Classifying Regular Events in Symbolic Logic - informatik.uni

Classifying Regular Events
in Symbolic Logic
Wolfgang Thomas
Überblick
1
2
3
Vorbemerkungen
Punkttiefe-Hierarchie
Hintikka Formeln
1 Vorbemerkungen
Sprachen
•
•
•
•
•
•
 ≝ das leere Wort
A ≝ {0, 1} Alphabet
Sprachen seien L⊆A+
sternfreie Sprache: ohne Kleene-Stern definierbar
für w ∈A+ :
•
Init k w  ≝ w ⇔ ∣w∣≤k
u ⇔ w=uv ∧ ∣u∣=k
•
End k w ≝ w ⇔ ∣w∣≤k
v ⇔ w=uv ∧ ∣u∣=k
für Sprachklassen C⊆℘  A+  :
•
B C  ≝ Boolscher Abschluss vonC
•
M C  ≝ Produktabschluss von C
{
{
Logik
•
•
•
•
•
Logik L1  A ist PL1-Sprache mit:
 ;Q
•
Prädikate:
min , max , succ  x  , pred  x 
•
Funktionen:
3
•
Abkürzungen:
succ  x  ≝ succsuccsucc x 
Atomformeln oder deren Negationen heißen Literale.
Formeln ohne freie Variablen heißen Aussage.
 x  ≝  x 1 , , x n  Formel mit freien Variablen x 1 ,  , x n
Interpretation I = ⟨ M ,, Q , min , max ,succ  x  , pred  x ⟩
•
für Worte w = a 1 a n :
•
M ≔ {1 , , n }
•
Q ≔ {i ∣ i∈M ∧ w[i]=1 }
•
succ x  ≝ x1 ⇔ xmax
max ⇔ x=max
•
pred x  ≝ x−1 ⇔ xmin
min ⇔ x=min
{
{
Logik
•
Erfüllungsbeziehung für Interpretationen I w für Worte w
•
•
I w ,    x  und I w   wie üblich definiert
Schreibweisen
•
w , r 1 , , r n   x 1 , , x n
•
•
•
•
w , r    x 
w   für Aussagen
 ⇔  gdw. w  ↔  für alle Interpretationen I w gilt
(Keine logische Äquivalenz!)
Eine Sprache L heißt definierbar in L1  A , falls es eine Aussage  mit
w ∈L ⇔ w   gibt.
•
L  sei die durch  definierte Sprache.
2 Punkttiefe-Hierarchie
Definition
Die Sprachklasse GDEF („generalized definit events“) ist wie folgt bestimmt.
L ∈ GDEF gdw.
•
•
es gibt k ∈ ℕ und L ⊥ ≝ {w1 , , w m , u 1 v 1 , , u n v n } ⊆ A+ mit:
•
∣wi∣2k und
•
∣ui∣=∣v i∣=k
es gilt:
•
w ∈L ⇔
m
∨
i=1
w=wi ∨
n
∨ Init w =u ∧ End  w=v 
i=1
k
i
k
i
Satz 2.1
GDEF ist eine Boolesche Algebra.
Beweisidee
Alle Sprachen L∈GDEF werden durch eine endliche Sprache L ⊥ ∈F induziert. ℘ F  ist
aber eine Boolesche Algebra.
Definition
Die Punkttiefe-Hierarchie besteht aus Sprachklassen B n induktiv definiert über B0 = GDEF
und B n1 = B M  Bn  .
Satz 2.2
Für n ≥ 0 gilt B n⊂B n1 .
Beweis
ohne Beweis
Definition
•
 ist 0 und  0 -Formel
gdw.  ist quantorenfrei.
•
 = ∃ x i  ist  n1 -Formel
gdw.  ist  n1 - oder  n -Formel.
•
 = ∀ x i  ist  n1 -Formel
gdw.  ist  n1 - oder  n -Formel.
Für n - und  n -Formeln heißt n Quantorenblocktiefe.
Bemerkung
Es gilt:
•
Eine Disjunktionen (Konjunktionen) von n -Formeln ist äquivalent zu einer n Formel.
∃ x 1 ∀ x 2  
x  ∧ ∃ x 1 ∀ x 2  x  ⇔ ∃ x 1 ∀ x 2  x  ∧ ∃ y 1 ∀ y 2   y 
⇔ ∃ x 1 ∃ y 1 ∀ x 2 ∀ y 2   x  ∧   y 
•
Eine boolesche Kombination von n -Formeln ist äquivalent zu einer  n1 -Formel
•
•
¬∃ x 1  x  ⇔ ∀ x 1 ¬  x 
⇔ ∃ x 2 ∀ x 1 ¬ x 
 n -Formeln verhalten sich dual zu obigem.
Bezeichnung
