Darstellung, Verarbeitung und Erwerb von Wissen - LS1
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Darstellung, Verarbeitung und Erwerb von Wissen
Gabriele Kern-Isberner
LS 1 – Information Engineering
TU Dortmund
Wintersemester 2015/16
WS 2015/16
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
1 / 60
Einführung und Motivation
Wissensbasierte Systeme
Kapitel 1
1. Einführung und Motivation
1.5 Wissensbasierte Systeme
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Einführung und Motivation
Wissensbasierte Systeme
Wissensbasierte Systeme
• Trennung von (symbolischer) Wissensbasis und Wissensverarbeitung
(Inferenz)
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Einführung und Motivation
Wissensbasierte Systeme
Wissensbasierte Systeme
• Trennung von (symbolischer) Wissensbasis und Wissensverarbeitung
(Inferenz)
• Implementieren und verallgemeinern die klassisch-logische Aufteilung
in Syntax, Semantik und Deduktion mit Bezug zum menschlichen
Denken
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Einführung und Motivation
Wissensbasierte Systeme
Beispiel-Programme
printColor(snow) :- write(‘‘It’s white.’’).
printColor(grass) :- write(‘‘It’s green.’’).
printColor(sky) :- write(‘‘It’s yellow.’’).
vs.
printColor(X) :- color(X,Y),
write(‘‘It’s ’’), write(Y), write(‘‘.’’).
color(snow,white).
color(sky,yellow).
color(X,Y) :- madeof(X,Z), color(Z,Y).
madeof(grass,vegetation).
color(vegetation,green).
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Einführung und Motivation
Wissensbasierte Systeme
Wissensbasierte Systeme 1/3
Trennung von Wissensbasis und Wissensverarbeitung –
Nachteil:
Erfordert größeren Aufwand, macht Systeme (tendentiell) langsamer
(warum nicht “einfacher” durch prozeduralen Ansatz?)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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Einführung und Motivation
Wissensbasierte Systeme
Wissensbasierte Systeme 1/3
Trennung von Wissensbasis und Wissensverarbeitung –
Nachteil:
Erfordert größeren Aufwand, macht Systeme (tendentiell) langsamer
(warum nicht “einfacher” durch prozeduralen Ansatz?)
Vorteile:
• expliziert Wissen und den Lernvorgang
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54 / 60
Einführung und Motivation
Wissensbasierte Systeme
Wissensbasierte Systeme 1/3
Trennung von Wissensbasis und Wissensverarbeitung –
Nachteil:
Erfordert größeren Aufwand, macht Systeme (tendentiell) langsamer
(warum nicht “einfacher” durch prozeduralen Ansatz?)
Vorteile:
• expliziert Wissen und den Lernvorgang
• modularer Aufbau der Programme
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54 / 60
Einführung und Motivation
Wissensbasierte Systeme
Wissensbasierte Systeme 1/3
Trennung von Wissensbasis und Wissensverarbeitung –
Nachteil:
Erfordert größeren Aufwand, macht Systeme (tendentiell) langsamer
(warum nicht “einfacher” durch prozeduralen Ansatz?)
Vorteile:
• expliziert Wissen und den Lernvorgang
• modularer Aufbau der Programme
• besser geeignet für offene Umgebungen, da Wissen flexibler nutzbar
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54 / 60
Einführung und Motivation
Wissensbasierte Systeme
Wissensbasierte Systeme 1/3
Trennung von Wissensbasis und Wissensverarbeitung –
Nachteil:
Erfordert größeren Aufwand, macht Systeme (tendentiell) langsamer
(warum nicht “einfacher” durch prozeduralen Ansatz?)
Vorteile:
• expliziert Wissen und den Lernvorgang
• modularer Aufbau der Programme
• besser geeignet für offene Umgebungen, da Wissen flexibler nutzbar
• Neue Aufgaben können relativ leicht hinzugefügt werden
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Einführung und Motivation
Wissensbasierte Systeme
Wissensbasierte Systeme 1/3
Trennung von Wissensbasis und Wissensverarbeitung –
Nachteil:
Erfordert größeren Aufwand, macht Systeme (tendentiell) langsamer
(warum nicht “einfacher” durch prozeduralen Ansatz?)
Vorteile:
• expliziert Wissen und den Lernvorgang
• modularer Aufbau der Programme
• besser geeignet für offene Umgebungen, da Wissen flexibler nutzbar
• Neue Aufgaben können relativ leicht hinzugefügt werden
Beispiel:
• Auflisten aller Objekte einer gegebenen Farbe
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Einführung und Motivation
Wissensbasierte Systeme
Wissensbasierte Systeme 1/3
Trennung von Wissensbasis und Wissensverarbeitung –
Nachteil:
Erfordert größeren Aufwand, macht Systeme (tendentiell) langsamer
(warum nicht “einfacher” durch prozeduralen Ansatz?)
Vorteile:
• expliziert Wissen und den Lernvorgang
• modularer Aufbau der Programme
• besser geeignet für offene Umgebungen, da Wissen flexibler nutzbar
• Neue Aufgaben können relativ leicht hinzugefügt werden
Beispiel:
• Auflisten aller Objekte einer gegebenen Farbe
• Färben eines Bildes
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♣
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54 / 60
Einführung und Motivation
Wissensbasierte Systeme
Wissensbasierte Systeme 2/3
Vorteile (Fortsetzung):
• Neues Wissen kann relativ leicht hinzugefügt werden
Beispiel: Kanarienvögel sind gelb, color(canary, yellow)
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♣
55 / 60
Einführung und Motivation
Wissensbasierte Systeme
Wissensbasierte Systeme 2/3
Vorteile (Fortsetzung):
• Neues Wissen kann relativ leicht hinzugefügt werden
Beispiel: Kanarienvögel sind gelb, color(canary, yellow)
• erleichtert Fehlersuche und Fehlerbehebung
Beispiel: color(sky,blue) ersetzt color(sky, yellow)
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♣
♣
55 / 60
Einführung und Motivation
Wissensbasierte Systeme
Wissensbasierte Systeme 2/3
Vorteile (Fortsetzung):
• Neues Wissen kann relativ leicht hinzugefügt werden
Beispiel: Kanarienvögel sind gelb, color(canary, yellow)
• erleichtert Fehlersuche und Fehlerbehebung
Beispiel: color(sky,blue) ersetzt color(sky, yellow)
• Programmverhalten lässt sich besser erklären und begründen
Beispiel:
♣
♣
Warum ist das Gras grün?
Weil Gras eine Vegetationsart ist, und
Vegetationsarten typischerweise grün
sind.
♣
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DVEW
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Einführung und Motivation
Wissensbasierte Systeme
Wissensbasierte Systeme 3/3
Ein wissensbasiertes System akquiriert neue Fakten und passt sein
Verhalten entsprechend an.
