Diskrete Strukturen

Diskrete Strukturen
Sebastian Thomas
RWTH Aachen
https://www2.math.rwth-aachen.de/DS17/
Mathematische Logik
Aussagen
Begriff
Aussage: Ausdruck“, welcher entweder wahr oder falsch ist
”
Beispiele
I
I
I
I
I
Die RWTH Aachen hat eine Mensa.“
”
Es gibt unendlich viele Primzahlen.“
”
2 + 3 = 6.“
”
Zu jeder reellen Zahl y gibt es eine reelle Zahl x mit y = x 2 .“
”
Jede gerade Zahl, welche größer als 2 ist, ist eine Summe aus
”
zwei Primzahlen.“
Gegenbeispiele
I
I
Es ist kalt.“
”
a2 + b 2 = c 2 .“
”
Aussagen (Forts.)
Beispiel
Wenn es regnet oder schneit, dann ist die Straße nass.“
”
ist zusammengesetzt aus
I
I
I
Es regnet.“
”
Es schneit.“
”
Die Straße ist nass.“
”
Umformulierung mit besser erkennbarer logischer Struktur:
Wenn es regnet‘ oder es schneit‘, dann die Straße ist nass‘.“
”
’
’
’
Aussagen (Forts.)
Beispiel
Wenn du ein Smartphone oder ein Tablet besitzt, so kannst du
”
mobil im Internet surfen.“
hat dieselbe Formalisierung
(A ∨ B) ⇒ C
Hypothese
Wahrheitswert von zusammengesetzten Aussagen hängt ab von
I
logischer Struktur der zusammengesetzten Aussage
I
Wahrheitswerte der Einzelaussagen
I
nicht von den Einzelaussagen selbst
Aussagenlogik
Aussagenlogische Formeln
Definition
I
Alphabet der Aussagenlogik:
I
I
I
I
A1 , A2 , A3 , . . .
0, 1, ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔
(, )
Sprache der Aussagenlogik: sinnvoll“ aus dem Alphabet
zusammengesetzte Wörter: ”
I
I
A1 , A2 , A3 , . . . sind Wörter
0, 1 sind Wörter
und für Wörter F und G haben wir Wörter
I
I
I
I
I
¬F
F ∧G
F ∨G
F ⇒G
F ⇔G
Aussagenlogische Formeln (Forts.)
Beispiel
aussagenlogische Formeln:
I
A
I
1
I
¬B
I
A∧B
I
0∨1
I
A ∨ (B ∧ (¬C ))
keine aussagenlogische Formeln:
I
I
∨D
A⇒B⇒C
Aussagenlogische Formeln (Forts.)
(formalsprachliche) Junktoren entsprechen (ugs.) Konnektoren:
I
I
I
I
I
¬ entspricht nicht“
”
∧ entspricht und“
”
∨ entspricht oder“
”
⇒ entspricht aus . . . folgt . . .“
”
entspricht wenn . . . , dann . . .“
”
entspricht nur dann . . . , wenn . . .“
”
⇔ entspricht genau dann . . . , wenn . . .“
”
entspricht . . . genau dann, wenn . . .“
”
entspricht . . . ist äquivalent zu . . .“
”
Aussagenlogische Formeln (Forts.)
Anwendungsbeispiel
Modellierung:
I
I
I
I
I
I
I
I
Es regnet.“
”
Es schneit.“
”
Die Straße ist nass.“
”
Es regnet oder es schneit.“
”
Die Straße ist trocken.“
”
Es gibt unendlich viele Primzahlen.“
”
2 + 3 = 6.“
”
Zu jeder reellen Zahl x gibt es
”
eine reelle Zahl y mit x + y = 0.“
entspreche A
entspreche B
entspreche C
entspreche D
entspreche E
entspreche F
entspreche G
entspreche H
Aussagenlogische Formeln (Forts.)
