Zahlenmuster

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Cyan
Magenta
Yellow
Zahlenmuster
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Einführung der Dreieckszahlen, produktive Rechenübung mit Dreieckszahlen
Zahlenmuster
Wie kann man vorgehen?
Forschen und Finden
Vor der Arbeit mit dem Buch:
Die Lehrerin zeichnet die ersten Punkt­
muster an die Tafel. Mit den Kindern wird
erarbeitet, dass das nächste Muster aus
dem vorhergehenden durch Anfügung
einer Reihe von Punkten hervorgeht. Sukzessive werden 2, 3, 4, 5, 6, … Punkte hinzugefügt. Man muss die Punkte nicht immer
von Anfang an zählen, sondern braucht
immer nur die Anzahl der neuen Punkte
hinzuzufügen, wie es in Aufgabe 1 vorgemacht ist.
1
1
1
1+2
3
3+3
6
21 + 7
6+4
10
28 + 8
36
28
10 + 5
15
15 + 6
21
36 + 9
45
45 + 10
55
Zur Arbeit mit dem Buch:
1 Wenn die Kinder das Konstruktionsprinzip und die Regel verstanden haben,
können sie die weiteren Dreieckszahlen
berechnen. Die Ergebnisse werden zusammengetragen.
Die roten Zahlen heißen Dreieckszahlen. Erkläre die Rechnungen. Wie viele Punkte
kommen jeweils dazu?
Die weiteren Dreieckszahlen bis 100 sind 66, 78, 91. Prüfe nach.
2
Wähle eine Zahl aus der Hundertertafel.
Versuche die Zahl als Summe von zwei
oder drei Dreieckszahlen zu schreiben.
Es gibt oft mehrere Möglichkeiten.
1
Gewählte Zahl: 6 5
6 5 = 5 5 + 1 0
47
2
1–1=0
11
12
21
22
21 – 12 = 9
31
3 0 = 1 0 + 1 0 + 1 0
31 – 13 = 18
41
6 5 = 4 5 + 1 0 + 10
32
3
4
5
6
7
9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
3
4
5
6
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
1559 60
5113
52 53 54 14
55 56 57 58
16
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
23
24
25
26
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
33
34
35
36
46
32 – 23 = 9
42
52
43
44
45
53
54
55
2 4 = 1 5 + 6 + 3
■ 1 Beziehung zu Seite 46, 3 herstellen. Fortlaufende Rechnungen am „Wachsen“ der Dreiecksmuster erklären. 2 Carl
51natürliche
– 15 = Zahl
36 als Summe von höchstens drei Dreieckszahlen
54 darstellen
– 45 =
Friedrich Gauß hat bewiesen, dass sich jede
lässt.
Was wird benötigt? 61
8
3 3 = 1 5 + 1 5 + 3
41 – 14 = 27
51
2
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
11 – 11 = 0
5 6 = 5 5 + 1
1
9
56
47
62 (Logo63
64 2000“)
65hatte für
66 sie
von „mathe 
2 Die Kinder erkennen die Dreieckszah7 in der 8Hundertertafel
9
len
an 10
der roten
Schrift wieder und übertragen diese Zahlen
17in ihre eigene
18 (breite)
19 Hundertertafel.
20
Die Lehrerin zeigt an den angegebenen
Beispielen, dass man andere Zahlen als
27
28zwei oder
29 drei Dreieckszah30
Summen
von
len darstellen kann, wobei Dreieckszahlen
auch doppelt und dreifach verwendet
37
38
39
40
werden dürfen. Sie zeigt ihnen auch, wie
man eine solche Rechnung in die breite
47
48 eintragen
49 kann: 50
Hundertertafel
57
58
67
68
59
60
55 + 3 + 1 45 + 15
69
70
Arbeitsmaterial: Leerformat 3 61
(Breite
Hun- eine besondere Bedeutung, weil sich bei
– 16 = 45
70 – 7 = 63
Saite in den Verdertertafel) als KV
73einer gespannten
71
72 Teilung
74
75
76
77
78
79
80
hältnissen 1 : 2, 2 : 3 und 3 : 4 die Oktave, Eine beliebig herausgegriffene Zahl als
Demonstationsmaterial: iTb
71 – 17 = 54
73 – 37und
= 36die Quarte eines Grundtons
die Quinte
Summe von höchstens drei Dreieckszah81
82 ergeben,
83 die mit84
85 besonders
86
87darzustellen,
88 ist nicht
89 so einfach,
90
dem Grundton
len
für
Worum geht es?
harmonisch
klingen.
Für
die
Pythagoreer
schwächere
Kinder
sicher
zu
schwer.
Aber:
81 – 18 = 63
Auf dieser Seite wird eine Folge von Zahlen war die „Zehnzahl“ daher ein Symbol für Diese Kinder können kleinere Zahlen wäh91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
len. Und: Die Kinder können ja auch einfach
benutzt, die in der Mathematik ein lange die Harmonie des Kosmos.
19 = Folge
72 92 – 29Kein
= 63 93
– 39 = 54 94 als
– 49 =Carl
45 95Friedrich
– 59 = 36 96
– 69 = 27 mal
97 – 79
= 18 oder
98 – 89
= 9 Dreieckszahlen
99 – 99 = 0
geringerer
Gauß
zwei
drei
addieTradition hat und sehr wichtig 91
ist:– die
(1777 – 1855)
hat
als
19jähriger
bewieren und schauen, was herauskommt. Dieder Dreieckszahlen.
Diese Zahlen entstehen dadurch, dass sen, dass jede natürliche Zahl Summe ser Weg ist jedem Kind zugänglich.
man die natürlichen Zahlen von 1 begin- von höchstens drei Dreieckszahlen ist. Es Natürlich werden nicht alle Kinder sofort
gibt bis heute keinen elementaren Beweis merken, dass man aus manchen Rechnend fortlaufend aufsummiert:
dieses Satzes. Aber auch ohne Beweis ist nungen mehr machen kann.
1
dieser Satz ein schönes Feld für „Forschen Beispiel:
1 + 2 = 3
und Finden“, wobei die Addition intensiv Aus 65 = 55 + 10 folgt sofort 66 = 55 + 10 + 1
1 + 2 + 3 = 6
geübt wird.
1 + 2 + 3 + 4 = 10
Aber diese Erkenntnis dürfte sich schnell
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 usw.
Bei den Pythagoreern im 6. Jhdt. v. Chr. Auch diese Seite ist grün unterlegt. Kin- herumsprechen.
wurden Zahlen generell durch Punktmus- der können sich gut untereinander aus­ Die ganz oder teilweise ausgefüllte breite
ter dargestellt, auch die Dreieckszahlen tauschen, auch wenn sie unterschiedlich Hundertertafel passt sehr gut in ein Portfolio.
(s. Aufgabe 1). Die vierte Dreieckszahl 10 weit kommen.
61