Übungsaufgaben Mikroökonomie

LS VWL (Mikroökonomie)
Sommersemester 2011
Übungsaufgaben
Mikroökonomie
Aufgabenblatt 1
Marktgleichgewicht
Aufgabe 1.1:
Ein Markt sei durch lineare Angebots- und Nachfragefunktionen bestimmt:
f D (p) = 100 − 10p
f S (p) = 15p.
und
(a) Was gibt die Angebotsfunktion, was die Nachfragefunktion an?
(b) Erläutern Sie anhand des Reservationspreiskonzeptes, weshalb die
Angebotsfunktion gewöhnlich einen steigenden, die Nachfragefunktion einen fallenden Verlauf aufweist!
(c) Wodurch ist ein Marktgleichgewicht charakterisiert? Ermitteln Sie
dieses!
Aufgabe 1.2:
f S (p) = 1000 · p − 300,
f D (p) = 1500 − 200 · p.
Die Angebotsfunktion für Reis sei
funktion sei gegeben durch
die Nachfrage-
(a) Welche Aussage lässt sich aus dieser Nachfragefunktion treen?
Wie verändert sich insbesondere die Nachfrage(-funktion), wenn der
Preis steigt?
(b) Ermitteln Sie das Marktgleichgewicht!
(c) Welches Marktgleichgewicht würde sich ergeben
(i) bei einem Mindestpreis von
p = 1?
(ii) bei einem Mindestpreis von
p = 2?
(iii) bei einem Höchstpreis von
p̄ = 1?
(iv) Welche Marktteilnehmer werden jeweils rationiert?
Aufgabe 1.3:
An einem Börsentag mögen die unten aufgeführten Kauf- und Verkaufsabsichten für eine bestimmte Aktie, die einem Makler in Form von Orders
mit Limits (= Reservationspreisen) zugegangen sind, bestehen:
Verkauforders
Kauforders
Stück
Mindestpreis
Stück
Höchstpreis
10
100
20
170
30
110
30
130
50
120
40
120
40
140
50
100
20
160
20
90
(a) Ermitteln Sie (graphisch oder tabellarisch) das geplante Käufer- und
Verkäuferverhalten aggregiert in Form von Angebots- und Nachfragefunktionen!
(b) Welcher Preis (Kurs) gleicht Angebot und Nachfrage aus? Wieviele
Aktien werden gehandelt?
(c) Welches (geplante) Verhalten führt im Gleichgewicht
(i) ein Nachfrager mit Höchstpreis
(ii) ein Anbieter mit Mindestpreis
100
110
aus?
Aufgabe 1.4:
Bei der Fussballbörse zur Euro 2000 hat Veranstalter Ribaldo Ihnen den
Job des Auktionators für den Markt 'Frankreich' übertragen. Ihre Aufgabe ist es, die nach und nach eintrudelnden Verkaufs- und Kaufgebote
für Frankreich-Aktien auf ihre Realisierbarkeit zu prüfen und ggf. durchzuführen. Gebote, die nicht sofort gehandelt werden können, werden zunächst zurückgestellt und erneut überprüft, wenn neue Verkaufs- oder
Kaufgebote bei Ihnen eingehen. Stehen einem neuen Verkaufsgebot mehrere Kaufgebote gegenüber, so werden höhere Kaufgebote zu den jeweils
höchstmöglichen Preisen zuerst realisiert.
Beispiel:
Bei einem Verkaufsgebot '60 Aktien zu 50 Geldeinheiten (GE)', das auf
zwei Kaufgebote '20 Aktien zu 60 GE' und '70 Aktien zu 50 GE' trit,
werden zuerst 20 Aktien zu 60 GE gehandelt (es bleiben das Verkaufsgebot '40 Aktien zu 50 GE' und das Kaufgebot '70 Aktien zu 50 GE'
übrig). Danach wechseln 40 Aktien zu 50 GE die Seiten.
Entsprechend gilt: Trit ein neues Kaufgebot auf mehrere Verkaufsgebote, so werden die günstigsten Verkaufsgebote zu den jeweils niedrigsten
Preisen bevorzugt behandelt. Die folgende Tabelle gibt die bei Ihnen
eingehenden Verkaufs- und Kaufgebote in zeitlicher Reihenfolge an:
Runde t
Verkaufsgebot*)
Kaufgebot*)
1
120 zu 70
100 zu 50,
80 zu 60
2
60 zu 60
3
60 zu 50
4
70 zu 70
5
30 zu 60
6
20 zu 50
7
170 zu 50
*) Alle Gebote sind in 'x Stück zu
p
10 zu 40
GE' notiert.
(a) Behandeln Sie alle Gebote in zeitlicher Reihenfolge. (Tipp: Ordnen
Sie für jede Runde die noch aktuellen Gebote beginnend mit dem
höchsten Preis, so dass Verkaufsgebote links und Kaufgebote rechts
stehen.) Wie lauten die Gleichgewichte in den Runden 2, 4 und 7?
Welche Gebote bleiben nach Runde 7 übrig?
(b) Angenommen Ihr Rechner sei abgestürzt, so dass lediglich alle Gebote, nicht aber deren zeitliche Reihenfolge rekonstruiert werden
können. Aggregieren Sie zunächst Verkaufs-, dann alle Kaufgebote (graphisch oder rechnerisch) und bestimmmen Sie das Gleichgewicht!
(c) Machen Sie sich klar, warum es Gebote geben kann, die in Teil
(a) realisiert werden, in Teil (b) hingegen nicht (und umgekehrt)!
Erklären Sie dazu den Begri eines Marktgleichgewichtes und wie
er in (a) und (b) Anwendung ndet!
Aufgabe 1.5:
Auf einem Markt gebe es drei Gruppen A, B und C von Nachfragern.
Deren jeweilige (Gruppen-)Nachfrage sei wie folgt gegeben:
1
fAD (p) = 60 − p,
2
1
fBD (p) = 40 − p
2
bzw.
fCD (p) = 30 − p.
(a) Bestimmen Sie graphisch und rechnerisch die aggregierte Nachfrage
aller Gruppen!
(b) Die (aggregierte) Angebotsfunktion sei durch
f S (p) =
p2
gegeben.
50
Bestimmen Sie das Marktgleichgewicht!
Aufgabe 1.6:
In einem Markt sind 2 Gruppen von Nachfragern aktiv. Gruppe 1 lehnt
aus Überzeugungsgründen den Kauf des Gutes bei allen Preisen oberhalb
von 10 GE ab. Wenn der Preis bei 10 GE oder darunter liegt, so lautet die
x1 = 20 − p. Gruppe 2 kennt derartige
ist x2 = 40 − p für alle Preise zwischen
Nachfragefunktion dieser Gruppe
Bedenken nicht. Ihre Nachfrage
0 GE und 40 GE.
a) Stellen Sie die beiden Nachfragefunktionen graphisch dar! Wie groÿ
ist die Gesamtnachfrage bei
frage bei
p = 15,
wie groÿ ist die Gesamtnach-
p = 5?
b) Ermitteln Sie graphisch und rechnerisch die Gesamtnachfrage in
diesem Markt!
c) Wie lautet das Marktgleichgewicht, wenn die Angebotsfunktion
x = a · p lautet und
(i) a = 1 gilt?
(ii) a = 4 beträgt?
Aufgabe 1.7:
In einem Markt für Gut
linear vom Preis
p
x
seien sowohl Angebot als auch Nachfrage
abhängig. Versetzen Sie sich in die Rolle des Walra-
sianischen Auktionators: Bei einem Preis von
p=3
beobachten Sie eine
Überschussnachfrage von 60 Einheiten (bei einem Angebot von 30 Einheiten) und beim Preis
p=6
ein Überschussangebot von 30 Einheiten
(bei einer Nachfrage von 30 Einheiten).
(a) Welchen Preis müssen Sie setzen, um Angebot und Nachfrage auszugleichen? Welche Mengen werden gehandelt?
(b) Wie ändert sich das Gleichgewicht, wenn durch einen exogenen Kostenschub die Angebotsfunktion nach oben verschoben wird?
(c) Erklären Sie, inwiefern der Walrasianische Auktionator als Modell
für Marktverhalten aufgefasst werden kann!
Aufgabe 1.8:
Versetzen Sie sich in die Rolle eines Walrasianischen Auktionators! Sie
f D (p) = 100 − 5 · p,
S
die Angebotsfunktion hingegen ist Ihnen nur in der Form f (p) = S +s·p
mit S, s ∈ [0, 100] bekannt.
haben vollkommene Kenntnis der Nachfragefunktion
Beim Preis
p=2
stellen Sie eine Überschussnachfrage in Höhe von
Einheiten fest, beim Preis
p = 15
ein Überschussangebot von
60
70
Einhei-
ten.
Angenommen Sie haben nur noch einen Versuch, um zum Gleichgewicht
zu gelangen. Welchen Preis würden Sie als nächsten wählen und warum?
Aufgabe 1.9:
Betrachten Sie den Ticketmarkt für das Fuÿballländerspiel Deutschland
gegen Brasilien am 9. Juli in Berlin. Die Nachfragefunktion habe die
xD (p) = a − b · p, das Angebot
S
exogen durch x (p) = c vorgegeben.
Form
sei durch die Sitzplatzkapazität
(a) Berechnen Sie das Marktgleichgewicht bei vollkommenem Wettbewerb in Abhängigkeit der Parameter
a, b
und
c!
(b) Bestimmen Sie die Preiselastizität für das Marktgleichgewicht!
(c) Nehmen Sie die Werte
a = 225000, b = 75
und
c = 75000
an.
Wie hoch ist im Gleichgewicht der Preis eines Tickets? Die FIFA
setzt aus sozialen Gründen den Ticketpreis auf 600 Euro. Wieviele
Marktteilnehmer würden rationiert werden?