I
A∨B ⇒C
I
D⇒C
I
A∨B ⇒E
I
A ∨ B ⇒ ¬C
I
A⇒F
Aussagenlogische Formeln (Forts.)
Definition
n nicht-negative ganze Zahl, F aussagenlogische Formel
F ist aussagenlogische Formel in A1 , . . . , An :
an keiner Stelle von F kommt ein Ai für ein i > n vor
Beispiel
I
A ∧ B ⇒ C:
aussagenlogische Formel in A, B, C
I
A ∧ B ⇒ D:
aussagenlogische Formel in A, B, C , D
I
A ∧ B ⇒ C:
aussagenlogische Formel in A, B, C , D
I
A ∧ B ⇒ D: keine aussagenlogische Formel in A, B, C
Wahrheitswerte
Definition
Interpretation der Aussagenvariablen A1 , . . . , An :
für jedes j mit 1 ≤ j ≤ n:
eindeutige Zuordnung“ von Wahrheitswert vj zu Aj :
”
entweder 0 (falsch) oder 1 (wahr)
Notation: v1 . . . vn
Beispiel
Interpretationen der Aussagenvariablen A, B, C :
Wahrheitswerte (Forts.)
Definition
Interpretation sei gegeben
Wahrheitswert einer aussagenlogischen Formel
rekursiv gemäß folgender Wahrheitstafeln:
F
1
1
0
0
F
1
0
1
1
0
0
G
1
0
1
0
F ∧G
1
0
0
0
F ∨G
1
1
1
0
¬F
0
1
F ⇒G
1
0
1
1
F ⇔G
1
0
0
1
Wahrheitswerte (Forts.)
Beispiel
Wahrheitswert von A ∨ B ⇒ C unter 101:
Beispiel
Wahrheitswerte von A ∨ B ⇒ A ∧ C :
A
1
1
1
1
0
0
0
0
B
1
1
0
0
1
1
0
0
C
1
0
1
0
1
0
1
0
A∨B ⇒A∧C
Tautologien und Kontradiktionen
Definition
I
Tautologie:
AF, die unter jeder Interpretation den Wahrheitswert 1 hat
I
Kontradiktion:
AF, die unter jeder Interpretation den Wahrheitswert 0 hat
Beispiel
I
A ∨ ¬A ist Tautologie
I
A ∧ ¬A ist Kontradiktion
Tautologien und Kontradiktionen (Forts.)
Bemerkung
F aussagenlogische Formel
genau dann ist F Tautologie, wenn ¬F Kontradiktion ist
Logische Äquivalenz
Definition
F , G aussagenlogische Formeln
F ist logisch äquivalent zu G , geschrieben F ≡ G :
unter jeder Interpret. sind die Wahrheitswerte von F und G gleich
Beispiel
A ⇒ B ≡ ¬A ∨ B
Logische Äquivalenz (Forts.)
Proposition
F , G aussagenlogische Formeln
genau dann gilt F ≡ G , wenn F ⇔ G Tautologie ist
Bemerkung
F aussagenlogische Formel
I
genau dann ist F Tautologie, wenn F ≡ 1 ist
I
genau dann ist F Kontradiktion, wenn F ≡ 0 ist
Logische Äquivalenz
Beispiel
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
A ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C
A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ C
A∧1≡A
A∨0≡A
A∧B ≡B ∧A
A∨B ≡B ∨A
A∧A≡A
A∨A≡A
A ∧ ¬A ≡ 0
A ∨ ¬A ≡ 1
A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )
A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )
A ∧ (A ∨ B) ≡ A
A ∨ (A ∧ B) ≡ A
Logische Äquivalenz (Forts.)
Beispiel
I
¬(¬A) ≡ A
Beispiel (De Morgansche Gesetze)
I
¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
I
¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B
Semantische Implikation
Definition
F , G aussagenlogische Formeln
F impliziert G semantisch, geschrieben F |= G :
für jede Interpret.: wenn F Whw. 1 hat, dann hat G Whw. 1
Beispiel
A ∧ B |= A ∨ C
Semantische Implikation (Forts.)