→ cognitive penetrability = kognitive Durchdringbarkeit
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DVEW
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56 / 60
Einführung und Motivation
Wissensbasierte Systeme
Wissensbasierte Systeme 3/3
Ein wissensbasiertes System akquiriert neue Fakten und passt sein
Verhalten entsprechend an.
→ cognitive penetrability = kognitive Durchdringbarkeit
Unterscheidung deliberatives/reaktives Verhalten
• deliberativ: mit Überlegung
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DVEW
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56 / 60
Einführung und Motivation
Wissensbasierte Systeme
Wissensbasierte Systeme 3/3
Ein wissensbasiertes System akquiriert neue Fakten und passt sein
Verhalten entsprechend an.
→ cognitive penetrability = kognitive Durchdringbarkeit
Unterscheidung deliberatives/reaktives Verhalten
• deliberativ: mit Überlegung
• reaktiv: reflexartig
Unterscheidung Wissensebene/Implementationsebene
• Wissensebene: formale Repräsentation, Ausdrucksstärke,
Berechenbarkeit und Komplexität, Syntax und Semantik,
Inferenz(regeln)
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56 / 60
Einführung und Motivation
Wissensbasierte Systeme
Wissensbasierte Systeme 3/3
Ein wissensbasiertes System akquiriert neue Fakten und passt sein
Verhalten entsprechend an.
→ cognitive penetrability = kognitive Durchdringbarkeit
Unterscheidung deliberatives/reaktives Verhalten
• deliberativ: mit Überlegung
• reaktiv: reflexartig
Unterscheidung Wissensebene/Implementationsebene
• Wissensebene: formale Repräsentation, Ausdrucksstärke,
Berechenbarkeit und Komplexität, Syntax und Semantik,
Inferenz(regeln)
• Implementationsebene: Architektur des Systems, Datenstrukturen,
Inferenzprozeduren, algorithmische Komplexität
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Einführung und Motivation
Wissensbasierte Systeme
Wissensbasierte Systeme – Architektur
für Experten
Schnittstelle
Benutzerschnittstelle
Dialog-
Erklärungs-
komp.
komp.
zifisches
Wis-
Wissensbasis
sen
Wissenserwerbskomponente
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fallspe-
DVEW
Wissensverarbeitung
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Einführung und Motivation
Subjektives Wissen
Kapitel 1
1. Einführung und Motivation
1.6 Subjektives Wissen
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58 / 60
Einführung und Motivation
Subjektives Wissen
Subjektives und objektives Wissen
Objektives Wissen (engl. knowledge)
• gesichertes, von vielen akzeptiertes Wissen
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DVEW
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59 / 60
Einführung und Motivation
Subjektives Wissen
Subjektives und objektives Wissen
Objektives Wissen (engl. knowledge)
• gesichertes, von vielen akzeptiertes Wissen
• (beobachtete) Fakten
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
59 / 60
Einführung und Motivation
Subjektives Wissen
Subjektives und objektives Wissen
Objektives Wissen (engl. knowledge)
• gesichertes, von vielen akzeptiertes Wissen
• (beobachtete) Fakten
Subjektives Wissen (engl. belief)
• gibt Weltsicht wieder, revidierbar
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
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59 / 60
Einführung und Motivation
Subjektives Wissen
Subjektives und objektives Wissen
Objektives Wissen (engl. knowledge)
• gesichertes, von vielen akzeptiertes Wissen
• (beobachtete) Fakten
Subjektives Wissen (engl. belief)
• gibt Weltsicht wieder, revidierbar
• geht über Fakten hinaus im folgenden Sinne: Das System/der Agent
“weiß” α, wenn in der repräsentierten Weltsicht α als wahr
angenommen wird.
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DVEW
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59 / 60
Einführung und Motivation
Subjektives Wissen
Subjektives und objektives Wissen
Objektives Wissen (engl. knowledge)
• gesichertes, von vielen akzeptiertes Wissen
• (beobachtete) Fakten
Subjektives Wissen (engl. belief)
• gibt Weltsicht wieder, revidierbar
• geht über Fakten hinaus im folgenden Sinne: Das System/der Agent
“weiß” α, wenn in der repräsentierten Weltsicht α als wahr
angenommen wird.
• muss nichts mit der Wahrheit in der realen Welt zu tun haben!
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
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59 / 60
Einführung und Motivation
Subjektives Wissen
Subjektives und objektives Wissen
Objektives Wissen (engl. knowledge)
• gesichertes, von vielen akzeptiertes Wissen
• (beobachtete) Fakten
Subjektives Wissen (engl. belief)
• gibt Weltsicht wieder, revidierbar
• geht über Fakten hinaus im folgenden Sinne: Das System/der Agent
“weiß” α, wenn in der repräsentierten Weltsicht α als wahr
angenommen wird.
• muss nichts mit der Wahrheit in der realen Welt zu tun haben!
• umfasst auch (logische) Ableitungen des Wissens in der Wissensbasis.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
59 / 60
Einführung und Motivation
Subjektives Wissen
Subjektives Wissen und klassische Logik
Probleme:
• Berechnung logischer Ableitungen evtl. schwierig, zu (zeit)aufwändig
(PL1 ist nicht entscheidbar!)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
60 / 60
Einführung und Motivation
Subjektives Wissen
Subjektives Wissen und klassische Logik
Probleme:
• Berechnung logischer Ableitungen evtl. schwierig, zu (zeit)aufwändig
(PL1 ist nicht entscheidbar!)
• Klassische Logik ist oft unzureichend (plausibles, probabilistisches,
unscharfes Wissen kann nicht repräsentiert werden)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
60 / 60
Einführung und Motivation
Subjektives Wissen
Subjektives Wissen und klassische Logik
Probleme:
• Berechnung logischer Ableitungen evtl. schwierig, zu (zeit)aufwändig
(PL1 ist nicht entscheidbar!)
• Klassische Logik ist oft unzureichend (plausibles, probabilistisches,
unscharfes Wissen kann nicht repräsentiert werden)
• Wissen (aus verschiedenen Quellen) kann inkonsistent sein – logisches
Folgern ist dann nutzlos!
Dennoch . . .
• . . . ist (klassische) Logik ein vernünftiger Ausgangspunkt, denn Logik
ist die Wissenschaft vom Denken und Folgern!
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DVEW
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60 / 60
Einführung und Motivation
Subjektives Wissen
Subjektives Wissen und klassische Logik
Probleme:
• Berechnung logischer Ableitungen evtl. schwierig, zu (zeit)aufwändig
(PL1 ist nicht entscheidbar!)
• Klassische Logik ist oft unzureichend (plausibles, probabilistisches,
unscharfes Wissen kann nicht repräsentiert werden)
• Wissen (aus verschiedenen Quellen) kann inkonsistent sein – logisches
Folgern ist dann nutzlos!
Dennoch . . .
• . . . ist (klassische) Logik ein vernünftiger Ausgangspunkt, denn Logik
ist die Wissenschaft vom Denken und Folgern!