Forthin bezeichne n bzw.  n die Klasse aller Sprachen, die in L1  A durch eine n - bzw.
 n Aussage definierbar sind.
Theorem 2.3
B n=B  n  für beliebige n∈ℕ
Beweis Theorem 2.3
Fahrplan
•
•
Vorbereitungen
•
Relationale Formeln
•
Begrenzte Formeln
Induktion über n
•
Induktionsanfang (Satz 2.5)
•
Induktionsschritt
•
B n1 ⊆ B  n1 
•
B  n1  ⊆ B n1
•
Hintikkas distributive Normalform
Definition
Eine Formel ohne die Funktionssymbole succ  x  und pred x  heiße relational.
Bemerkung
Die Funktionen succ x  und pred x  können durch ein korrespondierendes Prädikat S ersetzt
werden.
Konstruktion
•
•
S ≝ { x 1 , x 2 
∣
x 1 , x 2 ∈M ∧ succ x 1= x 2 ∨ x 1=pred  x 2  }
für Formel  x  , bspw. Qsucc x 1 
(1) ∃ x 2 S  x 1 , x 2  ∧ Q  x 2  oder
(2) ∀ x 2 S  x 1 , x 2   Q x 2
•
 x  ist n -Formel, wähle
(1) falls innerster Quantor ∃
(2) falls innerster Quantor ∀
•
 n -Formeln dual
Konstruktion
Eine begrenzte Formel  x , y zu einer Aussage  erhält man mittels:
1. Ersetzung aller Prädikate S  , '  durch
max ∧ S  ,  ' ∨ =max ∧ ='  ∨
min ' ∧ S  , '  ∨  ' =min ∧ = ' 
2. Ersetzung von min durch x und max durch y
3. Ersetzung von ∃ z  durch ∃ z  x≤ z≤ y ∧  sowie ∀ z  durch
∀ z  x≤z ≤ y 
Folgerung 2.4
Es gilt für w=a 1  a n und 1≤i ≤ j≤n :
a 1 a n ,i , j    x , y  gdw. a i  a j  
Bezeichnung
 x , y definiert die Sprache L falls ∀ w∈ L gilt: w , min , max   x , y  .
Bemerkung
Die begrenzte Formel einer n - bzw.  n -Aussage ist wieder eine n - bzw.  n -Formel.
Beweis Theorem 2.3
Fahrplan
•
•
Vorbereitungen
•
Relationale Formeln
•
Begrenzte Formeln
Induktion über n
•
Induktionsanfang (Satz 2.5)
•
Induktionsschritt
•
B n1 ⊆ B  n1 
•
B  n1  ⊆ B n1
•
Hintikkas distributive Normalform
Satz 2.5
Eine Sprache L über A gehört zu GDEF dann und nur dann, wenn sie durch eine quantorenfreie
L1  A -Aussage definierbar ist.
Beweis
⇒
•
Für L∈GDEF bilde folgende Formel:
∨∧
nm
•
i=1
k −1
j=0
ij ∧
∧ 
k−1
j=0
ij
•
ij sei Qsucc j  min oder ¬Q succ j min entsprechend u i
•
ij sei Q pred j max oder ¬Q pred j  max entsprechend v i
•
•
 ≝
Für in definiere Worte w 1 , , w m mittels ij ≔ pred j max=min
Es gilt L=L .
Beweis
⇐
•
 sei quantorenfreie Aussage, o.B.d.A in disjunktiver Normalform:
≔
•
•
∨∧  
n
mi
i =1
j=1
ij
ij haben Form Q , = ' ,  ' oder deren Negationen
Bilde neue DNF:
•
keine Negationen vor = ' und  '
•
Terme sind succ i min oder pred i  max
Beweis
⇐
•
GDEF ist Boolesche Algebra, also zu zeigen:
Für alle Konjunktionen  gilt L  ∈GDEF .
•
Terme in Form succ j min oder pred j  max , geordnet:
succm  min , , succ m min und pred n  max , , pred n  max mit
0
r
0
s
m 0m r und n 0n s .
•
Zwei Fälle:
(1) pred i  max=succ j min oder pred i  maxsucc j min in  enthalten, also
L ∈F und folglich L  ∈GDEF
