Lineare Gleichungssysteme - Institut für Mathematik und

Schulmathematik: Lineare Algebra & Analytische
Geometrie
Kapitel 1: Gleichungen
MAC.05043UB/MAC.05041PH, VU im SS 2017
http://imsc.uni-graz.at/pfeier/2017S/linalg.html
Christoph GRUBER, Florian KRUSE, Laurent PFEIFFER
Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen
an der Karl-Franzens-Universität Graz
Institut für Allgemeinbildende Fächer der Sekundarpädagogik
an der Pädagogischen Hochschule Steiermark
Gleichungssysteme mit 2 Variablen
Beispiel 1.11: Stellen Sie graphisch die folgenden Geraden dar:
D1 = (x , y ) ∈ R2
D2 = (x , y ) ∈ R2
D3 = (x , y ) ∈ R2
D4 = (x , y ) ∈ R2
D5 = (x , y ) ∈ R2
: y = x /3 + 1}
: x − 3y = 6}
: x + y = 5}
: x = 3}
: y = 2}.
Lösen Sie graphisch und rechnerisch die folgenden
Gleichungssysteme:
(
y
x
= x /3 + 1
+y =5
(
y
x
= x /3 + 1
− 3y = 6.
Gleichungssysteme mit 3 Variablen (6. Klasse)
Gleichungssysteme mit 3 Variablen (6. Klasse)
Gleichungssysteme mit 3 Variablen (6. Klasse)
Matrizen
Denition
Sei A ∈ R × eine reelle Matrix mit n Zeilen und m Spalten.
I Spaltenraum von A: bild(A) = {y ∈ R : ∃x ∈ R , Ax = y }.
I Rang von A: rang(A) = dim(bild(A)).
I Kern von A: ker(A) = {x ∈ R : Ax = 0}.
n
m
n
m
Satz (Dimensionsformel)
Für alle reellen Matrizen A
m
∈R
n
×m
gilt:
= rang(A) + dim(ker(A)).
m
Matrizen
Ergänzen Sie den folgenden Beweis.
Sei r = rang(A), k = dim(ker(A)).
I Sei (v1 , ..., vr ) eine Basis von bild(A).
I Sei u1 , ..., ur Vektoren in Rm , so dass v1 = Au1 ,...,vr = Aur .
I Sei (w1 , ..., wk ) eine Basis von ker(A).
Beweis der Dimensionsformel.
1.
Zz.:
(u1 , ..., ur , w1 , ..., wk )
ist linear unabhängig in
Seien λ1 , ..., λr , µ1,...,µk reelle Zahlen, so dass
Rm .
0
λ1 u1 + ... + λr ur + µ1 w1 + ... + µk wk = .
2.
Zeigen Sie zuerst, dass λ1 = ... = λr = 0.
Zz.:
(u1 , ..., ur , w1 , ..., wk )
Sei x ∈
Rm
ist ein Erzeugendensystem.
. Finden Sie reelle Zahlen λ1,...,λr so dass für
gilt: Ax = Ax̃ .
x̃ = λ1 u1 + ... + λr ur
Allgemeine Gleichungssysteme
Denition
Ein lineares Gleichungssystem ist eine Gleichung der Form:
Ax
wobei A ∈ R
n
×m
= b,
und b ∈ R .
n
Satz
Sei A
∈R
n
×m
und b
∈R
n
Wenn das Gleichungssystem Ax
=b
L = x0 + ker(A),
L
besitzt
eine Lösung x0 besitzt, dann
gilt:
wobei
=b
∈ bild(A).
. Das Gleichungssystem Ax
genau dann mindestens eine Lösung, wenn b
die Lösungsmenge bezeichnet.
Allgemeine Gleichungssysteme
Gauÿches Eliminationsverfahren.
I
Hauptidee: man formt die sogennante erweiterte Matrix:
A
I
I
|
b
mit Zeilentransformationen um.
Ein Pivotelement ist ein Paar (i , j ) ∈ {1, ..., n} × {1, ..., m}. Ist
(i , j ) ein Pivotelement, dann heiÿt die Zeile i Pivotzeile und
die Zeile j Pivotspalte.
Wir bezeichnen mit α das Element in der Zeile i und der
Spalte j .
ij
Allgemeine Gleichungssysteme
Eliminationsphase:
1. Gibt es eine Zeile i , die noch nicht Pivotzeile war, und auf der
linken Seite ein Element α 6= 0 enthält?
ij
I
I
Ja: wähle dieses Element als Pivotelement.
Nein: gehe zu Schritt 4.
2. Dividiere die Pivotzeile durch α . Von jeder anderen Zeile k ,
die noch nicht Pivotzeile war, subtrahiere das α /α -Fache
der Pivotzeile.
3. Gehe zu Schritt 1.
4. Alle Zeilen, die nur aus Nullen bestehen, werden gestrichen.
5. Gibt es eine Zeile, die links nur Nullen besitzt, aber rechts ein
Element ungleich Null enthält?
ij
kj
I
I
Ja: das System hat keine Lösung.
Nein: gehe weiter zu Schritt 6.
ij
Allgemeine Gleichungssysteme
Rücksubstitutionsphase:
6. Gibt es noch Zeilen, welche nicht für die Rücksubstition
verwendet wurden?
I Ja: wähle aus ihnen jene Zeile i , die als letzte Pivotzeile war.
Sei (i , j ) das Pivotelement. Gehe zu Schritt 7.
I
Nein: gehe zu Schritt 8.
7. Von allen Zeilen k , die vor der Zeile Nummer i Pivotzeilen
waren, subtrahiere das α -Fache der Zeile i . Gehe zu Schritt 6.
kj
Freie Parameter und Auösung:
8. Gibt es Spalten, die nie Pivotspalten waren? Setze die
entsprechenden Variablen x mit allgemeinen Zahlen
(=Buchstaben) als freie Parameter an.
9. Aus jeder Zeile i , deren Pivotelement (i , j ) war, läÿt sich der
Wert von x jetzt ablesen.
j
j
Allgemeine Gleichungssysteme
Beispiel.