• Formale symbolische Logik ist im Allgemeinen gut geeignet für die
Konzipierung und Analyse auf der Wissensebene!
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DVEW
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Struktur der DVEW
1
2
3
4
5
6
7
8
Einführung und Motivation
Klassische und regelbasierte Wissensrepräsentation
Qualitative Unsicherheit – Default-Logiken
Quantitative Unsicherheit – Wahrscheinlichkeiten & Co.
Wissenserwerb und Wissensentdeckung
Agenten, Aktionen und Planen
Wissensrevision
Wiederholung und Fragestunde
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DVEW
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2 / 206
Wissensrepräsentation
Kapitel 2
2. Klassische und regelbasierte
Wissensrepräsentation
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
3 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Übersicht Kapitel 2
2.1 Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
4 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Übersicht Kapitel 2
2.1 Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
2.2 Knowledge Engineering und Ontologien
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
4 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Übersicht Kapitel 2
2.1 Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
2.2 Knowledge Engineering und Ontologien
2.3 Beschreibungslogiken
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
4 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Übersicht Kapitel 2
2.1 Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
2.2 Knowledge Engineering und Ontologien
2.3 Beschreibungslogiken
2.4 Frames und Vererbungsnetze (Inheritance Networks)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
4 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Übersicht Kapitel 2
2.1 Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
2.2 Knowledge Engineering und Ontologien
2.3 Beschreibungslogiken
2.4 Frames und Vererbungsnetze (Inheritance Networks)
2.5 Regelbasierte Wissensverarbeitung
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
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4 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Kapitel 2
2. Klassische und regelbasierte
Wissensrepräsentation
2.1 Grundlagen und Grenzen der
klassischen Logik
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
5 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Was ist Logik?
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
6 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Was ist Logik?
Logical thinking empowers the mind in a way that no other kind
of thinking can. It frees the highly educated from the habit of
presuming every claim to be true until proven false. It enables
average Americans to stand up against the forces of political
correctness, see through the chicanery, and make independent
decisions for themselves. And it is the bulwark against
intellectual servitude for the underprivileged.
Marylin Vos Savant in The Power of Logical Thinking: Easy
Lessons in the Art of Reasoning . . . and Hard Facts about Its
Absence in Our Lives
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
6 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logik und kritisches Denken
Beispiel:
Für P osA benötigt man QualB.
Bewerber mit QualC weisen QualB nach.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
7 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logik und kritisches Denken
Beispiel:
Für P osA benötigt man QualB.
Bewerber mit QualC weisen QualB nach.
Daniel hat nicht QualC.
Daniel ist nicht geeignet für P osA.
♣
• Ist dieser Schluss gerechtfertigt?
• Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
7 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logikbasierte Wissensverarbeitung
• Syntax: Vokabular, Term- und Formelbildung
Beispiel:
“Ein Mann geht über die Straße”
vs. “Über geht ein Straße die Mann”
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
♣
WS 2015/16
8 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logikbasierte Wissensverarbeitung
• Syntax: Vokabular, Term- und Formelbildung
Beispiel:
“Ein Mann geht über die Straße”
vs. “Über geht ein Straße die Mann”
♣
• Semantik: Bedeutung in der realen Welt
♣
Beispiel: “die warmherzige dezimale Vorlesung”?!
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
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8 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logikbasierte Wissensverarbeitung
• Syntax: Vokabular, Term- und Formelbildung
Beispiel:
“Ein Mann geht über die Straße”
vs. “Über geht ein Straße die Mann”
♣
• Semantik: Bedeutung in der realen Welt
♣
Beispiel: “die warmherzige dezimale Vorlesung”?!
• Pragmatik der Wissensverarbeitung: Wie wird das repräsentierte
Wissen benutzt, um “neues” Wissen (Folgerungen) zu generieren?
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
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8 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logikbasierte Wissensverarbeitung
• Syntax: Vokabular, Term- und Formelbildung
Beispiel:
“Ein Mann geht über die Straße”
vs. “Über geht ein Straße die Mann”
♣
• Semantik: Bedeutung in der realen Welt
♣
Beispiel: “die warmherzige dezimale Vorlesung”?!
• Pragmatik der Wissensverarbeitung: Wie wird das repräsentierte
Wissen benutzt, um “neues” Wissen (Folgerungen) zu generieren?
• Zweck des logischen Rahmens
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
8 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logikbasierte Wissensverarbeitung
• Syntax: Vokabular, Term- und Formelbildung
Beispiel:
“Ein Mann geht über die Straße”
vs. “Über geht ein Straße die Mann”
♣
• Semantik: Bedeutung in der realen Welt
♣
Beispiel: “die warmherzige dezimale Vorlesung”?!
• Pragmatik der Wissensverarbeitung: Wie wird das repräsentierte
Wissen benutzt, um “neues” Wissen (Folgerungen) zu generieren?
• Zweck des logischen Rahmens
• sinnvolle Anwendung des logischen Rahmens
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
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8 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Syntaktische und semantische Ebene
W
?
Semantik(W )
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
-
B
Semantik
Welt
Semantik
Repräsentation
folgt logisch
?
folgt
notwendigerweise
- Semantik(B )
DVEW
WS 2015/16
9 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Inferenzrelation . . .
. . . benötigt:
Formalisierung eines logischen Systems
• Syntax
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
10 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Inferenzrelation . . .
. . . benötigt:
Formalisierung eines logischen Systems
• Syntax
• Semantik
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
10 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Inferenzrelation . . .
. . . benötigt:
Formalisierung eines logischen Systems
• Syntax
• Semantik
• Inferenzregeln
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
10 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Inferenzrelation . . .
