1. Vorbemerkungen

1
Funktionen
1. Vorbemerkungen
1.1. Grundbegriffe.
Zahlen. Mit R bezeichnen wir die Menge der reellen Zahlen. Wir stellen sie uns
vor als die Menge der Punkte auf der Zahlengerade:
.
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.
−1
0
1
5
Beispiele reeller Zahlen sind ganze Zahlen wie 5, −1002, 17, 0, 230 , −371;
9
Brüche wie zum Beispiel 11
oder − 52 ; abbrechende Dezimalbrüche wie −17, 235
oder 0, 0001, . . . ; periodische Dezimalbrüche wie 0, 3 oder −17, 24181, . . . ; es gibt
(viele!) reelle Zahlen, die
√ sich nicht als abbrechende oder periodische Dezimalbrüche
darstellen lassen, z.B. 2 oder die Kreiszahl π; beim effektiven Rechnen wird man
allerdings geeignet runden, also zum Beispiel mit π ≈ 3, 14 arbeiten. Eine reelle Zahl ist
entweder positiv oder Null oder negativ. Es sollte wohlbekannt sein, wie man mit reellen
Zahlen rechnet (insbesondere: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division).
Im zweiten Teil der Vorlesung wird aber die Konstruktion
des “Körpers” der reellen Zahlen thematisiert werden (dort
werden wir dann auch die sogenannten “komplexen” Zahlen
konstuieren).
Messwerte. Die Funktionen, mit denen wir uns beschäftigen werden, stammen
vorwiegend aus dem Alltag, sie betreffen dann meist Maßzahlen zusammen mit
einer Maßeinheit, wie 5 kg, 17 cm, 3 sec; die Maßzahlen sind dabei reelle Zahlen.
Die jeweilige Maßeinheit beschreibt die Dimension (oder Größenart) der Größe (also
ob es sich um eine Masse, eine Länge, eine Zeitdauer, eine Geschwindigkeit, einen
Druck, . . . handelt) und die Größenordnung (also bei Längen: mm, cm, dm, m, km,
usw). Für jede Dimension wurde eine Grundeinheit (oder Basiseinheit) festgelegt, wie
zum Beispiel für Längen das Meter (dies sind zwar willkürliche Festlegungen, sie sind
aber verbindlich vorgeschrieben). Die Maßeinheit wird manchmal in eckigen Klammern
notiert: also 5 [kg], 17 [cm], 3 [sec]. Die mathematische Betrachtung bezieht sich oft nur
auf die Maßzahlen, wir werden daher meist nur mit den reellen Zahlen (den Maßzahlen)
arbeiten und die Maßeinheiten vernachlässigen. Doch sollte betont werden, dass in
konkreten Situationen das “Mitschleppen” der Maßeinheiten (Denk-)Fehler verhindern
kann!
In der Materialien-Sammlung zur Vorlesung findet man die
Liste der sieben Basis-Einheiten (SI-Einheiten), also Meter,
Kilogramm, Sekunde,... und die Bezeichnungen für Größenordnungen wie giga, mega, oder nano.
Variablen. Denkt man an Funktionen, so muss man fast immer mit Variablen
arbeiten; man verwendet hierfür Buchstaben (wie x, y, . . . oder auch a, b, . . . ). Ein derartiger Buchstabe dient einerseits als “Platzhalter” für Werte (meist Zahlen), die man
Leitfaden
2
an dieser Stelle einsetzen kann (= “unabhängige Variable”), oder aber als Bezeichnung
eines berechneten Werts (= “abhängige Variable”). Typisches Beispiel: schreibt man
y = 2 + 3x, so ist x als unabhängige Variable anzusehen, beim Einsetzen einer Zahl
an dieser Stelle ergibt sich ein davon abhängiger y-Wert; ersetzen wir zum Beispiel
x durch 1, so erhalten wir als y-Wert 2 + 3 · 1 = 5 (man sagt auch: für x = 1 ist
y = 5); bei der Zuordnung x 7→ y = 2 + 3x handelt es sich um eine “Funktion”
(siehe weiter unten). Wenn man es mit mehreren Variablen zu tun hat, so kann man
die verwendeten Variablen durchnummerieren, etwa x1 , x2 , x3 (statt x, y, z) schreiben.
Multipliziert man eine Zahl mit einer Variablen, etwa 2 mit x, so schreibt man 2x oder
auch (zur Verdeutlichung) 2 · x.
