Kapitel 16

INHALTSVERZEICHNIS
i
Inhaltsverzeichnis
I
Collegium Logicum
1
Die Aussagenlogik
1.1 Syntax der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Definition der aussagenlogischen Formeln . . . . . . .
1.1.2 Induktion und Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Beweis durch Induktion über den Formelaufbau . . . .
1.1.4 Definition durch Rekursion über den Formelaufbau . .
1.2 Semantik der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Wahrheitsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Interpretation von aussagenlogischen Formeln . . . . .
1.2.3 Definition der wichtigsten semantischen Begriffe . . .
1.2.4 Einige wichtige allgemeingültige Formeln . . . . . . .
1.2.5 Einige wichtige Äquivalenzen . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Boolesche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Einsetzungsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.8 Ersetzungsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Entscheidungsverfahren für Boolesche Normalformen
1.3.2 Boolescher Repräsentationssatz . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Das Dualitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Der semantische Folgerungsbegriff: Erfüllbarkeit . . . . . . .
1.4.1 Zusammenhang zwischen Folgerung und Erfüllbarkeit
1.5 Der syntaktische Folgerungsbegriff: Beweisbarkeit . . . . . .
1.5.1 Axiomensysteme und Beweise . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Korrektheit und Vollständigkeit . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Einige Axiomensysteme der Aussagenlogik . . . . . .
1.6 Vollständigkeit und Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
1.6.1
1.6.2
1.6.3
1.6.4
1.6.5
1.6.6
1.6.7
1.6.8
1.6.9
2
3
ii
Verallgemeinerte Expansion . . . . . . . . . . . . . .
Lemma über die Negation . . . . . . . . . . . . . . .
Tautologiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Deduktionstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit von Theorien
Lemma über Beweisbarkeit und Konsistenz . . . . . .
Vervollständigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verallgemeinerter Vollständigkeitssatz . . . . . . . . .
Kompaktheitssatz der Aussagenlogik . . . . . . . . .
Strukturen und formale Sprachen
2.1 Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Mehrsortige Strukturen . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Symbole für formale Sprachen . . . . . . . . .
2.2 Unterstrukturen und Morphismen . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Satz über Unterstrukturen . . . . . . . . . . .
2.2.3 Homomorphes Bild, Identifizierung . . . . . .
2.3 Terme einer Sprache . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Interpretation von Termen . . . . . . . . . . .
2.3.2 Spracherweiterung durch Namen . . . . . . . .
2.3.3 Erzeugte Unterstrukturen . . . . . . . . . . . .
2.4 Formeln einer Sprache . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Beweis durch Induktion über den Formelaufbau
2.4.2 Freie und gebundene Variable . . . . . . . . .
2.4.3 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modelle und Theorien
3.1 Das Wahrheitsprädikat: Modelle . . . . . . . . . .
3.1.1 Satz über neue Konstanten . . . . . . . . .
3.2 Axiome und Theorien . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Der Kompaktheitssatz und einige Folgerungen . . .
3.3.1 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Satz über die Existenz unendlicher Modelle
3.4 Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Diagrammlemma . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
3.5
4
3.4.2 Universelle Theorien . . . . . . . . . . .
3.4.3 Modellerweiterungssatz von Keisler . . .
3.4.4 Erhaltungssatz für universelle Formeln .
3.4.5 Satz von Łoś-Tarski . . . . . . . . . . .
Einige mathematische Theorien . . . . . . . . .
3.5.1 Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Gruppen- und Körpertheorie . . . . . . .
3.5.3 Axiomatisierbarkeit: Elementare Klassen
3.5.4 Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5 Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . .
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Gesetze der Prädikatenlogik
4.1 Ein Axiomensystem für die Prädikatenlogik . . . . . . . . . .
4.1.1 Axiomensystem von Shoenfield . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Definition eines Beweises . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Der Tautologiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Substitution und universeller Abschluß . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Hintere Generalisierung . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Satz über die Generalisierung . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Substitutionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5 Abschlußsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Ersetzung und Umbenennung, Gleichheit . . . . . . . . . . .