. . . benötigt:
Formalisierung eines logischen Systems
• Syntax
• Semantik
• Inferenzregeln
• Korrektheitskriterien
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
10 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches System 1/2
• Signaturen Σ: Vokabular, mit dem syntaktische Beschreibungen zur
Repräsentation von Wissen gebildet werden
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
11 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches System 1/2
• Signaturen Σ: Vokabular, mit dem syntaktische Beschreibungen zur
Repräsentation von Wissen gebildet werden
• Formeln Form(Σ): Syntax zur Darstellung von Wissen, Symbole in Σ
dienen als Basiselemente
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
11 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches System 1/2
• Signaturen Σ: Vokabular, mit dem syntaktische Beschreibungen zur
Repräsentation von Wissen gebildet werden
• Formeln Form(Σ): Syntax zur Darstellung von Wissen, Symbole in Σ
dienen als Basiselemente
• Interpretationen Int(Σ): liefern die Semantik
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
11 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches System 1/2
• Signaturen Σ: Vokabular, mit dem syntaktische Beschreibungen zur
Repräsentation von Wissen gebildet werden
• Formeln Form(Σ): Syntax zur Darstellung von Wissen, Symbole in Σ
dienen als Basiselemente
• Interpretationen Int(Σ): liefern die Semantik
• Erfüllungsrelation |=: verknüpft Interpretationen und Formeln:
I |= F : “Die Interpretation I erfüllt die Formel F ”
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
11 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches System 2/2
Logisches System
Σ
• Signaturen: Σ
Z
• Formeln: Form(Σ)
• Interpretationen:
Int(Σ)
Int(Σ)
• Erfüllungsrelation: |=Σ
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
|=Σ
Z
Z
Z
Z
~
Z
Form(Σ)
WS 2015/16
12 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Aussagenlogik – Syntax
Signatur:
Σ = {A1 , . . . , An }
– Aussagenvariable Ai
– repräsentiert ein Faktum:
“Nero ist ein Hund”,
“Informatik macht Spaß”
Formeln:
¬
P
P
P
P
P
∧Q
∨Q
⇒Q
⇔Q
– Atomare Formeln A
– komplexe Formeln mit Junktoren
nicht P
Negation
P und Q
Konjunktion
P oder Q
Disjunktion
P impliziert Q
Implikation
P äquivalent zu Q
Äquivalenz
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
13 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Aussagenlogik – Semantik
I : Σ → {true, false}
Interpretationen:
–
I(A) = true : Das Faktum A gilt in der betrachteten Welt
–
I(A) = false : Das Faktum A gilt nicht in der betrachteten Welt
Erfüllungsrelation:
I |= F
gdw.1
[[F ]]I = true
wobei
[[A]]I
1
=
I(A)
falls A eine atomare Formel ist etc.
gdw = genau dann, wenn
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
14 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Signaturen
Σ = (Func, Pred )
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
–
–
–
Menge von Funktionssymbolen Func
Menge von Prädikatensymbolen Pred
jedes Symbol hat eine Stelligkeit
DVEW
WS 2015/16
15 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Signaturen
Σ = (Func, Pred )
–
–
–
Menge von Funktionssymbolen Func
Menge von Prädikatensymbolen Pred
jedes Symbol hat eine Stelligkeit
PL1 Funktionssymbole:
– mit Stelligkeit 0:
– mit Stelligkeit ≥ 1:
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Konstanten
zum Aufbau von Termen
DVEW
WS 2015/16
15 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Signaturen
Σ = (Func, Pred )
–
–
–
Menge von Funktionssymbolen Func
Menge von Prädikatensymbolen Pred
jedes Symbol hat eine Stelligkeit
PL1 Funktionssymbole:
– mit Stelligkeit 0:
– mit Stelligkeit ≥ 1:
Konstanten
zum Aufbau von Termen
Beispiel:
a, b, c, john, morning star, evening star
f ather of (john),
age(john),
f ather of (f ather of (john)),
distance(morning star, evening star)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
♣
WS 2015/16
15 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Signaturen
PL1 Prädikatensymbole:
–
–
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
mit Stelligkeit 0, 1, 2, . . .
zum Aufbau atomarer Formeln
DVEW
WS 2015/16
16 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Signaturen
PL1 Prädikatensymbole:
–
–
mit Stelligkeit 0, 1, 2, . . .
zum Aufbau atomarer Formeln
Beispiel: P rime(3)
Blue(sky)
M ortal(socrates)
F light(rf 75, dortmund, berlin)
Grandf ather(f ather of (f ather of (john)), john)
♣
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
16 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Interpretationen
– interpretieren die Symbole in Σ durch
* Objekte
* Funktionen
* Fakten
* Eigenschaften
* Relationen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
17 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Interpretationen
– interpretieren die Symbole in Σ durch
* Objekte
* Funktionen
* Fakten
* Eigenschaften
* Relationen
–
–
–
Universum U
f ∈ Func
P ∈ Pred
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
I(f )
I(P )
:
⊆
U × ... × U → U
U × ... × U
DVEW
WS 2015/16
17 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Interpretationen
Symbol
Funktionssymbol
Funktionssymbol
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Stell.
0
≥1
Interpretation
Element in U
Funktion über U
DVEW
WS 2015/16
18 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Interpretationen
Symbol
Funktionssymbol
Funktionssymbol
Prädikatensymbol
Prädikatensymbol
Prädikatensymbol
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Stell.
0
≥1
0
1
≥1
Interpretation
Element in U
Funktion über U
Wahrheitswert
Teilmenge von U
Relation über U
DVEW
WS 2015/16
18 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Interpretationen
Symbol
Funktionssymbol
Funktionssymbol
Prädikatensymbol
Prädikatensymbol
Prädikatensymbol
Beispiele:
Blue/1
Brother/2
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Stell.
0
≥1
0
1
≥1
Interpretation
Element in U
Funktion über U
Wahrheitswert
Teilmenge von U
Relation über U
Menge aller blauen Elemente in U
(charles, edward ), (charles, andrew ),
(edward, andrew )} ⊆ U × U
♣
DVEW
WS 2015/16
18 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Terme
V = Menge von Variablen
Terme:
(1)
x
(2)
c
(3)
f (t1 , . . . , tn )
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
falls x ∈ V
falls c ∈ Func und c hat Stelligkeit 0
falls f ∈ Func mit Stelligkeit n > 0
und t1 , . . . , tn Terme
DVEW
WS 2015/16
19 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Terme
V = Menge von Variablen
Terme:
(1)
x
(2)
c
(3)
f (t1 , . . . , tn )
Variablenbelegung:
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
falls x ∈ V
falls c ∈ Func und c hat Stelligkeit 0
falls f ∈ Func mit Stelligkeit n > 0
und t1 , . . . , tn Terme
α:V →U
(benötigt man für die Interpretation von
freien Variablen und Quantoren)
DVEW
WS 2015/16
19 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
PL1 – Termauswertung
Termauswertung eines Terms t in einer Interpretation I unter einer
Variablenbelegung α
[[t]]I,α ∈ U
ist definiert durch
[[x]]I,α = α(x)
[[f (t1 , . . . , tn )]]I,α = fI ([[t1 ]]I,α , . . . , [[tn ]]I,α )
Terme repräsentieren Objekte in U
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
20 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Formeln
– atomare Formeln P (t1 , . . . , tn )
– komplexe Formeln mit Junktoren ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔
– quantifizierte Formeln mit Quantoren und Variablen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
21 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Formeln
– atomare Formeln P (t1 , . . . , tn )
– komplexe Formeln mit Junktoren ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔
– quantifizierte Formeln mit Quantoren und Variablen
∀xF
∃xF
“Für alle x gilt F ”
“Es gibt ein x, so dass F gilt”
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
All-Quantor
Existenz-Quantor
WS 2015/16
21 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Formeln
– atomare Formeln P (t1 , . . . , tn )
– komplexe Formeln mit Junktoren ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔
– quantifizierte Formeln mit Quantoren und Variablen
∀xF
∃xF
“Für alle x gilt F ”
“Es gibt ein x, so dass F gilt”
All-Quantor
Existenz-Quantor
Beispiele:
∀x M ensch(x) ⇒ Sterblich(x)
¬¬Sterblich(sokrates)
∃x Großvater(x, sokrates)
∀x Großvater(vater von(mutter von(x)), x)
¬P rim(3)
∀x ∃y P rim(y) ∧ x < y
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
♣
21 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Erfüllungsrelation
[[P (t1 , . . . , tn )]]I,α = true gdw. ([[t1 ]]I,α , . . . , [[tn ]]I,α ) ∈ PI
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
22 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Erfüllungsrelation
[[P (t1 , . . . , tn )]]I,α = true gdw. ([[t1 ]]I,α , . . . , [[tn ]]I,α ) ∈ PI
[[∀xF ]]I,α = true gdw.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
[[F ]]I,α
x/a
DVEW
= true für jedes a ∈ U
WS 2015/16
22 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Erfüllungsrelation
[[P (t1 , . . . , tn )]]I,α = true gdw. ([[t1 ]]I,α , . . . , [[tn ]]I,α ) ∈ PI
[[∀xF ]]I,α = true gdw.