Zahlenpaare, Koordinatensystem. Weiter oben steht, dass man sich reelle
Zahlen immer als Punkte auf einer Zahlengerade vorstellt. Wir betrachten nun Paare
(x, y) von reellen Zahlen (hier sind also x, y beides reelle Zahlen); solche Zahlenpaare
(x, y) stellen wir uns als Punkte in der Ebene R2 vor: wir arbeiten mit einem Koordinatensystem, das durch die zwei Koordinatenachsen gebildet wird; horizontal verläuft
die x-Achse, vertikal die y-Achse, der Schnittpunkt der beiden Achsen ist der Punkt
(0, 0). Hier zwei solche Koordinatensysteme:
y
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x
y
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x
Im linken Koordinatensystem sind die Punkte (0, 2), (2, 3) und (3, 4) eingetragen, als
fette (fast zu fette) Punkte, zur Verdeutlichung wurde eine Rasterung durch punktierte
Linien vorgegeben (und meist verwendet man für solche Zeichnungen Kästchenpapier!),
im rechten Koordinatensystem sind die Punkte (0, 2), (20, 3) und (30, 4) eingetragen.
Wenn nichts dagegen spricht, werden wir das Zahlenpaar mit erster Koordinate x =
2 und zweiter Koordinate y = 3 einfach
i (2, 3) schreiben, andere mögliche Beh als
2
zeichnungen sind [2 3] oder (2 | 3) oder 3 (auf eine dieser Form muss man immer
dann zurückgreifen, wenn wenigstens eine der Zahlen x, y selbst eine Kommazahl ist).
Manchmal schreibt man statt (2, 3) auch P (2 | 3) um zu betonen, dass man einen
Punkt in der Ebene meint . . . . Wichtig ist, dass sich die Bezeichnung der Achsen je
nach Problemstellung ändern kann: oft ist die horizontale Achse eine Zeitachse, sie wird
dann meist als t-Achse bezeichnet. Auch macht es häufig gar keinen Sinn zu erwarten,
dass sich die Abstände auf den beiden Achsen entsprechen (eine der Achsen ist vielleicht
eine Zeitachse, mit Einheit 1 [sec], die andere eine Längenachse, mit Einheit 1 [mm]
oder 1 [m]: warum sollte man nun diese Einheiten geich lang zeichnen? - sie habe ja
überhaupt nichts miteinander zu tun). Die Skalierung der Achsen wird der jeweiligen
Problemstellung angepasst (siehe das rechte Bild weiter oben); wichtig ist nur, dass die
darzustellenden Punktepaare deutlich sichtbar sind.
3
Funktionen
Derartige Koordinatensysteme werden vor allem verwendet, um funktionale Abhängigkeiten zeichnerisch darzustellen; darauf werden wir gleich eingehen, wenn von
Funktionen die Rede ist. Welchen Effekt das Verändern der Skalen hat, wird im Abschnitt 2 besprochen. Und es wird sich im Abschnitt über die Exponentialfunktion
zeigen, dass man neben den bisher betrachteten linearen Skalen auch zu ganz anderen
Skalen greifen muss, den sogenannten logarithmischen Skalen.
Mengen. Viele mathematische Sachverhalte werden “mengentheoretisch” formuliert. Unter einer Menge versteht man eine Zusammenfassung von Elementen. Ist a
ein Element der Menge A, so schreibt man a ∈ A. Man nennt A′ eine Teilmenge
von A, wenn die Elemente von A′ auch Elemente von A sind. Die Mengen, mit denen
wir es zu tun haben werden, sind oft Teilmengen von R oder R2 .
Im Abschnitt 1.3 wird das Arbeiten mit Mengen thematisiert.
Funktionen. Seien zwei Mengen A, B gegeben. Eine Funktion f : A → B ordnet
jedem a ∈ A ein (und nur ein) Element f (a) der Menge b zu, man schreibt dann auch
a 7→ f (a), man nennt f (a) das Bild des Elements a unter der Funktion f , und man
sagt auch, dass a auf f (a) abgebildet wird. Die Menge A heißt Definitionsbereich von
f , die Menge B der Wertevorrat von f . (Beachte: es wird nicht verlangt, dass zwei
verschiedene Elemente a, a′ der Menge A auf verschiedene Elemente in B abgebildet
werden; es wird auch nicht verlangt, dass jedes b ∈ B als Bild auftritt. Wenn derartige
Eigenschaften gebraucht werden, so ist dies besonders zu formulieren, siehe: “injektive”
Funktion, “surjektive” Funktion). Der Graph der Funktion f ist die Menge der Paare
(a, f (a)) mit a ∈ A. Hier einige Funktionen f : R → R und ihre Graphen:
y .........
y
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y=x2 +1 ..................................
