Projekt 12 - Symmetrien in der Quantenmechanik

Klassische Mechanik und Noether Theorem
Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Projekt 12 - Symmetrien in der Quantenmechanik
Frederico Brückelmann Philipp Erbe Jonas Heggemann
Mathieu Lachapelle Robert Zielinski
Technische Universität Berlin
12. Februar 2015
Brückelmann, Erbe, Heggemann, Lachapelle, Zielinski
Projekt 12 - Symmetrien in der Quantenmechanik
Klassische Mechanik und Noether Theorem
Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Overview
1
Klassische Mechanik und Noether Theorem
2
Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik
Transformierte Zustände und transformierte Operatoren
Erhaltung der Norm
Schrödinger Gleichung unter Symmetrietransformationen
3
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Brückelmann, Erbe, Heggemann, Lachapelle, Zielinski
Projekt 12 - Symmetrien in der Quantenmechanik
Klassische Mechanik und Noether Theorem
Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Koordinatentransformation in der klassischen Mechanik
qi −→ qi0 = qi0 (q1 , q2 , ..., q3N−k , t, a)
(1)
0
qi = qi (q10 , q20 , ..., q3N−k
, t, a)
(2)
N: Teilchenanzahl des Systems
k: Anzahl der unabhängigen holonomen Nebenbedingungen
a: kontinuierlicher Parameter (qi (a = 0) = qi0 )
wir schreiben als Abkürzung q := (q1 , q2 , q3 , ..., q3N−k )
[Fließbach, 2009, Kuypers, 2010, Greiner, 1979]
Brückelmann, Erbe, Heggemann, Lachapelle, Zielinski
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Klassische Mechanik und Noether Theorem
Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Impulserhaltung
L(q, q̇, t) = L(q(q 0 , t, a),
d
q(q 0 , t, a), t) =: L0 (q 0 , q̇ 0 , t, a)
dt
(3)
3N−k
∂L0
d X ∂L ∂qi (q 0 , t, a)
= (
)
∂a
dt
∂ q̇i
∂a
(4)
i=1
∂L0
=0
∂a |a=0
⇒
I (q, q̇, t) =
∂L ∂qi (q 0 , t, a)
∂ q̇i
∂a
|a=0
(5)
d
Eichfunktion: dt
F (q 0 , t, a) In Formel I (q, q̇, t) kommt dann noch
0
der Term − ∂F (q∂a,t,a) hinzu.
[Fließbach, 2009, Kuypers, 2010, Greiner, 1979]
Brückelmann, Erbe, Heggemann, Lachapelle, Zielinski
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Klassische Mechanik und Noether Theorem
Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Energieerhaltungssatz
L 6= L(t)
⇒
3N−k
X ∂L
dL
∂L
=
(
· q̇i +
· q̈i )
dt
∂qi
∂ q̇i
(6)
i=1
∂L
d ∂L
−
=0
dt ∂ q̇i
∂qi
3N−k
⇒
d X
∂L
(
q̇i ·
− L) = 0
dt
∂ q̇i
(7)
i=1
[Fließbach, 2009, Kuypers, 2010, Greiner, 1979]
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Klassische Mechanik und Noether Theorem
Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Poisson-Klammer
f (q, p, t) und g (q, p, t) zwei Observablen
{f , g }q,p
n
X
∂f ∂g
∂f ∂g
:=
(
−
)
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
(8)
i=1
Zeitliche Ableitung einer Observable:
df
∂f
= {f , H} +
dt
∂t
(9)
[Fließbach, 2009, Kuypers, 2010, Greiner, 1979]
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Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Transformierte Zustände und transformierte Operatoren
Erhaltung der Norm
Schrödinger Gleichung unter Symmetrietransformationen
Eine Symmetrietransformation eines Systems U : S → S 0 wird
durch einen Operator Û generiert.
Es ergibt keinen Sinn, quantenmechanische Operatoren und die
Zustände eines Systems getrennt voneinander zu betrachten.
Möchten wir eine Transformation über das System wirken lassen,
wirkt sie sowohl auf die Operatoren als auch auf die Zustände.
0
Ψ
= Û |Ψi
0
Â
= Û ÂÛ
†
(10)
(11)
[Greiner, 1979, Morrison, 2015, Sakurai, 2014]
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Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Transformierte Zustände und transformierte Operatoren
Erhaltung der Norm
Schrödinger Gleichung unter Symmetrietransformationen
Die bedeutende Eigenschaft eines solchen Operators ist seine
Unitarität (oder anti-Unitarität) - Wigner-Theorem. So muss er
auch linear (oder anti-linear) sein.