(d) Welchen Ticketpreis sollte der Veranstalter aufgrund der Zahlen
aus (b) wählen, wenn er auf dem Ticketmarkt als Monopolist aufträte und ausschlieÿlich Fixkosten zu tragen habe? Würde sich an
diesem Ergebnis etwas ändern, wenn die Kapazität des Stadions
c = 125.000
betragen würde? Wieviele Zuschauer würden jeweils
im Stadion sein?
Aufgabe 1.10:
Der Markt für Produkt
x
sei durch folgende Angebots- und Nachfrage-
funktion gegeben:
f S (p) =
p
2
und
f D (p) = 42 − p.
(a) Wieviele Einheiten des Gutes werden zu einem Preis von 35 Euro
gehandelt? Wieviele bei einem Preis von 14 Euro? Welche Marktteilnehmer werden zu diesen Preisen jeweils rationiert?
(b) Bestimmen Sie das Marktgleichgewicht und die gesamten Erlöse aus
dem Verkauf des Produktes!
(c) Angenommen auf das Produkt werde eine Mengensteuer in Höhe
von 9 Euro pro verkaufter Einheit erhoben. Wie lauten die folgenden
Gröÿen im Marktgleichgewicht, wenn die Produzenten die Steuer an
den Staat abführen:
(i) die verkaufte Menge?
(ii) der von den Käufern gezahlte Preis?
(iii) das insgesamt von den Käufern für das Produkt ausgegebene
Einkommen?
(iv) das von der Behörde erzielte Steuereinkommen?
Aufgabenblatt 2
Elastizitäten
Aufgabe 2.1: f D (p)
bezeichne die Nachfrage in Abhängigkeit vom Preis.
(a) Denieren Sie die Preiselastizität der Nachfrage
η
(sprich: Eta)!
(b) Interpretieren Sie folgenden Satz:
Die Preiselastizität der Nachfrage nach dem Gut
p1
Aufgabe 2.2:
Sei
den Wert
x=B−b·p
x
hat beim Preis
1.3.
eine lineare Nachfragekurve.
(a) Für welchen Preis ist die Nachfrage vollkommen unelastisch?
(b) Für welchen Preis ist die Nachfrage vollkommen elastisch?
(c) Für welchen Preis beträgt die Nachfrageelastizität
Aufgabe 2.3:
η = −1?
Die folgende Tabelle zeigt die individuellen Nachfragen für vier Konsumenten A, B, C und D in einem Preisbereich von 10 bis 15 Euro:
Preis
Nachgefragte Menge (Tonnen)
(Euro/Tonne)
A
B
C
D
10
21
60
23
6
11
20
50
23
7
12
19
40
23
8
13
18
30
23
9
14
17
20
23
10
15
16
10
23
11
(a) Ordnen Sie die Preiselastizität jeder dieser individuellen Nachfragen
einer der angegebenen vier Kategorien zu! Welche Nachfrage ist auf
dem betrachteten Preisintervall
•
völlig unelastisch?
•
welche besitzt eine Elastizität (im Absolutwert) zwischen Eins
und Null?
•
welche weist eine Elastizität (im Absolutwert) gröÿer als Eins
auf ?
•
bei welcher Nachfragefunktion ist der Verlauf anormal?
Begründen Sie Ihre Antwort!
(b) Ermitteln Sie die aggregierte Nachfrage für einen Markt, der aus
den vier oben genannten Nachfragern besteht!
(c) Bestimmen Sie das Marktgleichgewicht, wenn das aggregierte Angebot wie folgt gegeben ist:
Aufgabe 2.4:
Sei
Preis (Euro/Tonne)
Angebotene Menge (Tonnen)
10
0
11
10
12
20
13
40
14
70
15
100
x(p) = 4 −
1
·p
3
die Nachfragemenge beim Preis
p.
(a) Stellen Sie den Funktionsverlauf graphisch dar!
(b)
η
bezeichne die Preiselastizität der Nachfrage. Bestimmen Sie Preis
und Menge, bei denen
(c)
E = p · x(p)
η = −3
gilt!
sei die zugehörige Ausgabenfunktion. Zeigen Sie, dass
die Preiselastizität der Ausgaben
1+η
entspricht!
(d) Bestimmen Sie den Abschnitt der Nachfragekurve, wo eine einprozentige Preissenkung die Ausgaben um mehr als
Aufgabe 2.5:
4% ansteigen lässt!
(a) Denieren und interpretieren Sie die Preiselastizität der Nachfrage!
(b) Eine Nachfragefunktion sei implizit gegeben durch
p + 5xD = 100.
Bestimmen Sie die Preiselastizität bei einem Preis von
i)
p = 40,
ii)
p = 50
iii)
p = 60!
und
(c) Zeichnen Sie die Nachfragefunktion sowie die in (b) betrachteten
Fälle in eine Graphik ein!
(d) Vergleichen Sie die Elastizitäten in den drei betrachteten Fällen.
Was lässt sich über sie sagen?
(e) In welcher Beziehung steht die Preiselastizität der Ausgaben für ein
Gut zur Preiselastiztät der Nachfrage des Gutes?
Aufgabe 2.6:
Sei
E = p · x(p)
eine Ausgabenfunktion zu einer normalen Nachfrage.
Zeigen Sie, dass gilt:
dE >
= 0
dp <
Aufgabe 2.7:
Es sei
x1 = f D (p1 , p2 )
⇐⇒
<
|η| = 1.
>
die Nachfragemenge nach dem Gut 1 in Abhän-
gigkeit von dem Preis dieses Gutes
p1
und dem Preis
p2
des Gutes 2.
(a) Geben Sie die Denition der Kreuzpreiselastizität der Nachfrage
nach Gut 1 in bezug auf Gut 2 an (verbal und mathematisch)!
(b) Was lässt sich über die Beziehung zwischen beiden Gütern sagen,
wenn die Kreuzpreiselastizität positiv, negativ oder gleich Null ist?
Aufgabe 2.8:
Sei
T (Y )
der Steuerbetrag beim Einkommen
Y
und
R(Y ) = Y − T (Y )
sei das Einkommen nach Steuer (Residualeinkommen).
(a) Interpretieren Sie:
µ(Y ) =
dR(Y )
Y
·
.
R(Y )
dY
(b) Denieren Sie die Einkommenselastizität des Steuerbetrages (Steuerlastprogression)
Aufgabe 2.9:
τ (Y )!
Betrachten Sie einen Markt auf dem sowohl die Nachfrage- als auch die
Angebotsfunktion linear vom Preis abhängig seien. Bei einem Preis von
p=5 stellt man einen Nachfrageüberschuss von 40 Einheiten fest, während
der Preis p=13 zu einem Angebotsüberschuss von 24 Einheiten führt. Die
gehandelte Menge beträgt in beiden Situationen 35 Einheiten.
(a) Wie sehen die Nachfrage- und die Angebotsfunktion dann im obigen
Fall aus?
(b) Ermitteln Sie das Marktgleichgewicht sowohl rechnerisch als auch
zeichnerisch!
(c) Denieren Sie die Preiselastizität der Nachfrage! Bestimmen Sie diese für die vorliegende Nachfragefunktion. Welchen Wert nimmt sie
im Marktgleichgewicht an?
(d) In welchem Preisbereich ist die Nachfrage elastisch, in welchem unnelastisch? Was gilt in dem Gleichgewicht aus (b)?
Aufgabenblatt 3
Budgetrestriktionen und Präferenzen
Aufgabe 3.1:
Ein Konsument gebe sein gesamtes Einkommen
Güter
A
und
B
M = 3.400 für die beiden
aus.
(a) Zeichnen Sie die Budgetgerade des Konsumenten, wenn die Preise
pA = 4
und
pB = 6
betragen!
(b) Ergänzen Sie das Diagramm aus (a) um die Budgetgerade, die sich
ergibt, wenn sich der Preis
pB
für Gut
B
auf
p0B = 8
erhöht!
(c) Beschreiben Sie die charakteristischen Gröÿen der Budgetgeraden
und ihren Zusammenhang zu Preisen und Einkommen!
Aufgabe 3.2:
Ursprünglich
sieht
sich
p 1 · x1 + p 2 · x2 = M
der
Konsument
der
Budgetgeraden
gegenüber. Nun verdoppelt sich der Preis des
Gutes 1, der Preis des Gutes 2 wird achtmal, das Einkommen viermal
so groÿ. Stellen Sie die neue Budgetgerade auf und stellen Sie beide in
einem Diagramm dar!
Aufgabe 3.3:
Angenommen der Preis eines Gutes
Gut
y
x verdreifacht sich und der Preis von
verdoppelt sich, während das Einkommen konstant bleibt. Wenn
Sie den Graphen der Budgetlinie zeichnen, so dass das Gut
horizontalen Achse und
y
x
auf der
auf der vertikalen Achse abgebildet ist, dann
ist die neue Budgetgerade:
Aufgabe 3.4:
a)
acher als die alte und liegt unterhalb?
b)
acher als die alte und liegt oberhalb?
c)
so, dass sich die beiden schneiden?
d)
steiler als die alte und liegt unterhalb?
e)
steiler als die alte und liegt oberhalb?
Während ihrer Reise gibt Sonja all ihr Geld für 5 Portionen Spaghetti und
6 Austern aus. Spaghetti kosten 8 GE pro Portion und sie hat insgesamt
82 GE in ihrer Geldbörse. Wenn Sie mit
tionen bezeichnen und mit
s
die Anzahl der Spaghettipor-
a die Zahl der nachgefragten Austern, welche
der folgenden Gleichungen beschreibt das Güterbündel, das sie gerade
eben noch erwerben kann?
d)
8s + 6a = 82
6s + 8a = 82
8s + 7a = 82
5s + 6a = 82
e)
Die Angaben in der Aufgabe reichen für eine Antwort nicht aus.
a)
b)
c)
Aufgabe 3.5:
Erklären Sie folgende Begrie:
(a) vollständige Präferenzen
(b) transitive Präferenzen
(c) monotone Präferenzen
(d) streng konvexe Präferenzen
Aufgabe 3.6:
In der Theorie der Nachfrage werden die Präferenzen von Konsumenten
in der Regel durch Nutzenfunktionen dargestellt.