4.4.1 Ersetzungstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Eigenschaften des Gleichheitsprädikates . . . . . . . .
4.5 Pränexe Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Umformungen mit der Negation . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Umformungen mit Konjunktion und Disjunktion . . .
4.5.3 Umformungen mit der Implikation . . . . . . . . . . .
4.5.4 Das Dualitätsprinzip für die Prädikatenlogik . . . . . .
4.6 Das Deduktionstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Erweiterungen von Theorien, Widerspruchsfreiheit . . . . . .
4.7.1 Erweiterungen und Expansionen . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Satz über rein sprachliche Erweiterungen von Theorien
4.7.3 Widerspruchsfrei/widerspruchsvoll . . . . . . . . . .
4.7.4 Beweisbarkeit und Widerspruchsfreiheit . . . . . . . .
4.8 Termmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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iv
4.8.1 Kanonische Struktur einer Theorie, Termstruktur . . . . .
4.8.2 Satz über Termmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Vervollständigung von Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9.1 Satz von Lindenbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Henkin-Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Der Gödelsche Vollständigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.1 Vollständigkeit der Prädikatenlogik / Modellexistenz-Satz
4.11.2 Satz von Löwenheim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.3 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Grundlagen der Mengenlehre
5.1 Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Definition der Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Satz: Charakterisierung von Ordinalzahlen . . . . .
5.1.4 Die Ordnung der Ordinalzahlen . . . . . . . . . . .
5.2 Mengen und Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Komprehensionsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Auswege aus den Antinomien . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Die mengentheoretische Sprache mit Klassentermen
5.2.4 Überblick über verschiedene Axiomensysteme . . .
5.3 Extensionalität und Aussonderung . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Relationen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Vereinigung und Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Vereinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Potenzmenge und allgemeines Produkt . . . . . . .
5.6 Überblick über die ZF-Axiome . . . . . . . . . . . . . . . .
Mengen von Mengen von . . .
6.1 Induktion und Rekursion . . . . . . . . . . .
6.1.1 Ordnungen auf Klassen . . . . . . . .
6.1.2 Minimumsprinzip . . . . . . . . . . .
6.1.3 Induktionsprinzip für Wohlordnungen
6.1.4 Segmente . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5 Rekursionssatz für Wohlordnungen .
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6.2
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III
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v
6.1.6 Repräsentationssatz für Wohlordnungen . .
6.1.7 Transfinite Rekursion . . . . . . . . . . . .
Die von-Neumannsche Hierarchie . . . . . . . . .
Die Rolle des Unendlichkeitsaxioms . . . . . . . .
6.3.1 PA in mengentheoretischer Sprache . . . .
6.3.2 Die Theorie der endlichen Mengen . . . . .
6.3.3 Anwendungen der numerischen Rekursion
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Das Auswahlaxiom
7.1 Zermelos Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Mengentheoretisch äquivalente Formen . . . . .
7.1.2 Der Zermelosche Wohlordnungssatz . . . . . . .
7.1.3 Maximumsprinzipien von Zorn und Hausdorff .
7.2 Anwendungen des Auswahlaxioms . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Jeder Vektorraum besitzt eine Basis. . . . . . . .
7.2.2 Der Satz von Hahn-Banach . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Nicht-meßbare Mengen . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Äquivalenz verschiedener Stetigkeitsdefinitionen
7.2.5 Satz von Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.6 Boolesches Primidealtheorem . . . . . . . . . .
Mächtigkeiten und Kardinalzahlen
8.1 Endliche und abzählbare Mengen . . . . . .
8.2 Abzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . .
8.3 Überabzählbare Mengen . . . . . . . . . .
8.4 Mächtigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Satz von Cantor-Schröder-Bernstein
8.4.2 Vergleichbarkeitssatz von Hartogs .
8.4.3 Satz von Cantor . . . . . . . . . . .
8.5 Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 Operationen auf den Kardinalzahlen
8.5.2 Satz von Hessenberg . . . . . . . .
8.5.3 Satz von Bernstein . . . . . . . . .
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Grundlagen der Modelltheorie
Hin und her: Vollständigkeit und elementare Äquivalenz
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INHALTSVERZEICHNIS
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Elementare Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Die Theorie der dichten linearen Ordnung . . . . . . . . . . . . . 175
Kategorizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10 Auf und ab: Elementare Substrukturen
10.1 Elementare Substrukturen . . . . . . . . . . . .
10.2 Diagrammlemma (Fortsetzung) . . . . . . . . .
10.3 Kriterium von Tarski . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Satz von Löwenheim-Skolem-Tarski (abwärts) .
