundete Zahlen
a, b ∈ N sind befreundet, wenn
σ(a) + σ(b) = a + b
z.B. 220,284
6
pa+1 −1
p−1
·
q b+1 −1
q−1