(a) Erläutern Sie das Konzept einer Indierenzkurve! Was kann über
den Punkt des Güterraumes auf, unterhalb oder oberhalb einer solchen Kurve gesagt werden?
(b) Welcher Zusammenhang besteht allgemein zwischen Nutzenfunktion und Indierenzkurven eines Konsumenten?
(c) Leiten Sie aus dem Indierenzkurvenkonzept den Begri der 'Substitutionsrate' ab!
Aufgabe 3.7:
x und y . Ihre Indierenzkurven lassen sich
k
. Ein höherer Wert von k gehört zu einer
x+6
Anna konsumiert die Güter
beschreiben durch
y =
'besseren' Indierenzkurve. Welche Aussage ist korrekt?
Aufgabe 3.8:
y
Anna mag Gut
b)
Anna zieht das Bündel (13,8) gegenüber dem Bündel (8,13) vor.
c)
Anna zieht das Bündel (7,10) gegenüber dem Bündel (10,7) vor.
d)
Anna mag Gut
e)
Mehr als eine der obigen Antworten ist korrekt.
x
und verabscheut Gut
x.
a)
und verabscheut Gut
y.
Bestimmen Sie zu folgenden Nutzenfunktionen die zugehörigen Indierenzkurven und stellen Sie diese graphisch dar:
(a)
u(x1 , x2 ) = x1 · x2
(b)
u(x1 , x2 ) = 2x1 · x2
(c)
u(x1 , x2 ) = x21 + 2x1 x2 + x22
(d)
u(x1 , x2 ) = x21 + x22
Sind die zugehörigen Präferenzen monoton, konvex, vollständig oder transitiv?
Aufgabe 3.9:
(a) Wann betrachtet ein Konsument zwei Güter als perfekte Substitute
bzw. perfekte Komplemente?
(b) Was versteht man unter einem neutralen Gut?
(c) Wie sehen jeweils die zugehörigen Indierenzkurven aus?
Aufgabe 3.10:
Betrachten Sie die beiden folgenden Nutzenfunktionen:
3
2
ua (x1 , x2 ) = 2 · ln x1 + 3 · ln x2
ub (x1 , x2 ) = x15 · x25
(a) Was versteht man unter der Grenzrate der Substitution?
(b) Bestimmen Sie die Grenzrate der Substitution für die beiden angegebenen Nutzenfunktionen!
(c) Vergleichen Sie die beiden in Teilaufgabe (b) berechneten Grenzraten. Was schlieÿen Sie hieraus bezüglich der beiden Präferenzordnungen?
Aufgabe 3.11:
a) Was versteht man unter einer Budgetgeraden? Geben Sie eine verbale Denition und formulieren Sie eine Budgetgerade für eine 2Güter-Welt!
b) Beweisen Sie folgende Aussage:
"Ein nutzenmaximierender Haushalt wählt stets einen Punkt aus
seiner Budgetmenge, der auf der Budgetgeraden liegt."
c) Wie passt zu der Aussage in Teilaufgabe b) die Beobachtung, dass
viele Individuen in der Realität nicht ihr gesamtes verfügbares Einkommen zum Kauf von Konsumgütern verwenden, sondern einen
Teil ihres Einkommens sparen. Stehen Ersparnisse der Haushalte
im Widerspruch zur Theorie nutzenmaximierender Haushalte oder
ist das Phänomen mit der Theorie erklärbar? Begründen Sie Ihre
Antwort, wobei Sie auf die relevante Budgetgerade und eine geeignete Nutzenfunktion bezug nehmen!
Aufgabe 3.12:
Hugo verfüge über 120 Euro, die er ausschlieÿlich für Bücher (B) und
Computer-Spiele (C) ausgebe. Der Preis für ein Buch betrage
der für ein Computer-Spiel sei
pB = 3,
pC = 5.
(a) Geben Sie Hugo's Budgetgerade an und zeichnen Sie diese!
(b) Wie verändert sich Hugo's Budgetgerade,
i. wenn sein Einkommen um 25%steigt?
ii. wenn sich der Preis für Bücher verdoppelt?
iii. wenn der Preis für Computer-Spiele auf
pC = 4
sinkt?
Lösen Sie diese drei Fälle getrennt voneinander rechnerisch und
zeichnerisch!
(c) Welche Mengen wird Hugo in der Situation von (a) kaufen, wenn
seine Nutzenfunktion durch
u (xB , xC ) = xB · xC
(d) Sind Hugo's Präferenzen
i. vollständig?
ii. transitiv?
iii. monoton?
iv. konvex?
Geben Sie jeweils eine kurze Begründung!
gegeben ist?
Aufgabenblatt 4
Von Präferenzen zur Nachfrage
Aufgabe 4.1:
(a) Leiten Sie für eine Nutzenfunktion der Gestalt
u(x, y)
mit
x
und
y
als Mengen zweier Konsumgüter die Bedingungen für ein Nutzenmaximum her!
(b) Angenommen der Haushalt habe die Nutzenfunktion
u(x, y) = 2x0.5 + 2y 0.5
und frage
x = 10
und
y = 40
nach. Welches
Preisverhältnis muss dann gelten?
(c) Bestimmen Sie die Preise der beiden Güter, bei denen der in Teilaufgabe (b) beschriebene Haushalt sein Gesamteinkommen von 180
GE gerade in der Form
Aufgabe 4.2:
x = 10
und
y = 40
aufteilt!
Es sei
u(x1 , x2 , x3 ) = 2 · x1 · x2 · x3
die Nutzenfunktion eines Individuums.
ter 1, 2, 3 und
M
p1 , p2 , p3
seien die Preise der Gü-
sei das Einkommen.
(a) Bestimmen Sie die notwendigen Bedingungen für ein Nutzenmaximum!
(b) Bestimmen Sie mit Hilfe der unter (a) ermittelten Bedingungen und
der
Budgetrestriktion
die
Nachfragefunktionen
xi (p1 , p2 , p3 , M ),
i = 1, 2, 3!
(c) Bestimmen
Sie
die
Einkommenselastizität
der
Nachfrage
xi (p1 , p2 , p3 , M )!
Aufgabe 4.3:
Die Nutzenfunktion eines Konsumenten sei
u(x, y) =
x
· y.
x+1
(a) Bestimmen Sie den Grenznutzen
ux
bzw.
uy
und zeigen Sie, dass
die Nutzenfunktion monotone Präferenzen repräsentiert!
(b) Es sei
px = 8, py = 6
nachgefragten Mengen
M = 120. Bestimmen
x und y der beiden Güter!
und
Sie die optimal
x steige auf px = 15. Folgern Sie aus der Reaktion
des Konsumenten, ob es sich bei Gut y um ein Substitut oder um
ein Komplement zu Gut x handelt!
(c) Der Preis für Gut
Aufgabe 4.4:
Die Nutzenfunktion eines Konsumenten sei gegeben als
u(x, y) = x · y .
(a) Denieren und interpretieren Sie die Grenzrate der Substitution!
Bestimmen Sie diese für obige Nutzenfunktion!
(b) Der Konsument verfüge über die Güterbündel
(x1 , y1 ) = (1, 2) resp.
(x2 , y2 ) = (2, 3). Sie bieten ihm nun eine weitere Einheit des Gutes
x an. Wieviel Einheiten des Gutes y können Sie von ihm gemäÿ
seiner Substitutionsrate jeweils dafür (im Tausch) erhalten?
(c) Die Preise für die beiden Güter seien
px = 1
und
py = 5 .
Wel-
che Nachfrage wird der Konsument äuÿern, wenn sein Einkommen
M = 20
beträgt? Würde er seine Nachfrage ändern, wenn ihm das
Unternehmen, das
x
x
herstellt, anbietet '12 Einheiten von
zum
Preis von 11' beziehen zu können?
Aufgabe 4.5:
Es sei
u(x, y, z) =
1
1
1
· ln x + · ln y + · ln z
2
3
6
die Nutzenfunktion eines Konsumenten.
(a) Bestimmen Sie den Grenznutzen für die Güter x, y , und
∂(lnx)
= x1 )! Sind die zugehörigen Präferenzen monoton?
∂x
z
(Anm.:
(b) Ermitteln Sie die Grenzraten der Substitution (GRS) der Güter
und
y
bzw.
ximum an,
x
x und z ! Welchen Wert nehmen die GRS im Nutzenmawenn die Preise der Güter px , py und pz betragen?
(c) Wie lauten die Nachfragefunktionen des Konsumenten für die Güter
x, y
und
z,
wenn er sein gesamtes Einkommen
M
für den Kauf der
3 Güter aufwendet?
Aufgabe 4.6:
Die Präferenzen eines Konsumenten bezüglich zweier Güter
x und y seien
durch folgende Nutzenfunktion beschrieben:
u(x, y) := x2 + y 2 .
(a) Bestimmen Sie die Grenzrate der Substitution zwischen Gut
Gut
x
und
y ! Welchen Wert nimmt sie für die Güterbündel (3,4) und (6,8)
an ?
(b) Wie lautet die Nachfragefunktion des Konsumenten in Abhängigkeit
von den Preisen
px
und
py
sowie dem Einkommen
M?
(c) Erläutern Sie anhand des Nutzenmaximierungskalküls eines rationalen Konsumenten welche Auswirkungen auf die Nachfrage eine
Währungsumstellung von DM auf Euro hat! Unterstellen Sie zur
Vereinfachung einen Kurs von 2 DM zu 1 Euro! Gehen Sie dabei zum
einen auf die Budgetbeschränkung, zum anderen auf die Grenzrate
der Substitution ein!
