Diplomprüfung für Wirtschaftswissenschaftler

Prof. Dr. Enno Mammen
Universität Mannheim
Lehrstuhl für Statistik
Diplomprüfung für Wirtschaftswissenschaftler
im Frühjahrssemester 2007
Nachholtermin für Herbstsemester 2006
Klausuraufgaben zur Vorlesung
Wahrscheinlichkeitstheorie
Die Ihnen vorliegende Klausur besteht aus sechs Aufgaben, die alle zu bearbeiten sind, sowie einer Tabelle zur Standardnormalverteilung. Überprüfen Sie
Ihr Exemplar auf Vollständigkeit.
Die Bearbeitungszeit beträgt 180 Minuten.
Als Hilfsmittel ist ein nicht-programmierbarer Taschenrechner zugelassen.
Bitte beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Lösungsbogen und versehen
Sie jeden Lösungsbogen mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer.
Aufgabe 1
Zeigen Sie, dass aus den Kolmogoroffaxiomen für jedes Wahrscheinlichkeitsmaß
P und zwei beliebige Mengen A,B die nachstehenden Eigenschaften folgen:
a) P (A ∩ B) ≥ 1 − P (AC ) − P (B C )
b) P (A ∩ B) ≤ min(P (A), P (B))
c) Falls P (A) = 0.8 und P (B) = 0.4, so gilt 0.25 ≤ P (B|A) ≤ 0.5
(5 + 4 + 3 = 12 Punkte)
Aufgabe 2
Zwei Würfel sind äußerlich nicht zu unterscheiden, aber einer von ihnen ist
gefälscht. Bei dem gefälschten Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit für die
Augenzahlen 1 bis 5 jeweils 1/7, und für die Augenzahl 6 entsprechend 2/7.
Bei dem regulären Würfel treten die Augenzahlen 1 bis 6 alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. Es wird nun einer der beiden Würfel zufällig
ausgewählt und zweimal geworfen.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen 7
beträgt.
b) Angenommen die Summe der gewürfelten Augenzahlen beträgt tatsächlich
7. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich um den gefälschten Würfel?
(6 + 4 = 10 Punkte)
Aufgabe 3
Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig, wobei X bzw. Y die stetige
Verteilungsfunktion F bzw. G habe. Außerdem sei p(z) die Wahrscheinlichkeit,
dass der feste Wert z zwischen min(X, Y ) und max(X, Y ) liegt, d.h. es gilt
P (min(X, Y ) < z < max(X, Y )) = p(z).
a) Zeigen Sie, dass gilt
p(z) = F (z) + G(z) − 2F (z)G(z).
b) Nehmen Sie nun an, dass X und Y identisch verteilt sind, d.h. es gilt F (z) ≡
G(z). An welcher Stelle nimmt p(z) seinen maximalen Wert an?
(8 + 4 = 12 Punkte)
Aufgabe 4
Die Zufallsvariable X hat die Dichte
(
1 − |x| falls −1 < x < 1
f (x) =
0
sonst
a) Zeigen Sie, dass es sich bei f tatsächlich um eine Dichte handelt.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
c) Bestimmen Sie P (X > 1/2).
d) Welche Abschätzung liefert die Tschebyscheff’sche Ungleichung für die Wahrscheinlichkeit in c)?
Hinweis: Benutzen Sie in d), dass f eine symmetrische Funktion ist.
(3 + 3 + 3 + 5 = 14 Punkte)
Aufgabe 5
Sei X = (X1 , X2 , X3 )T multivariat normalverteilt mit Parametern
 


2
4 0 −1
µ = 1 und Σ =  0 5 0 
1
−1 0 2
a) Bestimmen Sie die Verteilung von X1 + 2X2 − X3 .
b) Welche der folgenden Zufallsvariablen (bzw. -vektoren) sind stochastisch
unabhängig? Begründen Sie Ihre Antworten jeweils kurz !
i) X1 und X2 .
ii) X1 und X3 .
iii) X2 und X3 .
iv) (X1 , X3 ) und X2 .
c) Berechnen Sie P (X1 < X3 ).
Hinweis: Benutzen Sie X ∼ N (µ, Σ) ⇒ AX + b ∼ N (Aµ + b, AΣAT ).
(4 + 4 + 4 = 12 Punkte)
Aufgabe 6
Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien unabhängig und identisch verteilt mit
stetiger Verteilungsfunktion F . Betrachten Sie die empirische Verteilungsfunktion
n
1X
F̂n (x) =
I(Xi ≤ x),
n i=1
wobei die Zufallsvariablen I(Xi ≤ x) für i = 1, . . . , n wie folgt definiert sind:
(
1 falls Xi ≤ x,
I(Xi ≤ x) =
0 sonst.
Für eine feste Zahl x sind F̂n (x) und nF̂n (x) also Zufallsvariablen, die den
Anteil bzw. die Anzahl der Beobachtungen in der Stichprobe angeben, die
kleiner als x sind.
a) Begründen Sie warum nF̂n (x) binomialverteilt ist und bestimmen Sie die
zugehörigen Parameter.
b) Berechnen Sie die Kovarianz von nF̂n (x) und nF̂n (y) für x < y.
p
c) Zeigen Sie, dass F̂n (x) −→ F (x).
d) Geben Sie mit
√ Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes die asymptotische Verteilung von n(F̂n (x) − F (x)) an.
(4 + 6 + 6 + 4 = 20 Punkte)
Viel Erfolg!
Kleine Formelsammlung
Additionssatz:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
P (A|B) = P (A ∩ B)/P (B)
Totale Wahrscheinlichkeit:
P (A) = P (A|B)P (B) + P (A|B C )P (B C )
Bayesformel:
P (A|B) = P (B|A)P (A)/P (B)
Poissonverteilung:
f (k) =
λk
exp(−λ),
k!
E(X) = V ar(X) = λ
Exponentialverteilung:
f (x) = λ exp(−λx),
E(X) =
1
,
λ
V ar(X) =
1
λ2
Normalverteilung:
1
1
f (x) = √
exp −
2
2πσ
x−µ
σ
2 !
,
E(X) = µ,
V ar(X) = σ 2
Zentraler Grenzwertsatz:
Pn
n
X
a
i=1 Xi − nµ
√
→ N (0, 1) ⇒
Xi ∼ N (nµ, nσ 2 )
nσ
i=1