Mikroökonomik B 1. Intertemporale Entscheidung

Mikroökonomik B
1. Intertemporale Entscheidung
Dennis Gärtner
10. April 2012
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Intertemporale Entscheidung
◮
Literaturangaben:
◮
Varian (2011), Kapitel 10 und 11.
◮
Ausgangspunkt: Konsumententheorie, d.h.
Konsumentscheidung über die Zusammensetzung
verschiedener Güterbündel.
◮
Alternative Interpretation: Entscheidung über
Konsumzeitpunkte (Intertemporale Entscheidungstheorie).
◮
Anwendungen: Investitions- und Sparentscheidungen,
Finanz- und Kreditmärkte, Makroökonomie.
2 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Notation
◮
Es gebe T ∈ N verschiedene Zeitperioden.
◮
xt bezeichnet Anzahl an Einheiten eines Gutes in
Periode t.
◮
Es wird nur ein (beliebig teilbares) Gut betrachtet, es
könnte z.B. stellvertretend für einen Warenkorb stehen.
◮
Der Vektor x = (x1 , x2 , . . . , xT ) ist ein Konsumplan.
◮
Die Konsummenge X beschreibt die Menge aller
möglichen Konsumpläne, d.h. es gilt: x ∈ X . X beschreibt
die Konsummöglichkeiten eines Konsumenten.
◮
Eigenschaften: X sei eine abgeschlossene, beschränkte
und konvexe Teilmenge des RT+ und enthalte 0.
◮
Üblicherweise Einschränkungen beim tatsächlichen
Konsum z.B. durch begrenztes Budget ⇒ Budgetmenge.
3 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Budgetmenge
◮
◮
◮
◮
◮
◮
Analog zur Konsumententheorie kann Konsument nur
solche Konsumpläne wählen, deren Gesamtpreis sein
verfügbares Einkommen nicht übersteigen.
Preis: pt > 0 bezeichnet den Preis des Gutes in Periode t.
Einkommen: mt ist das exogen gegebene monetäre
Einkommen eines Konsumenten in Periode t.
Formal heisst das, der Konsument kann nur solche
Konsumpläne x wählen, die in der Budgetmenge B liegen.
B enthält alle xt pt , die kleinergleich dem zum Zeitpunkt t
verfügbaren Einkommen sind.
B wird davon abhängen, ob Einkommen in Periode t in
andere Perioden übertragen werden kann.
D.h., welche Instrumente der Kapitalmarkt bereitstellt (z.B.
Sparkonten, Kredite, Renten. . . ).
4 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Budgetmenge ohne Kapitalmarkt
◮
Annahme: Ein Kapitalmarkt existiert nicht, PeriodenEinkommen mt kann nur in Periode t ausgegeben werden.
◮
Was ist die Budgetmenge B?
◮
Alle Konsumpläne x, so dass die Kosten das Einkommen
in jeder Periode t nicht übersteigen:
B = {x ∈ X : p1 x1 ≤ m1 , p2 x2 ≤ m2 , . . . , pT xT ≤ mT }.
◮
Das Optimierungsproblem ist trivial:
Falls mehr Konsum besser ist, fällt der optimale
Konsumplan mit dem verfügbaren Einkommen zusammen.
◮
Ist dieses Szenario realistisch?
5 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 2 x2
m2/p2 +
(1+r)m1/p2
Anfangs-Einkommen m1
und m2 bestimmen einen
Konsumplan x1 = m1 /p1
und x2 = m2 /p2 , der in
der Budgetmenge liegen
muss.
(m1/p1,m2/p2)
m2/p2
Budgetmenge B
m1/p1
(m2/(1+r)+m1)/p1
Konsum in Periode 1 x1
6 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 2 x2
m2/p2 +
(1+r)m1/p2
Budgetmenge bei
Einkommen m1 und m2
ohne Zugang zum
Kapitalmarkt: x1 ≤ m1 /p1
und x2 ≤ m2 /p2 .
(m1/p1,m2/p2)
m2/p2
Budgetmenge B
m1/p1
(m2/(1+r)+m1)/p1
Konsum in Periode 1 x1
7 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Budgetmenge mit ‘Sparmarkt’
◮
Annahme: ein Sparmarkt existiert, in jeder Periode kann
zum Zinssatz 1 + r Einkommen für die Dauer von einer
Periode angelegt werden. Es gibt keine Kredite.
◮
Falls ein Betrag y in Periode t angelegt wird, steht in
Periode t + 1 ein Betrag von (1 + r )y zur Verfügung.
