¨UBUNGEN ZUR VORLESUNG ANALYSIS 1 für Bachelor Physik

Sommersemester 2014
Prof. Dr. E. Novak/Dr. M. Ullrich
ÜBUNGEN ZUR VORLESUNG ANALYSIS 1 für Bachelor Physik
1. Serie
Abgabe der mit gekennzeichneten Aufgaben am Dienstag 15.4.2014 in der Vorlesung
Aufgabe 1: Vollständige Induktion
(2+4 Punkte)
2n > n und 3n > n2 .
n
X
√
1
√ > n.
(b) Für n = 2, 3, . . . gilt:
k
k=1
(a) Für n ∈ N gilt:
(c) Für reelle Zahlen a, b und n ∈ N gilt:
(a − b)
n
X
ak bn−k = an+1 − bn+1 .
k=0
(d) Für n ∈ N gilt:
n
X
n
X
k3 =
k=1
!2
k
.
k=1
n
(e) Für n ∈ N gilt:
2
n X1
1
1+ ≤
≤n+ .
2
k
2
k=1
Aufgabe 2: Bernoullische Ungleichung
(3 Punkte)
Für ak > −1, k = 1, . . . , n wobei alle ak positiv oder negativ sind gilt
(1 + a1 )(1 + a2 ) · · · · · (1 + an ) ≥ 1 + a1 + · · · + an .
Bemerkung: Für a1 = · · · = an = a > −1 ergibt sich die Bernoullische Ungleichung (1 + a)n ≥ 1 + na .
Aufgabe 3:
Man zeige, daß für alle n ∈ N gilt
√
√ i
1 h
√ (2 + 3)n − (2 − 3)n ∈ N .
3
Hinweis : Binomischer Satz
Aufgabe 4: Ungleichungen
(3 Punkte)
Man beweise die beiden folgenden Aussagen.
a
c
<
⇐⇒ ad < bc .
(a) Ist b, d > 0, so gilt:
b
d
a
c
a
a+c
c
<
< .
(b) Sind b, d > 0 und < , so gilt:
b
d
b
b+d
d