Mikroökonomik B 1. Intertemporale Entscheidung

Mikroökonomik B
1. Intertemporale Entscheidung
Paul Schweinzer
23. April 2009.
Mikro B
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Intertemporale Entscheidung
◮
Literaturangaben:
◮
Varian (2007), Kapitel 10, 11 und 30.3.
◮
Ausgangspunkt: Konsumententheorie, d.h.
Konsumentscheidung über die Zusammensetzung
verschiedener Güterbündel.
◮
Alternative Interpretation: Entscheidung über
Konsumzeitpunkte (Intertemporale Entscheidungstheorie).
◮
Anwendungen: Investitions- und Sparentscheidungen, Finanzund Kreditmärkte, Makroökonomie.
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Notation
◮
Es gebe T ∈ N verschiedene Zeitperioden.
◮
xt bezeichnet Anzahl an Einheiten eines Gutes in Periode t.
◮
Es wird nur ein (beliebig teilbares) Gut betrachtet, es könnte
z.B. stellvertretend für einen Warenkorb stehen.
◮
Der Vektor x = (x1 , x2 , . . . , xT ) ist ein Konsumplan.
◮
Die Konsummenge X beschreibt die Menge aller möglichen
Konsumpläne, d.h. es gilt: x ∈ X . X beschreibt die
Konsummöglichkeiten eines Konsumenten.
◮
Eigenschaften: X sei eine abgeschlossene, beschränkte und
konvexe Teilmenge des RT
+ und enthalte 0.
◮
Üblicherweise Einschränkungen beim tatsächlichen Konsum
z.B. durch begrenztes Budget ⇒ Budgetmenge.
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Budgetmenge
◮
◮
◮
◮
◮
◮
Analog zur Konsumententheorie kann Konsument nur solche
Konsumpläne wählen, deren Gesamtpreis das verfügbare
Einkommen des Konsumenten nicht übersteigen.
Preis: pt > 0 bezeichnet den Preis des Gutes in Periode t.
Einkommen: mt ist das exogen gegebene monetäre
Einkommen eines Konsumenten in Periode t.
Formal heißt das, der Konsument kann nur solche
Konsumpläne x wählen, die in der Budgetmenge B liegen.
B enthält alle xt pt , die kleinergleich dem zum Zeitpunkt t
verfügbaren Einkommen sind.
B wird davon abhängen, ob Einkommen in Periode t in
andere Perioden übertragen werden kann.
D.h., welche Instrumente der Kapitalmarkt bereitstellt (z.B.
Sparkonten, Kredite, Renten. . . ).
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Budgetmenge ohne Kapitalmarkt
◮
Annahme: Ein Kapitalmarkt existiert nicht, PeriodenEinkommen mt kann nur in Periode t ausgegeben werden.
◮
Was ist die Budgetmenge B?
◮
Alle Konsumpläne x, so dass die Kosten das Einkommen in
jeder Periode t nicht übersteigen:
B = {x ∈ X : p1 x1 ≤ m1 , p2 x2 ≤ m2 , . . . , pT xT ≤ mT }.
◮
Das Optimierungsproblem ist trivial:
Falls mehr Konsum besser ist, fällt der optimale Konsumplan
mit dem verfügbaren Einkommen zusammen.
◮
Ist dieses Szenario realistisch?
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 2 x2
m2/p2 +
(1+r)m1/p2
Anfangs-Einkommen m1
und m2 bestimmen einen
Konsumplan x1 = m1 /p1
und x2 = m2 /p2 , der in der
Budgetmenge liegen muß.
(m1/p1,m2/p2)
m2/p2
Budgetmenge B
m1/p1
(m2/(1+r)+m1)/p1
Konsum in Periode 1 x1
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 2 x2
m2/p2 +
(1+r)m1/p2
Budgetmenge bei
Einkommen m1 und m2
ohne Zugang zum
Kapitalmarkt: x1 ≤ m1 /p1
und x2 ≤ m2 /p2 .