[[F ]]I,α
[[∃xF ]]I,α = true gdw.
[[F ]]I,α
wobei
αx/a (y) =
x/a
= true für jedes a ∈ U
x/a
= true für mindestens ein a ∈ U
α(y), wenn y 6= x,
a , sonst.
Formeln können wahr oder falsch in U sein
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
22 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
PL1: Semantische Äquivalenzen
1.1
1.2
¬∀xF
¬∃xF
2.1
2.2
(∀ x F ) ∧ (∀ x G) ≡ ∀ x(F ∧ G)
(∃ x F ) ∨ (∃ x G) ≡ ∃ x(F ∨ G)
3.1
3.2
∀x ∀yF
∃x ∃yF
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
≡ ∃x¬F
≡ ∀x¬F
≡ ∀y ∀xF
≡ ∃y ∃xF
DVEW
WS 2015/16
23 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
PL1: Semantische Nicht-Äquivalenzen
(∀x F ) ∨ (∀x G) 6≡ ∀x(F ∨ G)
(∃x F ) ∧ (∃x G) 6≡ ∃x(F ∧ G)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
24 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
PL1: Semantische Nicht-Äquivalenzen
(∀x F ) ∨ (∀x G) 6≡ ∀x(F ∨ G)
(∃x F ) ∧ (∃x G) 6≡ ∃x(F ∧ G)
Für verschiedene Quantoren ist die Reihenfolge entscheidend:
∀x ∃y F 6≡ ∃y ∀x F
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
24 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
PL1: Semantische Nicht-Äquivalenzen
(∀x F ) ∨ (∀x G) 6≡ ∀x(F ∨ G)
(∃x F ) ∧ (∃x G) 6≡ ∃x(F ∧ G)
Für verschiedene Quantoren ist die Reihenfolge entscheidend:
∀x ∃y F 6≡ ∃y ∀x F
Beispiel:
∀x ∃y Loves(x, y)
∃y ∀x Loves(x, y)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
: “Jeder liebt (irgend)jemanden”
: “Es gibt jemanden, den jeder liebt.”
DVEW
♣
WS 2015/16
24 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logische Folgerung und logische Äquivalenz 1/2
G folgt logisch aus F (geschrieben F |= G)
gdw.
jedes Modell von F ist auch ein Modell von G, d.h.
ModΣ (F) ⊆ Mod Σ (G)
wobei ModΣ (F) = {I ∈ Int(Σ) | I |=Σ F }.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
25 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logische Folgerung und logische Äquivalenz 1/2
G folgt logisch aus F (geschrieben F |= G)
gdw.
jedes Modell von F ist auch ein Modell von G, d.h.
ModΣ (F) ⊆ Mod Σ (G)
wobei ModΣ (F) = {I ∈ Int(Σ) | I |=Σ F }.
F und G heißen logisch (auch: semantisch) äquivalent, wenn F |= G und
G |= F gilt, d.h., wenn Mod Σ (F ) = Mod Σ (G) ist.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
25 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logische Folgerung und logische Äquivalenz 2/2
Diese Begriffe lassen sich auch auf Formelmengen F, G ⊆ L anwenden:
• Modelle:
Mod (F) = {I ∈ Int(Σ) | I |=Σ F für alle F ∈ F}
\
Mod (F )
=
F ∈F
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
26 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logische Folgerung und logische Äquivalenz 2/2
Diese Begriffe lassen sich auch auf Formelmengen F, G ⊆ L anwenden:
• Modelle:
Mod (F) = {I ∈ Int(Σ) | I |=Σ F für alle F ∈ F}
\
Mod (F )
=
• Logische Folgerung:
F ∈F
F |= G gdw. Mod (F) ⊆ Mod (G)
gdw. F |= G für alle G ∈ G.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
26 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logische Folgerung und logische Äquivalenz 2/2
Diese Begriffe lassen sich auch auf Formelmengen F, G ⊆ L anwenden:
• Modelle:
Mod (F) = {I ∈ Int(Σ) | I |=Σ F für alle F ∈ F}
\
Mod (F )
=
• Logische Folgerung:
F ∈F
F |= G gdw. Mod (F) ⊆ Mod (G)
gdw. F |= G für alle G ∈ G.
• Logische Äquivalenz:
F ≡ G gdw. Mod (F) = Mod (G)
gdw. F |= G und G |= F
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
26 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Konsistenz
Eine Formel(menge) ist konsistent, wenn sie “stimmig” ist, d.h. wenn sie
sich “realisieren” lässt –
F ist konsistent gdw. Mod (F ) 6= ∅
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
27 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Konsistenz
Eine Formel(menge) ist konsistent, wenn sie “stimmig” ist, d.h. wenn sie
sich “realisieren” lässt –
F ist konsistent gdw. Mod (F ) 6= ∅
Wissensbasen sind Mengen von Formeln und werden meistens als
konsistent vorausgesetzt, da sie reale Situationen modellieren sollen.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
27 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassischer Inferenzoperator
klassisch-logischer Inferenzoperator:
Cn
:
2Form(Σ) → 2Form(Σ)
Cn(F) := {G ∈ Form(Σ) | F |= G}
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
28 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassischer Inferenzoperator
klassisch-logischer Inferenzoperator:
Cn
:
2Form(Σ) → 2Form(Σ)
Cn(F) := {G ∈ Form(Σ) | F |= G}
Cn ist monoton, d.h. aus F ⊆ G folgt Cn(F) ⊆ Cn(G)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
28 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassischer Inferenzoperator
klassisch-logischer Inferenzoperator:
Cn
:
2Form(Σ) → 2Form(Σ)
Cn(F) := {G ∈ Form(Σ) | F |= G}
Cn ist monoton, d.h. aus F ⊆ G folgt Cn(F) ⊆ Cn(G)
Eine Menge von Formeln F ∈ Formel (Σ) ist (deduktiv) abgeschlossen
gdw. Cn(F) = F
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
28 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassischer Inferenzoperator
klassisch-logischer Inferenzoperator:
Cn
:
2Form(Σ) → 2Form(Σ)
Cn(F) := {G ∈ Form(Σ) | F |= G}
Cn ist monoton, d.h. aus F ⊆ G folgt Cn(F) ⊆ Cn(G)
Eine Menge von Formeln F ∈ Formel (Σ) ist (deduktiv) abgeschlossen
gdw. Cn(F) = F
Deduktionstheorem:
F |= G
gdw.