10.5 Satz von Löwenheim-Skolem-Tarski (aufwärts)
10.6 Test von Vaught . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11 Vereinigungen, Durchschnitte und Ketten
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11.1 Satz über Ketten von Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.2 Satz von Chang- Łoś-Szusko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
12 Produkte und Ultraprodukte
12.1 Direktes Produkt . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Filter und Ultrafilter . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Ultrafiltersatz, Boolesches Primidealtheorem
12.4 Reduziertes Produkt . . . . . . . . . . . . . .
12.5 Satz von Łoś . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . .
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13 Modellvollständigkeit
198
13.1 Robinsonscher Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
IV
Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit
14 Berechenbare Funktionen
14.1 Turing-Maschinen . . . . . . . . . . . . . .
14.2 URM-berechenbare Funktionen . . . . . .
14.3 Churchsche These . . . . . . . . . . . . . .
14.4 Aufzählbarkeitssätze . . . . . . . . . . . .
14.5 Primitiv-rekursive Funktionen . . . . . . .
14.6 Rekursive und partiell-rekursive Funktionen
14.7 Partielle Entscheidbarkeit . . . . . . . . . .
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214
INHALTSVERZEICHNIS
vii
15 Definierbarkeit berechenbarer Funktionen
15.1 Eine endlich-axiomatisierbare Teiltheorie von PA
15.2 Arithmetische Formeln . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Enderweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Erhaltungseigenschaften unter Enderweiterungen
15.5 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6 Gödels Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.7 Definierbarkeitssatz für rekursive Funktionen . .
15.8 Repräsentierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
16 Die Gödelschen Sätze
16.1 Gödel-Nummern . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Diagonalisierungslemma . . . . . . . . . .
16.3 Satz von Gödel-Rosser . . . . . . . . . . .
16.4 Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz .
16.5 Kombinatorische Prinzipien . . . . . . . .
16.6 Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz
16.7 Wahrheit ist nicht arithmetisch definierbar .
16.8 Unentscheidbarkeit . . . . . . . . . . . . .
17 Literatur
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227
Kapitel 16
Die Gödelschen Sätze
Die beiden G ÖDELschen Unvollständigkeitssätze beruhen auf
1. einer Codierung der Formeln der Sprache durch Zahlen (Gödel-Nummern),
wodurch syntaktische Eigenschaften von Formeln als zahlentheoretische
Aussagen in der Sprache der P EANO-Arithmetik selbst ausgedrückt werden
können und
2. einem Diagonalverfahren.
16.1 Gödel-Nummern
Zunächst ordnen wir jedem Term t der Sprache L von PA− eine Zahl, die G ÖDELNummer ptq, durch primitive Rekursion wie folgt zu:
p0q = 1
p1q = 3
pvi q = 32 · 5i
ps + tq = 33 · 5psq · 7ptq
ps · tq = 34 · 5psq · 7ptq
2
3
So ist z. B. pv3 + 1q = 33 · 53 ·5 · 73 . Ähnlich kann man nun den Formeln ihre
jeweilige G ÖDEL-Nummer zuordnen:
16.2. D IAGONALISIERUNGSLEMMA
228
ps = tq = 2 · 5psq · 7ptq
ps < tq = 2 · 3 · 5psq · 7ptq
p¬ϕq = 2 · 32 · 5pϕq
pϕ ∨ ψq = 2 · 33 · 5pϕq · 7pψq
p∃vi ϕq = 2 · 34 · 5i · 7pϕq
Natürlich gibt es auch viele andere Möglichkeiten einer Codierung; wichtig ist
hier nur, daß es sich um eine berechenbare injektive Abbildung aller L-Formeln1
auf eine berechenbare Teilmenge Fml ⊆ N handelt und daß die die Umkehrabbildung (definiert auf der Menge Fml) ist ebenfalls berechenbar ist (so daß wir aus
der G ÖDEL-Nummer pϕq die Formel ϕ wieder ausrechnen können).