(m1/p1,m2/p2)
m2/p2
Budgetmenge B
m1/p1
(m2/(1+r)+m1)/p1
Konsum in Periode 1 x1
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Budgetmenge mit Kapitalmarkt
◮
Annahme: ein Sparmarkt existiert, in jeder Periode kann zum
Zinssatz 1 + r Einkommen für die Dauer von einer Periode
angelegt werden. Es gibt keine Kredite.
◮
Falls ein Betrag y in Periode t angelegt wird, steht in Periode
t + 1 ein Betrag von (1 + r )y zur Verfügung.
◮
Manchmal wird 1 + r Brutto-Zinssatz und r der
Netto-Zinssatz genannt.
◮
Was ist die Budgetmenge B?
B = {x ∈ X : p1 x1 ≤ m1 ,
p2 x2 + (1 + r )p1 x1 ≤ m2 + (1 + r )m1 , . . . ,
T
T
X
X
T −t
(1 + r )
pt xt ≤
(1 + r )T −t mt }.
t=1
t=1
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Zwei-Perioden-Fall graphisch
m2/p2 +
(1+r)m1/p2
Konsum in Periode 2 x2
-(1+r)p1/p2
Einkommen in t = 1 kann
nach t = 2 übertragen
werden, aber nicht
umgekehrt.
(m1/p1,m2/p2)
m2/p2
Budgetmenge B
m1/p1
(m2/(1+r)+m1)/p1
Konsum in Periode 1 x1
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Budgetmenge
◮
Annahme: vollständiger Kapitalmarkt, in jeder Periode kann
zum Zinssatz 1 + r Einkommen für die Dauer von einer
Periode angelegt oder ausgeliehen werden.
◮
Einkommen kann vorwärts und rückwärts durch die Zeit
reisen.
◮
D.h., wir haben relative Preise für Periodeneinkommen und
können das Lebens-Einkommen in allen Perioden auch in
Einkommen in einer beliebigen Periode t ausdrücken.
◮
Z.B. in t = 1 Einkommen:
m2
m3
mT
y = m1 +
+
+ ... +
.
2
1+r
(1 + r )
(1 + r )T −1
◮
y nennt man auch Barwert (Gegenwartswert) des
Einkommensstroms m1 , m2 , . . . , mT .
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Budgetmenge
◮
Nachdem Perioden-Einkommen beliebig in andere Perioden
transferiert werden kann, ergibt sich die Budgetmenge zu
(
)
T
X
p2 x2
pT xT
mt
B = x ∈ X : p1 x1 +
+ ... +
≤
.
1+r
(1+r )T−1
(1+r )t−1
t=1
◮
Das bedeutet: Der Barwert der Kosten eines Konsumplans x
darf den Barwert des verfügbaren Lebenseinkommens nicht
übersteigen.
◮
Analogie zur Konsumentscheidung bei mehreren Gütern in
einer Periode, falls das Einkommen durch eine
Anfangsausstattung an Gütern gegeben ist. Wie dort wird hier
das Einkommen endogenisiert.
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Zwei-Perioden-Fall graphisch
m2/p2 +
(1+r)m1/p2
Konsum in Periode 2 x2
-(1+r)p1/p2
(m1/p1,m2/p2)
m2/p2
Einkommen in t = 1 kann
nach t = 2 übertragen werden,
und umgekehrt. Budgetmenge
bestimmt durch
Budgetmenge B
x1 p1 +
m1/p1
x2 p2
m2
≤ m1 +
.
1+r
1+r
(m2/(1+r)+m1)/p1
Konsum in Periode 1 x1
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Präferenzen über intertemporale Konsumpläne
◮
Wie über Güterbündel hat ein Konsument auch Präferenzen
über intertemporale Allokation, also Konsumpläne.
◮
Übliche Annahme: die Präferenzen über Konsumpläne eines
Konsumenten sind darstellbar durch eine Nutzenfunktion
u(x1 , x2 , . . . , xT ).
Meist machen wir die folgenden Annahmen
◮
◮
◮
◮
konvexe Präferenzen: Für alle Konsumpläne x, x ′ ∈ X ist die
Bessermenge {x ′ ∈ X : u(x ′ ) ≥ u(x)} konvex,
monotone Präferenzen: mehr Konsum eines Gutes ist
(schwach) besser als weniger.