|= F ⇒ G
(Bei Formeln aus PL1 muss man voraussetzen, dass die Formeln
geschlossen sind, d.h. keine freien Variablen enthalten.)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
28 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel Blockwelt 1/2
A
Green
not Green
B
C
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
29 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel Blockwelt 1/2
A
Green
not Green
B
C
Wissensbasis KB = {On(A, B) , On(B, C) , Green(A) , ¬Green(C)}
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
29 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel Blockwelt 1/2
A
Green
not Green
B
C
Wissensbasis KB = {On(A, B) , On(B, C) , Green(A) , ¬Green(C)}
Anfrage:
Gibt es einen grünen Klotz, der direkt auf einem nichtgrünen Klotz steht?
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
29 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel Blockwelt 1/2
A
Green
not Green
B
C
Wissensbasis KB = {On(A, B) , On(B, C) , Green(A) , ¬Green(C)}
Anfrage:
Gibt es einen grünen Klotz, der direkt auf einem nichtgrünen Klotz steht?
ϕ : ∃x∃y
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Green(x) ∧ ¬Green(y) ∧ On(x, y)
KB |= ϕ ?
DVEW
WS 2015/16
29 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel Blockwelt 2/2
Sei I Modell von KB
Fall 1:
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
I |= Green(B)
¬Green(C), On(B, C) ∈ KB
DVEW
WS 2015/16
30 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel Blockwelt 2/2
Sei I Modell von KB
Fall 1:
also
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
I |= Green(B)
¬Green(C), On(B, C) ∈ KB
I |= Green(B) ∧ ¬Green(C) ∧ On(B, C)
DVEW
WS 2015/16
30 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel Blockwelt 2/2
Sei I Modell von KB
Fall 1:
also
also
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
I |= Green(B)
¬Green(C), On(B, C) ∈ KB
I |= Green(B) ∧ ¬Green(C) ∧ On(B, C)
I |= ϕ
DVEW
WS 2015/16
30 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel Blockwelt 2/2
Sei I Modell von KB
Fall 1:
also
also
Fall 2:
also
also
I |= Green(B)
¬Green(C), On(B, C) ∈ KB
I |= Green(B) ∧ ¬Green(C) ∧ On(B, C)
I |= ϕ
I |= ¬Green(B)
Green(A), On(A, B) ∈ KB
I |= Green(A) ∧ ¬Green(B) ∧ On(A, B)
I |= ϕ
Also KB |= ϕ, d.h. ϕ ∈ Cn(KB).
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
30 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Kalkül 1/2
Ein Kalkül besteht aus Axiomen und Inferenzregeln;
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
31 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Kalkül 1/2
Ein Kalkül besteht aus Axiomen und Inferenzregeln;
Inferenzregeln werden üblicherweise wie folgt notiert:
F1 ,
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
...,
F
DVEW
Fn
WS 2015/16
31 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Kalkül 1/2
Ein Kalkül besteht aus Axiomen und Inferenzregeln;
Inferenzregeln werden üblicherweise wie folgt notiert:
F1 ,
...,
F
Fn
Ist eine Formel F aus den Formeln F1 , . . . , Fn durch eine Folge von
Anwendungen von Inferenzregeln eines Kalküls K ableitbar, so schreiben
wir dafür
F1 , . . . , Fn `(K) F
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
31 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Kalkül 2/2
Ein Kalkül ist
• (logisch) korrekt, wenn (syntaktisch) abgeleitetes Wissen auch
(semantisch) logisch gefolgert werden kann, d.h. wenn für beliebige
Formeln F und G gilt
F ` G impliziert F |= G
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
32 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Kalkül 2/2
Ein Kalkül ist
• (logisch) korrekt, wenn (syntaktisch) abgeleitetes Wissen auch
(semantisch) logisch gefolgert werden kann, d.h. wenn für beliebige
Formeln F und G gilt
F ` G impliziert F |= G
• (logisch) vollständig, wenn alle logischen Folgerungen auch mittels
des Kalküls abgeleitet werden, d.h. wenn für beliebige Formeln F und
G gilt
F |= G impliziert F ` G
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
32 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassische Inferenzregeln
Modus ponens
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
A ⇒ B, A
B
DVEW
WS 2015/16
33 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassische Inferenzregeln
Modus ponens
A ⇒ B, A
B
Modus tollens
A ⇒ B, ¬B
¬A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
33 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassische Inferenzregeln
Modus ponens
A ⇒ B, A
B
Modus tollens
A ⇒ B, ¬B
¬A
Monotonie
A⇒B
A∧C ⇒B
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
33 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassische Inferenzregeln
Modus ponens
A ⇒ B, A
B
Modus tollens
A ⇒ B, ¬B
¬A
Monotonie
A⇒B
A∧C ⇒B
Transitivität
A⇒B
B⇒C
A⇒C
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
33 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionskalkül 1/3
• liefert effizientes Verfahren zum Überprüfen deduktiver Ableitungen;
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
34 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionskalkül 1/3
• liefert effizientes Verfahren zum Überprüfen deduktiver Ableitungen;
• beruht auf folgendem Zusammenhang:
KB |= α
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
gdw. KB ∪ {¬α} unerfüllbar
DVEW
WS 2015/16
34 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionskalkül 1/3
• liefert effizientes Verfahren zum Überprüfen deduktiver Ableitungen;
• beruht auf folgendem Zusammenhang:
KB |= α
gdw. KB ∪ {¬α} unerfüllbar
• gibt es in aussagenlogischer und prädikatenlogischer Version;
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
34 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionskalkül 2/3
• benutzt konjunktive Normalformen (KNF)
(p ∨ ¬q) ∧ (q ∨ r ∨ ¬s ∨ p) ∧ (¬r ∨ q)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
35 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionskalkül 2/3
• benutzt konjunktive Normalformen (KNF)
(p ∨ ¬q) ∧ (q ∨ r ∨ ¬s ∨ p) ∧ (¬r ∨ q)
die in Klauselformen transformiert werden
Klausel
z }| {
{[p, ¬q], [q, r, ¬s, p], [¬r, q]}
|
{z
}
Klauselform
wobei zu beachten ist
• [ ] leere Klausel ≡ ⊥ (falsum, FALSE)
• { } leere Klauselform ≡ > (verum, TRUE)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
35 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionskalkül 3/3
Grundidee der Resolution, um Anfrage KB |= α zu entscheiden:
1 die Formeln in KB und ¬α werden in KNF bzw. Klauselform
gebracht;
2
die entstehende Menge von Klauseln wird auf Erfüllbarkeit geprüft.