◮
Manchmal wird 1 + r Brutto-Zinssatz und r der
Netto-Zinssatz genannt.
◮
Was ist die Budgetmenge B?
B = {x ∈ X : p1 x1 ≤ m1 ,
p2 x2 + (1 + r )p1 x1 ≤ m2 + (1 + r )m1 , . . . ,
T
X
t=1
T −t
(1 + r )
pt xt ≤
T
X
(1 + r )T −t mt }.
t=1
8 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Zwei-Perioden-Fall graphisch
m2/p2 +
(1+r)m1/p2
Konsum in Periode 2 x2
-(1+r)p1/p2
Einkommen in t = 1 kann
nach t = 2 übertragen
werden, aber nicht
umgekehrt.
(m1/p1,m2/p2)
m2/p2
Budgetmenge B
m1/p1
(m2/(1+r)+m1)/p1
Konsum in Periode 1 x1
9 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Budgetmenge mit Kapitalmarkt
◮
Annahme: vollständiger Kapitalmarkt, in jeder Periode
kann zum Zinssatz 1 + r Einkommen für die Dauer von
einer Periode angelegt oder ausgeliehen werden.
◮
Einkommen kann vorwärts und rückwärts durch die Zeit
reisen.
◮
D.h., wir haben relative Preise für Periodeneinkommen und
können das Lebens-Einkommen in allen Perioden auch in
Einkommen in einer beliebigen Periode t ausdrücken.
◮
Z.B. in t = 1 Einkommen:
m3
m2
mT
y = m1 +
+
+ ... +
.
2
1+r
(1 + r )
(1 + r )T −1
◮
y nennt man auch Barwert (Gegenwartswert) des
Einkommensstroms m1 , m2 , . . . , mT .
10 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Budgetmenge mit Kapitalmarkt
◮
Nachdem Perioden-Einkommen beliebig in andere
Perioden transferiert werden kann, ergibt sich die
Budgetmenge zu
(
)
T
X
p2 x2
pT xT
mt
B = x ∈ X : p1 x1 +
+ ... +
≤
.
1+r
(1+r )T−1
(1+r )t−1
t=1
◮
Das bedeutet: Der Barwert der Kosten eines Konsumplans
x darf den Barwert des verfügbaren Lebenseinkommens
nicht übersteigen.
◮
Analogie zur Konsumentscheidung bei mehreren Gütern in
einer Periode, falls das Einkommen durch eine
Anfangsausstattung an Gütern gegeben ist. Wie dort wird
hier das Einkommen endogenisiert.
11 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Zwei-Perioden-Fall graphisch
m2/p2 +
(1+r)m1/p2
Konsum in Periode 2 x2
-(1+r)p1/p2
(m1/p1,m2/p2)
m2/p2
Budgetmenge B
Einkommen in t = 1 kann
nach t = 2 übertragen
werden, und umgekehrt.
Budgetmenge bestimmt
durch
x1 p1 +
m1/p1
x2 p2
m2
≤ m1 +
.
1+r
1+r
(m2/(1+r)+m1)/p1
Konsum in Periode 1 x1
12 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Präferenzen über intertemporale Konsumpläne
◮
Wie über Güterbündel hat ein Konsument auch
Präferenzen über intertemporale Allokation, also
Konsumpläne.
◮
Übliche Annahme: die Präferenzen über Konsumpläne
eines Konsumenten sind darstellbar durch eine
Nutzenfunktion U(x1 , x2 , . . . , xT ).
Meist treffen wir folgende Annahmen
◮
◮
◮
◮
konvexe Präferenzen: Für alle Konsumpläne x , x ′ ∈ X ist
die Bessermenge {x ′ ∈ X : U(x ′ ) ≥ U(x )} konvex,
monotone Präferenzen: in jeder Periode ist mehr Konsum
eines Gutes (schwach) besser als weniger.
Intuition: Kombination von zwei gleich guten
Konsumplänen wird gegenüber jedem der beiden
Konsumpläne präferiert.
13 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Konvexe Präferenzen graphisch
x2
Indifferenzkurve
Besser-Richtung
x
U(tx+(1-t)x') > U(x) = U(x')
Jede positive Mischung
der Konsumpläne x
und x ′ liegt in der
Bessermenge von x.