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x
y=sin(x)
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x
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y=exp(x)
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x
Eine Funktion f : A → B heißt injektiv, wenn verschiedene Elemente a, a′ aus A
auf verschiedene Elemente f (a), f (a′) abgebildet werden. Zum Beispiel: Die Funktion
f : R → R mit x 7→ x2 + 1 ist nicht injektiv, denn es ist f (−3) = f (3). Bei Funktionen,
die nicht injektiv sind, empfiehlt es sich häufig, den Definitionsbereich zu verkleinern,
um eine injektive Funktion zu erhalten (so könnte man bei der Zuordnung x 7→ x2 als
verkleinerten Definitionsbereich die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen nehmen).
Eine Funktion f : A → B heißt surjektiv, wenn jedes b ∈ B als Bild unter f auftritt,
wenn es also zu jedem Element b aus B ein a ∈ A mit f (a) = b gibt. Zum Beispiel:
Die Funktion f : R → R mit x 7→ x2 + 1 ist auch nicht surjektiv, denn unter f wird
jede Zahl auf eine Zahl b ≥ 1 abgebildet; die Zahlen b mit b < 1 treten nicht als Bilder
Leitfaden
4
auf. Braucht man Surjektivität, so wird man bei Funktionen, die nicht surjektiv sind,
ganz einfach den Wertevorrat verkleinern! (Betrachten wir die Zuordnung x 7→ x2 + 1
als Funktion f : R → {r ∈ R | r ≥ 1}, so ist dies eine surjektive Funktion.)
Umkehrfunktion. Ist f : X → Y injektiv und surjektiv, so ist die Umkehrfunktion f −1 definiert; dies ist folgende Zuordnung y 7→ x, wobei x das eindeutig
bestimmte Element mit f (x) = y ist (ein solches x existiert, weil wir voraussetzen,
dass f surjektiv ist; es ist eindeutig bestimmt, weil wir voraussetzen, dass f injektiv
ist). Es ist ganz einfach, den Graphen von f −1 zu zeichen, wenn man den Graphen
von f kennt: Der Graph von f besteht aus den Paaren (x, f (x)), derjenige von f −1
besteht aus den Paaren (f (x), x). Wir spiegeln also einfach den Graphen von f an der
Winkelhalbierenden im ersten (und dritten) Quadranten und erhalten denjenigen von
f −1 .
Eine Kleinigkeit, die immer wieder für Verwirrung sorgt: Sei f : X → Y eine Funktion, die injektiv und surjektiv ist. Ist f (x) = y, so ist f −1 (y) = x, man kann also mit
f −1 sehr einfach arbeiten, wenn man die Variable für den Definitionsbereich von f −1
mit y, die für die Wertemenge mit x bezeichnet, aber meist tut man dies nicht,
sondern schreibt wieder x für die Elemente des Definitionsbereichs und y für die des
Wertebereichs. Wichtige Beispiele von Umkehrfunktionen sind die Wurzelfunktion (als
Umkehrung des Quadrierens), der Logarithmus (als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion) und die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen — all dies
wird noch ausführlich zu diskutieren sein.
Als Beispiel sei hier die Umkehrfunktion der lineare Funktion f (x) = 2x − 1
berechnet: aus y = 2x − 1 ergibt sich y + 1 = 2x also x = 21 (y + 1) = 12 y + 21 . Links
zeichnen wir den Graphen der Funktion f (x) = 2x − 1 und deuten gleich die Diagonale
y = x an, um die das Koordinatensystem gespiegelt werden muss, will man den Graph
der Umkehrfunktion erhalten. In der Mitte sieht man das Spiegelbild, noch haben wir
keine Änderung der Variablenbezeichnungen vorgenommen: durch das Spiegeln trägt
nun die horizontale Achse die Bezeichnung y, die vertikale Achse die Bezeichnung x,
die dargestellte Zuordnung ist die Zuordung, die jedem y-Wert den Wert g(y) = 12 y + 21
zuordnet. Diese Funktion g ordnet demnach t den Wert g(t) = 12 t + 21 zu, also einem
x den Wert g(x) = 12 x + 12 .