Auf diese Weise lässt sich jedes Folgerungsproblem auf ein Problem der
Erfüllbarkeit von Formeln reduzieren.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
36 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionskalkül 3/3
Grundidee der Resolution, um Anfrage KB |= α zu entscheiden:
1 die Formeln in KB und ¬α werden in KNF bzw. Klauselform
gebracht;
2
die entstehende Menge von Klauseln wird auf Erfüllbarkeit geprüft.
Auf diese Weise lässt sich jedes Folgerungsproblem auf ein Problem der
Erfüllbarkeit von Formeln reduzieren.
Der Resolutionskalkül ist widerlegungsvollständig, d.h. mit Hilfe der
Resolution lässt sich aus einer Klauselmenge genau dann die leere Klausel
(d.h. ein Widerspruch) ableiten, wenn sie unerfüllbar ist.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
36 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionsregel
• aussagenlogisch:
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
[L, K1 , . . . , Kn ]
[¬L, M1 , . . . , Mm ]
[K1 , . . . , Kn , M1 , . . . , Mm ]
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WS 2015/16
37 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionsregel
• aussagenlogisch:
[L, K1 , . . . , Kn ]
[¬L, M1 , . . . , Mm ]
[K1 , . . . , Kn , M1 , . . . , Mm ]
• prädikatenlogisch:
[L, K1 , . . . , Kn ]
[¬L0 , M1 , . . . , Mm ]
σ(L) = σ(L0 )
[σ(K1 ), . . . , σ(Kn ), σ(M1 ), . . . , σ(Mm )]
wobei σ allgemeinster Unifikator von L und L0 ist.
Jede Resolvente ist Folgerung ihrer Elternklauseln.
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37 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel – Resolutionsregel (AL)
[ A, B, ¬D ]
[ A, ¬B, C ]
S
S
S
S
S
S
[ A, C, ¬D ]
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38 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel – Resolutionsregel (AL)
[ A, B, ¬D ]
[ A, ¬B, C ]
S
S
S
S
S
S
[ A, C, ¬D ]
[ ¬A ]
[A]
A
A
A
A
A
A
2
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38 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel – Resolutionsregel (PL1) 1/2
Anfrage:
Gilt
(∀x M ensch(x) ⇒ Sich-irren(x)) ∧ M ensch(max)
|= ∃y Sich-irren(y) ?
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39 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel – Resolutionsregel (PL1) 1/2
Anfrage:
Gilt
(∀x M ensch(x) ⇒ Sich-irren(x)) ∧ M ensch(max)
|= ∃y Sich-irren(y) ?
→ folgende Klauselmenge:
{[ ¬M ensch(x), Sich-irren(x) ], [ M ensch(max) ],
[ ¬Sich-irren(y) ]}
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel – Resolutionsregel (PL1) 2/2
[ ¬sich–irren(y) ]
[ ¬Mensch(x), sich–irren(x) ]
σ1
[ ¬Mensch(y) ]
[ Mensch(Max ) ]
σ2
2
σ1 = {x/y} und σ2 = {y/Max }
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel – Resolutionsregel (AL)
Resolution der Klauseln [ p, q ], [ ¬p, ¬q ]
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41 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel – Resolutionsregel (AL)
Resolution der Klauseln [ p, q ], [ ¬p, ¬q ] – 2 Möglichkeiten:
[ ¬p, ¬q ]
[ p, q ]
[ q, ¬q ]
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
[ ¬p, ¬q ]
[ p, q ]
[ p, ¬p ]
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41 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Programmieren 1/3
implementiert (in seiner klassischen Variante) einen Resolutionskalkül auf
Hornklauseln
• Hornklauseln sind Klauseln, die höchstens ein nicht-negiertes Literal
enthalten;
• sie entsprechen Regeln, die in ihrem Bedingungsteil nur Atome
enthalten und deren Folgerungsteil aus höchstens einem Atom
besteht.
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42 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Programmieren 1/3
implementiert (in seiner klassischen Variante) einen Resolutionskalkül auf
Hornklauseln
• Hornklauseln sind Klauseln, die höchstens ein nicht-negiertes Literal
enthalten;
• sie entsprechen Regeln, die in ihrem Bedingungsteil nur Atome
enthalten und deren Folgerungsteil aus höchstens einem Atom
besteht.
• Eine definite Klausel ist eine Hornklausel [H, ¬B1 , . . . , ¬Bn ] die
genau ein positives Literal H enthält; sie wird notiert als
H ← B1 , . . . , B n .
wobei ← als Implikationspfeil von rechts nach links zu lesen ist.
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Programmieren 2/3
• Ein (klassisches) logisches Programm P ist eine Menge von definiten
Klauseln.
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Programmieren 2/3
• Ein (klassisches) logisches Programm P ist eine Menge von definiten
Klauseln.
• Eine Anfrage (oder Zielklausel, query) ist eine Hornklausel ohne ein
positives Literal, notiert als ← B1 , . . . , Bn .
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43 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Programmieren 2/3
• Ein (klassisches) logisches Programm P ist eine Menge von definiten
Klauseln.
• Eine Anfrage (oder Zielklausel, query) ist eine Hornklausel ohne ein
positives Literal, notiert als ← B1 , . . . , Bn .
• Zweck einer solchen Anfrage an ein logisches Programm P ist die
Beantwortung der Frage, ob gilt:
P |= ∃x1 . . . ∃xr (B1 ∧ . . . ∧ Bn )
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Programmieren 2/3
• Ein (klassisches) logisches Programm P ist eine Menge von definiten
Klauseln.
• Eine Anfrage (oder Zielklausel, query) ist eine Hornklausel ohne ein
positives Literal, notiert als ← B1 , . . . , Bn .
• Zweck einer solchen Anfrage an ein logisches Programm P ist die
Beantwortung der Frage, ob gilt:
P |= ∃x1 . . . ∃xr (B1 ∧ . . . ∧ Bn )
• Diese Implikation wird im logischen Programmieren konstruktiv in
dem Sinne bewiesen, dass dabei Terme t1 , . . . , tr konstruiert werden,
die als Belegungen für die existenzquantifizierten Variablen x1 , . . . , xr
diese Folgerung verifizieren.
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Programmieren 3/3
Programm und Anfrage
P 1:
Q1
P 4:
Q4 :
Antwortsubstitutionen
Even(zero).
σ1 = {x/zero}
Even(succ(succ(y))) ← Even(y).
σ2 = {x/succ(succ(zero))}
σ3 = {x/succ(succ(succ(succ(zero))))}
← Even(x).
..
.
Kante(a, b).