(2) w ∈L hängt von Init m 1  w und End n 1 w  ab, also
r
L ∈GDEF
s
Beweis Theorem 2.3
Fahrplan
•
•
Vorbereitungen
•
Relationale Formeln
•
Begrenzte Formeln
Induktion über n
•
Induktionsanfang (Lemma zu GDEF)
•
Induktionsschritt
•
B n1 ⊆ B  n1 
•
B  n1  ⊆ B n1
•
Hintikkas distributive Normalform
IA:
•
Satz 2.5
•
Gelte nun B n=B  n  für ein n ∈ ℕ .
IV:
Beweis Theorem 2.3
IS:
Richtung B n1 ⊆ B  n1  :
•
zu zeigen: M  B n ⊆  n 1
•
Sei L0⋅⋅L k = L ∈ M  B n , mit L0 , , L k ∈ Bn und L0 , , L k ∈ B  n  (IV).
•
•
alle Li durch relationale  n1 -Aussage i definierbar
•
i sei die zu i korrespondierende begrenzte Formel.
w ∈ L gdw.
w  ∃ x 1 ∃ x k  min x1x k max ∧
 0 min , x 1  ∧ 1 succ x 1  , x 2  ∧  ∧ k succ  x k  , max 
•
Diese Aussage ist äquivalent zu einer  n1 -Aussage.
•
Also gilt L ∈  n1 , woraus M  B n ⊆  n 1 und B n1 ⊆ B  n1  folgen.
Beweis Theorem 2.3
Fahrplan
•
•
Vorbereitungen
•
Relationale Formeln
•
Begrenzte Formeln
Induktion über n
•
Induktionsanfang (Satz 2.5)
•
Induktionsschritt
•
B n1 ⊆ B  n1 
•
B  n1  ⊆ B n1
•
Hintikkas distributive Normalform
Beweis Theorem 2.3
IS:
Richtung B  n1  ⊆ B n1 :
•
zu zeigen:  n1∪ n1⊆Bn 1
•
Sei L∈ n1 .
•
•
•
L definiert durch eine Aussage ∃ x 1 ∃ x k  x 
 x  ist  n -Formel
gleiche Variablen identifiziert.
Beweis Theorem 2.3
IS:
Richtung B  n1  ⊆ B n1 :
•
ord i  x  ≝ minx i x i max mit {i 1 , , i k } Permutation von {1 , k }
•
 x  ist äquivalent zu
1
k
k!
∨ ∃ x ord  x  ∧  x 
i =1
•
i
zeige:
Für jedes Disjunkt ∃ x   x  mit  x  ≔ ord i  x  ∧  x  gilt L ∃ x  x  ∈ B n1 .
Satz 2.6 (Hintikkas Distributive Normalform)
Sei  x  = minx 1 x k max ∧  x  , wobei  x  eine  n -Formel und n ≥ 0 .
Dann existieren begrenzte  n -Formeln i0  x , y , , ik  x , y  und ein m ∈ ℕ derart, dass
  x  ↔ minx 1 x k max ∧
m
∨ 
i =1
i0
min , x 1 ∧ i1 S  x 1  , x 2  ∧  ∧ ik  x k , max 
gilt.
Beweis
Folgt im nächsten Abschnitt.
Beweis Theorem 2.3
IS:
Richtung B  n1  ⊆ B n1 :
•
Betrachte distributive Normalform von  x 
•
Für n ≥ 0 sei Lij = L ij 
•
Es gilt
L = L ∃ x   x  =
•
m
∪ L ⋅⋅L
i=1
i0
ik
Mit Lij ∈ B n (IV) folgt L ∈ B n1 und auch  n1 ∈ B n1 sowie letztendlich
B  n1  ⊆ B n1
Theorem 2.7 (Mac Naughton & Papert 1971)
Eine Sprache L ist sternfrei, gdw. sie in L1  A definierbar ist.
Beweis
⇒
Induktion über Aufbau der rationalen Sprache.
⇐
Sei L durch einen n -Satz definiert. Mit Satz 2.3 gilt: L∈B n
3 Hintikka Formeln
Fahrplan
•
Einführung der Hintikka Formeln
•
Eigenschaften
•
w , r    u , s 
•
Hintikkas Distributive Normalform
•
Beweis von Satz 2.6
Vorbemerkung
•
•
•
•
∈{∃, ∀}* heiße Präfix.
Eine Formel in pränexer Normalform mit der Quantorensequenz  heiße  -Formel.
w , r  und u , s  bilden kombinierte Interpretation wu , r s  .
Folgend seien alle Formeln relational.
Definition (Hintikka Formeln)