Intuition: Kombination von zwei gleich guten Konsumplänen
wird gegenüber jedem der beiden Konsumpläne präferiert.
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Konvexe Präferenzen graphisch
x2
Indifferenzkurve
Besser-Richtung
x
u(tx+(1-t)x') > u(x) = u(x')
Jede positive Mischung
der Konsumpläne x und
x ′ liegt in der Bessermenge von x.
Ausgewogene Konsumpläne werden präferiert.
x'
x1
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Optimale intertemporale Konsumentscheidung
◮
Analog zur Konsumententheorie maximiert der Konsument
seinen Nutzen über alle Konsumpläne in der Budgetmenge:
max u(x) s.d. x ∈ B.
x∈X
◮
Unter monotones Präferenzen und vollständigem Kapitalmarkt
ist das Optimierungsproblem
max u(x) s.d.
x∈X
T
X
t=1
T
X
pt xt
mt
=
.
t−1
(1 + r )
(1 + r )t−1
t=1
◮
Bezeichne die Lösung dieses Problems mit x ∗ .
◮
Graphisch: x ∗ ist Tangentialpunkt von Budgetmenge und
Indifferenzkurve.
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Konsum in Periode 2
Zwei-Perioden-Fall graphisch
I
Bg
m2
m
x*
x*2
m1
x*1
Optimaler Konsumplan x ∗
ist Tangentialpunkt von
Budgetgerade Bg und
Indifferenzkurve I . Wenn
x1∗ > m1 /p1 , dann ist der
Konsument Kreditnehmer.
Konsum in Periode 1
(Vereinfachende Annahme in der Graphik: p1 = p2 = 1.)
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Optimale intertemporale Konsumentscheidung
◮
Übliche Annahme: Exponentielles Diskontieren
u(x) = u(x1 ) + δu(x2 ) + δ2 u(x3 ) + . . . + δt−1 u(xt ).
◮
δ ist der Diskontfaktor, mit dem zukünftiger Nutzen bewertet
wird.
◮
δ mißt Ungeduld eines Konsumenten: je höher δ, desto
wichtiger ist dem Konsumenten zukünftiger Konsum im
Vergleich zu gegenwärtigem Konsum.
◮
Vorteil dieser Formulierung: Verhalten des Konsumenten ist
konsistent über die Zeit.
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Optimale intertemporale Konsumentscheidung
◮
Optimierungsproblem mit zwei Perioden:
p2 x2
m2
= m1 +
.
max u(x1 ) + δu(x2 ) s.d. p1 x1 +
x1 ,x2
1+r
1+r
◮
Aus der Budgetgleichung folgt x2 =
◮
Einsetzen ergibt die Bedingung erster Ordnung
(1+r )(m1 −p1 x1 )+m2
.
p2
∂u(x1 )
p1 ∂u(x2 )
= (1 + r ) δ
.
∂x1
p2 ∂x2
◮
Das bedeutet, der Grenznutzen einer Einheit zukünftigen
Konsums entspricht genau dem Grenznutzen einer Einheit
gegenwärtigen Konsums zum Preis (1 + r ) pp12 .
◮
Bedingung erster Ordnung auch hinreichend?
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Veränderung des Zinssatzes
◮
Was passiert bei Änderung des Zinssatzes 1 + r ?
◮
Die Kosten für Kreditaufnahme bzw. die Erträge aus
Ersparnissen verändern sich.
◮
D.h. der Preis für zukünftigen Konsum verändert sich im
Vergleich zum Preis für gegenwärtigen Konsum.
Dadurch verändert sich die Budgetmenge:
◮
◮
◮
Bei einer Zinssenkung kommen kreditfinanzierte Konsumpläne
hinzu, ersparte fallen weg.
Bei einer Zinserhöhung fallen kreditfinanzierte Konsumpläne
weg, ersparte kommen hinzu.