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1 ....... ......... f (x)=2x−1
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y..........
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1 ............................. g(x)= 2 x+ 2
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1
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x
Rechts haben wir wie üblich die horizontale Achse x-Achse, die vertikale Achse y-Achse
genannt. Den Graph haben wir nicht geändert, es ist der gleiche wie im mittleren Bild
— durch die Änderung der Variablenbezeichungen müssen wir aber nun sagen, dass
dies rechts der Graph der Funktion g(x) = 21 x + 21 ist. Die Umkehrfunktion f −1 der
Funktion f (x) = 2x − 1 ist demnach g(x) = f −1 (x) = 21 x + 21 .
5
Funktionen
Betrachten wir ganz allgemein eine lineare Funktion f (x) = a + bx, so ist diese nur
dann umkehrbar, wenn b 6= 0 gilt. Dies wollen wir voraussetzen (ansonsten wäre ja f
eine konstante Funktion). Dann ist (mit der gleichen Rechnung wie soeben) f −1 (x) =
− ab + 1b x. Denn schreiben wir y = f (x), so ist y = a + bx, also bx = −a + y, also
x = − ab + yb . Wir sehen: die Umkehrfunktion f −1 ist durch y 7→ − ab + 1b y gegeben.
Hier ist y einfach eine Variable, also ein “Platzhalter für das Einsetzen reeller Zahlen”;
diesen Platzhalter nennt man aber lieber x (wie er bezeichnet wird, ist eigentlich egal
— nur braucht man halt eine Bezeichnung). Schreiben wir für den Platzhalter x, so
sehen wir, dass f −1 wirklich die Funktion x 7→ − ab + 1b x ist!
1.2. Funktionen in zwei Variablen.
Zwar sind die Funktionen, an denen wir vor allem interessiert sind, Funktionen in
einer Variablen. Es wird sich aber als sinnvoll erweisen, als Hilfsmittel auch Funktionen
R2 → R (also Funktionen in zwei Variablen) heranzuziehen. Eine Funktion f : R2 → R
ordnet jedem Paar (x, y) reeller Zahlen eine reelle Zahl f (x, y) zu. Die Menge Γ(f ) der
Tripel der Form (x, y, f (x, y)) ∈ R3 nennt man den Graph der Funktionen f ; man
erhält auf diese Weise (für hinreichend schöne Funktionen f ) Flächen im R3 .
Vom Schulunterricht her kennt man Funktionenscharen, also “parametrisierte”
Funktionen in einer Variablen x mit einem zusätzlichen Parameter a, etwa fa (x) =
x3 + ax, dabei handelt es sich natürlich um nichts anderes als um Funktionen in den
beiden Variablen x aund a. Ist umgekehrt eine Funktion f (x, y) in zwei Variablen
gegeben, und fixiert ein y = y0 , so erhält man gerade eine Funktion in einer Variablen
x (und man kann dies als eine parametrisierte Funktion mit der Variablen x und
mit Parameter y0 auffassen). Den Graph der Funktion x 7→ f (x, y0 ) erhält man aus
dem Graphen von f , indem man die Fläche Γ(f ) mit der Ebene y = y0 schneidet.
Entsprechend kann man ein x = x0 fixieren und die Abbildung y 7→ f (x0 , y) betrachten
(dies ist eine parametrisierte Funktion in der Variablen y mit Parameter x0 ). Man
nennt diese Funktionen x 7→ f (x, y0 ) und y 7→ f (x0 , y) die zugehörigen partiellen
Funktionen.
Die partiellen Funktionen liefern Information über das Verhalten in Richtung der Koordinatenachsen, es ist aber durchaus möglich, dass in diesen Richtungen nichts Aufregendes
passiert, im Gegensatz zu anderen Richtungen (dies soll
im Abschnitt 15 kurz thematisiert werden). Das eigentliche
Rechnen mit Funktionen in mehreren Variablen (das Differenzieren wie das Integrieren) wird immer auf den Fall
der Funktionen in einer Variablen zurückgeführt, und zwar
eben durch Betrachtung der partiellen Funktionen (man
spricht dann vom partiellen Differenzieren ...). Das eigentliche Rechnen bietet also keine neuen Schwierigkeiten. Man
muss sich aber darüber im Klaren sein, dass es in der mehrdimensionalen Analysis ganz neue Effekte gibt, auf die man
sich einstellen muss!