Im folgenden benötigen wir die Diagonal-Funktion d, definiert durch
(
p∀y (y = n → σ (y))q, falls n = pσ (v0 )q für eine L-Formel σ (v0 )
d(n) =
0
sonst.
16.2 Diagonalisierungslemma
T sei eine L-Theorie, θ (v0 ) eine L-Formel mit der einen freien Variablen v0 . Falls
die Diagonalfunktion d in T repräsentierbar ist, so gibt es einen L-Satz G mit der
Eigenschaft
T ` G ↔ θ (pGq).
Ist d durch eine Σ1 -Formel in T repräsentierbar und θ (v0 ) eine Π1 -Formel, so
kann G als Π1 -Satz gewählt werden.
Beweis: Ist d in T durch die Formel δ (x, y) repräsentiert, so definiere
ψ(v0 ) := ∀y (δ (v0 , y) → θ (y)),
1 Berechenbare
Funktionen haben wir hier nur als zahlentheoretische Funktionen eingeführt,
es ist jedoch nahe liegend, diesen Begriff auch auf andere Bereiche (wie endliche Folgen von
Symbolen) auszudehnen.
229
16.3. S ATZ VON G ÖDEL -ROSSER
und setze n := pψ(v0 )q. (Achtung: n ist tatsächlich eine Zahl, in welcher natürlich
die Variable v0 nicht vorkommt; dagegen geht die G ÖDEL-Nummer von v0 in die
Berechnung von n ein!) Für G wählt man nun den Satz
G := ∀y (y = n → ψ(y)).
Dann hat also G die G ÖDEL-Nummer d(pψ(v0 )q). Ist δ (x, y) eine Σ1 -Formel und
θ (v) eine Π1 -Formel, so sind ψ und G (äquivalent zu) Π1 -Formeln. Somit bleibt
zu zeigen, daß T ` G ↔ θ (pGq): Es gilt offenbar
(1)
T ` G ↔ ψ(n),
T ` G ↔ ∀y(δ (n, y) → θ (y)).
d. h. nach Def. von ψ
Daß d in T durch δ (x, y) repräsentiert wird, besagt aber
d(n) = pGq ⇒ T ` δ (n, pGq)
und
T ` ∃!y δ (n, y).
Somit gilt insbesondere
(2)
T ` ∀y (δ (n, y) ↔ y = pGq)
T ` G ↔ ∀y (y = pGq) → θ (y)),
T ` G ↔ θ (pGq).
und zusammen mit (1) folgt daraus
also
16.3 Satz von Gödel-Rosser
T sei eine rekursive Menge von (Gödel-Nummern von) L-Sätzen, so daß gilt:
(i) T enthält keinen Widerspruch, d. h. es gibt keinen L-Satz σ mit pσ q ∈ T
und zugleich p¬σ q ∈ T,
(ii) T enthält alle Σ1 und Π1 -Sätze, die in PA− gelten:
{pσ q | σ ∈ Σ1 ∪ Π1 , σ Satz , PA− ` σ } ⊆ T.
Dann ist T Π1 -unvollständig in folgendem Sinne: es gibt einen Π1 -Satz τ
mit
pτq 6∈ T und p¬τq 6∈ T.
16.4. E RSTER G ÖDELSCHER U NVOLLST ÄNDIGKEITSSATZ
230
Beweis: Da T rekursiv ist, gibt es eine Σ1 -Formel θ (v), so daß für alle n ∈ N
n ∈ T =⇒ PA− ` θ (n),
n 6∈ T =⇒ PA− ` ¬θ (n).
Nach dem Diagonalisierungslemma 16.2 gibt es einen Π1 -Satz τ mit
PA− ` τ ↔ ¬θ (pτq).