Proposition
F , G aussagenlogische Formeln
genau dann gilt F |= G , wenn F ⇒ G Tautologie ist
Proposition
F , G aussagenlogische Formeln
genau dann gilt F ≡ G , wenn F |= G und G |= F gilt
Direkter Beweis
Ziel
zeige Aussage der Form A ⇒ B
Methode
finde und verwende
I
Aussage der Form A1 ⇒ A2
I
Aussage der Form A2 ⇒ A3
..
.
I
Aussage der Form An−1 ⇒ An
für eine natürliche Zahl n mit
I
A = A1
I
B = An
Direkter Beweis (Forts.)
Beispiel
I
(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C ) |= (A ⇒ C )
Beispiel (modus ponens)
I
A ∧ (A ⇒ B) |= B
Beispiel
I
A ∧ B |= A
I
A |= A ∨ B
Beispiel
I
A⇒B ≡A⇒A∧B
Direkter Beweis (Forts.)
Anwendungsbeispiel
für jede ganze Zahl n: wenn n gerade ist, dann ist auch n2 gerade
Kontraposition
Beispiel
A ⇒ B ≡ ¬B ⇒ ¬A
Anwendungsbeispiel
für jede ganze Zahl n: wenn n2 gerade ist, dann ist auch n gerade
Indirekter Beweis
Beispiel
A ⇒ B ≡ ¬(A ∧ ¬B)
Anwendungsbeispiel
Jede reelle Zahl x mit x 3 + x = 1 ist irrational.
Beweis einer Äquivalenz
Beispiel
A ⇔ B ≡ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
Anwendungsbeispiel
für jede ganze Zahl n: genau dann ist n2 gerade, wenn n gerade ist
Disjunktive und konjunktive Normalform
Definition
n nicht-negative ganze Zahl
potentielle Wahrheitstafel für A1 ,. . . , An :
eindeutige Zuordnung“ von entweder 0 oder 1
”
zu jeder Interpretation von A1 , . . . , An
Disjunktive und konjunktive Normalform (Forts.)
Beispiel
potentielle Wahrheitstafel für A, B, C :
A B C
1 1 1 1
1 1 0 0
1 0 1 1
1 0 0 0
0 1 1 0
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1
Disjunktive und konjunktive Normalform (Forts.)
Definition
n nicht-negative ganze Zahl, F AF in A1 , . . . , An
F ist in (kanonischer ) disjunktiver Normalform (DNF):
es gibt eine nicht-neg. ganze Zahl k und versch. AFen F1 , . . . ,Fk :
I
F = F1 ∨ . . . ∨ Fk
I
für 1 ≤ i ≤ k:
für 1 ≤ j ≤ n:
Beispiel
A ∧ B ∨ A ∧ ¬B ist in DNF
Fi = Xi,1 ∧ . . . ∧ Xi,n
Xi,j = Aj oder Xi,j = ¬Aj
Disjunktive und konjunktive Normalform (Forts.)
Definition
n nicht-negative ganze Zahl, F AF in A1 , . . . , An
F ist in (kanonischer ) konjunktiver Normalform (DNF):
es gibt eine nicht-neg. ganze Zahl k und versch. AFen F1 , . . . ,Fk :
I
F = F1 ∧ . . . ∧ Fk
I
für 1 ≤ i ≤ k:
wobei für 1 ≤ j ≤ n:
Fi = Xi,1 ∨ . . . ∨ Xi,n
Xi,j = Aj oder Xi,j = ¬Aj
Beispiel
(A ∨ B ∨ ¬C ) ∧ (A ∨ ¬B ∨ C ) ∧ (¬A ∨ B ∨ C ) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ ¬C )
ist in KNF
Disjunktive und konjunktive Normalform (Forts.)