x1
x1
−x1
+
+
6x2
8x2
+
+
+
x3
4x3
3x3
+
+
+
x4
2x4
x4
16
23
2
=
=
= .
Eliminationsphase:
Z1
Z2
Z3

Z4
Z5
Z6

Z7
Z8
Z9




1
1
−1∗
0
0
1
0
0
1
6
8
0
6
8
0
3
−1
0
1 1
4 2
3 1
4 2∗
7 3
−3 −1
2 1
1∗ 0
−3 −1
16 
23 
2
18 
25 
−2
9
−2 
−2
Z4 = Z1 + Z3
Z5 = Z2 + Z3
Z6 = −Z3
Z7 = Z4 /2
Z8 = −3/2 · Z4 + Z5
Z9 = Z6
Allgemeine Gleichungssysteme
Rücksubstitution
Z7
Z8
Z9
Z10
Z11
Z12
Z13
Z14
Z15






0
0
1
0
0
1
0
0
1
3
−1
0
5
−1
−3
5
−1
2
2
1∗
−3
0
1
0
0
1
0

(
L=



1 9
0 −2 
−1 −2
1∗ 13 
0 −2 
−1
−8
1 13 
0 −2 
0 5
5 − 2µ
µ
−2 + µ
13 − 5µ
Z10 =
Z11 =
Z12 =
Z13 =
Z14 =
Z15 =

)

:µ∈R .

Z7 − 2Z8
Z8
Z9 + 3Z8
Z10
Z11
Z12 + Z9
Aufgaben
Beispiel 1.12: Ein Teich wird von drei Zuüssen A, B und C
gefüllt. Sind die Zuüsse A und B gleichzeitig geönet, so ist der
Behälter in 20 Stunden voll. Die Zuüss A und C schaen es in 24
Stunden, B und C brauchen 40 Stunden zur Befüllung des Teichs.
1. Wie lange würde jeder einzelne Zuuss zur Befüllung des
Teichs brauchen?
2. Wie lange dauert die Befüllung, wenn alle drei Zuüsse
gleichzeitig geönet sind?
Aufgaben
Beispiel 1.13: Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme:










x1
−x1
x1
x1
−x1
x1
+ 4x2 + 2x3 + 5x4 = 2
− 5x2 + 6x3 + 8x4 = 1
+ 3x2 + 10x3 + 18x4 = 5
+ 4x2 + 2x3 + 5x4 = 2
− 5x2 + 6x3 + 8x4 = 1
+ 3x2 + 10x3 + 18x4 = 6.
Aufgaben
Beispiel 1.14: Zur Erzeugung einer Metallmembran werden 60 kg
einer Legierung benötigt, die 90% Kupfer, 5% Zink und 5% Zinn
enthält. Eine solche Legierung soll durch Vereinigung von drei
Legierungen A, B, C hergestellt werden, deren Gehalt an Kupfer,
Zink und Zinn in der Tabelle 1 angegeben ist. Wie viel Kilogramm
sind von jeder Legierung zu nehmen?
Kupferanteil (in %)
Zinkanteil (in %)
Zinnanteil (in %)
Legierung A Legierung B Legierung C
80
95
80
(1)
20
0
10
0
5
10
Aufgaben
: Seien a1, a2 , und a3 ∈ R. Betrachten Sie die folgenden
Beispiel 1.15
Geraden:
D1 = (x , y ) ∈ R2
D2 = (x , y ) ∈ R2
D3 = (x , y ) ∈ R2
D4 = (x , y ) ∈ R2
D5 = (x , y ) ∈ R2
D6 = (x , y ) ∈ R2
: y = a1 + x
: y = a2 − x
2x
: x + 2y = 5
:x +y =5
: x + 3y = 1 .
Zeigen Sie, dass sich die Geraden D1 und D2 , die Geraden D1 und D3
und die Geraden D2 und D3 in genau einem Punkt schneiden. Seien M4 ,
M5 bzw. M6 die entsprechenden Schnittpunkte. Finden Sie alle Werte
von (a1 , a2 , a3) ∈ R3, so dass
M4 ∈ D4 , M5 ∈ D5 und M6 ∈ D6 .
: y = a3 −