Aufgabenblatt

Georg Nöldeke
Herbstsemester 2010
Intermediate Microeconomics
Aufgabenblatt 3
1. Die Produktionsfunktion eines Unternehmens sei die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
β
f (x1 , x2 ) = Axα
1 x2 , mit A > 0, α > 0, β > 0.
Betrachten Sie im Folgenden durchwegs Situationen, in denen x1 > 0 und x2 > 0 gilt.
(a) Bestimmen Sie die Grenzprodukte M Pi (x1 , x2 ) = ∂f (x1 , x2 )/∂xi der beiden Inputs und zeigen Sie, dass die Grenzrate der technischen Substitution durch
GRT (x1 , x2 ) = −
α x2
·
β x1
gegeben ist.
(b) Für welche Werte der Parameter (A, α, β) sind die Grenzprodukte abnehmend?
Für welche Parameterwerte gilt, dass die Inputs komplementär sind?
(c) Bestimmen Sie die Durchschnittsprodukte und Produktionselastizitäten der Inputs.
(d) Für welche Werte der Parameter (A, α, β) liegen global steigende, konstante, bzw.
fallende Skalenerträge vor?
(e) Gibt es Parameterwerte, so dass global steigende Skalenerträge und zugleich abnehmende Grenzprodukte vorliegen?
2. Die Produktionsfunktion eines Unternehmens sei
β
f (x1 , x2 ) = xα
1 + x2 mit 0 < α < 1 und 0 < β < 1.
(a) Zeigen Sie, dass diese Produktionsfunktion abnehmende Grenzprodukte besitzt.
Ist der Absolutwert der Grenzrate der technischen Substitution fallend?
(b) Bestimmen Sie die Produktionselastizitäten der beiden Inputs und zeigen Sie,
dass die Produktionsfunktion global fallende Skalenerträge aufweist.
3. Ein Unternehmen kann mit den Faktoreinsatzmengen (x1 , x2 ) = (3, 6) maximal 12
Einheiten Output produzieren. Bei den genannten Faktoreinsatzmengen beträgt das
Grenzprodukt des ersten Faktors 3. Das Grenzprodukt des zweiten Faktors ist 1. Liegen
hier lokal fallende, konstante oder steigende Skalenerträge vor?
4. Besitzen die folgenden Produktionsfunktionen bei (x1 , x2 ) = (1, 1) lokal steigende,
konstante oder fallende Skalenerträge? Sind die Skalenerträge global steigend, konstant
oder fallend?
(a) f (x1 , x2 ) = 4x1 + x2 .
(b) f (x1 , x2 ) =
x1
x2
1+x1 1+x2
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5. Bestimmen Sie für die Kostenfunktion
C(y) = y 3 − 20y 2 + 220y
(a) den Verlauf (fallend, steigend, u-förmig, . . . ?) der Grenzkosten und Durchschnittskosten.
(b) bei welchen Mengen sich Grenzkosten und Durchschnittskosten schneiden.
6. Bestimmen Sie für den Fall A = 1/10, α = 1/2, β = 1/2 die kurzfristige Kostenfunktion
c(w1 , w2 , y, x̄2 ) zu der Cobb-Douglas Produktionsfunktion aus Aufgabe 1.
7. Bestimmen Sie
(a) die Fixkosten
(b) die variablen Kosten
(c) die Grenzkosten
(d) die Durchschnittskosten
(e) die durchschnittlichen Fixkosten
(f) die durchschnittlichen variablen Kosten
zu der Kostenfunktion aus der vorhergehenden Aufgabe unter der Annahme, dass die
Einsatzmenge von Input 2 kurzfristig auf x̄2 = 4 fixiert ist und die Faktorpreise durch
(w1 , w2 ) = (2, 50) gegeben sind.
8. Bestimmen Sie für die folgenden Produktionsfunktionen jeweils die bedingten Faktornachfragefunktionen und langfristige Kostenfunktion.
(a) f (x1 , x2 ) = min{x1 , 0.5x2 }. Hinweis: Entsprechend des Falles der perfekten
Komplemente in der Konsumententheorie sind dazu keine Ableitungen erforderlich.
√ √
(b) f (x1 , x2 ) = x1 x2 .
√
√
(c) f (x1 , x2 ) = x1 + x2 Hinweis: Sie können davon ausgehen, dass die Kostenminimierungsprobleme eine innere Lösung besitzen.
9. Betrachten Sie wieder die Produktionsfunktion aus Aufgabe 8 (a). Nehmen Sie an,
dass die Einsatzmenge von Input 2 durch x̄2 = 20 vorgegeben ist.
(a) Stellen Sie die entsprechende kurzfristige Produktionsfunktion grafisch dar.
(b) Bestimmen Sie die entsprechende kurzfristige Kostenfunktion für die gegebenen
Faktorpreise (w1 , w2 ) = (12, 1.5). Vergleichen Sie mit der langfristigen Kostenfunktion bei den gleichen Faktorpreisen.
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10. Geben Sie für die folgenden Kostenfunktionen jeweils an, für welche Outputpreise
p > 0 das Gewinnmaximierungsproblem
max py − C(y)
y≥0
eine Lösung hat und bestimmen Sie (soweit diese definiert ist) die dazugehörige Angebotsfunktion.
(a) C(y) = 100 + 2y 2
(b) C(y) = 67 + y + 0.1y 2
(c) C(y) = y 3 − 20y 2 + 220y
(d) C(y) = 25y
√
(e) C(y) = 2 y
11. Betrachten Sie ein Unternehmen mit der Produktionsfunktion aus Aufgabe 8 (c), welches in einem Wettbewerbsmarkt aktiv ist. Nehmen Sie an, dass die Faktorpreise durch
(w1 , w2 ) = (1, 1) gegeben sind.
(a) Bestimmen Sie die langfristige Angebotsfunktion.
(b) Welche Inputmengen wird das Unternehmen verwenden, um die bei p∗ = 4 gewinnmaximierende Outputmenge zu produzieren?
(c) Bestimmen Sie die kurzfristige Angebotsfunktion unter der Annahme, dass die
Einsatzmenge des zweiten Faktors fix durch die Menge gegeben ist, die bei p∗ = 4
gewinnmaximierend ist.
(d) Vergleichen Sie kurz- und langfristige Angebotsfunktion.
12. Die Angebotsfunktion eines Unternehmens ist s(p) = 4p. Bestimmen Sie die Produzentenrente des Unternehmens bei dem Preis p = 12.
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