Ziel
potentielle Wahrheitstafel sei gegeben
finde aussagenlogische Formel in DNF mit dieser Wahrheitstafel
Methode
I
arbeite zeilenweise
I
zu jeder Zeile (d.h. zu jeder Interpretation) gehört ein Disjunkt
dieses Disjunkt taucht in der AF entweder auf oder nicht
Disjunktive und konjunktive Normalform (Forts.)
Definition
n nicht-negative ganze Zahl, v1 . . . vn Interpretation
zu v1 . . . vn gehöriges Disjunkt:
Dis(v1 . . . vn ) = X1 ∧ . . . ∧ Xn
wobei für 1 ≤ j ≤ n:
(
Aj ,
Xj =
¬Aj ,
Beispiel
Dis(1011) =
falls vj = 1,
falls vj = 0
Disjunktive und konjunktive Normalform (Forts.)
Bemerkung
n nicht-negative ganze Zahl, v1 . . . vn , w1 . . . wn Interpretationen
äquivalent:
I
Dis(w1 . . . wn ) hat unter v1 . . . vn den Wahrheitswert 1
I
w1 . . . wn = v1 . . . vn
Disjunktive und konjunktive Normalform (Forts.)
Proposition
n nicht-negative ganze Zahl, potentielle Wahrheitstafel sei gegeben
F sei Disjunktion über alle Disjunkte zu Interpretationen,
welche in der potentiellen Wahrheitstafel 1 zugewiesen bekommen
F ist eindeutige AF in DNF, welche die Wahrheitswerte der
gegebenen potentiellen Wahrheitstafel annimmt
Disjunktive und konjunktive Normalform (Forts.)
Beispiel
potentielle Wahrheitstafel für A, B, C :
A B C
1 1 1 1
1 1 0 0
1 0 1 1
1 0 0 0
0 1 1 0
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1
Disjunktive und konjunktive Normalform (Forts.)
Satz
F aussagenlogische Formel
F ist zu genau einer AF in DNF logisch äquivalent
(bis auf Reihenfolge der Disjunkte)
Beispiel
A ∨ B ⇒ A ∧ C ist logisch äquivalent zu:
Prädikate
Begriff
I
Prädikat über Individuenbereich:
Eigenschaft“ oder Beziehung“, welche
”
”
für Individuen entweder gilt oder nicht
I
Prädikat von konkreten Individuen ergibt Aussage
Beispiel
Aussage Anne speist mit Christian.“ entsteht aus:
”
I . . . speist mit . . .“
zweistelliges Prädikat
”
I Anne“ und Christian“ Individuen aus
”
”
Individuenbereich Freundeskreis“
”
Prädikatenlogische Formeln
Formalisierung
I
I
Aussagenlogik: Aussagen
Prädikatenlogik:
I
I
Prädikate
Individuen
Aussagenvariablen
Prädikatvariablen
Individuenvariablen
Beispiel
I
I
I
I
. . . speist mit . . .“
”
Anne“
”
Christian“
”
Anne speist mit Christian.“
”
entspreche P
entspreche x
entspreche y
entspricht dann P(x, y )
Prädikatenlogische Formeln (Forts.)
Alphabet der Prädikatenlogik
I
P1 , P2 , P3 , . . .
I
x1 , x2 , x3 , . . .
I
0, 1, ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔
I
∃, ∀
I
(, )
Notation
I
schreibe ∃x : P(x) statt (∃x)(P(x))
I
schreibe ∀x : P(x) statt (∀x)(P(x))
Prädikatenlogische Formeln (Forts.)
Beispiel
I
∃x : ∃y : P(x, y )
I
∃x : ∀y : P(x, y )
I
∀x : ∃y : P(x, y )
I
∀x : ∀y : P(x, y )
Wahrheitswerte prädikatenlogischer Formeln
I
Interpretation:
I
I
I
I
Festlegung eines Individuenbereichs
für jede Prädikatvariable: Zuordnung eines Prädikats
für jede Individuenvariable: Zuordnung eines Individuums
Wahrheitswert einer prädikatenlogischen Formel:
rekursiv als Wahrheitswert der erhaltenen Aussage
Wahrheitswerte prädikatenlogischer Formeln (Forts.)