Leitfaden
6
Zur Veranschaulichung einer Funktion f : R2 → R versucht man, den Graph
Γ(f ) = {(x, y, z) | x, y ∈ R; z = f (x, y)}
von f als Fläche im R3 zu zeichnen. Dafür bieten sich Computer-Programme wie
Excel oder Maple an. Dabei muss man sich auf Intervalle für x und y beschränken
(zum Beispiel −10 ≤ x ≤ 20, 4 ≤ y ≤ 5), manchmal empfiehlt es sich auch, den
Wertebereich einzuschränken (also nur die Tripel (x, y, z) zu betrachten, für die zum
Beispiel −100 ≤ z ≤ +100 gilt). Wenn man will, wird dann auch die rechteckige
Schachtel mit den Maßen −10 ≤ x ≤ 20, 4 ≤ y ≤ 5, −100 ≤ z ≤ +100 gezeichnet. Von
besonderem Interesse ist dabei, dass man zum besseren Verständnis diese Schachtel in
alle Richtungen drehen kann! Andererseits muss betont werden, dass eine Darstellung
von Flächen im dreidimensionalen Raum auf einem Blatt Papier (oder auch auf dem
Bildschirm) oft recht schwierig zu interpretieren und dann nicht wirklich hilfreich ist.
Stattdessen verwendet man oft ein Höhenlinienbild, wie man es aus Atlanten kennt:
Beispiel: Die Funktion f (x, y) = x2 + y 2 . Links der Graph, rechts ein Höhenlinienbild.
y
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x
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x
Dabei versteht man unter einer “Höhenlinie” eine Menge der Form Hf (c) = {(x, y) |
f (x, y) = c}, wobei c ein fester Wert ist. Im allgemeinen kann eine solche Menge Hf (c)
ganz wild aussehen, oft handelt es sich aber um Kurven in der Ebene. Bei der Beispiel2
2
Funktion
√ f (x, y) = x + y erhält man für c > 0 als Höhenlinie Hf (c) einen Kreis (mit
Radius c), und für c = 0 einen Punkt, nämlich den Ursprung des Koordinatensystems;
für c < 0 ist Hf (c) leer.
Die Höhenlinie für c = 0, also Hf (0) ist oft besonders wichtig, man nennt dies die
Nullstellenmenge. Natürlich ist Hf (c) = Hf −c (0): die Höhenlinien von f sind also gerade die Nullstellenmengen der Funktionen f − c, die aus f durch vertikales Verschieben
auseinander hervorgehen.
Markiert man für eine Funktion f : R2 → R die Nullstellenmenge Hf (0), er erhält
man üblicherweise ein Kurvensystem, und zwischen diesen Kurven liegen dann Bereiche, innerhalb derer kein Vorzeichenwechsel stattfindet (Stetigkeit vorausgesetzt);
für eine erste Übersicht kann man diese Bereiche also mit + oder − markieren, je
nachdem ob dort positive Werte oder negative Werte angenommen werden. Hier das
Beispiel f (x, y) = (x − y)(x + y)(x − 1); als Nullstellenmenge erhält man drei Geraden
7
Funktionen
(nämlich die Geraden x = y, x = −y und x = 1), diese trennen sieben Bereiche,
auf denen jeweils abwechselnd positive und negative Werte angenommen werden; die
Bereiche mit negativen Werten wurden punktiert:
y
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..
x
Zum Arbeiten mit EXCEL sei auf einige Anleitungsseiten verwiesen, die man auf der Homepage unter dem Link
Software findet. EXCEL-2 beschreibt, wie man mit wenigen Handgriffen eine Wertetabelle anlegt und was man tun
muss, damit der zugehörige Graph gezeichnet wird; man
beachte, dass man die jeweilige Fläche sich aus beliebigen
Blickwinkel ansehen kann! EXCEL-3 liefert eine Interpretation der Bilder.
1.3. Das Arbeiten mit Mengen.
Wichtige Beispiele.
N = {1, 2, 3, ...}, die Menge der natürlichen Zahlen.
N0 = {0, 1, 2, 3, ...}, die Menge der nicht-negativen ganzen Zahlen.
Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, die Menge der ganzen Zahlen,
Q, die Menge der rationalen Zahlen,
R, die Menge der reellen Zahlen.
R2 , die Menge der Paare (a, b) mit a, b ∈ R.