Aufgabe 4.7:
Ein Konsument mit der Nutzenfunktion
u(x1 , x2 ) = x21 · x2
verfüge über das Einkommen
M = 90.
(a) Bestimmen Sie die Nachfragefunktionen für die beiden Güter in
Abhängigkeit von den Preisen
p1
und
p2 !
(b) Zeigen Sie, indem Sie die Preiselastizität der Nachfrage nach einem
der beiden Güter berechnen, dass die Güter isoelastisch nachgefragt
werden!
(c) In welchem Verhältnis teilt der Konsument sein Einkommen für
Käufe der beiden Güter auf (siehe Teil (a))? Leiten Sie daraus die
Engel-Kurven für die beiden Güter ab und bestimmen Sie deren
Status als `inferior' oder `superior' !
(d) Welchen Einuss auf das Nachfrageverhalten des Konsumenten hätte eine Verdopplung des Preises
p1 ?
Wie würden die Engel-Kurven
nun lauten?
Aufgabe 4.8:
Ein Haushalt kann zu einem Lohnsatz
sumgut
x
w=4
arbeiten, um sich ein Kon-
zu kaufen. Er schätzt als weiteres Gut 'Freizeit'
y
gemäÿ der
Nutzenfunktion
u(x, y) = x · y + 2y
.
(a) Wie lautet die Budgetgleichnung des Haushaltes, wenn er maximal
L = 15 Stunden
px = 2 beträgt?
arbeiten kann und der Preis des Konsumgutes
(b) Wie lange wird ein nutzenmaximierender Haushalt arbeiten? Welchen Konsum an
x,
wieviel Freizeit fragt er nach?
(c) Was beschreibt die Substitutionsrate zwischen
x
und
y?
Welchen
Wert hat sie für diesen Haushalt im Nutzenmaximum? Warum wählt
der Haushalt gerade diesen Wert?
Aufgabe 4.9:
Ein Haushalt habe die Nutzenfunktion
1
1
u(x, y) = (x + 1) 2 (y + 1) 2
und er gebe sein Einkommen
M
vollständig für den Kauf der beiden
Güter aus.
(a) Bestimmen Sie die Nachfragefunktionen des Haushaltes für die beiden Güter in Abhängigkeit von Preisen und Einkommen!
(b) Bestimmen Sie die nachgefragte Menge, falls
M = 143
px = 10, py = 17,
ist!
y auf p0y =
M 0 = 150. Wie
(c) Durch eine Steuererhöhung steigt der Preis für Gut
20.
Gleichzeitig erhöht sich das Einkommen auf
wirkt sich das auf den Konsumenten aus? Wird er dadurch besser/schlechter gestellt oder ist er indierent?
Aufgabenblatt 5
Zusammenfassung Haushaltstheorie
Aufgabe 5.1:
Eine Studentin habe folgende Nutzenfunktion:
u(x, y) = (5x −
wobei
x
x2
) + y,
4
für das Gut 'öentliche Transportleistung' und
sammengesetztes) Konsumgut
(py = 1)
y
für ein (zu-
steht. Ihr Einkommen betrage
M = 600.
(a) Charakterisieren Sie monotone Präferenzen! Sind die durch obige
Nutzenfunktion dargestellten Präferenzen monoton? (Begründung!)
Berechnen Sie die Nachfragefunktion für Gut
(b) Wieviel von Gut
x
x : xD (px , 1)!
würde die Kommilitonin nachfragen, wenn sie
das Gut in beliebiger Höhe kostenlos konsumieren kann
Wieviel würde die Studentin für das Gut
px = 2
(px = 0)?
x ausgeben, wenn der Preis
beträgt?
(c) Sei nun
px = 2 .
Eine Monatskarte, mit welcher sie beliebig viele
Fahrten durchführen kann, wird für 15 Euro angeboten. Wird die
Studentin diese Monatskarte kaufen?
Aufgabe 5.2:
Alle Konsumenten einer Ökonomie haben identische Präferenzen
u(x, y) = x · y
für Benzin
(x)
und öentliche Verkehrsmittel
(a) Die Preise seien
px , py ,
das Einkommen
fragefunktionen nach den Gütern
(b) Ausgangspunkt sei
bzw.
(1 +
px = p y .
x
und
(y).
M.
y?
Wie lauten die Nach-
x
(p0x =
Wie ändert sich die Nachfrage nach
y , wenn der Staat eine 50%ige Mineralölsteuer einführt
50
) · px ), die sich nur auf den Benzinpreis auswirkt? Wie hoch
100
sind die daraus resultierenden Steuereinnahmen?
(c) Nun sollen die Einnahmen zur Gänze über eine Subvention öffentlicher Verkehrsmittel in der Höhe von 25% rückverteilt werden
25
(p0y = (1− 100
)·py ). Stellt sich der Konsument dadurch besser/schlechter,
oder ist er indierent gegenüber der Situation ohne Staatseingri ?
Aufgabe 5.3:
Ein Konsument habe die Nutzenfunktion
u(x, y) = x · y
und das Einkommen
M,
so dass seine Nachfragefunktionen nach den
beiden Gütern
xD (px , py , M ) =
M
2 · px
und
y D (px , py , M ) =
M
2 · py
lauten.
(a) Welche Nachfrage äussert der Konsument bei Preisen
py = 1.5
und Einkommen
M = 600?
px = 3,
Welchen Nutzen realisiert
er dabei?
(b) Der Preis von
y
steige nun auf
p0y = 6!
Welche Mengen fragt er nun
nach, welchen Nutzen realisiert er?
(c) Zerlegen Sie die Nachfrageänderung nach Gut
y in einen Substitutions-
und einen Einkommenseekt! Berechnen Sie dazu das Einkommen
M 0,
das nötig wäre, um den Konsumenten trotz der Preiserhöhung
auf demselben Nutzenniveau wie zuvor zu belassen! Wie hoch wäre
seine Nachfrage nach
y
bei diesem Einkommen?
(d) Geben Sie eine graphische Darstellung dieser Nachfrageänderung
an, indem Sie die Budgetmengen und Nachfragepunkte der `Daten'
(px , py , M ) = (3, 1.5, 600)
(px , p0y , M ) = (3, 6, 600) und
(px , p0y , M 0 ) = (3, 6, M 0 )
zueinander in Beziehung setzen!
Aufgabe 5.4:
Der kleine Ronnie ist Stammgast bei dem Fast-Food-Restaurant McMickey's, wo er immer sein Lieblingsgericht Pommes mit Ketchup bestellt. Für jede Portion Pommes braucht er zwei Tütchen Ketchup. Pommes ohne Ketchup bringen ihm keinen Nutzen und Ketchup ohne Pommes natürlich auch nicht.
(a) Zeichnen Sie Ronnie's Indierenzkurven für Pommes (P) und Ketchup (K)! Wie könnte die zugrunde liegende Nutzenfunktion aussehen? In welcher Beziehung stehen die beiden Güter zueinander?
(b) Nehmen Sie an, eine Portion Pommes kostet 2 Euro, während ein
Tütchen Ketchup 0,50 Euro kostet. Ronnie hat 12 Euro Taschengeld, dass er für Essen bei McMickey's ausgeben will. Welche Mengen an Pommes und Ketchup wird Ronnie nachfragen?
(c) Der Preis für Ketchup sei nun auf 1 Euro pro Tütchen gestiegen.
Wie sieht Ronnie's neue Nachfrage nach Pommes und Ketchup
aus? Zerlegen Sie die Nachfrageänderung nach Ketchup in einen
Substitutions- und einen Einkommenseekt!
(d) Sind Ronnie's Präferenzen monoton und konvex? Begründen Sie
jeweils Ihre Antwort!
Aufgabe 5.5:
Sie benden sich im Jahre X. Ihre Nachfragefunktion (in Liter) nach
Benzin (in Abhängigkeit von Ihrem Einkommen
x = 10 +
der Benzinpreis liegt bei
p=2
M)
beträgt
M
,
10p
(Euro je Liter).
(a) Der Finanzminister (Herr Steinbrück) ist in Finanznöten und erwirkt eine Mineralölsteuererhöhung, die
die Konsumenten erhöht. Sei
p
M = 120.
auf 3 (Euro je Liter) für
Um wieviel Liter ändert
sich ihre Nachfrage aufgrund der Preiserhöhung?
(b) Zerlegen Sie Ihre Nachfrageänderung in einen Substitutions- und
Einkommenseekt, indem Sie zunächst berechnen, um wieviel Ihr
Einkommen steigen müsste, um Ihnen den Konsum vor Steuererhöhung weiter zu sichern, und anschlieÿend Ihre Nachfrage bei diesem
Einkommen ermitteln!
Aufgabe 5.6:
Die kleine Nina mag Schokolade und Gummibärchen. Für Sie sind 2 Tüten Gummibärchen zusätzlich immer gleich gut wie eine Tafel Schokolade
zusätzlich.
(a) Erläutern Sie den Begri der Indierenzkurve! Stellen Sie Ninas Indierenzkurven für Schokolade und Gummibärchen dar! Handelt es
sich bei diesen Gütern für Nina um Substitute oder Komplemente?
(b) Der Preis für eine Tafel Schokolade sei 1 Euro, auch 4 Tüten Gummibärchen kosten 1 Euro. Sie hat insgesamt 10 Euro zur Verfügung
und beschlieÿt, diese vollständig für den Süssigkeitenkonsum auszugeben. Ermitteln Sie graphisch die nutzenmaximale Nachfrage!
(c) Der Preis für Gummibärchen vervierfacht sich. Wie ändert sich ihre
Nachfrage? Wie wirken in dieser Situation Einkommens- und Substitutionseekt?