∧ {  x  ∣   x  ist Literal ∧ w , r    x }
≝ ∧∃ x 
 x , x
≝ ∀ x ∨
 x , x
•
 w , r  ≝
•
∃
 w , r 
•
∀
 w , r 

n
r ∈w
n
r∈w

 w , r r

 w , r r 
Bemerkung
Es gibt nur endlich viele Literale, deshalb ist jede der obigen Konjunktionen endlich.
Lemma 3.1
Es gelten:

(a) w , r     w , r  x 
∃

∀

(b)  w , r  x    w , r  x  und  w , r  x   w , r  x 



(c) Falls u , s    v ,t  und v ,t    w , r , dann auch u , s    w , r

(d) Wenn   m bzw.  m entspricht, dann ist  w , r  x  äquivalent zu einer  m - bzw.
 m -Formel.
w , r     w , r  x 

Beweis (a)
IA:
w , r     w , r  x  gilt wegen Definition.
•
IV:

Gelte nun w , r     w , r  x  für ein  .
•
IS:
w , 
r    w , r  x 
∃
•

•
∧∃ x 
r ∈w
n

 w , r r 
mit IV wähle x n ≔ r
 x , x
∃
x   w , r  x 
 w , r  
Beweis (b)
IA:
•
∃ w , r =
∧∃x 
n
r∈ w

w , r r 
 x , x n 
•
Wegen Lit w , r r   x , x  ⊃ Lit  w , r   x  gilt ∃ x n  w , r r   x , x n    w , r   x  .
•
Gelte nun ∃
x   w , r  x  für ein  .
 w , r  
IV:
IS:
•
•
∃∃
x =
 w , r  
∧∃ x 
r ∈w
n
∃
w , r r 
 x , x n 
∃

Durch IV gilt ∃ x n  w , r r   x , x n   ∃ x n  w , r r   x , x n und damit
•
∧∃ x 
r ∈w
n
∃
 w , r r 
 x , x n 
∧∃ x 
r ∈w
n

 w , r r 
 x , x n  , also ∃∃  x   ∃  
 w , r 
w , r  x 
Definition
Für w , r  und u , s  schreibe w , r    u , s  , falls für jede  -Formel  x  mit
w , r    x  auch u , s    x  gilt.
Lemma 3.2