Beispiel
I
prädikatenlogische Formel: F (x) = P(x) = (x > 0)
I
I
I
Individuenbereich: natürliche Zahlen
P und > 0 werde wie üblich“ interpretiert
”
x werde beliebige natürliche Zahl zugeordnet
Wahrheitswert:
Wahrheitswerte prädikatenlogischer Formeln (Forts.)
Beispiel
I
prädikatenlogische Formel: F (x) = P(x) = (x > 0)
I
I
I
I
Individuenbereich: reelle Zahlen
P bzw. > 0 werde wie üblich“ interpretiert
”
Fall: x werde 12 zugeordnet
Wahrheitswert:
prädikatenlogische Formel: F (x) = P(x) = (x > 0)
I
I
I
Individuenbereich: reelle Zahlen
P bzw. > 0 werde
√ ”wie üblich“ interpretiert
Fall: x werde − 2 zugeordnet
Wahrheitswert:
Wahrheitswerte prädikatenlogischer Formeln (Forts.)
I
prädikatenlogische Formel: G = (∀x : x > 0)
I
I
I
Individuenbereich: natürliche Zahlen
P bzw. > 0 werde wie üblich“ interpretiert
”
Wahrheitswert:
prädikatenlogische Formel: H = (∃x : x > 0)
I
I
Individuenbereich: natürliche Zahlen
P bzw. > 0 werde wie üblich“ interpretiert
”
Wahrheitswert:
Wahrheitswerte prädikatenlogischer Formeln (Forts.)
I
prädikatenlogische Formel: G = (∀x : x > 0)
I
I
I
Individuenbereich: reelle Zahlen
P bzw. > 0 werde wie üblich“ interpretiert
”
Wahrheitswert:
prädikatenlogische Formel: H = (∃x : x > 0)
I
I
Individuenbereich: reelle Zahlen
P bzw. > 0 werde wie üblich“ interpretiert
”
Wahrheitswert:
Wahrheitswerte prädikatenlogischer Formeln (Forts.)
Beispiele
I
prädikatenlogische Formeln:
I
I
I
I
I
G = (∀y : ∃x : y = x 2 )
H = (∃x : ∀y : y = x 2 )
K = (∀x : ∃y : y = x 2 )
L = (∃y : ∀x : y = x 2 )
Individuenbereich: reelle Zahlen
I 2
werde wie üblich“ interpretiert
”
Wahrheitswerte:
Logische Äquivalenz prädikatenlogischer Formeln
definieren Begriff der logischen Äquivalenz für präd.log. Formeln
Beispiele
I
¬(∀x : P(x)) ≡ ∃x : ¬P(x)
I
¬(∃x : P(x)) ≡ ∀x : ¬P(x)
Verwendung von logischen Symbolen
I
in mathematischen Texten:
I
I
I
keine logische Symbole, ausschließlich Umgangssprache
Ausnahme: zur Präzisierung komplexer logischer Situationen
in Vorträgen:
I
Symbole zur Abkürzung
Sprachliche Konventionen
I
erste Aussage oder zweite Aussage gilt“:
”
beide Aussagen können gelten
I
Existenz eines Objekts“:
”
Existenz mindestens eines Objekts
I
Eigenschaft gilt für gewisse Objekte“:
”
Eigenschaft gilt für alle diese Objekte
I
Eigenschaft gilt für eines der Objekte“:
”
es gibt ein Objekt mit der Eigenschaft
I
Objekt sei gegeben“:
”
das danach Dargestellte gilt für jedes solche Objekt
I
Objekt sei gewählt“:
”
ein solches Objekt existiert