Man nennt dies die reelle Ebene.
• R3 , die Menge der Tripel (a, b, c) mit a, b, c ∈ R.
Man nennt dies den (3-dimensionalen) reellen Raum.
• Seien a ≤ b ∈ R. Man nennt
•
•
•
•
•
•
[a; b] = {x ∈ R | a ≤ r ≤ b}
das abgeschlossene Intervall mit den Endpunkten a, b.
• Seien a ≤ b ∈ R. Man nennt
]a; b[= {x ∈ R | a < r < b}
das offene Intervall mit den Endpunkten a, b.
Menge, Element. Eine Menge ist durch ihre Elemente festgelegt. Zwei Mengen
A, B sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente besitzen. Man schreibt dann A = B.
Leitfaden
8
Ist A eine Menge, und ist a eines ihrer Elemente, so schreibt man a ∈ A. Gehört a
nicht zur Menge A, so schreibt man a ∈
/ A.
Teilmenge. Seien A, B Mengen. Man sagt, dass A Teilmenge (oder Untermenge)
von B ist, falls jedes Element von A ein Element von B ist. Man sagt auch: die Menge
A ist in der Menge B enthalten und man schreibt A ⊆ B. Nach dieser Definition gilt
also, dass jede Menge M Teilmenge von sich selbst ist, dass also immer M ⊆ M gilt.
Ist A ⊆ B und A 6= B, so nennt man A eine echte Teilmenge von B und wir schreiben
dann A ⊂ B.
Man beachte, dass es Bücher gibt, die A ⊂ B schreiben,
um auszudrücken, dass A eine Teilmenge von B ist, wobei
A = B erlaubt ist — dies kann recht irreführend sein! Im
Rahmen dieser Vorlesung bedeutet A ⊂ B immer, dass A
eine echte Teilmenge von B ist, dass also neben A ⊆ B
zusätzlich A 6= B gilt.
Man unterscheidet zwischen zwei möglichen Angaben von Mengen:
• Explizite Angabe einer Menge: hier werden die Elemente der Menge aufgezählt,
man nennt dies auch die extensionale Beschreibung.
• Implizite Angabe einer Teilmenge: Beschreibung der Elemente durch eine Eigenschaft (dies nennt man auch die intensionale Beschreibung).
In beiden Fällen verwendet man die “Mengenklammern” {....}, zwischen diesen
Klammern notiert man die Elemente der Menge (bei expliziter Beschreibung), oder
man verwendet einen senkrechten Trennstrich |, vor dem Trennstrich steht, wie die
Elemente bezeichnet werden, hinter dem Trennstrich steht, durch welche Eigenschaft
sie ausgezeichnet sind.
Beispiele:
• {1, 2, 3, 4} ist die Menge, die genau die Zahlen 1,2,3,4 und nichts sonst enthält.
• {g | g ist eine Gerade der Ebene R2 } ist die Menge der Geraden in der Ebene R2 .
• Sei M die Menge der geraden Zahlen in N.
Implizite Beschreibung: M ist die Menge der natürlichen Zahlen, die beim Teilen
durch 2 wieder eine natürliche Zahl liefern.
Explizite Beschreibung: M ist die Menge der Zahlen der Form 2n, mit n ∈ N.
• Der Einheitskreis E in der Ebene R2 . Implizite Beschreibung: E ist die Menge
aller Punkte der Ebene R2 mit Abstand 1 vom Ursprung. Explizite Beschreibung:
E ist die Menge aller Punkte der Form (cos(t), sin(t)) mit t ∈ R.
Bei expliziter Angabe kommt es nicht auf die Reihenfolge an, auch kann man
Elemente mehrfach erwähnen Beispiel: Die Menge M der Quadratzahlen kleiner oder
gleich 20 ist M = {1, 4, 9, 16} = {4, 1, 16, 9} = {4, 9, 9, 1, 4, 16}.
Die leere Menge. Dies ist die Menge, die kein einziges Element enthält. Nach
der Definition der Gleichheit von Mengen gibt es nur eine leere Menge, man schreibt
∅ = { }.
In der Praxis kommt die leere Menge ganz häufig vor, und zwar vor allem bei
implizit definierten Mengen, etwa:
9
Funktionen
• Die Menge der natürlichen Zahlen x mit x < 10 und x2 > 200 ist leer.