‘Ausgewogene’
Konsumpläne werden
präferiert.
x'
x1
14 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Optimale intertemporale Konsumentscheidung
◮
Analog zur Konsumententheorie maximiert der Konsument
seinen Nutzen über alle Konsumpläne in der
Budgetmenge:
max U(x) s.d. x ∈ B.
x∈X
◮
Unter monotonen Präferenzen und vollständigem
Kapitalmarkt ist das Optimierungsproblem
max U(x) s.d.
x∈X
T
X
t=1
T
X
pt xt
mt
=
.
(1 + r )t−1
(1 + r )t−1
t=1
◮
Bezeichne die Lösung dieses Problems mit x ∗ .
◮
Graphisch: x ∗ ist Tangentialpunkt von Budgetmenge und
Indifferenzkurve.
15 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Konsum in Periode 2
Zwei-Perioden-Fall graphisch
Optimaler Konsumplan
x ∗ ist Tangentialpunkt
von Budgetgerade Bg
und Indifferenzkurve I.
I
Bg
m2
m
x*
x*2
m1
x*1
Wenn x1∗ > m1 /p1 , dann
ist der Konsument in
t = 1 Kreditnehmer.
Konsum in Periode 1
(Vereinfachende Annahme in der Graphik: p1 = p2 = 1.)
16 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Optimale intertemporale Konsumentscheidung
◮
Form von U(x) = U(x1 , . . . , xT )?
◮
Übliche Annahme: Exponentielles Diskontieren
U(x) = u(x1 ) + δu(x2 ) + δ2 u(x3 ) + . . . + δT −1 u(xT ).
◮
δ ist der Diskontfaktor, mit dem zukünftiger Nutzen
bewertet wird.
◮
δ misst Ungeduld eines Konsumenten: je höher δ, desto
wichtiger ist dem Konsumenten zukünftiger Konsum im
Vergleich zu gegenwärtigem Konsum.
◮
Vorteil dieser Formulierung: Verhalten des Konsumenten
ist konsistent über die Zeit.
17 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Optimale intertemporale Konsumentscheidung
◮
◮
◮
Optimierungsproblem mit zwei Perioden:
p2 x2
m2
= m1 +
.
max u(x1 ) + δu(x2 ) s.d. p1 x1 +
x1 ,x2
1+r
1+r
1 x1 )+m2
Aus der Budgetgleichung folgt x2 = (1+r )(m1 −p
.
p2
Einsetzen ergibt die Bedingung erster Ordnung
u ′ (x1 ) = (1 + r )
◮
◮
p1 ′
δ u (x2 )
p2
⇔
u ′ (x1 )
(1 + r )p1
=
.
′
δ u (x )
p2
| {z 2 }
GRS12
Das bedeutet, der Grenznutzen einer Einheit zukünftigen
Konsums entspricht genau dem Grenznutzen einer Einheit
gegenwärtigen Konsums zum Preis (1 + r ) pp12 .
Bedingung erster Ordnung auch hinreichend?
18 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Veränderung des Zinssatzes
◮
Was passiert bei Änderung des Zinssatzes 1 + r ?
◮
Die Kosten für Kreditaufnahme bzw. die Erträge aus
Ersparnissen verändern sich.
◮
D.h. der Preis für zukünftigen Konsum verändert sich im
Vergleich zum Preis für gegenwärtigen Konsum.
Dadurch verändert sich die Budgetmenge:
◮
◮
◮
Bei einer Zinssenkung kommen kreditfinanzierte
Konsumpläne hinzu, ersparte fallen weg.
Bei einer Zinserhöhung fallen kreditfinanzierte
Konsumpläne weg, ersparte kommen hinzu.
19 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Konsum in Periode 2
Komparative Statik im Zwei-Perioden-Fall graphisch
Ausgangssituation:
Optimale intertemporale
Konsumentscheidung x ∗
bei Einkommen m und
Zinssatz 1 + r1 . K ist
Kreditnehmer in t = 1.
x**
−(1 + r1 ) pp12
m
x*
B(r2)
B(r1)
Konsum in Periode 1
20 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Komparative Statik im Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 2
Zinssatz erhöht sich auf
r2 > r1 .
Neue Budgetgerade ist
Drehung der alten um m.
−(1 + r2 ) pp12
x**
x ∗ ist nicht mehr in der
Budgetmenge enthalten.
m
x*
B(r2)
B(r1)
Konsum in Periode 1
21 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Komparative Statik im Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 2
Optimaler Konsumplan
ist nun x ∗∗ .
