Statistik für das Lehramt Dozent

Referenten: Gina Spieler, Beatrice Bressau, Laura Uhlmann
Veranstaltung: Statistik für das Lehramt
Dozent: Martin Tautenhahn
8.5 Eindimensionale stetige Zufallsvariablen
Eine Zufallsvariable X heißt stetig, wenn es eine Funktion f(x) gibt,
sodass die Verteilungsfunktion von X folgende Gestalt hat:
𝑝𝑖 , 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑠 𝑥 = 𝑥𝑖
0, 𝑠𝑜𝑛𝑠𝑡
1
,
𝑓ü𝑟 0 ≤ 𝑥 ≤ 10
für Bsp.: 𝑓(𝑥) = {10
0,
𝑠𝑜𝑛𝑠𝑡
Dichtefunktion: 𝑓(𝑥) = {
𝑥
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 für jedes 𝑥 ∈ 𝑅
Platz für Bemerkungen:
−∞
 f(x) heißt Dichtefunktion
Beispiel 1: Wartezeit auf einen Bus
Ein Student geht zur Bushaltestelle und weiß, dass der Bus alle 10
Minuten abfährt, hat aber den Fahrplan nicht im Kopf. Da er die
genaue Ankunft nicht kennt, sieht er die Zeit X, die er warten muss,
als Zufallsvariable an. Dabei weiß er erstens sicher, dass er
höchstens 10 Minuten zu warten hat, d.h. P(X≤10)=1; zum Zweiten
drückt er die bestehende Ungewissheit dadurch aus, dass er die
Wahrscheinlichkeit, höchstens noch x Minuten warten zu müssen,
für jedes x zwischen 0 und 10 proportional zu x ansetzt, d.h., es gilt
P(X≤x)=k*x für alle x ϵ [0I10]. Aus beidem ergibt sich:
Verteilungsfunktion: 𝐹(𝑥) =
1
10
∗ 𝑥 𝑓ü𝑟 0 ≤ 𝑥 ≤ 10
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Eigenschaften der Dichtefunktion:
1. 𝑓(𝑥) ≥ 0 𝑓ü𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑥 ∈ 𝑅
+∞
2. ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
3. 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 0 𝑓ü𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑥 ∈ 𝑅
 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) =
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
Eigenschaften der Verteilungsfunktion:
1. 𝐹(𝑥) ist eine stetige Funktion
𝑥
2. 𝐹(𝑥) = ∫−∞ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 für jedes 𝑥 ∈ 𝑅
3. 𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑥)
Beispiel 2: Öltankfüllung
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8.6. Wichtige stetige Verteilungen
Beispiel 3: Wartezeit
8.6.1 Gleichverteilung
Bei einer innerbetrieblichen Werkzeugausgabe gelte für die
Zufallsvariable X =Zeitlücke zwischen dem Eintreffen zweier
Mechaniker die Bedingung (1). Ferner sei die Wahrscheinlichkeit,
dass innerhalb einer Minute ein Mechaniker eintreffen wird, gleich
0,5. Wie ist X verteilt?
Sind a, b reelle Zahlen mit a < b, so heißt eine Zufallsvariable X mit
der Dichtefunktion
1
𝑓(𝑥) = {𝑏 − 𝑎 , 𝑓ü𝑟 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
0,
𝑠𝑜𝑛𝑠𝑡.
Gleichverteilt im Intervall [a;b]. Für ihre Verteilungsfunktion ergibt
sich die Gestalt:
0, 𝑓ü𝑟 𝑥 < 𝑎
𝑥−𝑎
, 𝑓ü𝑟 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
𝐹(𝑥) = {
𝑏−𝑎
1, 𝑓ü𝑟 𝑥 > 𝑏.