Aufgabe 5.7:
Die Nachfragefunktionen eines Konsumenten nach den beiden Gütern
und
2
1
seien gegeben durch
M −p2
,
2p1
M −p2
+
2p2
f1D = x1 (p1 , p2 , M ) =
f2D = x2 (p1 , p2 , M ) =
1.
(a) Wie ändert der Konsument sein nachgefragtes Güterbündel in Reaktion auf eine Preiserhöhung (ceteris paribus)
(i) für Gut 1?
(ii) für Gut 2?
(b) Handelt es sich bei den Gütern um inferiore oder superiore Güter?
(c) Was sind Engel-Kurven? Wie lauten sie für die beiden obigen Güter?
(d) Zeigen Sie, dass es sich bei Gut 1 um ein 'Luxusgut' handeln muss!
Aufgabe 5.8:
Die Nachfragefunktionen eines Konsumenten nach den Gütern 1 und 2
lauten:
f1D (p1 , p2 , M ) =
M
p1 + 2p2
f2D (p1 , p2 , M ) =
und
2M
p1 + 2p2
.
(a) Ermitteln Sie die Kreuzpreiselastizitäten! Handelt es sich dabei um
Substitute oder Komplemente?
(b) Nehmen Sie eine Preiserhöhung für
p1
an. Welche Aussagen kön-
nen Sie aus der Nachfragefunktion hinsichtlich Substitutions- und
Einkommenseekt treen?
(c) Wie lauten die Engel-Kurven für Gut 1 und 2, wenn
p2 = 3 ?
p1 = 2
und
Nehmen Sie an, dass sich das Einkommen des Konsumen-
ten verdoppelt (auf
2 · M ).
Wie verändern sich die Ausgaben des
Konsumenten für Gut 1?
Aufgabe 5.9:
(V ) mit Schlagsahne
U = min(2xV , 3xS ). Daraus
Der Student Karl konsumiere bevorzugt Vanilleeis
(S).
Seine Nutzenfunktion habe die Form
lässt sich ableiten, dass seine Nachfragefunktionen für diese beiden komplementären Güter
xD
V =
3M
3pV + 2pS
und
xD
S =
2M
3pV + 2pS
lauten.
a) Angenommen der Preis für eine Einheit Vanilleeis
und der Preis für eine Einheit Schlagsahne
Einkommen betrage
M = 700.
pS
pV
liege bei
liege bei
2.
1
Karls
Welche Mengen von Vanilleeis und
Schlagsahne wird Karl nachfragen? Welches Nutzenniveau erreicht
er?
b) Wie ändern sich die nachgefragten Mengen nach beiden Gütern,
wenn der Preis für Vanilleeis auf
pV = 2
steigt? Wie lautet sein
Nutzen?
c) Welches Einkommen
M 0 müsste Karl erhalten, um nach der Preiser-
höhung dasselbe Nutzenniveau zu erhalten wie vorher? Wie sieht die
Zerlegung der Nachfrageänderung nach Vanilleeis in Substitutionsund Einkommenseekt aus? Erklären Sie insbesondere den Wert für
den Substitutionseekt!
d) Was sind Engel-Kurven? Wie lauten diese für die in a) angenommenen Güterpreise?
Aufgabenblatt 6
Produktionstheorie
Aufgabe 6.1:
(a) Was versteht man unter einer Technologie? Inwiefern kann man die
Konvexitätsannahme begründen?
(b) Stellen Sie den Begri der Produktionsfunktion als Ergebnis eines
Optimierungsprozesses dar!
(c) Erläutern Sie die Annahmen der linearen Aktivitätsanalyse:
i. Proportionalität
ii. Additivität
iii. Konvexität
(d) Ein Unternehmen habe unter Einsatz von Arbeit
die folgenden Aktivitäten
F (l, k) = x
F (1, 4) = 3,
l
und Kapital
k
zur Auswahl:
F (4, 5) = 6,
F (4, 1) = 2.
Die Annahmen der linearen Aktivitätsanalyse seien erfüllt. Ermitteln Sie die Menge der Input-Kombinationen, mit welchen gerade
ein Outputniveau von 6 (12) realisiert werde kann und stellen Sie
diese Isoquanten graphisch dar!
Aufgabe 6.2:
Die folgenden fünf Aktivitäten erzeugen alle eine Mengeneinheit desselben Produktes:
Aktivität
P1
P2
P3
P4
P5
P6
Faktoreinsatz
Kapital
Arbeit
(Maschinenstunden)
(Arbeitsstunden)
24
2
20
6
16
6
12
10
8
24
0
36
(a) Zeichnen Sie alle obigen Aktivitäten in eine Abbildung! Bestimmen Sie anhand der Abbildung die inezienten Aktivitäten unter
der Annahme, dass die Aktivitäten beliebig miteinander kombiniert
werden können (d.h. die Konvexitätsannahme ist erfüllt)! Beschränken Sie sich sodann auf die ezienten Aktivitäten und identizieren
Sie die Isoquante zur Produktionsmenge Eins!
(b) Geben Sie für eine Bewegung von jeweils einem ezienten Prozess
zum nächsten die Substitutionsrate zwischen Arbeit und Kapital
an! (Tipp: Nehmen Sie die Abbildung aus (a) zur Hilfe!)
(c) Ermitteln Sie das Grenzprodukt der Arbeit, wenn bei einer exogenen, d.h. fest vorgegebenen Maschinenkapazität von 96 Maschinenstunden, der Arbeitseinsatz von 36 auf 80 Arbeitsstunden erhöht
wird! (Auch hier ist die Abbildung aus (a) hilfreich).
Aufgabe 6.3:
Gegeben sei die Produktionsfunktion
F (l, k) = min(l2 , k 2 ).
a) Zeichnen Sie die Isoquanten zu den Produktionsmengen 1, 4 und 9
in ein Diagramm! Wie nennt man Technologien mit derart verlaufenden Isoquanten? Welche (technische) Substitutionsbezeichnung
wird durch eine Produktionsfunktion des Typs
y = min(L, K)
aus-
gedrückt? Geben Sie ein Beispiel für eine derartige Technologie!
b) Denieren Sie den Begri 'Skalenerträge' und interpretieren Sie diese! Weist die Produktionsfunktion
F (l, k) = min(l2 , k 2 )
abnehmen-
de, konstante oder steigende Skalenerträge auf ? Begründen Sie Ihre
Antwort!
c) Der Kapitaleinsatz sei kurzfristig konstant, d.h.
k = k0 = 5.
Be-
stimmen Sie die partielle Produktionsfunktion des Faktors Arbeit!
Unterscheiden Sie hierzu die Fälle
l≤5
und
l > 5!
Stellen Sie die
partielle Produktionsfunktion graphisch dar! Ermitteln Sie für beide
Fälle die jeweilige Grenzproduktivität des Faktors Arbeit!
Aufgabe 6.4:
Die Produktionsfunktion eines Unternehmens sei
l
für die eingesetzte Menge an Arbeit und
k
1
1
F (l, k) = l 2 · k 2 , wobei
für das eingesetzte Kapital
steht.
(a) Was versteht man unter einer partiellen Produktionsfunktion?
(b) Stellen Sie die partielle Produktionsfunktion für den Faktor Arbeit
graphisch dar
(k = 1)!
Tragen Sie in diese Abbildung zusätzlich folgende zwei Produktionspläne
A
und
B
ein: In
hergestellt, wohingegen in
A
B
l = 4 ein Output von y = 1
l = 1 y = 2 produziert wird. Wel-
wird mit
mit
che Aussagen können Sie bezüglich dieser beiden Produktionspläne
im Vergleich mit der durch obige Produktionsfunktion dargestellten
Technologie treen?
Aufgabe 6.5:
Gegeben sei die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
F (l, k) = c · lα · k 1−α .
Fl ! Wie ändert
Arbeit (l) steigt?
(a) Berechnen Sie das Grenzprodukt des Faktors Arbeit
sich das Grenzprodukt, wenn der Faktoreinsatz
(b) Inwiefern lässt sich
(c) Es sei
α =
α
als 'Elastizität' interpretieren?
1
. Ermitteln Sie die Grenzproduktivität des Faktors
4
Kapital! Wie ändert sich die Grenzproduktivität, wenn der Faktor
Arbeit (bei unverändertem Kapitaleinsatz) / der Faktor Kapital
(bei unverändertem Arbeitseinsatz) erhöht wird?
Aufgabe 6.6:
Angenommen die Produktionsfunktion eines Unternehmens sei gegeben
2
durch
2
F (x1 , x2 ) = x13 · x23 ,
wobei
x1
x2
und
die Mengen zweier Produk-
tionsfaktoren sind.
(a) Was versteht man unter Genzerträgen? Wie entwickeln sich diese
im obigen Fall?
(b) Erklären Sie den Begri Skalenerträge! Welche Ausprägung nehmen
diese für die obige Produktionsfunktion an?
Aufgabe 6.7:
Der Automobilkonzern Nixon produziert das Modell ßpiegelmit Hilfe
der Produktionsfaktoren Arbeit (l ) und Kapital (k ), wobei folgende Produktionsfunktion gilt:
2
3
F (l, k) = 6 · l 5 k 5 .
(a) Weist die Produktionsfunktion steigende, fallende oder konstante
Skalenerträge auf ?
2
in der Produktionsfunktion ökono5
(b) Zeigen Sie wie der Exponent
misch interpretiert werden kann!
(c) Der Konzern sieht sich den Faktorpreisen
r=3
w=64
(Lohnsatz) und
(Kapitalzins) gegenüber. In welchem Verhältnis sollten Arbeit
und Kapital eingesetzt werden? Wieviele Autos können mit einem
Budget von 32000 GE produziert werden?
(d) Bestimmen Sie die Grenzproduktivität der Arbeit und des Kapitals
sowohl allgemein als auch für die in (c) gegebene Situation. Wie
verändert sich (bei der allgemeinen Betrachtung) die Grenzproduktivität der Arbeit, wenn das Arbeitsniveau steigt?