Zinserhöhung bewirkt
Konsumverlagerung von
Periode 1 nach 2;
x**
hier so stark, dass K
Kreditgeber wird.
m
x*
B(r2)
B(r1)
Konsum in Periode 1
22 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Veränderung des Zinssatzes
◮
Im graphischen Beispiel bewirkt die Zinserhöhung, dass
zukünftiger Konsum billiger wird und der Konsument den
gegenwärtigen Konsum einschränkt.
◮
Muss der gegenwärtige Konsum immer sinken, wenn der
Zinssatz steigt?
◮
Um diese Frage zu beantworten, können wir die
Slutsky-Gleichung benutzen.
◮
Zur Erinnerung: Die Slutsky-Gleichung besagt, dass die
Nachfrage-Änderung nach einem Gut im eigenen Preis
sich in Substitutionseffekt und Einkommenseffekt aufteilen
lässt.
◮
Der Substitutionseffekt ist der Preisänderung
entgegengesetzt.
23 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Veränderung des Zinssatzes
◮
◮
Eigener Preis: Preis für eine Einheit x1 ist p1 (1 + r )
gemessen in monetärem Einkommen in Periode 2.
Slutsky-Gleichung formal:
∂x1∗
∂x1h
∂x1∗
m1
∗
=
+
− x1
,
∂p1 (1+r )
∂p1 (1+r )
p1
∂m
| {z }
| {z } |
{z
} |{z}
(?)
(−)
(?)
(+)
Nachfrageänderung = Substitutions- + Einkommenseffekt
◮
◮
◮
Einkommenseffekt: Änderung von 1 + r wirkt auf
Einkommen m1 und Konsum x1 , Nettoeffekt ist
entscheidend.
Falls Zinssatz steigt und Konsum ein normales Gut:
Substitutionseffekt ist negativ und Einkommenseffekt
positiv.
D.h. Kreditnehmer werden ihren gegenwärtigen Konsum
verringern, Kreditgeber könnten ihn auch erhöhen.
24 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Konsum in Periode 2
Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch
x**
Ausgangssituation:
optimale intertemporale
Konsumentscheidung x ∗
bei Einkommen m und
Zins r1 . Konsument ist
Kreditgeber.
x*
m
EE
B(r2)
SE
xh1 x**
1
x*1
m1
B(r1)
Konsum in Periode 1
25 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Konsum in Periode 2
Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch
x**
Zinserhöhung auf r2 > r1 ,
neue Budgetgerade ist
Drehung der alten um m.
x*
m
EE
B(r2)
SE
xh1 x**
1
x*1
m1
B(r1)
Konsum in Periode 1
26 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Konsum in Periode 2
Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch
x**
Substitutionseffekt
x1h − x1∗ : Budget wird so
angepasst, dass der alte
Nutzen gerade erreicht
wird, ergibt x1h .
x*
m
EE
B(r2)
SE
xh1 x**
1
x*1
m1
B(r1)
Konsum in Periode 1
27 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Konsum in Periode 2
Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch
x**
Neuer optimaler Konsumplan x ∗∗ bei r2 ergibt Einkommenseffekt x1∗∗ − x1h .
Gesamteffekt
x1∗∗ − x1∗ = SE + EE .
x*
m
EE
B(r2)
SE
xh1 x**
1
x*1
m1
B(r1)
Konsum in Periode 1
28 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Inflation
◮
◮
◮
◮
◮
◮
Preis des Konsumgutes in Periode t ist gegeben mit pt .
D.h. Güterpreise können im Zeitablauf steigen (Inflation)
oder sinken (Deflation).
Bezeichne die Preissteigerung von einer Periode t auf
p
Periode t + 1 mit 1 + π = pt+1
.
t
Wir nennen π die Inflationsrate.
Für jede Einheit des Konsumsgutes, die in t gespart wird,
erhält man in t + 1
pt
1+r
≡ 1+ρ
(1 + r ) =
pt+1
1+π
Einheiten des Gutes.
Wir nennen ρ den Realzinssatz und r den
Nominalzinssatz.
29 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Inflation
◮
Der nominale Zinssatz r gibt den monetären Zinsertrag
an, während ρ den Zinsertrag in Güter-Einheiten angibt.
◮
Zusammenhang:
1 + r = (1 + ρ)(1 + π),
r −π
ρ=
≈ r − π.
1+π
30 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Barwert
◮
Bewertung von zukünftigem Einkommen?
◮
Zum Beispiel zwei beliebige Einkommensströme
m = (m0 , . . . , mT ) und m′ = (m0′ , . . . , mT′ ).