Mit (ii) folgt daraus
pτq ∈ T ⇒ PA− ` θ (pτq) ⇒ PA− ` ¬τ ⇒ p¬τq ∈ T
und ebenso mit (i)
p¬τq ∈ T ⇒ pτq 6∈ T ⇒ PA− ` ¬θ (pτq) ⇒ PA− ` τ ⇒ pτq ∈ T,
so daß weder pτq noch p¬τq in T sein können.
Eine Theorie T heißt rekursiv-axiomatisierbar gdw sie ein Axiomensystem
Σ besitzt, für welches die Menge der G ÖDELnummern {pσ q | σ ∈ Σ} rekursiv ist.
16.4 Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz
T sei eine konsistente2 und rekursiv-axiomatisierbare Theorie der Sprache L, welche die Theorie PA− erweitert. Dann ist T Π1 -unvollständig, d. h. es gibt einen
Π1 -Satz τ mit
T 6` τ und T 6` ¬τ.
Beweis: Wir nehmen an, daß T sowohl konsistent und rekursiv-axiomatisierbar
als auch Π1 -vollständig ist und leiten daraus einen Widerspruch ab: Setze
S := {pσ q | σ ∈ Σ1 ∪ Π1 , σ Satz , T ` σ }.
Dann ist S rekursiv (denn um nachzuprüfen, ob ein Σ1 oder Π1 -Satz σ in S ist,
braucht man nur die rekursive Aufzählung der in T beweisbaren Sätze der Form
2 Die
ursprüngliche Fassung des G ÖDELschen Satzes hatte die stärkere Voraussetzung der ωKonsistenz von T (d. h. für alle L-Formeln θ (v) mit T ` θ (n) für alle n ∈ N ist T[∀v θ (v)] konsistent). ROSSER hat 1936 die obige stärkere Version bewiesen.
16.5. KOMBINATORISCHE P RINZIPIEN
231
σ bzw. ¬σ zu durchlaufen, wegen der Π1 -Vollständigkeit muß einer der beiden
nach endlich-vielen Schritten auftauchen). Somit läßt sich der Satz von G ÖDEL ROSSER anwenden, wonach S Π1 -unvollständig ist, ein Widerspruch!
Jede konsistente Erweiterung T von PA− hat nach dem Satz von L INDEN BAUM 4.9.1 eine vollständige und konsistente Erweiterung, von denen also keine
rekursiv (d. h. entscheidbar) sein kann. Aus dem obigen Satz kann man übrigens
folgern, daß jede rekursive konsistente Erweiterung von PA− sogar 2ℵ0 -viele Erweiterungen und ebenso viele abzählbare Modelle besitzt, die nicht elementaräquivalent sind (s. R. K AYE : Models of Peano Arithmetic, pp. 39ff).
Mathematisch interessantere Sätze, die in der P EANO-Arithmetik unabhängig
sind, erhält man durch
16.5 Kombinatorische Prinzipien
In seiner einfachsten Form besagt das
Schubfachprinzip:
(1) Verteilt man n Elemente in m < n-viele Schubladen, so muß eine der Schubladen mindestens 2 Elemente enthalten.
Die Verallgemeinerung auf unendliche Mengen lautet:
(2) Ist eine unendliche Menge zerlegt in endlich-viele Mengen, so muß wenigstens eine dieser Mengen unendlich sein:
˙ ...∪
˙ Ak unendlich → ∃i ≤ k (Ai unendlich) .
A = A0 ∪
Zur weiteren Verallgemeinerung setzen wir
[A]n := {x ⊆ A | |x| = n} Menge der n-elementigen Teilmengen von A.