Aufgabe 6.8:
Ein Unternehmen produziere mit der Produktionsfunktion
1
1
1
7
F (l, k, m) = l 2 · k 3 · m 3 − m 6 ,
wobei
l, k
und
m
die Produktionsfaktoren Arbeit, Kapital und Organi-
sationsgrad (in dieser Reihenfolge) bezeichnen.
(a) Bestimmen Sie, ob es sich bei obiger Produktionsfunktion um eine homogene Produktionsfunktion handelt und geben Sie ggf. den
Homogenitätsgrad an!
(b) Weist obige Funktion steigende, konstante oder fallende Skalenerträge auf ?
(c) Bestimmen Sie den Verlauf der Grenzproduktivitäten für die Produktionsfaktoren Arbeit und Kapital!
(d) Begründen Sie:
Eine Produktionsfunktion mit konstanten Skalenerträgen weist fallende Grenzerträge der Faktoren auf !
Aufgabe 6.9:
Die Untersuchung der partiellen Produktionsfunktion des Faktors Arbeit
l
auf einem Bauernhof hat folgende Messungen ergeben:
Einsatzmenge
Gesamtoutput
Grenzprodukt
Durchschnittspro-
des Faktors l
Getreide (in t)
des Faktors l
dukt des Faktors l
3
nicht bekannt
30
4
·
·
20
5
130
·
6
·
·
5
·
·
·
·
19
7
(a) Vervollständigen Sie die obige Messtabelle! D.h. ersetzen Sie jeden
Punkt durch den entsprechenden (eindeutig bestimmten) Wert! Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise!
(b) Erklären Sie, warum bei steigender Einsatzmenge eines Faktors das
Grenzprodukt eher zu sinken beginnt als das Durchschnittsprodukt!
(c) Erklären Sie, warum bei steigender Einsatzmenge eines Faktors das
Durchschnittsprodukt eher zu sinken beginnt als der Gesamtoutput!
Aufgabe 6.10:
Ein Unternehmen produziere mit der Produktionsfunktion
1
1
F (l, k) = l 2 · k 2
mit
l = Arbeit, k = Kapital.
(a) Denieren Sie den Begri '(technische) Grenzrate der Substitution'
(GRS) und ermitteln Sie deren Wert im Gewinnmaximum, falls die
Faktorpreise
w = 24
und
r=6
betragen!
(b) Welche Faktormengen fragt das Unternehmen nach, wenn die Outputmenge
x = 100
produziert werden soll?
(c) Welchen Preis muss das Unternehmen für seinen Output erzielen,
um keine Verluste zu machen?
(d) Aufgrund technischen Fortschritts verändere sich die Produktionsfunktion zu
1
1
F (l, k) = 2 · l 2 · k 2 .
Welchen Einuss hat dies auf die (Grenz-) Produktivität der beiden
Faktoren?
Aufgabe 6.11:
Die Produktionsfunktion Ihres Unternehmens sei wie folgt gegeben:
(
F (l, k) =
k·
0
√
l − 10
falls
1 > 10
sonst
.
a) Erklären Sie den Begri Skalenerträge ! Bestimmen Sie die Art der
Skalenerträge für obige Produktionsfunktion!
b) Bestimmen Sie das Grenzprodukt des Faktors Arbeit
Faktors Kapital
(l) und das des
(k) für einen Arbeitseinsatz l > 10! Wie ändern sich
diese beiden Grenzprodukte jeweils bei zunehmendem Kapitaleinsatz? (Begründen Sie Ihre Antwort!)
c) Denieren Sie den Begri der (technischen) Grenzrate der Substi-
tutuion (GRS) formal! Welchen ökonomischen Zusammenhang beschreibt sie?
d) Ermitteln Sie die GRS für die Faktoreinsatzmengen
Angenommen die Faktorpreise wären
die zu
(l, k) = (26, 8)
w = 40
und
(l, k) = (26, 8)!
r = 60. Würde
gehörige Produktionsmenge kostenminimal
produziert werden? In welche Richtung müssten die Faktoreinsatzmengen ggf. korrigiert werden, um die gleiche Produktionsmenge
kostenminimal zu produzieren?
Aufgabenblatt 7
Kostenfunktionen
Aufgabe 7.1:
(a) Was verstehen Sie unter einer Minimalkostenkombination bzw. durch
welche Bedingung ist eine solche gekennzeichnet?
(b) Zeigen Sie, dass die notwendige Bedingung für eine Minimalkostenkombination im Falle der Cobb-Douglas Produktionsfunktion lautet:
β · l∗
r
=
w
α · k∗
(Hinweis: Verwenden Sie den Lagrange-Ansatz!)
Aufgabe 7.2:
Ein Unternehmen habe folgende Produktionsfunktion:
1
1
F (l, k) = (l 2 + k 2 )2 .
(a) Was versteht man unter Skalenerträgen (SE) und welchen Wert nehmen sie für obige Produktionsfunktion an?
(b) Sie wollen einen Output von
x = 144
produzieren. Mit welchen
Kosten müssen Sie rechnen, wenn der Preis für den Input
w=5
und für den Input
k
(Kapital)
r=1
l
(Arbeit)
beträgt?
(c) Schlieÿen Sie aus Ihren Antworten aus (a) und (b) auf die Kostenfunktion des Unternehmens!
Aufgabe 7.3:
Die Technologie eines Unternehmens sei beschrieben durch folgende Produktionsfunktion:
F (l, k) = l2 · k 2 .
(a) Weist die Technologie steigende, konstante oder fallende Skalenerträge auf ?
(b) Die Kapitalausstattung des Unternehmens sei kurzfristig x bei
k = k0 = 10.
Ermitteln Sie die kurzfristige Kostenfunktion in Ab-
hängigkeit von den Inputpreisen
w
und
r!
(c) Angenommen das Unternehmen möchte eine gegebene Menge
y
langfristig zu möglichst geringen Kosten herstellen. Formulieren Sie
dieses Problem mathematish und geben Sie die Lösung an!
(d) Angenommen es handelt sich um eine Produktionsabteilung eines
Groÿunternehmens. Dieser Abteilung wird regelmäÿig ein xes Budget für Faktoreinkäufe zur Verfügung gestellt. Modellieren Sie nun
die Situation dieser Abteilung, wenn Sie unterstellen, dass diese mit
gegebenem Budget eine möglichst groÿe Outputmenge produzieren
will. Wie unterscheidet sich die Lösung dieses Problems von der aus
Teilaufgabe (c)?
Aufgabe 7.4:
Gegeben ist die folgende Produktionsfunktion in den beiden Faktormengen
l
und
k:
F (l, k) = l0.25 · k 0.25 .
Die zugehörigen Faktorpreise seien
w
und
r.
(a) Weist die Technologie steigende, fallende oder konstante Skalenerträge auf ?
(b) Was schlieÿen Sie aus diesem Ergebnis der Teilaufgabe (a) im Hinblick auf den Verlauf der langfristigen Kostenfunktion?
(c) Welche Mengen der beiden Produktionsfaktoren wird das Unternehmen nachfragen, wenn es
y
Einheiten des Endproduktes herstellen
möchte?
Aufgabe 7.5:
Die Produktionsfunktion eines Unternehmens betrage
1
1
F (l, k) = l 2 · k 2 − 100,
wobei der Output nur positive Werte annehmen kann.
(a) Was versteht man unter Skalenerträgen (SE) und wie sehen diese
bei obiger Produktionsfunktion aus?
(b) Es sei
w = 16 und r = 8. Wie lautet die Minimalkostenkombination,
um einen Output von x zu produzieren?
(c) Zeichnen Sie Grenz- und Durchschnittskostenkurve und interpretieren Sie Ihr Resultat aus (a) anhand deren Verlauf.
Aufgabe 7.6:
(a) Was versteht man unter Grenzkosten, was unter Durchschnittskosten? Skizzieren und begründen Sie deren Verlauf !
(b) Angenommen ein Unternehmen gibt Ihnen die Information seine
Kostenfunktion wäre
K(y) = ay + b.
Das Unternehmen sagt fer-
ner, es arbeite mit konstanten Skalenerträgen. Was versteht man
darunter? Was schlieÿen Sie daraus bezüglich der angegebenen Kostenfunktion? Geben Sie die langfristige und die kurzfristige Durchschnittskostenfunktion dieses Unternehmens an!
(c) Was ist der Unterschied zwischen einer langfristigen Kostenfunktion
LK(y) und einer kurzfristigen Kostenfunktion KK(y)?
LK(y) ≤ KK(y)? Begründen Sie Ihre Aussage!
Wann gilt
Aufgabe 7.7:
Ein Unternehmer, dessen Produktionsfunktion konstante Skalenerträge
aufweist, hat folgende kurzfristige Durchschnittskostenfunktion
KDK(x) =
x2 + 16
.
2x
(x = Output)
KDK -Funktion (oder der zugehörigen kurzfristigen Kostenfunktion KK(x)) auf und ermitteln Sie
sodann die langfristige Kostenfunktion LK(x)! Welcher Zusammenhang zwischen der langfristigen Kostenfunktion LK(x) und der Pro-
(a) Zeigen Sie den Verlauf dieser
duktionsfunktion eines Unternehmens besteht allgemein?
(b) Obige
KDK -Funktion
ist entstanden durch sogenannte partielle
Faktorvariation. Was versteht man darunter? Impliziert der betrachtete Fall konstante, fallende oder steigende Grenzproduktivität
des variablen Faktors?
(c) Könnte das Unternehmen (langfristig) in einem Markt bestehen, in
dem es seinen Output zum Preis
Aufgabe 7.8:
p=5
verkaufen könnte?