• Die Menge der Paare (x, y) auf dem Einheitskreis mit x + y = 2 ist leer.
Schnitt (oder Durchschnitt) zweier Mengen A, B. Der Schnitt von A und B ist
die Menge aller Elemente von A, die auch zu B gehören. Man schreibt
A ∩ B = {x | x ∈ A und x ∈ B}.
Vereinigung zweier Mengen A, B. Die Vereinigung von A und B ist die Menge
der Elemente, die zu A oder zu B gehören. Man schreibt
A ∪ B = {x | x ∈ A oder x ∈ B}.
Differenzmenge A, B. Hier bildet man die Menge der Elemente, die zu A , aber
nicht zu B gehören. Man schreibt
A \ B = {x | x ∈ A und x ∈
/ B}.
(Achtung: Im allgemeinen ist A \ B etwas ganz anderes als B \ A, hier kommt es also
auf die Reihenfolge an!)
Venn-Diagramme für Schnitt, Vereinigung und Differenzmenge
Dies sind suggestive Zeichnungen zur Veranschaulichung von Mengen und ihren
Teilmengen. Mengen werden dabei durch sich überlappende Kreisscheiben dargestellt
(die Elemente einer solchen Menge sind also die Punkte innerhalb dieser Kreisschreibe).
A
B
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......
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A
B
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......... . . . . . ......... ........ . . . . . ........
............................
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B
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.................................
............................... .......
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....................................
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........................................... ........
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A\B
A∪B
A∩B
A
Entsprechende Bilder verwendet man auch zur Veranschaulichung beim Arbeiten
mit drei vorgegebene Mengen (bei vier und mehr Mengen muss man dagegen vorsichtig
sein!). Das Ausgangsbild ist dabei das folgende:
A
B
.....................
......................
...........
......................
......
......
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C
Leitfaden
10
Wie prüft man, ob eine Menge A Teilmenge einer Menge B ist? Man
betrachtet die einzelnen Elemente a ∈ A, und überprüft, ob jedes derartige a auch
Element von B ist.
Beispiel. Wir zeigen: Seien A, B, C Mengen. Dann gilt:
(A ∪ B) ∩ C ⊆ A ∪ (B ∩ C).
Beweis: Sei x ein Element von (A∪B)∩C. Es gilt also x ∈ A∪B und auch x ∈ C.
Wegen x ∈ A ∪ B, gilt x ∈ A oder x ∈ B. Fall 1: x ∈ A. Dann gehört x offensichtlich
zur rechts angegebenen Menge A ∪ (B ∩ C).
Fall 2: x ∈
/ A. Wegen x ∈ A ∪ B sehen wir, dass x zu b gehört. Da wir außerdem
wissen, dass x zu C gehört, ist x ∈ B ∩ C, also auch in A ∪ (B ∩ C).
Diese Aussage kann man problemlos durch Venn-Diagramme veranschaulichen:
A
(A ∪ B) ∩ C
B
............................. ....................................
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C
A
A ∪ (B ∩ C)
B
.................................
...................................
......
............................... ......
....................................
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.......................................................... .....
.................................. .................................
.................................
.................................
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......
.....
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C
Man sieht: (A ∪ B) ∩ C ist eine Teilmenge von A ∪ (B ∩ C). Offensichtlich gilt die
umgekehrte Inklusion nicht immer!
Wie zeigt man, dass üblicherweise A ∪ (B ∩ C) keine Teilmenge von (A ∪ B) ∩ C
ist? Man zeigt dies durch Angabe eines Beispiels! Sei A = {1} (die Menge mit einem
einzigen Element, nämlich der Zahl 1). Sei B = C = ∅. Dann ist die linke Menge eine
Untermenge der leeren Menge C, also selbst leer. Dagegen enthält die rechte Menge
das Element 1, ist also nicht leer.
Gleichheit von Mengen. Zwei Mengen A, B sind genau dann gleich, wenn gilt:
A ist Teilmenge von B und B ist Teilmenge von A.
Beweis: Natürlich ist A Teilmenge von A. Ist also A = B, so ist A Teilmenge von
B und B Teilmenge von A. Umgekehrt sei A Teilmenge von B und auch B Teilmenge
von A. Da A Teilmenge von B ist, ist jedes Element von A ein Element von B. Da B
Teilmenge von A, ist jedes Element von B ein Element von A. Insgesamt sehen wir: A
und B haben die gleichen Elemente. Also ist A = B.