Eine Zerlegung der n-elementigen Teilmengen von A in k Teilmengen kann
man auch durch eine Funktion
f : [A]n → k
wiedergeben (Ai = {x ∈ A | f (x) = i} sind dann die Zerlegungsmengen), und ein
solches f nennt man etwas anschaulicher auch eine Färbung (von [A]n ) mit k
Farben. Eine Teilmenge X ⊆ A mit [X]n ⊆ Ai für ein i < k (deren n-Tupel also
einfarbig sind) heißt homogen für die Zerlegung f . Der
232
16.5. KOMBINATORISCHE P RINZIPIEN
Satz von Ramsey3
f : [N]n → k → ∃X ⊆ N (X unendlich ∧ ∀u, v ∈ [X]n f (u) = f (v)).
besagt also, daß jede Färbung der n-elementigen Teilmengen von natürlichen Zahlen mit endlich-vielen Farben eine unendliche homogene Teilmenge besitzt. Dieser Satz ist in der Mengenlehre mit einer schwachen Form des Auswahlaxioms
beweisbar (s. etwa D. M ARKER : Model Theory: An Introduction, § 5.1).
In diesem Zusammenhang benutzt man folgende Notationen:
Definition
Eine (endliche) Menge H von Ordinalzahlen heißt
relativ groß ↔ card(H) ≥ min(H).
Sind n, k ∈ N, α, γ ∈ On, so bedeute
γ −→ (α)nk
min
bzw. γ −→ (α)nk
daß es für jede Färbung f der n-elementigen Teilmengen von γ mit k Farben eine
(relativ große) Teilmenge H ⊆ γ vom Ordnungstyp α gibt, die homogen für f ist.
Der obige Satz von R AMSEY besagt also: ∀n, k ω −→ (ω)nk . Hieraus folgert
man den finitären Satz von R AMSEY:
∀m, n, k ∃r r −→ (m)nk .
Dieser Satz über natürliche Zahlen läßt sich in der Sprache der P EANO-Arithmetik ausdrücken und auch beweisen; eine (anscheinend) leichte Verstärkung aber
nicht mehr: PARIS -H ARRINGTON4 haben gezeigt:
Satz
Die Aussage
min
∀m, n, k ∃r r −→ (m)nk
ist in der Mengenlehre beweisbar, nicht aber in PA (falls PA konsistent ist). Die
Existenz dieser Zahlen r kann man in PA nicht mehr allgemein zeigen, tatsächlich
führen sie zu sehr großen Zahlen: Ist
min
σ (n) = das kleinste r mit r −→ (n + 1)nn ,
3 F.
P. R AMSEY: On a problem of formal logic. Proc. London Math. Soc. (2) 30 (1929), 264-286
mathematical Incompleteness in Peano Arithmetic. In: Handbook of Mathematical Logic,
ed. Barwise, Elsevier 1982
4A
16.6. Z WEITER G ÖDELSCHER U NVOLLST ÄNDIGKEITSSATZ
233
so übertrifft die Funktion σ schließlich jede rekursive Funktion f (d. h. es zu jeder
rekursiven Funktion f gibt es ein p mit f (n) < σ (n) für alle n ≥ p).5
16.6 Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz
Mit Hilfe einer G ÖDEL-Nummerierung kann man syntaktische Eigenschaften von
Formeln in zahlentheoretische Eigenschaften übersetzen. Da auch Beweise endliche Folgen von Formeln sind, kann man auch diese durch natürliche Zahlen
codieren und L-Formeln BewT , bewbT finden, so daß
(i) BewT (n, m) ausdrückt: “n ist die Nummer eines Beweises einer Formel ϕ
mit der G ÖDELnummer m” und
(ii) bewbT (m) :↔ ∃n BewT (n, m) ausdrückt: “m ist die G ÖDELnummer einer
Formel ϕ, welche in T beweisbar ist.”
Ist die Theorie T rekursiv-axiomatisierbar, so ist das Beweisprädikat rekursiv
und das Beweisbarkeitsprädikat r.e. Ferner kann man dann für eine geeignete Σ1 Formel θ = bewbT die folgenden Ableitbarkeits-Bedingungen nachweisen:
T ` σ =⇒ T ` θ (pσ q)
T ` θ (pσ → τq)
→
(θ (pσ q) → θ (pτq))
T ` θ (pσ q)
→
θ (p(θ (pσ q)q)
(Dabei sind σ , τ beliebige Sätze der Sprache L, und die G ÖDEL-Nummern n sollten in diesen Formeln jeweils durch die entsprechenden Terme n ersetzt sein. Zum
Nachweis benötigt man allerdings eine stärkere Theorie als PA− , etwa PA.) Unter
Benutzung eines derartigen Beweisbegriffes kann man auch die Konsistenz einer
Theorie formalisieren, etwa
ConT :↔ ¬θ (p0 = 1q).