8.6.2. Exponentialverteilung
Eine Zufallsvariable X mit der Dichte
−𝜆×𝑥
𝑓ü𝑟 𝑥 ≥ 0
𝑓(𝑥) = {𝜆 × 𝑒
0
𝑠𝑜𝑛𝑠𝑡
und 𝜆 > 0 heißt exponentialverteilt.  Parameter bestimmt
Startpunkt auf der f(x)-Achse
(1) Besonderheit Verteilung ohne Gedächtnis: bedingte
Verteilung der weiteren Lebensdauer unabhängig von den bereits
Erreichten
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8.6.3 Normalverteilung
Es gilt:
Gauß-Verteilung, Gaußsche Glockenkurve
Eine Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion
Ist die Zufallsvariable X gemäß N(μ ;σ) verteilt, so ist die
𝑓(𝑥) =
1
𝜎√2𝜋
×
1 𝑥−𝜇 2
𝑒 −2( 𝜎 )
heißt normalverteilt oder N (𝜇 ; 𝜎)-verteilt, wobei und 𝜎 > 0.
Bei 𝜎 = 1 𝑢𝑛𝑑 𝜇 = 0 erhält man Standardnormalverteilung N(0; 1).
Eigenschaften der Normalverteilung:
1. Dichte f der N (𝜇 ; 𝜎)- Verteilung symmetrisch zu 𝜇, es gilt:
f (𝜇 − 𝑥) = 𝑓 (𝜇 + 𝑥) 𝑓ü𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑥 𝜖 ℝ .
2. globales Maximum im Punkt x= 𝜇 (Erwartungswert)
3. Wendepunkt in 𝜇 − 𝜎 und 𝜇 + 𝜎
 𝜇 = Lageparameter, 𝜎 = Streuungsparameter
Beispiel 4: Körperlänge von Mäusen und jungen Kätzchen
standardisierte Zufallsvariable
Y = 𝐗−µ
𝛔
gemäß N (0; 1) verteilt.
Die Verteilungsfunktion F der N (𝜇 ; 𝜎)- verteilten Zufallsvariablen X
kann folgendermaßen durch die Verteilungsfunktion Φ der
Standardnormalverteilung ausgedrückt werden:
𝑿−𝝁
𝝈
𝑭 (𝒙) = 𝑷 (𝑿 ≤ 𝒙) = 𝑷 (
≤
𝒙−𝝁
)
𝝈
= 𝑷 (𝒀 ≤
𝒙−𝝁
)
𝝈
=Φ(
𝒙−𝝁
).
𝝈
- durch die Symmetrie der Normalverteilung können die
Verteilungsfunktionswerte für negative x entnommen werden:
𝚽 (−𝐱) = 𝐏 (𝐘 ≤ −𝐱) = 𝐏 (𝐘 ≥ 𝐱) = 1 − 𝐏(𝐘 ≤ 𝐱) = 1 − 𝚽 (𝐱).
 zwei wichtige Formeln für die Auswertung normalverteilter
Zufallsvariablen:
𝒙−𝝁
𝑭(𝒙) = 𝚽 (
) 𝐮𝐧𝐝𝚽 (−𝐱) = 1 − 𝚽 (𝐱)
𝝈
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Beispiel 5: PERT-Verfahren
Die Messung von 𝜇 in Vielfachen von 𝜎 ergeben die Intervalle des
Das PERT-Verfahren für die Zeitplanung von Projekten liefert
typischerweise ein Ergebnis der Form: „Die Projektdauer ist normalverteilt
mit 𝜇 = 39 (Wochen) und 𝜎 =2 (Wochen).“ Wir wollen versuchen, auf
Grund dieses Ergebnisses folgende zwei Fragen zu beantworten:
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Projektdauer zwischen 37
und 41 Wochen liegen wird?
b) Der Solltermin von 45 Wochen sei besonders wichtig und durch
Konventionalstrafen vertraglich abgesichert. Andererseits seien aber auch
die Anpassungsmaßnahmen zur Gewährleistung dieses Solltermins so
kostspielig, dass sie nur dann prophylaktisch ergriffen werden sollen,
wenn die Wahrscheinlichkeit größer als 5% ist, dass der Solltermin
überzogen wird. Kann auf diese Anpassungsmaßnahmen verzichtet
werden?