Für alle w , r  und u , s  gilt, wenn u , s    w , r   x  dann w , r    u , s  .
Beweis
Induktion über 
IA:
•

Sei  x  beliebig, die Negationen auf Literalebene und gelte u , s    w , r  x  .
•

Aus w , r    x  folgt Lit  w , r   x  ⊇ Lit  x  .
•

Aus u , s   Lit  w , r   x  folgen u , s   Lit  x  und u , s    x  .
•
Gelte die Behauptung nun für ein  .
IV:
IS:
•
•
u , s   ∃
x  und w , r   ∃ x  x , x  .
 w , r  
Wähle r mit w , r r     x , x  .
•
•
s   ∃ x w , r r  x , x  .
Definition von ∃
 w , r liefert u , 

x , x .
Wähle s mit u , s s    w , r r   
•
Aus w , r r     x , x  folgt mit IV u , s s    x , x  .
Definition
w , r  ~ u , s  gdw. u , s    w , r  x  und w , r    u , s   x  .
Bemerkung
•
•
~ ist Äquivalenzrelation mit endlich vielen Klassen für ein n mit n=∣s∣=∣r∣ .
Seien w 1 , r1  ,w m , rm  ein Menge von Repräsentanten.
Lemma 3.3 (Hintikkas Distributive Normalform)
Für jede  -Formel  x  gilt:
 x  ↔
∨ {
Beweis
ohne Beweis

w i , ri 
∣ w i , ri   x }
Lemma 3.4


Sei s = max u 1  . Wenn u1 , s1 s    w , r r   x , x  und u 2 , s2   w
1
u 1 u 2 , s1 s s2   

w 1 w 2 , r1 r r2
Beweis
ohne Beweis
 x , x , y  .
1
2
, r2
 y  , dann
Beweis Satz 2.6
•
Betrachte zur Vereinfachung nur  x = minxmax ∧  x . Zu zeigen:
 x ↔ min xmax ∧
m
∨
i=1
i0
min , x  ∧  i1 succ  x  , max
•

Mit Lemma 3.3 genügt es, für  x die Form  w , r   x anzunehmen.
•
Definiere eine Menge von Paaren v 1 , v 2  von Wörtern mit:
•
•


v 1 , v 2 ∈ M w ,r  gdw. v 1 v 2 , t   w ,r   x  für t = max v 1
•


Betrachte für jedes Paar die Aussagen  v ,t   max und  v .
•
endlich viele Aussagen
•
Seien i0  x , y , i1  x , y mit i=1 , , m entsprechende begrenzten Formeln.
1
Zeige:

Es gilt  w , r   x ↔
m
∨
i=1
i0
min , x  ∧  i1 succ  x  , max
2
Beweis Satz 2.6
⇒
•

Gelte u , s   w , r   x .
•
Sei u 1 u 2 = u mit s = maxu 1  .
•
Dann u 1 , u 2 ∈ M w ,r  .
•

Zu  u , s  max und  u seien 0  x , y , 1  x , y  die begrenzten Formeln.
•
•
1
2
0  x , y , 1  x , y  sind unter den i0  x , y , i1  x , y .
u1 , s    u , s  x  und u 2   u , deswegen u , s   0 min , x ∧1 succ  x  , max .
1
2
Beweis Satz 2.6
⇐
•
•
Gelte u , s   i0 min , x∧ i1 succ  x , max .
i0  x , y stamme von  v ,t   max und i1  x , y  von v
1
•
•
Es gilt v 1 v 2 , t  

w ,r 
2
x .


Sei u 1 u 2 = u mit s = max u 1  , dann u 1 , s    v ,t   x  und u 2  v .
1
•
u1 u 2 , s  v v , t  x folgt aus Lemma 3.4
•
v 1 v 2 , t  
1
2

w ,r 
 x  liefert u , s   w , r   x .
2