◮
Annahme: vollständiger Kapitalmarkt, Zinssatz für eine
Periode ist 1 + r und bleibt konstant über alle Perioden.
◮
Einfache Methode, um m und m′ zu vergleichen: Den Wert
beider Zahlungsströme in einer vorgegebenen Periode t zu
vergleichen.
◮
Der Barwert ist der Wert in der ersten Periode t = 0:
BW (m) = m0 +
m1
m2
mT
+
+ ... +
.
1+r
(1 + r )2
(1 + r )T
31 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Barwert & Zukunftswert
◮
Der Wert eines Einkommenstroms in einer Periode t > 0
ist ein Zukunftswert:
ZWt (m) = (1+r )t m0 +(1+r )t−1 m1 +. . .+(1+r )t−T mT .
◮
Falls BW (m) > BW (m′ ), dann
◮
gilt dasselbe für alle Zukunftswerte ZWt (m) > ZWt (m′ ),
t = 1, 2, . . . , T , und
◮
wird jeder Konsument mit monotonen Präferenzen (d.h.
mehr Konsum ist besser) m gegenüber m′ vorziehen.
32 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Addieren von Einkommensströmen
◮
Ihr ursprünglicher Einkommensstrom sei
m = (m0 , m1 , . . . , mT ).
◮
Nun komme ein Strom (z.B. hinzugekaufte Anleihe) von
m′ = (m0′ , m1′ , . . . , mT′ ) hinzu.
◮
Wie hoch ist der Barwert des Netto-Stromes m + m′ ?
m1 + m1′
m2 + m2′
+
+ ···
1+r
(1 + r )2
= BW (m) + BW (m′ ).
BW (m + m′ ) = (m0 + m0′ ) +
33 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Barwert einer ewigen Rente (Annuität)
◮
Betrachten wir eine unendliche Folge von gleich hohen
Auszahlungen m, z.B. aus Landwirtschaft (Auszahlung
jeweils am Periodenende).
◮
Kann man auch diesen (Haushalts-)Einkommensstrom
mittels Barwertes bewerten und vergleichen?
◮
Bei konstantem Zinssatz 1 + r ergibt sich der Barwert zu
m
m
m
BW (m)=0 +
+
+
+ ...
2
1+r
(1+r )
(1+r )3
1
m
m
m + BW (m)
=
m+
+
+ ... =
.
2
1+r
1+r
1+r
(1+r )
◮
Also ist der Barwert der ewigen Rente m: BW (m) =
m
.
r
34 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Beispiel
◮
Angenommen Sie erhalten das Angebot, 10 Euro sofort zu
bekommen und dafür den Rest des Semesters (11
Wochen) pro Woche 1 Euro zurückzuzahlen.
◮
Zahlungsstrom:
m = (10, −1, −1, −1, −1, −1, −1, −1, −1, −1, −1, −1).
◮
Ist das ein gutes Geschäft?
◮
Dispokredit hat Zinssatz von ca. 1% im Monat, also etwa
0, 25% pro Woche.
◮
Barwert:
BW (m) = 10 −
11
X
t=1
◮
1
= −0, 84.
(1, 0025)t
Angebot impliziert Zinssatz von mehr als 1, 7% pro Woche.
35 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Wertpapiernachfrage
◮
Finanzinstrumente darstellbar als handelbare
Zahlungsströme der Art (m0 , m1 , . . . , mT ).
◮
Beispiele:
m0
m1
m2
...
mT −1
mT
Raten-Kredit:
++
−
−
−
−
−
Anleihe:
−−
+
+
+
+
++
◮
Falls Kapitalmarkt vollständig mit Zinssatz 1 + r , sind
Zahlungsströme anhand ihrer Barwerte vergleichbar.
BW (m′′ ) > BW (m′ ) ⇒ Budgetmenge unter m′′ enthält
jene unter m′ strikt ⇒ Jeder Konsument mit streng
monotonen Präferenzen zieht m′′ gegenüber m′ strikt vor.
◮
Man sagt: m′′ dominiert m′ .
◮
36 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Arbitrage
◮
Annahme: Zahlungsstrom m eines Wertpapiers dominiert
den eines anderen m′ . Was folgt für die
Wertpapiernachfrage?
⇒ m′ wird nicht nachgefragt.
◮
Angenommen Konsumenten können Zahlungsströme auch
verkaufen (man denke z.B. an Kredite).
◮
Was halten Sie von folgendem Plan: Zahlungsverprechen
m′ abgeben und Einkommensstrom m akzeptieren.
◮
Barwert dieses Planes: BW (m) − BW (m′ ) > 0, egal ob
BW (m) positiv oder negativ.
◮
D.h. jeder Konsument wird gleichzeitig m nachfragen und
m′ anbieten, sooft wie möglich.
◮
Also können m und m′ nicht beide gehandelt werden.
37 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Arbitrage
◮
Allgemein: Falls sich durch geschicktes Kombinieren
verschiedener Zahlungsströme mit Sicherheit ein positiver
Barwert erreichen lässt, nennt man dies eine Möglichkeit
für Arbitrage.
◮
Wir erwarten, dass für alle Wertpapiere, die tatsächlich
gehandelt werden, keine solche Arbitragemöglichkeit
existiert (Arbitragefreiheit).
◮
Tatsächlich sorgen beispielsweise Hedge-Fonds für
Arbitragefreiheit auf Kapitalmärkten.
◮
Theoretische Implikation: Alle sicheren Zahlungsströme,
die gehandelt werden, müssen den gleichen Barwert
haben!
◮
Annahme dabei: keine Transaktionskosten.
38 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Diskussion
◮
Intertemporale Konsumentscheidung entspricht Wahl
zwischen Gütern “Konsum heute” und “Konsum morgen”.
◮
Gängige Annahme: Präferenzen der Form
T
X
δt u(xt ).
U(x1 , . . . , xT ) =
t=0
◮
δ nennt man Diskontfaktor, kann als Geduld interpretiert
werden:
◮
◮
δ < 1: zukünftiger Konsum wird niedriger bewertet als
heutiger,
δ > 1: zukünftiger Konsum wird höher bewertet als heutiger.
39 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Diskussion
◮
Wichtige Eigenschaft dieser Präferenzen: δ ist konstant
über die Zeit (exponentielles Diskontieren).
◮
Vorteil: Optimale Konsumpläne sind konsistent.
Grenzrate der Substitution zwischen Periode 1 und 2:
dx2 ∂U(x1 , . . . , xT )/∂x1
u ′ (x1 )
GRS12 = −
=
=
dx1 dU=0 ∂U(x1 , . . . , xT )/∂x2
δu ′ (x2 )
◮
◮
◮
◮
Grenzrate der Substitution zwischen Periode 2 und 3:
δu ′ (x )
u ′ (x )
GRS23 = 2 ′ 2 = ′ 2 = GRS12 .
δu (x3 )
δ u (x3 )
Optimierungsproblem sieht in jeder Periode “gleich” aus.
Falls Realzinssatz 1 + ρ = 1/δ, wird im Optimum in allen
Perioden gleich viel konsumiert (da GRSt,t+1 = (1 + ρ)).
40 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Beispiel: Zeitinkonsistenz von Präferenzen
◮
Sie können in einer der nächsten 3 Wochen ins Kino.
◮
Wert der Filme xt (gemessen in Geldeinheiten der
jeweiligen Periode):
xt
Film 1
3
Film 2
8
Film 3
24
◮
Wenn Sie diese Woche nicht ins Kino gehen, können Sie
sich nächste Woche nochmals zwischen Film 2 und 3
entscheiden.
◮
Präferenzen 1 (‘exponentielles Diskontieren’):
2
3
U(x) = x1 + 12 x2 + 12 x3 + 12 x4 + · · ·
◮
Präferenzen 2 (‘hyperbolisches Diskontieren’):
1
1
U(x) = x1 + 14 x2 +
4 x3 +
4 x4 + · · ·
41 / 42
Mikro B
-
1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Beispiel: Zeitinkonsistenz von Präferenzen
◮
Präferenzen 1: U(x) = x1 + 12 x2 +
Film 1
Film 2
Film 3
◮
xt
3
8
24
U(x) in Woche 1
3
4
6
Präferenzen 2: U(x) = x1 + 14 x2 +
xt U(x) in Woche 1
Film 1 3
3
Film 2 8
2
Film 3 24
6
1 2
x3
2
+
1 3
x4
2
+ ···
U(x) in Woche 2
–
8
12
1
4 x3
1
+
4 x4 + · · ·
U(x) in Woche 2
–
8
6
→ Präferenzen 2 sind zeitinkonsistent: Sie wollen diese
Woche lieber in Film 3 als 2, nächste Woche sehen Sie
das anders!
42 / 42