Damit kann man dann zeigen:
5 J.
K ETONEN - R. S OLOVAY: Rapidly growing Ramsey functions. Annals of mathematics (2)
113 (1981), 267-314. Einen guten Überblick über dieses Thema findet man auch bei
C. S MORYNSKI : Some rapidly growing functions. The Mathematical Intelligencer 2,3 (1979),
149-154
16.7. WAHRHEIT IST NICHT ARITHMETISCH DEFINIERBAR
234
2. Gödelscher Unvollständigkeitssatz
T sei eine Theorie der Sprache L, für welche ein formales Beweisprädikat θ = θT
mit den obigen Bedingungen existiere (z. B. T = PA). Dann gilt:
T ist konsistent =⇒ T 6` ConT .
Beweis: (Skizze) Nach dem Diagonalisierungslemma existiert ein Satz τ, so daß:
(∗)
T ` τ ↔ ¬θ (pτq).
Falls T ` τ, so folgt aus der 1. Ableitbarkeitsbedingung: T ` θ (pτq), also nach
(*) T ` ¬τ, d. h. T ist inkonsistent. Damit haben wir:
(∗∗)
T konsistent =⇒ T 6` τ.
Man zeige, daß sich dieser Beweis formalisieren und mit Hilfe des durch θ in T
formalisierten Beweisprädikates darstellen läßt, also
T ` ConT → ¬θT (pτq).
Sei nun T konsistent, also nach (**) T 6` τ. Dann ist wegen (*) auch T 6` ¬θ (pτq)
und somit auch T 6` ConT .
Dieser Satz besagt also, daß man selbst mit den Mitteln der P EANO-Arithmetik keinen Beweis der Konsistenz dieser Theorie finden kann (ein Beweis der
Konsistenz einer Theorie T würde überdies nur überzeugend sein, wenn er unter schwächeren Voraussetzungen möglich wäre, als sie Theorie T zur Verfügung
stellt), und diese Aussage gilt auch für alle weiteren formalen Theorien, in welcher
sich die P EANO-Arithmetik interpretieren läßt (wie z. B. die übliche axiomatische
Mengenlehre).
16.7 Wahrheit ist nicht arithmetisch definierbar
Während sich die üblichen syntaktischen Begriffe, die zu einer formalen Sprache
L gebildet werden, in der Sprache der Zahlentheorie definieren lassen und ihre
wesentlichen Eigenschaften zumindest in der Theorie PA beweisen lassen, ist dies
für den semantischen Wahrheitsbegriff nicht möglich:
235
16.8. U NENTSCHEIDBARKEIT
Satz von Tarski
Es sei M |= PA− . Dann gibt es keine L-Formel θ (v), so daß für alle natürlichen
Zahlen n
M |= θ (n) ⇐⇒ n = pσ q für einen L-Satz σ mit M |= σ .
Beweis: Wenn es eine solche Wahrheitsdefinition θ gäbe, so könnte man nach
dem Diagonalisierungslemma 16.2 einen Satz G finden, so daß
PA− ` G
↔
M |= G
⇐⇒
¬θ (G),
insbesondere
M |= ¬θ (pGq).
Andererseits müßte für die Wahrheitsdefinition gelten:
M |= G ⇐⇒ M |= θ (pGq),
was aber zum Widerspruch führt!
16.8 Unentscheidbarkeit
Wie im vorigen Abschnitt werden wir gelegentlich eine formale Theorie T mit
pTq = {pσ q | σ Satz mit T ` σ },
der Menge der G ÖDEL-Nummern der in T beweisbaren Sätze identifizieren. So
heißt eine Theorie T entscheidbar gdw pTq entscheidbar (d. h. rekursiv) ist; ist
T nicht entscheidbar, so heißt T unentscheidbar. Für eine entscheidbare Theorie T gibt es also ein effektives Verfahren, welches nach endlich-vielen Schritten
feststellt, ob ein vorgegebener Satz (in der Sprache der Theorie) in T beweisbar
ist oder nicht.