Û † Û
=
Û Û † = 1
†
⇔ Û = Û
−1
(12)
(13)
Die Unitarität eines Transformationsoperator erlaubt die Erhaltung
der Wahrscheinlichkeiten, in anderen Worten, der Norm.
hΨ|Ψi = hΨ| Û † Û |Ψi = Ψ0 Ψ0 = 1
(14)
[Greiner, 1979, Morrison, 2015, Sakurai, 2014]
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Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Transformierte Zustände und transformierte Operatoren
Erhaltung der Norm
Schrödinger Gleichung unter Symmetrietransformationen
Schauen wir uns das Verhalten der Eigenwerte unter einer unitären
Transformation an.
 |Ψi = a |Ψi
Â0 Ψ0 = Â0 Û |Ψi
(15)
(16)
†
= (Û ÂÛ )Û |Ψi
= Û Â |Ψi
= Ûa |Ψi
= aÛ |Ψi
Â0 Ψ0 = a Ψ0
D E D E
Â0 = Ψ0 Â0 Ψ0 = a = hΨ| Â |Ψi = Â
(17)
(18)
[Greiner, 1979, Morrison, 2015, Sakurai, 2014]
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Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Transformierte Zustände und transformierte Operatoren
Erhaltung der Norm
Schrödinger Gleichung unter Symmetrietransformationen
Eine Symmetrietransformation muss die zeitabhängige
Schrödinger-Gleichung unverändert lassen.
i~
∂
∂
|Ψi = Ĥ |Ψi ⇔ i~ |Ψi = Ĥ 0 |Ψi
∂t
∂t
(19)
Weil Ĥ = Ĥ 0 und Û Unitär ist, folgt, dass Ĥ und Û kommutieren.
Ĥ = Û Ĥ Û † ⇔ [Ĥ, Û] = 0
(20)
[Greiner, 1979, Morrison, 2015, Sakurai, 2014]
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Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Raumtranslation
Zustand durch Wellenfunktion |ψ(~r , t)i charakterisiert
Verschiebungsvektor ρ
~ führt zu neuem Zustand |ψ 0 (~r , t)i.
Aktive ↔ passive Symmetrieoperation
[Greiner, 1979]
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Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Raumtranslation
Unitärer räumlicher Translationsoperator:
0 ψ (x) = |ψ(x − ρ)i = Û(~
ρ) |ψ(x)i
(21)
Entwicklung in Taylorreihe:
|ψ(x − ρ)i = |ψ(x)i − ρ
∂ |ψ(x)i ρ2 ∂ 2 |ψ(x)i
+
− ... =
∂x
2! ∂x 2
= exp(−ρ(∂/∂x)) |ψ(x)i
(22)
Mit p̂ = − ~i ∇ in 3-D:
iρ
~ · p̂
|ψ(~r − ρ
~)i = exp(−~
ρ∇) |ψ(~r )i = exp −
|ψ(~r )i
~
(23)
[Greiner, 1979]
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Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Symmetrietransformation → Zeitentwicklung für beide Zustände gleich:
∂
∂
∂ 0
ψ (~r , t) = i~ Û(~
ρ) |ψ(~r , t)i = Û(~
ρ)i~ |ψ(~r , t)i
∂t
∂t
∂t
Schrödinger-Gleichung einsetzen:
i~
i~
∂ 0
ψ (~r , t) = Û(~
ρ)Ĥ |ψ(~r , t)i
∂t
(24)
(25)
Inverse von Û(~
ρ):
Û
−1
= exp
iρp̂
~
=
† !† †
iρp̂
iρp̂ †
exp
= exp −
= Û †
~
~
(26)
[Greiner, 1979]
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Klassische Mechanik und Noether Theorem
Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Schrödinger-Gleichung neu:
i~
∂ 0
ψ (~r , t) = Û Ĥ Û † ψ 0 (~r , t)
∂t
=⇒ Û Ĥ Û † = Ĥ =⇒ Û Ĥ = Ĥ Û
h
i
=⇒ Ĥ, p̂ = 0
(27)
Impulserhaltung!
[Greiner, 1979]
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Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Zeittranslation
Zustand unter Zeittranslation:
0 ψ (t) = Û(τ ) |ψ(t)i
(28)
Entwicklung in Taylorreihe um τ = 0 :
Û(τ ) = exp (−τ (∂/∂t))
(29)
Schrödinger-Gleichung:
Û(τ ) = exp
∂
Ĥ
∂2
∂
|ψi =
|ψi ⇒ 2 |ψi =
∂t
i~
∂t
∂t
iτ Ê
~
!
Ĥ
|ψi
i~
= exp
!
=
iτ Ĥ
~
Ĥ 2
(i~)2
!
|ψi +
(30)
∂
∂t
Ĥ
i~
!
|ψi
(31)
h
i
Ĥ, Û(τ ) = 0
(32)
Energieerhaltung!
[Greiner, 1979]
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Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Beispiel: Translation in einem homogenen elektrischen Feld
Bedingung für einen Symmetrieoperator
- ohne explizite Zeitabhängigkeit:
h
i
Ĥ, F̂ = 0
- mit expliziter Zeitabhängigkeit:
i
d
∂
i h
F̂ =
F̂ +
Ĥ, F̂ = 0
dt
∂t
~
Erhaltungsgröße im klassischen Fall:
d
(~
p − q E~ t) = 0
dt
Operator der Raumtranslation im quantenmechanische Fall:
!
!
F̂ (t)
(p̂ − q E~ t)
exp −iρ
= exp −iρ
~
~
(33)
(34)
(35)
(36)
[Greiner, 1979]
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Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Allgemeiner Hamiltonoperator:
Ĥ =
1 q 2
p̂ − Â + qφ
2m
c
(37)
Mit  = 0 und φ = −E x̂:
i
∂
1 2
i h
i
p̂ − qE x̂, p̂ − qEt
F̂ +
Ĥ, F̂ = −qE +
∂t
~
~ 2m
i
1 2
= −qE +
p̂ , p̂ + [−qE x̂, p̂] +
~
2m
1 2
p̂ , −qEt + [−qE x̂, −qEt]
+
2m
i
= −qE + (0 + qE · i~ + 0 + 0) = 0
(38)
~
[Greiner, 1979]
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Klassische Mechanik und Noether Theorem
Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Parameter
mathem. Beschreibung
kontinuierlich
frei veränderbar
Lie-Gruppen
diskret
eingeschränkt
Symmetriegruppen
Bsp.:
kontinuierlich: Drehung eines Vektors um einen beliebigen Winkel
cos ϕ − sin ϕ
D(ϕ) =
sin ϕ
cos ϕ
diskret: Drehung eines Vektors um einen festen Winkel
cos(n · π) − sin(n · π)
D(n) =
n∈N
sin(n · π)
cos(n · π)
[Greiner, 1979]
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Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Diskrete Transformationen in der QM
Raumspiegelung: Parität bleibt erhalten
r~‘ = R · ~r = −~r
R = −1
Ψα‘ (R~r ) = αΨα (~r )
Raumspiegelungsoperator:
unitär
Û Ψα (~r ) = Ψα‘ (~r ) = α Ψα (R~r )
Û ~r Û −1 = −~r
Û 2 Ψα (~r ) = α2 Ψα (~r )
Û p~ Û −1 = −~
p
-Genügt Ψα (~r ) der SG, so auch Ψα‘ (~r )
- Faktor α hängt von betrachteten System ab (OrtsImpulsdarstellung, Spin)
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Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Diskrete Transformationen in der QM
Zeitumkehr
Zeitumkehroperator:antiunitär
T̂ Ψα (~r , t) = Ψα‘ (~r , −t)
T̂ i T̂ −1 = −i
T̂ Ĥ T̂ −1 = Ĥ
T̂ ~r T̂ −1 = ~r
T̂ p~ T̂ −1 = −~
p
Angewendet auf SG:
−i ~
∂Ψα‘ (~x , −t)
= Ĥ Ψα‘ (~x , −t)
∂t
-Genügt Ψα (~x , t) der SG, so auch Ψα‘ (~x , −t)
-Operatorform hängt von betrachteten System ab (OrtsImpulsdarstellung, Spin)
[Greiner, 1979]
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Klassische Mechanik und Noether Theorem
Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Literatur I
Fließbach, T. (2009).
Mechanik: Lehrbuch zur Theoretischen Physik I.
Spektrum Akademischer Verlag.
Greiner, W. (1979).
Theoretische Physik, Ein Lehr-und Übungsbuch, Band 5:
Quantenmechanik, Symmetrien.
Verlag Harri Deutsch.
Kuypers, F. (2010).
Klassische Mechanik.
Wiley-VCH Verlag.
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Klassische Mechanik und Noether Theorem
Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Literatur II
Landau, L.D. und Lifschitz, E. (2007).
Lehrbuch der Theoretischen Physik, Band III:
Quantenmechanik.
Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch.
Morrison, M. (2015).
The joy of quantum physics.
http://epx.phys.tohoku.ac.jp/ yhitoshi/particleweb/ptest-8.pdf.
Rebhan, E. (2006).
Theoretische Physik: Mechanik.
Spektrum Akademischer Verlag.
Rollnik, H. (2003).
Quantentheorie 2.
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York.
Brückelmann, Erbe, Heggemann, Lachapelle, Zielinski
Projekt 12 - Symmetrien in der Quantenmechanik
Klassische Mechanik und Noether Theorem
Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik
Kontinuierliche und Diskrete Transformationen
Literatur III
Sakurai, J.J. und Napolitano, J. (2014).
Modern Quantum Mechanics.
Pearson Education Limited.
Yamamoto, H.
Discrete symmetries.
http://epx.phys.tohoku.ac.jp/ yhitoshi/particleweb/ptest-8.pdf.
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