Ihr Unternehmen biete auf einem Wettbewerbsmarkt Schuhe an. Sie wissen, dass Ihre Kostenfunktion die Form
K(x) = ax2 + bx + c hat. Auÿer-
dem haben Sie festgestellt, dass bei der Produktion von 18 Paar Schuhen
Durchschnittskosten in Höhe von 40 GE, durchschnittliche variable Kosten in Höhe von 36 GE und Grenzkosten in Höhe von 72 GE entstehen.
(a) Erläutern Sie die Begrie Durchschnittskosten, durchschnittliche
variable Kosten und Grenzkosten! Wie sehen die Formeln für diese
Begrie für eine Kostenfunktion der Form
K(x) = ax2 + bx + c aus?
(b) Leiten Sie die exakte Kostenfunktion Ihrer Schuhfabrik aus den
oben genannten Werten her!
(c) Stellen Sie Funktionen der Durchschnittskosten, der durchschnittlichen variablen Kosten und der Grenzkosten graphisch dar! Interpretieren Sie insbesondere den Schnittpunkt der Durchschnittskostenund der Grenzkostenkurve!
(d) Welcher Preis für ein Paar Schuhe müssten Sie am Markt mindestens erzielen können, um keinen Verlust zu machen?
Aufgabe 7.9:
Im allgemeinen wird im Rahmen der Mikrotheorie unterstellt, dass Produktionsfunktionen homogen vom Grade
r=1
sind, also konstante Ska-
lenerträge aufweisen. Angenommen diese Voraussetzung würde verletzt
und es würde unterstellt, der Homogenitätsgrad sei
r < 1.
(a) Welche Konsequenzen hätte dies für den Verlauf von
und
K(x), GK(x)
DK(x)?
(b) Kann sich angesichts der unter (a) ermittelten Kostenverläufe ein
Wettbewerbsmarkt einstellen?
Aufgabe 7.10:
Ein gewinnmaximierendes Unternehmen produziere Sandalen (Anzahl
der Paare :
x)
mit der Kostenfunktion
K(x) = 2 · x2 + 50.
(a) Bestimmen Sie die Grenz- und Durchschnittskostenfunktion und
fertigen Sie eine Skizze ihrer ungefähren Verläufe an! Ermitteln Sie
insbesondere den Schnittpunkt der beiden Kurven und erläutern Sie
seine Bedeutung!
(b) Formulieren Sie die Gewinnfunktion des Schuhherstellers, wenn der
Marktpreis für Sandalen
p
beträgt! Ermitteln Sie sodann die Ange-
botsfunktion, indem Sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge
in Abhängigkeit von
p
bestimmen!
(c) Welcher Zusammenhang ergibt sich zwischen Grenzkostenkurve (Teil
(a)) und Angebotsfunktion (Teil (b))? Welches Angebot würde die
Firma wählen, wenn der Sandalenpreis durch staatliche Preiskontrolle auf
Aufgabe 7.11:
p = 24
festgesetzt würde?
Die Kostenfunktion eines Unternehmens lautet
K(x) = x2 + 5x + 100.
(a) Ermitteln Sie die Angebotsfunktion dieses Unternehmens unter der
Marktform `vollkommener Wettbewerb' !
(b) Welche Menge
x würde das Unternehmen bei einem Preis von p = 19
anbieten? Wie groÿ wäre sein maximaler Gewinn? Wie würde sich
sein Gewinn ändern, wenn der Preis auf
(c) Die Marktnachfragefunktion sei durch
p = 27
steigt?
f D (p) = 90 − 2 · p
gegeben.
Wieviele identische Unternehmen mit obiger Kostenstruktur könnten auf diesem Markt höchstens bestehen?
Aufgabe 7.12:
Nehmen Sie an, die Kostenfunktion eines Unternehmens mit neoklassischer Produktionsfunktion lautet:
K(x) = x2 + 4.
(a) Wie lautet die zugehörige Grenzkostenfunktion, wie die Durchschnittskostenfunktion? Stellen Sie diese beiden Funktionen in einer Graphik dar!
(b) Unter vollkommenem Wettbewerb hat sich ein Marktpreis für das
Outputgut von
p=6
Euro gebildet. Welche Menge würde das Un-
ternehmen anbieten? Macht das Unternehmen dann Gewinn oder
Verlust? Markieren Sie den Gewinn bzw. den Verlust in Ihrer Zeichnung!
(c) Handelt es sich bei der oben gegebenen Funktion um eine langfristige oder um eine kurzfristige Kostenfunktion? Begründen Sie ihre
Antwort!
(d) Welche Entwicklung bezüglich der Durchschnittskosten und der Anzahl der im Markt aktiven Untenehmen prognostizieren Sie aufgrund der zuvor abgeleiteten Ergebnisse?
Aufgabe 7.13:
Die Kostenfunktion eines Unternehmens laute
K(x) = x2 + 1.
(a) Das Unternehmen erwägt, seine Produktion von 5 auf 6 Einheiten
des Outputs auszudehnen. Welche zusätzlichen Kosten entstehen?
Wie hoch wären diese, wenn die Produktion von 1 auf 2 Einheiten
ausgedehnt wird? Erklären Sie den Zusammenhang beider Ergebnisse!
(b) Was versteht man unter der Gewinnschwelle des Unternehmens?
(c) Bestimmen Sie die Gewinnschwelle für obige Kostenfunktion und
stellen Sie Grenz- und Durchschnittskostenfunktion graphisch dar!
(d) Ermitteln Sie den gewinnmaximierenden Output zum Marktpreis
p = 3!
Aufgabe 7.14:
Wie groÿ ist der zu erzielende Gewinn?
John verkauft Hot Dogs im New Yorker Central Park. Jeder Hot Dog
besteht aus einem Würstchen und einem Brötchen. Um in den Park zu
kommen, muss John jeden Tag 80 Cent für ein U-Bahn-Ticket bezahlen.
Ein Rückfahrticket kostet ebenfalls 80 Cent. Auÿerdem bezahlt er für
ein Brötchen 20 Cent und für ein Würstchen 36 Cent. Nicht verkaufte
Brötchen und Würstchen kann John abends zurückgeben und muss sie
nicht bezahlen. Da John auÿerdem ein Mensch ist, der Stress scheut, muss
er mit zusätzlichen Anstrengungskosten rechnen, die (in Cent gerechnet)
quadratisch mit der Zahl der verkauften Hot Dogs steigen.
a) Wie sieht John's Kostenfunktion aus? Wie sehen seine Grenz- und
Durchschnittskostenfunktionen aus?
b) Unter den Hot-Dog-Verkäufern im Central Park hat sich ein Marktpreis von einem Dollar (100 Cent) für einen Hot Dog eingestellt,
den auch John verlangt. Wie viele Hot Dogs muss John mindestens
verkaufen, damit es sich für ihn lohnt, in den Park zu fahren?
c) Wie sieht für einen gegebenen Hot-Dog-Preis
p John's Gewinnfunk-
tion aus? Wie lautet seine gewinnmaximale Ausbringungsmenge in
Abhängigkeit vom Preis
p?
Aufgabenblatt 8
Wettbewerb vs. Monopol
Aufgabe 8.1:
Erklären Sie den Unterschied zwischen dem Verhalten eines Monopolisten
und einer Unternehmung im Wettbewerb! Welche Auswirkung hat dies
auf die Optimalitätsbedingung (Grenzerlös
(GE) = Grenzkosten (GK))?
K(x) = 10 · x + 1. Die
= f D (p) = 400 − 10 · p.
(a) Ein Monopolist habe die Kostenfunktion
Nachfrage sei linear gegeben durch
x
D
Wie lautet die gewinnmaximale Ausbringungsmenge? Welches ist
der zugehörige Gleichgewichts-Preis?
(b) Warum können viele kleine Unternehmen mit obiger Kostenfunktion
im vollständigen Wettbewerb nicht bestehen?
Aufgabe 8.2:
Ein Monopolist sieht sich der Preisabsatzfunktion
p(x) = 120 − 4 · x
gegenüber und hat einheitliche Grenzkosten in Höhe von 40 GE und xe
Kosten in Höhe von 400 GE.
(a) Wie lautet die Kostenfunktion des Monopolisten?
(b) Welche Ausbringungsmenge sollte der Monopolist wählen, wenn er
seinen Gewinn maximieren möchte?
(c) Aufgrund der europäischen Integrationsvereinbarungen könnte sich
der Monopolist einen neuen Markt erschlieÿen, in dem die Preisabsatzfunktion
p0 = 30 − x0
gilt. Zu welcher Produktionsmenge (für
diesen Markt) würden Sie dem Monopolisten raten?
Aufgabe 8.3:
Betrachten Sie einen Markt mit inverser Nachfrage
p(x) = 70 − 3 · x
und einer Produktionsfunktion mit konstanten Grenz- und Durchschnittskosten:
GK = DK = 10.
(a) Berechnen Sie Preis, Menge und die resultierende Konsumentenrente bei vollkommenem Wettbewerb!
(b) Berechnen Sie Preis, Menge, Konsumentenrente und unternehmerischen Gewinn bei monopolistischem Angebot!
(c) Bestimmen Sie den Verlust des sozialen Überschusses, den die monopolistische Lösung im Vergleich zum vollkommenen Wettbewerb
verursacht!
(d) Leiten Sie die folgende Formel her und interpretieren Sie diese!
p − GK
1
=
p
|η|
Aufgabe 8.4: Die Preiselastizität der (aggregierten) Nachfrage nach Gut x ist gleich
−0.5.
(a) Erläutern Sie den Begri der Preiselastizität der Nachfrage!
(b) Kann eine solche Situation bei vollkommenem Wettbewerb in einem
Gleichgewicht auftreten? (Begründung!) Welchen Schluss aus der
Sicht der Anbieter können Sie aus obigem Satz ziehen?
(c) Was würden Sie den Anbietern empfehlen, hätten diese die Möglichkeit, ein Kartell zu gründen?
Aufgabe 8.5:
Für einen gewinnmaximierenden Monopolisten gelte folgende Nachfragefunktion:
x = 24 − 4 · p .