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Konsum in Periode 2
Komparative Statik im Zwei-Perioden-Fall graphisch
Ausgangssituation:
Optimale intertemporale
Konsumentscheidung x ∗
bei Einkommen m und
Zinssatz 1 + r1 . K ist
Kreditnehmer in t = 1.
x**
−(1 + r1 ) pp12
m
x*
B(r2)
B(r1)
Konsum in Periode 1
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Konsum in Periode 2
Komparative Statik im Zwei-Perioden-Fall graphisch
−(1 + r2 ) pp12
Zinssatz erhöht sich auf
r2 > r1 .
Neue Budgetgerade ist
Drehung der alten um m.
x ∗ ist nicht mehr in der
Budgetmenge enthalten.
x**
m
x*
B(r2)
B(r1)
Konsum in Periode 1
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Konsum in Periode 2
Komparative Statik im Zwei-Perioden-Fall graphisch
Optimaler Konsumplan ist
nun x ∗∗ . Zinserhöhung bewirkt Konsumverlagerung
von Periode 1 nach 2—
hier so stark, dass K
Kreditgeber wird.
x**
m
x*
B(r2)
B(r1)
Konsum in Periode 1
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Veränderung des Zinssatzes
◮
Im graphischen Beispiel bewirkt die Zinserhöhung, daß
zukünftiger Konsum billiger wird und der Konsument den
gegenwärtigen Konsum einschränkt.
◮
Muss der gegenwärtige Konsum immer sinken, wenn der
Zinssatz steigt?
◮
Um diese Frage zu beantworten, können wir die
Slutsky-Gleichung benutzen.
◮
Zur Erinnerung: Die Slutsky-Gleichung besagt, dass die
Nachfrage-Änderung nach einem Gut im eigenen Preis sich in
Substitutionseffekt und Einkommenseffekt aufteilen läßt.
◮
Der Substitutionseffekt ist der Preisänderung entgegengesetzt.
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Veränderung des Zinssatzes
◮
Eigener Preis: Preis für eine Einheit x1 ist p1 (1 + r ) gemessen
in monetärem Einkommen in Periode 2.
◮
Slutsky-Gleichung formal:
∗
∂x1∗
∂x1h
m1
∗ ∂x1
=
+
,
− x1
∂p1 (1+r )
∂p1 (1+r )
p1
∂m
|{z}
| {z }
| {z }
Nachfrageänderung = Substitutions- + Einkommenseffekt
◮
Einkommenseffekt: Änderung von 1 + r wirkt auf Einkommen
m1 und Konsum x1 , Nettoeffekt ist entscheidend.
◮
Falls Zinssatz steigt und Konsum ein normales Gut:
Substitutionseffekt ist negativ und Einkommenseffekt positiv.
◮
D.h. Kreditnehmer werden ihren gegenwärtigen Konsum
verringern, Kreditgeber könnten ihn auch erhöhen.
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Konsum in Periode 2
Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch
x**
Ausgangssituation:
optimale intertemporale
Konsumentscheidung x ∗ bei
Einkommen m und Zins r1 .
Konsument ist Kreditgeber.
x*
m
EE
B(r2)
SE
xh1 x**
1
x*1
m1
B(r1)
Konsum in Periode 1
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Konsum in Periode 2
Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch
x**
Zinserhöhung auf r2 > r1 ,
neue Budgetgerade ist
Drehung der alten um m.
x*
m
EE
B(r2)
SE
xh1 x**
1
x*1
m1
B(r1)
Konsum in Periode 1
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Konsum in Periode 2
Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch
x**
Substitutionseffekt x1h − x1∗ :
Budget wird so angepasst,
dass der alte Nutzen gerade
erreicht wird, ergibt x1h .
x*
m
EE
B(r2)
SE
xh1 x**
1
x*1
m1
B(r1)
Konsum in Periode 1
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Konsum in Periode 2
Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch
x**
Neuer optimaler Konsumplan x ∗∗ bei r2 ergibt Einkommenseffekt x1∗∗ − x1h .
Gesamteffekt
x1∗∗ − x1∗ = SE + EE .
x*
m
EE
B(r2)
SE
xh1 x**
1
x*1
m1
B(r1)
Konsum in Periode 1
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Inflation
◮
Preis des Konsumgutes in Periode t ist gegeben mit pt .
◮
D.h. Güterpreise können im Zeitablauf steigen (Inflation) oder
sinken (Deflation).
◮
Bezeichne die Preissteigerung von einer Periode t auf Periode
t + 1 mit 1 + π = ppt+1
.
t
◮
Wir nennen π die Inflationsrate.
◮
Für jede Einheit des Konsumsgutes, die in t gespart wird,
erhält man in t + 1
pt
1+r
(1 + r ) =
≡1+ρ
pt+1
1+π
Einheiten des Gutes.
◮
Wir nennen ρ den Realzinssatz und r den Nominalzinssatz.
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Inflation
◮
Der nominale Zinssatz r gibt den monetären Zinsertrag an,
während ρ den Zinsertrag in Güter-Einheiten angibt.
◮
Zusammenhang:
1 + r = (1 + ρ)(1 + π),
r −π
ρ=
≈ r − π.
1+π
◮
Wer profitiert von steigender Inflation, Kreditnehmer oder
Kreditgeber?
◮
Bei steigender Inflation erfordern monetäre Zahlungsversprechen in der Zukunft weniger Einsatz von realen Gütern
(z.B. Arbeit), also profitieren Schuldner.
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Barwert
◮
Bewertung von zukünftigem Einkommen?
◮
Zum Beispiel zwei beliebige Einkommensströme
′ ).
m = (m0 , . . . , mT ) und m′ = (m0′ , . . . , mT
◮
Annahme: vollständiger Kapitalmarkt, Zinssatz für eine
Periode ist 1 + r und bleibt konstant über alle Perioden.
◮
Einfache Methode, um m und m′ zu vergleichen: Den Wert
beider Zahlungsströme in einer vorgegebenen Periode t zu
vergleichen.
◮
Der Barwert ist der Wert in der ersten Periode t = 0:
BW (m) = m0 +
m1
m2
mT
+
+ ... +
.
1+r
(1 + r )2
(1 + r )T
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Barwert & Zukunftswert
◮
Der Wert eines Einkommenstroms in einer Periode t > 1 ist
ein Zukunftswert:
ZWt (m) = (1+r )t m0 +(1+r )t−1 m1 +. . .+(1+r )t−T mT .
◮
Falls BW (m) > BW (m′ ), dann
- gilt dasselbe für alle Zukunftswerte ZWt (m) > ZWt (m′ ),
t = 1, 2, . . . , T und
- jeder Konsument mit monotonen Präferenzen (d.h. mehr
Konsum ist besser) wird m gegenüber m′ vorziehen.
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Barwert einer ewigen Rente (Annuität)
◮
Betrachten wir eine unendliche Folge von gleich hohen Auszahlungen m, z.B. aus Landwirtschaft, am Periodenende.
◮
Kann man auch diesen (Haushalts-)Einkommensstrom mittels
Barwertes bewerten und vergleichen?
◮
Bei konstantem Zinssatz 1 + r ergibt sich der Barwert zu
m
m
m
+
+
+ ...
BW (m)=0 +
2
1+r
(1+r )
(1+r )3
1
m
m
m + BW (m)
BW (m)=
m+
+
+ ... =
.
2
1+r
1+r
(1+r )
1+r
◮
Also ist der Barwert der ewigen Rente m: BW (m) =
m
.
r
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Beispiel
◮
Angenommen Sie erhalten das Angebot, 10 Euro sofort zu
bekommen und dafür den Rest des Semesters pro Woche 1
Euro zurückzahlen (TG hatte noch 11 Wochen).
◮
Zahlungsstrom:
m = (10, −1, −1, −1, −1, −1, −1, −1, −1, −1, −1, −1).
◮
Ist das ein gutes Geschäft?
◮
Dispositionkredit hat Zinssatz von ca. 1 % im Monat, also
etwa 0, 25 % pro Woche.
◮
Barwert:
BW (m) = 10 −
11
X
t=1
◮
1
= −0, 84.
(1, 0025)t
Angebot impliziert Zinssatz von mehr als 1, 7 % pro Woche.
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Mikro B
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Wertpapiernachfrage
◮
Finanzinstrumente darstellbar als Zahlungsströme der Art
(m0 , m1 , . . . , mT ).
◮
m mit m0 ≫ 0 und mt < 0 für t > 0 kann z.B. einen
Raten-Kredit darstellen.
◮
Bei Anleihen gilt das Gegenteil, z.B. m0 ≪ 0, mt > 0 für
0 < t < T und mT ≫ 0 (m0 ist Kaufpreis in t = 0).
◮
Falls Kapitalmarkt vollständig mit Zinssatz 1 + r , sind
Zahlungsströme anhand ihrer Barwerte vergleichbar.
◮
BW (m) > BW (m′ ) impliziert, dass Budgetmenge unter m die
unter m′ strikt enthält. Also zieht jeder Konsument mit streng
monotonen Präferenzen m gegenüber m′ strikt vor.
◮
Man sagt, m dominiert m′ .
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Mikro B
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Arbitrage
◮
Annahme: Zahlungsstrom m eines Wertpapiers dominiert den
eines anderen m′ . Was folgt für die Wertpapiernachfrage?
⇒ m′ wird nicht nachgefragt.
◮
Angenommen Konsumenten können Zahlungsströme auch
verkaufen (man denke z.B. an Kredite).
◮
Was halten Sie von folgenden Plan: Zahlungsverprechen m′
abgeben und Einkommensstrom m akzeptieren.
◮
Barwert dieses Planes: BW (m) − BW (m′ ) > 0, egal ob
BW (m) positiv oder negativ.
◮
D.h. jeder Konsument wird gleichzeitig m nachfragen und m′
anbieten, sooft wie möglich.
◮
Also können m und m′ nicht beide gehandelt werden.
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Mikro B
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Arbitrage
◮
Allgemein: Falls sich durch geschicktes Kombinieren
verschiedener Zahlungsströme mit Sicherheit ein positiver
Barwert erreichen läßt, nennt man dies eine Möglichkeit für
Arbitrage.
◮
Wir erwarten, dass für alle Wertpapiere, die tatsächlich
gehandelt werden, keine solche Arbitragemöglichkeit existiert
(Arbitragefreiheit).
◮
Tatsächlich sorgen beispielsweise Hedge-Fonds für
Arbitragefreiheit auf Kapitalmärkten.
◮
Theoretische Implikation: Alle sicheren Zahlungsströme, die
gehandelt werden, müssen den gleichen Barwert haben!
◮
Annahme dabei: keine Transaktionskosten.
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Mikro B
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Diskussion
◮
Intertemporale Konsumentscheidung entspricht Wahl zwischen
Gütern ”Konsum heute”und ”Konsum morgen”.
◮
Gängige Annahme: Präferenzen der Form
T
X
δt u(xt ).
u(x) =
t=0
◮
δ nennt man Diskontfaktor, kann als Geduld interpretiert
werden:
◮
◮
◮
δ < 1: zukünftiger Konsum wird niedriger bewertet als
heutiger,
δ > 1: zukünftiger Konsum wird höher bewertet als heutiger.
Falls Realzinssatz 1 + ρ = 1/δ, wird im Optimum in allen
Perioden gleichviel konsumiert.
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Mikro B
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1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Diskussion
◮
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Wichtige Eigenschaft dieser Präferenzen: δ ist konstant über
die Zeit (exponentielles Diskontieren).
Vorteil: Optimale Konsumpläne sind konsistent.
Beispiel: 3 Perioden, Zinssatz 1 + r und stabile Preise pt = 1.
Grenzrate der Substitution zwischen Periode 1 und 2:
GRS12 =
◮
∂u(x1 )
∂x1
.
Grenzrate der Substitution zwischen Periode 2 und 3:
GRS23 =
◮
2)
δ ∂u(x
∂x2
3)
δ2 ∂u(x
∂x3
2)
δ ∂u(x
∂x2
= GRS12 .
Optimierungsproblem sieht in jeder Periode ”gleich” aus.
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