Hinweis. Dies ist ganz wichtig (aber auch trivial). Denn in der Praxis muss man
ständig nachweisen, dass gewisse Mengen gleich sind, und in den meisten Fällen ist es
am einfachsten, das genannte Kriterium zu verwenden.
Das Produkt A × B zweier Mengen A, B. Seien A, B Mengen. Die Produktmenge A × B ist definiert als die Menge der Paare (a, b) mit a ∈ A und b ∈ B, also
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.
11
Funktionen
Veranschaulichung:
B
...........................................................................................................................................................................
....
.................................................................
..
.................................................................................................
..
...
.................................................................
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... . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . ..
.... . . . . . . . . . .................................................................................................
.................................................................................................
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...
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...............................
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............................................................................................................
A×B
(a, b)
•
b•
•
a
A
Relationen. Jede Teilmenge U ⊆ A × B nennt man eine Relation zwischen A
und B.
Abbildungen. Abbildungen f : A → B sind spezielle Relationen. Man definiert:
Eine Relation Γ ⊆ A × B ist eine Abbildung, falls die folgenden beiden Bedingungen
erfüllt sind:
• Zu jeden a ∈ A gibt es ein b ∈ B mit (a, b) ∈ Γ.
• Sind a, a′ ∈ A, b ∈ B mit (a, b), (a′, b) ∈ Γ, so gilt a = a′ .
Die Menge Γ ist gerade das, was man den Graph von f nennt! Die beiden Bedingungen
besagen eben: Jedem a ∈ A ist genau ein b ∈ B zugeordnet, so dass (a, b) ∈ Γ gilt.
Ist f = (Γ ⊆ A × B) eine Abbildung, so nennt man A den Definitionsbereich,
B den Wertebereich und Γ = Γ(f ) den Graph der Abbildung. Ist (a, b) ∈ Γ, so
schreibt man b = f (a), und nennt b das Bild von a unter der Abbildung f , und man
schreibt auch a 7→ b.
1.4. Funktionen in einer Variablen.
Funktionen sind Abbildungen mit Wertebereich R. Die Funktionen, an denen wir
vor allem interessiert sind, haben als Definitionsbereich ebenfalls R, oder zumindest
eine Teilmenge U ⊆ R, also
f : U −→ R,
mit U ⊆ R.
Der allgemeine Abbildungsbegriff identifiziert eine Abbildung mit dem zugehörigen
Graphen — eine Funktion f : U → R ist auf diese Weise also nichts anderes als die
Menge der Paare (u, f (u)) mit u ∈ U.
Terme. Viele Funktionen, die für uns von Interesse sind, werden durch einen Term
gegeben sein, zum Beispiel f (x) = x2 oder g(x) = sin(x).
Tabelle. Ist eine Funktion f : U → R durch einen Term gegeben, so wird man
üblicherweise eine Wertetabelle anlegen, also zum Beispiel eine Tabelle der Form
...
.
x ...... 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..
...
f (x) .... 1
4
9
16 25 36 49 64 81 100
Leitfaden
12
Umgekehrt kann aber auch eine Tabelle gegeben sein, die man als Wertetabelle einer
gesuchten Funktion interpretiert.
Insgesamt gibt es drei ganz verschiedene Sichtweisen auf Funktionen:
............................................................................................
..
...
....
..
..
.
....
...
..
.......................................................................................
Graph
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.....
.....
.....
.....
.
.
.
....
.....
.....
....
.
.
.
.
.....
.....
.....
....
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.....
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..........................................................................................
..
...
.....
...
..
..
...
..
..
.
.......................................................................................
Term
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.
..................................................................................................................
..........................................................................................
..
...
.....
...
..
..
...
..
..
.
.......................................................................................
Tabelle
Diese drei verschiedenen Sichtweisen werden wir immer wieder heranziehen.
Ist eine Funktion in einer Variablen durch einen Term gegeben, so kann man für die beiden Arbeitsschritte
TERM 7→ TABELLE, und
TABELLE 7→ GRAPH
ein Tabellenkalkulationsprogramm wie etwa EXCEL heranziehen. Zum Arbeiten mit EXCEL sei auf die Anleitungsseite EXCEL-4 verwiesen. Computeralgebra-Systeme wie
MAPLE, Derive oder gnu-plot liefern direkt
TERM 7→ GRAPH,
ohne den Umweg über das Anlegen einer Tabelle.