Indem man die Diagonalfunktion d benutzt, kann man nach der Methode des
Satzes von G ÖDEL -ROSSER 16.3 zeigen:
Satz
Ist T eine konsistente Theorie der Sprache L, so sind nicht die Diagonalfunktion
d und zugleich die Menge pTq in T repräsentierbar.
16.8. U NENTSCHEIDBARKEIT
236
Beweis: Wir nehmen an, daß sowohl d durch eine Formel δ (x, y) wie auch die
Menge pTq durch eine Formel ϕT (v0 ) in T repräsentiert werden und wählen θ =
¬ϕT . Aus dem Diagonalisierungslemma 16.2 erhalten wir dann die Existenz einer
Formel G mit
(∗)
T ` G ↔ ¬ϕT (pGq).
1. Fall: T ` G, also pGq ∈ pTq. Dann gilt wegen der Repräsentierbarkeit:
T ` ϕT (pGq) und mit (*) auch T ` ¬G, d. h. T wäre widerspruchsvoll.
2. Fall: T 6` G, also pGq 6∈ pTq. Dann gilt wiederum wegen der Repräsentierbarkeit: T ` ¬ϕT (pGq), mit (*) also T ` G, Widerspruch!
Folgerungen und Bemerkungen
(i) Ist T eine konsistente Theorie der Sprache L, welche PA− erweitert, so ist
T unentscheidbar.
(Denn dann ist jede rekursive Funktion, also auch d, in T repräsentierbar.)
Da dieses für die endlich-axiomatisierbare Theorie PA− gilt, so erhalten
wir:
(ii) Die Prädikatenlogik, d. h. {pσ q | σ Satz mit ` σ }, ist unentscheidbar.
(C HURCH 1936) Tatsächlich gilt bereits:
(iii) Die Prädikatenlogik mit einem 2-stelligen Relationszeichen ist unentscheidbar (ebenso die PL mit mindestens zwei 1-stelligen oder mindestens einem
2-stelligen Funktionszeichen). (T RACHTENBROT 1953)
Denn es gibt eine endlich-axiomatisierbare Teiltheorie der Mengenlehre (in
der Sprache mit der ∈-Relation), in welcher sich alle rekursiven Funktionen
repräsentieren lassen. Dagegen ist
(iv) die monadische Prädikatenlogik (mit nur 1-stelligen Relationszeichen außer der Gleichheit) entscheidbar. (B EHMANN 1922)
(v) Die Theorie der Gruppen ist unentscheidbar (M ALCEV 1961), die Theorie
der A BELschen Gruppen dagegen ist entscheidbar (W. S MIELEW 1949).
Ein Beispiel eines Entscheidungsverfahrens für eine algebraische Theorie
behandeln wir im nächsten Teil.
237
16.8. U NENTSCHEIDBARKEIT
Das Entscheidungsproblem für die Prädikatenlogik
Ohne Beweis (s. hierzu etwa B ÖRGER -G R ÄDEL -G UREVICH 1997) führen wir
die folgenden Ergebnisse an:
• entscheidbar (bezüglich Allgemeingültigkeit) sind Formeln der Prädikatenlogik mit folgenden Präfixtypen:
∀...∀∃...∃
∀...∀∃∀...∀
∀ . . . ∀ ∃∃ ∀ . . . ∀
(ohne =-Zeichen!)
• unentscheidbar (bezüglich Allgemeingültigkeit) sind bereits Formeln der
Prädikatenlogik mit folgendem Präfix (selbst ohne =-Zeichen):
∃∀∃
• Reduktionstypen (d. h. Allgemeingültigkeit ist auf Formeln dieses Typs
zurückzuführen) sind die folgenden Formelklassen:
∃∃∃ ∀ . . . ∀
∃∃ ∀ . . . ∀∃
∃∃ ∀ ∃ . . . ∃
∀∃∀∃...∃