Seine Produktionsfunktion lautet
1
1
F (k, l) = 2k 2 · l 2 .
Kurzfristig ist jedoch nur der Faktor Arbeit (l ) variabel, da
k = k̄ = 4.
Auf dem Arbeitsmarkt sieht sich der Monopolist vollkommener Konkurrenz beim Preis
w=4
ausgesetzt.
(a) Ermitteln Sie die nachgefragte Arbeitsmenge und die angebotene
Produktmenge! Welchen Preis erzielt der Monopolist im Absatzmarkt?
(b) Wie groÿ ist die Preiselastizität der Nachfrage im Angebotspunkt
des Monopolisten unter Fall (a)?
(c) Wie groÿ wäre die nachgefragte Arbeitsmenge, wenn sich das Unternehmen auch im Absatzmarkt als Wettbewerber verhalten würde?
(Nehmen Sie an, ein ktiver Konkurrent würde das Unternehmen
zwingen, den Wettbewerbspreis zu wählen.)
Aufgabe 8.6:
Die Nachfrage nach Hallenbadbesuchen in Abhängigkeit vom Eintrittspreis
p
sei durch
f D (p) =
18000
− 2000
p+1
gegeben. Die Stadt Dortmund sei als Anbieter Monopolist.
(a) Bestimmen Sie den Monopolpreis unter der Annahme, dass die
Grenzkosten
GK(x) = 0
betragen!
Wieviele Hallenbadbesuche wird es zu diesem Preis geben? Wie
hoch sind die Einnahmen der Stadt?
(b) Die Stadt Dortmund erwägt nun den 'Nulltarif ', d.h.
p = 0,
ein-
zuführen. Da der Betrieb eines Hallenbades jedoch xe Kosten verursacht, wäre sie zur Vermeidung eines Dezites gezwungen, eine
(Kopf-)Steuer in Höhe von
f =1
von allen potentiellen Hallenbad-
besuchern einzufordern. Wie hoch wären nun die Erlöse der Stadt?
Würde der Vorschlag eine Mehrheit unter den potentiellen Nachfragern nden?
(c) Würde die Maÿnahme 'Nulltarif plus (Kopf-)Steuer' eine ParetoVerbesserung im Vergleich zur Situation in (a) herbeiführen? (Begründung!)
Aufgabe 8.7:
Ein Monopolunternehmen arbeitet nur mit Fixkosten in Höhe von 100
GE, die variablen Kosten sind null, d.h. die Kostenfunktion lautet
100,
wobei
x
K(x) =
die produzierte Menge ist.
(a) Was versteht man unter Grenzkosten, was unter Durchschnittskosten?
Bestimmen und skizzieren Sie diese für den obigen Fall!
(b) Welche Menge würde das Unternehmen anbieten, wenn die Nachfrage beschrieben wäre durch
x = 100 − p?
Wie hoch ist der Gewinn?
(c) Der Pressesprecher des Unternehmens hat in einem Zeitungsinterview die Behauptung aufgestellt, für sein Unternehmen wäre es egal,
ob es den Unternehmensgewinn oder den Umsatz maximieren würde. Hat er recht? Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 8.8:
Ein Monopolist sieht sich der Nachfragefunktion
x =
100
gegenüber.
p
Seine Kostenfunktion lautet
(
K(x) =
50
2x
falls
falls
x ≤ 25
.
x > 25
(a) Was versteht man unter der Erlösfunktion und der Grenzerlösfunktion und wie lauten diese für den Monopolisten?
(b) Welche Gewinne macht der Monopolist bei einer Menge von
(i)
x = 10?
(ii)
x = 25?
(iii)
x = 50?
(c) Welche Ausbringungsmenge(n) würden Sie dem Monopolisten empfehlen? Begründen Sie Ihre Antwort!
(d) Was versteht man unter der Preiselastizität der Nachfrage? Wie
hoch ist die Preiselastizität der Nachfrage im Angebotspunkt des
Monopolisten?
Aufgabe 8.9:
Ein Monopolist sieht sich der Preis-Absatz-Funktion
p(x) = 100 − 5x
gegenüber. Er hat konstante Grenzkosten in Höhe von 200 GE und xe
Kosten in Höhe von 1000 GE.
(a) Was versteht man unter der Kostenfunktion? Wie lautet die Kostenfunktion des Monopolisten?
(b) Welche Ausbringungsmenge sollte der Monopolist langfristig wählen, wenn er seinen Gewinn maximieren will? Erläutern Sie, warum
dieses Ergebnis auch aus dem Vergleich von Preis-Absatz-Funktion
und Grenzkostenfunktion erkennbar ist!
(c) Durch gute Beziehungen erhält unser Monopolist die Möglichkeit,
zusätzlich auf dem völlig isoliert wirtschaftenden Inselstaat Titiwu anzubieten. Er wäre dort ebenfalls Monopolist. Die auf Titiwu
verkaufte Menge hat keinen Einuss auf den Marktpreis im Heimatland und umgekehrt. Die Nachfrage auf Titiwu ist beschrieben
durch
pT (xT ) = 400 − xT .
Welche Menge sollte der Monopolist nun
für den Heimatmarkt herstellen, welche für Titiwu? Wie hoch ist
der Gesamtgewinn des Monopolisten?
Aufgabe 8.10:
Die Nachfrage nach Woledo-Fruchtgummis sei durch die Relation
p2 + x2 = 98
beschrieben, wobei
p
den Preis und
x
die Nachfrage be-
zeichnet.
a) Bestimmen Sie die Nachfragefunktion und die Preis-Absatz-Funktion
eines Monopolisten für Woledo-Fruchtgummis! Wieviele WoledoFruchtgummis kann ein Monopolist zum Preis von 7 Cent absetzen,
wie hoch ist die maximale Zahlungsbereitschaft bei einem Absatz
von 9 Fruchtgummis? (Rundung auf eine Nachkommastelle genügt!)
b) Bestimmen Sie die Erlös- und die Grenzerlösfunktion und ermitteln
Sie das Erlösmaximum!
c) Denieren Sie den Begri Preiselastizität der Nachfrage formal!
Welchen ökonomischen Zusammenhang beschreibt die Preiselastizität der Nachfrage? Bestimmen Sie den Punkt der Nachfragefunktion, in dem die Nachfrage einheitselastisch ist!
d) Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Erlösmaximum eines
Monopolisten und einem einheitselastischen Punkt der Nachfragefunktion allgemein?
(Hinweis: Die Ableitung von
Aufgabe 8.11:
f (z) =
√
z
lautet
f 0 (z) =
1
√
.)
2 z
Das Stadion des Fuÿballvereins SfB fasst 50000 Zuschauer. Der Verein
ist Monopolist in Bezug auf den Verkauf von Eintrittskarten, die Grenzkosten der Bereitstellung betragen
c = 0.
(a) Die Nachfrage betrage für normale Spiele
f D (p) = 90000 − 1500p.
Welchen Preis sollte der Verein verlangen, wenn er seinen Gewinn
maximieren will? Wieviele Zuschauer werden erwartet?
(b) Kann der Verein die Fixkosten in Höhe von 1 Mio. decken? Wie hoch
ist der Gewinn? Ermitteln Sie die Preiselastizität der Nachfrage im
Gewinnmaximum und interpretieren Sie das Ergebnis!
(c) Das Spitzenspiel gegen K 04 lockt zusätzliche Sportfreunde an, so
dass die Nachfrage
f D∗ (p) = 120000 − 1000p beträgt. Welcher Preis
ist für das Spiel optimal?
Aufgabe 8.12:
Betrachten Sie ein Gut, dessen Produktionskosten linear verlaufen
K(x) = F + a · x.
Die geplante Nachfrage sei linear mit normalem Verlauf
x(p) = D − d · p .
(a) Begründen Sie die Aussage, dass die erlösmaximale Ausbringung
eines Monopolisten mit dem Punkt der Nachfrage zusammenfällt,
wo die Preiselastizität den Wert 1 annimmt!
(b) Für welchen Wert von
a ist die gewinnmaximale Ausbringungsmen-
ge eines Monopolisten identisch mit der erlösmaximalen? (graphische und mathematische Begründung)
(c) Ergänzen Sie die unter (b) verwendete Graphik um die Ausbringungsmenge bei vollkommenem Wettbewerb
(F = 0),
und ermit-
teln Sie den Faktor, um den diese Ausbringungsmenge diejenige des
Monopolisten übersteigt!
Aufgabe 8.13:
Es seien
Π(x) = x · p(x) − K(x)
(1)
Π(p) = x(p) · p − K(x(p))
(2)
und
zwei Darstellungen der Gewinnfunktion eines Monopolisten, d.h.
p(x) sei
x(p) = 99−p gehörige Preis-Absatz-Funktion.
1 3
Absatzmenge x koste x Geldeinheiten (GE).
3
die zur Nachfragefunktion
Die Produktion einer
(a) Bestimmen Sie die gewinnmaximale Menge
xM
für den Monopoli-
sten, indem Sie die Gewinnfunktion der Darstellung (1) maximieren!
Welcher Monopolpreis ergibt sich? Wie hoch sind die Kosten, die
bei der Produktion von
xM
anfallen? Wie hoch ist der Grenzerlös?
(b) Ermitteln Sie sodann den gewinnmaximalen Preis, der die Gewinne
in der Darstellung (2) maximiert! Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit
dem aus Aufgabenteil (a) und erklären Sie Gemeinsamkeiten bzw.
Unterschiede!
(c) Betrachten Sie nun einen Wettbewerbsmarkt, in dem sich ein Marktpreis von
p∗ = 81
GE eingestellt hat. Welche Produktionsmenge
würde obige Firma als Wettbewerber in diesem Markt anbieten?
Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem aus den Aufgabenteilen (a)
und (b) und erklären Sie Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede!