Übung zur Vorlesung Mikroökonomik im WS 2012/13

Aufgabe 47
√
a. Gegeben sei die Produktionsfunktion y = f (x) = x. Die Kosten
für den Produktionsfaktor x betragen 2. Wieviel kostet die
Herstellung von y Einheiten?
b. Ermittlen Sie die Kostenfunktion einer Unternehmung mit der
1 1
Produktionsfunktion y = 0, 8K 2 L 2 !. Die Preise der Inputs lauten
w = 20 und r = 5.
1 2
c. Bei einer Produktionsfunktion y = K 3 L 3 muss der Faktor L
kurzfristig konstant auf 8 Einheiten gehalten werden. Die
Faktorpreise lauten r = 2 und w = 3. Bestimmen Sie die
kurzfristige Kostenfunktion!
d. Wie lauten die kurzfristigen variablen Durchschnittskosten und die
kurzfristigen Durchschnitskosten der kurzfristigen Kostenfunktion
C (y ) = 1 + y 2 . Wie lautet die kurzfristige Grenzkostenfunktion?
Skizzieren Sie die drei Kurven!
1 von 5
Aufgabe 48
Bestimmen Sie für die Kostenfunktion C (y ) = 4y 2 + 16, bei
welcher Produktionsmenge die Durchschnittskosten minimal sind.
Berechnen Sie außerdem die Produktionsmenge y , bei der die
Grenzkosten gleich den Durchschnittskosten sind.
2 von 5
Aufgabe 49
√
Ein Unternehmen erzielt einen Gewinn von Π(x) = 10 x − wx,
wenn es x ≥ 0 Einheiten eines Rohstoffs einsetzt. Welche Menge
des Faktors sollte das Unternehmen einsetzen?
3 von 5
Aufgabe 50
Ein Unternehmen hat kurzfristige Gesamtkosten von
C (y ) = y 2 + 2y + 100.
a. Bestimmen Sie die durchschnittlichen Gesamtkosten und die
durchschnittlichen variablen Kosten als Funktion des Outputs!
b. Wie viel produziert das Unternehmen kurzfristig, wenn p = 25 gilt?
c. Wieviel produziert das Unternehmen kurzfristig, wenn p = 20 gilt?
d. Stellen Sie die kurzfristige Angebotsfunktion auf!
e. Wie viel produziert das Unternehmen langfristig, wenn die gleichen
Kostenstrukturen auch langfristig für positive y unterstellt werden
können und C (0) = 0 gilt?
4 von 5
Aufgabe 51
Ein Unternehmer
hat die langfristige Kostenfunktion
(
2
6y + 15y + 54
y >0
C (y ) =
0
sonst
Bestimmen Sie die langfristige Angebotsfunktion!
5 von 5
Lösung 47
a Die Kosten sind abhängig von der eingestzten Faktormenge
C (x) = 2x. Der Faktoreinsatz und der Output stehen in folgendem
Verhältnis
1
y = x 2 ⇒ x = y2
Für die Produktion von y Einheiten werden also y 2 Einheiten des
Faktors x benötigt. Daraus ergibt sich C (y ) = 2y 2 .
1 von 11
Lösung 47
b Mit der Bedingung
dK
w
=
dL
r
dK
=
dL
∂y
∂L
∂y
∂K
ergibt sich
1
2
1
2
1
· 0, 8 · K 2 ·L
· 0, 8 · K
1
−2
1
− 21 ·L 2
1
=4 L= K
4
Damit kann für die Kostenfunktion geschrieben werden
C (y ) = wL(K ) + rK
2 von 11
1
C (y ) = 20 · K + 5K
4
Lösung 47
Aus der Produktionsfunktion ergibt sich die (bedingte)
Faktornachfrage
1
2
1
1
y = (K , L (K )) = 0, 8 · K 2 ·
K
4
1
1 2
= 0, 8 ·
·K
4
= 0, 8 · 0, 5 · K
K
= 2, 5y
in die bereits aufgestellte Kostenfunktion eingesetzt, ergeben sich
die Kosten abhängig vom Output mit
C (y ) = 10 · 2, 5y = 25y
3 von 11
Lösung 47
c Die Produktionsfunktion lautet dann
1
2
1
y = K 3 · 83 = K 3 · 4
K=
y3
64
Für die kurzfristige Kostenfunktion ergibt sich dann
c(y ) = 2 ·
4 von 11
y3
y3
+ 3 · 8 C (y ) =
+ 24
64
32
Lösung 47
d Die kurzfristigen variablen Durchschnittskosten lauten:
Cs,v (y )
y2
=
=y
y
y
Die kurzfristigen Durchschnittskosten lauten:
Cs (y )
1 + y2
1
=
= +y
y
y
y
Die kurzfristigen Grenzkosten lauten:
dCs (y )
= 2y
dy
5 von 11
Lösung 48
Für die Durchschnitts- und Grenzkosten ergibt sich:
DK =
16
C (y )
= 4y +
y
y
GK =
dC (y )
= 8y
dy
Die Durchschnittskosten sind dann minimal, wenn dDK
dy = 0 ist. Das
ist für y = 2 der Fall.
Die Durchschnitts- und Grenzkosten sind ebenfalls bei y = 2 gleich.
Zufall?
6 von 11
Lösung 49
Mit der Methode des scharfen Hinsehens erkennen wir in der
Gewinnfunktion Erlös und Kosten
√
Π(x) = 10 · x − |{z}
wx
| {z }
Erlös
Faktorkosten
Und mit noch genauerem Hinsehen erkennen wir den Preis des Gutes
1
(10) und die Produktionsfunktion y = x 2 . Der Gewinn wird dann
maximal, wenn die erste Ableitung der Gewinnfunktion gleich Null ist,
oder aber Grenzerlös gleich Grenzkosten ist.
1 1
10 x − 2 = |{z}
w
| 2{z }
MC
MR
7 von 11
x=
25
w2
Lösung 50
a. Für die durchschnittlichen Gesamtkosten gilt
DK =
C (y )
y 2 + 2y + 100
100
=
=y +2+
y
y
y
Für die durchschnittlichen variablen Kosten gitl
DVK =
8 von 11
Cv (y )
y 2 + 2y
=
=y +2
y
y
Lösung 50
b. Es muss p = MC (y ) gelten. Somit ergibt sich
2y + 2 = 25
c. 2y +2 =20
9 von 11
2y = 18
y=9
2y = 23 y = 11, 5
Lösung 50
d. Es muss DVK (y ) = GK (y ) gelten und somit
y + 2 = 2y + 2
y = 0 GK (0) = 2
(
0
p≤2
y = S(p) = p
p>2
2 −1
10 von 11
Lösung 50
e. Hier muss DK (y ) = GK (y ) gelten und somit
y +2+
11 von 11
100
= 2y + 2
y
y = 10
MC (10) = p = 22