Typs
[𝝁 − 𝒌𝝈; 𝝁 + 𝒌𝝈], welche als k𝝈-Bereiche der normalverteilten
Zufallsvariablen X bezeichnet werden.
Für k= 1,2,3 bedeutet dies:
0,683 𝑓ü𝑟 𝑘 = 1
𝑃 (𝝁 − 𝒌𝝈 ≤ 𝑿 ≤ 𝝁 + 𝒌𝝈) = 2𝛷 − 1 = {0,954 𝑓ü𝑟 𝑘 = 2 .
0.997 𝑓ü𝑟 𝑘 = 3
Die Normalverteilungseigenschaften bleiben auch für gewisse
Funktionen erhalten.
- z.B.: bei Gleichungen der Form Y=a+bx (b ≠ 0)
bei Summen normalverteilter Zufallsvariablen (X1 +X2 +…+Xn)
 Reproduktionseigenschaft bzgl. der Bildung von
Linearkombinationen
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Zusammenfassung
diskrete Zufallsgröße
Bsp.:
stetige Zufallsgröße
Bsp.:
 Zufallsvariable X nimmt endlich oder
abzählbare unendlich viele
Realisierungen an
 Zufallsvariable X, die alle Werte aus
ℝ innerhalb eines Intervalls annehmen
kann
1. Funktion X ordnet Elementarereignissen alle möglichen Realisierungen in Form
einer Zahl aus R zu.
2. Wahrscheinlichkeitsfunktion P ordnet jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zu.
1.
2.
Die Dichte beschreibt nun für jedes mögliche Ergebnis x dessen Wahrscheinlichkeit.
Sie wird mathematisch mit P(X=x) dargestellt und mit f(x) abgekürzt.
Massenfunktion f(x)
Dichtefunktion f(x)
Zufallsvariable: Augensumme X beim
zweimaligen Würfeln
Zufallsvariable: Anteil X einer
Öltankfüllung, die bis Ende der
Planungsperiode verbraucht sein wird
𝑓(𝑥) = 6𝑥 − 6𝑥 2
Wahrscheinlichkeiten werden durch
die Fläche unter dem Graphen
berechnet.
𝐴𝑅𝑒𝑐ℎ𝑡𝑒𝑐𝑘 = 𝑎 × 𝑏
Eigenschaften f(x)
∞
∑ 𝑝(𝑥𝑖 ) = 1
𝑖=1
Wahrscheinlichkeit eines genauen
Ergebnisses f(x)=0, da es unendlich
viele mögliche Werte gibt.
 nur mit Intervallen rechnen
Eigenschaften f(x)
+∞
∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
𝑓(𝑥) ≥ 0 für alle 𝑥𝜀ℝ
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Verteilungsfunktion F(x)
𝐹(𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥 3
𝑃(6 ≤ 𝑋 ≤ 7) =
𝑃(0,5 ≤ 𝑋 ≤ 1) =
wichtige diskrete Verteilungen:
Binomialverteilung, hypergeometrische
Verteilung, Poisson-Verteilung
wichtige stetige Verteilungen:
Gleichverteilung, Exponentialverteilung,
Normalverteilung
Ausblick: 8.7 Verteilung mehrdimensionaler Zufallsvariablen
Die gemeinsame Verteilungsfunktion
Ist (X1,…,Xn) eine n-dimensionale Zufallsvariable, so heißt die Funktion F, die jedem nTupel (x1…xn) die Wahrscheinlichkeit : F(x1…xn)= P (𝑋1 ≤ 𝑥1, … , 𝑋𝑛 ≤ 𝑥𝑛) zuordnet, die
die Verteilungsfunktion von (X1…Xn ) oder die gemeinsame Verteilungsfunktion der
Zufallsvariablen X1…Xn.