4 Beispiele von diskreten W Maÿen

Beispiele von diskreten WMaÿen
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Beispiele von diskreten WMaÿen
Der Abschnitt liefert als StandardBeispiele für diskrete W
Maÿe die Binomial, die Poisson wie auch die geometrische Verteilung, die mit Hilfe ihrer WFunktion dargestellt werden. Das ProduktWMaÿ (hier bei diskreten Ausgangsräumen) ist ein spezielles WMaÿ über dem Produkt
Ausgangsraum.
Mit Hilfe des in 3.6 eingeführten Begries der W
Funktion führen wir zunächst zwei für die Theorie wichtige diskrete StandardWMaÿe ein, ohne dabei aber
deren wahrscheinlichkeitstheoretische Bedeutung zu klären. Es handelt sich um die
Binomial bzw. die
PoissonVerteilung.
Dem allgemeinen Brauch folgend sprechen wir die beiden WMaÿe als Verteilungen an. Von Verteilungen sprechen wir ansonsten im Zusammenhang mit
Bildmaÿen; freilich läÿt sich jedes WMaÿ als Bildmaÿ
auassen.
4.1 Binomialverteilung
Überblick
Beispiele von diskreten WMaÿen
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Ω := N0n , 0 ≤ p ≤ 1, q := 1 − p. Dann ist durch
n k n−k
(4.1.1)
w(k) :=
p q
(k ∈ N0n )
k
Seien
eine WFunktion auf
1
N0n
p+q =
deniert, denn wegen
folgt nach dem binomischen Lehrsatz
n X
n
k
k=0
Das für
pk q n−k = (p + q)n = 1n = 1 .
n ∈ N
und
p ∈ [0; 1]
durch die obige W
Funktion denierte WMaÿ nennt man die
alverteilung mit den Parametern
schreibt dafür
n
Binomi-
und
B(n, p).
0.5
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
p
und
Beispiele von diskreten WMaÿen
WFunktion von
40
B(8, 0.4)
für
Ω = N08
4.2 PoissonVerteilung
Seien
Ω = N0
und
λ > 0.
Dann wird durch
w(k) = e−λ
(4.2.1)
eine WFunktion auf
N0
λk
k!
(k ∈ N)
L
deniert. (Warum?)
Das durch diese WFunktion denierte WMaÿ heiÿt
die
PoissonVerteilung mit Parameter
ben dafür
λ; wir schrei-
Π(λ).
0.5
0.1
0
1
2
3
WFunktion von
4
Π(0.5)
5
für
6
Ω = N0
7
8
Beispiele von diskreten WMaÿen
41
4.3 Geometrische Verteilung
Seien
Ω := N0
und
q ∈ (0; 1).
Dann wird durch
w(k) = (1 − q)q k
(4.3.1)
eine WFunktion auf
N0
(k ∈ N0 )
L
deniert. (Führen Sie bitte
diesen Beweis.)
Das durch diese WFunktion denierte WMaÿ heiÿt
die
geometrische Verteilung zum Parameter
q.
0.5
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
WFunktion der geometrischen Verteilung mit
q = 0.4
4.4 Diskrete Gleichverteilung
8
Beispiele von diskreten WMaÿen
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Sei Ω = Nn . Gilt w(k) = const (k ∈ Nn ), so ist w(k) =
1
(k ∈ N).
n
Das so auf Nn denierte WMaÿ heiÿt die diskrete
Gleichverteilung über
Hat das Ereignis
A ⊂ Ω
Nn .
genau 1 Element, so ergibt
P (A) = n1 .
sich seine Wahrscheinlichkeit als
4.5 Laplace'scher WBegri
Erklärt man unter den Voraussetzungen von 4.4 die
A ⊂ Ω zu den günstigen Fälman unter den Elementen von Ω
Elemente einer Menge
len und versteht
die
möglichen Fälle , so ist man auf die klassi-
sche Laplace'sche WDenition geführt, wonach
die Wahrscheinlichkeit das Verhältnis der Anzahl der günstigen Fälle zur Anzahl der möglichen Fälle ist.
4.6 Beispiel
Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim
gleichzeitigen Werfen zweier unverfälschter (idealer) Würfel die Summe der realisierten Augenzahl kleiner gleich
5 ist.
Wählt man als Ausgangsraum die Menge
N6 =
(i, j) | i, j ∈ N6
Ω = N6 ×
, so kommt jedem Element
Beispiele von diskreten WMaÿen
(i, j) ∈ Ω
1
36
gleich
die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich
zu, zumal die Anzahl
36
43
|Ω|
der Elemente von
Ω
ist.
Die Anzahl der günstigen Fälle erhalten wir durch
Aufzählung. Für die folgenden Paare
(i, j) ∈ Ω
gilt
i + j ≤ 5:
(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (1, 4) ,
(2, 1) , (2, 2) , (2, 3) ,
(3, 1) , (3, 2) ,
Die Anzahl der günstigen Fälle ist 10, womit sich die
10
5
gesamte Wahrscheinlichkeit zu
= 18
ergibt.
36
4.7 Beispiel
Beim zweimaligen Werfen mit einem unverfälschten
Würfel bestimme man die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass
(1) beim ersten Wurf die Augenzahlen 1 oder 2,
(2) beim zweiten Wurf die Augenzahlen 3, 4 oder 5,
(3) beim ersten Wurf die Augenzahlen 1 oder 2
und
beim zweiten Wurf die Augenzahlen 3, 4 oder 5
eintreten.
(
Beispiele von diskreten WMaÿen
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Zur Beschreibung der einzelnen Würfe wählen wir jeweils für den Ausgangsraum die Mengen
WMaÿe
P1
gen Wurfes sei
N6 × N 6
P2 beide Male die diskrete GleichN6 ). Zur Beschreibung des zweimaliN6 × N6 der Ausgangsraum, während
bzw.
verteilung (auf
das WMaÿ
N6 und für die
P
durch die diskrete Gleichverteilung auf
gegeben sei.
Weiter sei
C := {1, 2} ⊂ N6
sowie
D := {3, 4, 5} ⊂ N6 .
Dann gilt
(1)
P1 (C) =
|C|
|N6 |
=
2
;
6
(2)
P2 (D) =
|D|
|N6 |
=
3
;
6
(3)
P (C × D) =
Oenbar ist
|C×D|
|N6 ×N6 |
=
6
.
36
P1 (C) · P2 (D) = P (C × D)
eine Ein-
sicht, die man sofort für beliebige Mengen
A, B ⊂ N6
bestätigen kann.
Wegen
|A × B| = |A| · |B|
folgt
(4.7.1)
P (A×B) =
|A × B|
|A| |B|
=
·
= P1 (A)·P2 (B)
36
6 6
(A, B ⊂ N6 )
Beispiele von diskreten WMaÿen
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Die sich als Produktregel präsentierende Beziehung
(4.7.1) ist freilich eine Konsequenz aus der Festlegung
der WMaÿe
P, P1
und
P2 .
Bei den in (4.7.1) auftretenden WMaÿen handelt es
P2 jeweils um die diskrete Gleichverteilung über N6 und bei P um die diskrete Gleichverteilung über N6 × N6 .
sich bei
P1
und
Das Beispiel 4.7 mit insbesondere dem Sachverhalt
(4.7.1) gibt Anlass zur Denition des ProduktWMaÿes
zweier WMaÿe als ein spezielles WMaÿ über dem
ProduktAusgangsraum, das sich durch die Eigenschaft
(4.8.1) auszeichnet.
4.8 Denition (ProduktWMaÿ)
Seien
(Ωi , P(Ωi ), Pi ), i = 1, 2 zwei diskrete WRäume.
P auf P(Ω1 ×Ω2 ) über Ω1 ×Ω2
Dann heiÿt das WMaÿ
mit
(4.8.1)
P (A1 ×A2 ) = P1 (A1 )·P2 (A2 )
ProduktWMaÿ
(A1 ∈ P(Ω1 ), A2 ∈ P(Ω2 ))
P1 und P2 , in Zeichen
P1 ⊗P2 . Der WRaum (Ω1 ×Ω2 , P(Ω1 ×Ω2 ), P1 ⊗P2 )
heiÿt ProduktWRaum der WRäume (Ωi , Pi ),
das
von
Beispiele von diskreten WMaÿen
i = 1, 2 .
(4.8.1) heiÿt die
Produktmaÿeigenschaft .
46
Beispiele von diskreten WMaÿen
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4.9 Bemerkungen
(4.9.1) liefert eine Anleitung zur Berechnung von Produkt
WMaÿ werten, allerdings nur für
sehr spezielle Men-
gen vom Typ
A1 × A 2
(A1 ∈ P(Ω1 ), A2 ∈ P(Ω2 )) ,
d.h. nur für sogenannte
Rechtecksmengen .
Im diskreten Fall lässt sich aber auch sofort
P1 ⊗ P2 (A)
für eine
beliebige Menge
A ∈ P(Ω1 × Ω2 ) bestimmen,
denn wegen (4.8.1) gilt insbesondere auch
(4.9.1)
P1 ⊗ P2 ({(ω1 , ω2 )}) = P1 ({ω1 }) · P2 ({ω2 })
((ω1 , ω2 ) ∈ Ω1 × Ω2 ).
woraus sich dann mit (3.5.1)
(4.9.2)
P1 ⊗ P2 (A) =
P
(P1 ⊗ P2 ({(ω1 , ω2 )}))
(ω1 ,ω2 )∈A
=
P
(ω1 ,ω2 )∈A
ergibt.
P1 ({ω1 }) · P2 ({ω2 })
Beispiele von diskreten WMaÿen
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Der Begri des ProduktWMaÿes läÿt sich auch in
einer allgemeinen WTheorie einführen, verlangt allerdings einen umfangreichen mathematischdenitorischen
Aufwand;(4.9.1) kann in einem solchen Zusammenhang
nicht mehr zur Festlegung des ProduktWMaÿes
herangezogen werden.
4.10 Beispiel
Als Beispiel für ein NichtProduktWMaÿ über
N6
N6 ×
nennen wir z.B. das WMaÿ
1
1
δ(1,1) + δ(6,6)
2
2
P :=
mit der WFunktion
w : N6 × N6 → [0; 1]
mit
w((1, 1)) = w((6, 6)) = 12
w((i, j)) = 0
((i, j) ∈ N6 × N6 \ {(1, 1), (6, 6)}) .
Tatsächlich ist
P
nicht als Produktmaÿ zweier
WMaÿe darstellbar, wie Sie sich am besten selbst
überzeugen.