Kante(b, c).
Kante(b, d).
W eg(v, w) ← Kante(v, w).
W eg(v, w) ← Kante(v, z), W eg(z, w).
σ1 = {x/b}
σ2 = {x/c}
σ3 = {x/d}
← W eg(a, x).
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44 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle
P
Σ = ΣP
(klassisch) logisches Programm,
Signatur von P (Funktions- und Prädikatssymbole)
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle
P
Σ = ΣP
(klassisch) logisches Programm,
Signatur von P (Funktions- und Prädikatssymbole)
• Herbranduniversum: Menge der Grundterme über Σ;
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45 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle
P
Σ = ΣP
(klassisch) logisches Programm,
Signatur von P (Funktions- und Prädikatssymbole)
• Herbranduniversum: Menge der Grundterme über Σ;
• Herbrandbasis H(P) von P: Menge aller Grundatome über Σ;
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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45 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle
P
Σ = ΣP
(klassisch) logisches Programm,
Signatur von P (Funktions- und Prädikatssymbole)
• Herbranduniversum: Menge der Grundterme über Σ;
• Herbrandbasis H(P) von P: Menge aller Grundatome über Σ;
• Herbrandinterpretation von P: M ⊆ H(P);
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45 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle
P
Σ = ΣP
(klassisch) logisches Programm,
Signatur von P (Funktions- und Prädikatssymbole)
• Herbranduniversum: Menge der Grundterme über Σ;
• Herbrandbasis H(P) von P: Menge aller Grundatome über Σ;
• Herbrandinterpretation von P: M ⊆ H(P);
• Herbrandinterpretation M ist ein Herbrandmodell, falls M |=Σ P;
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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45 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle
P
Σ = ΣP
(klassisch) logisches Programm,
Signatur von P (Funktions- und Prädikatssymbole)
• Herbranduniversum: Menge der Grundterme über Σ;
• Herbrandbasis H(P) von P: Menge aller Grundatome über Σ;
• Herbrandinterpretation von P: M ⊆ H(P);
• Herbrandinterpretation M ist ein Herbrandmodell, falls M |=Σ P;
• M(P): Menge aller Herbrandmodelle von P;
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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45 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle
P
Σ = ΣP
(klassisch) logisches Programm,
Signatur von P (Funktions- und Prädikatssymbole)
• Herbranduniversum: Menge der Grundterme über Σ;
• Herbrandbasis H(P) von P: Menge aller Grundatome über Σ;
• Herbrandinterpretation von P: M ⊆ H(P);
• Herbrandinterpretation M ist ein Herbrandmodell, falls M |=Σ P;
• M(P): Menge aller Herbrandmodelle von P;
• der Durchschnitt zweier Herbrandmodelle ist wieder ein
Herbrandmodell;
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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45 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle
P
Σ = ΣP
(klassisch) logisches Programm,
Signatur von P (Funktions- und Prädikatssymbole)
• Herbranduniversum: Menge der Grundterme über Σ;
• Herbrandbasis H(P) von P: Menge aller Grundatome über Σ;
• Herbrandinterpretation von P: M ⊆ H(P);
• Herbrandinterpretation M ist ein Herbrandmodell, falls M |=Σ P;
• M(P): Menge aller Herbrandmodelle von P;
• der Durchschnitt zweier Herbrandmodelle ist wieder ein
Herbrandmodell;
T
• ( M(P)) ∈ M(P) ist das kleinste Herbrandmodell von P.
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle – Beispiel
P:
V (Polly).
V (x) ← P (x).
P (Tweety). F (x) ← V (x).
• Herbranduniversum: {Polly, Tweety};
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle – Beispiel
P:
V (Polly).
V (x) ← P (x).
P (Tweety). F (x) ← V (x).
• Herbranduniversum: {Polly, Tweety};
• Herbrandbasis H(P) = {V (Polly), V (Tweety),
P (Polly), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety)};
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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46 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle – Beispiel
P:
V (Polly).
V (x) ← P (x).
P (Tweety). F (x) ← V (x).
• Herbranduniversum: {Polly, Tweety};
• Herbrandbasis H(P) = {V (Polly), V (Tweety),
P (Polly), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety)};
• Herbrandinterpretationen:
M1 = { V (Polly), V (Tweety), P (Polly), P (Tweety)},
M2 = { V (Polly), V (Tweety), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety),
P (Polly)}, . . .
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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46 / 206
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle – Beispiel
P:
V (Polly).
V (x) ← P (x).
P (Tweety). F (x) ← V (x).
• Herbranduniversum: {Polly, Tweety};
• Herbrandbasis H(P) = {V (Polly), V (Tweety),
P (Polly), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety)};
• Herbrandinterpretationen:
M1 = { V (Polly), V (Tweety), P (Polly), P (Tweety)},
M2 = { V (Polly), V (Tweety), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety),
P (Polly)}, . . .
• Herbrandmodell: M2 ist ein Herbrandmodell von P, M1 nicht;
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle – Beispiel
P:
V (Polly).
V (x) ← P (x).
P (Tweety). F (x) ← V (x).
• Herbranduniversum: {Polly, Tweety};
• Herbrandbasis H(P) = {V (Polly), V (Tweety),
P (Polly), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety)};
• Herbrandinterpretationen:
M1 = { V (Polly), V (Tweety), P (Polly), P (Tweety)},
M2 = { V (Polly), V (Tweety), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety),
P (Polly)}, . . .
• Herbrandmodell: M2 ist ein Herbrandmodell von P, M1 nicht;
• kleinstes Herbrandmodell ist
M = {V (Polly), P (Tweety),
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle – Beispiel
P:
V (Polly).
V (x) ← P (x).
P (Tweety). F (x) ← V (x).
• Herbranduniversum: {Polly, Tweety};
• Herbrandbasis H(P) = {V (Polly), V (Tweety),
P (Polly), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety)};
• Herbrandinterpretationen:
M1 = { V (Polly), V (Tweety), P (Polly), P (Tweety)},
M2 = { V (Polly), V (Tweety), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety),
P (Polly)}, . . .
• Herbrandmodell: M2 ist ein Herbrandmodell von P, M1 nicht;
• kleinstes Herbrandmodell ist
M = {V (Polly), P (Tweety), V (Tweety),
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle – Beispiel
P:
V (Polly).
V (x) ← P (x).
P (Tweety). F (x) ← V (x).
• Herbranduniversum: {Polly, Tweety};
• Herbrandbasis H(P) = {V (Polly), V (Tweety),
P (Polly), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety)};
• Herbrandinterpretationen:
M1 = { V (Polly), V (Tweety), P (Polly), P (Tweety)},
M2 = { V (Polly), V (Tweety), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety),
P (Polly)}, . . .
• Herbrandmodell: M2 ist ein Herbrandmodell von P, M1 nicht;
• kleinstes Herbrandmodell ist
M = {V (Polly), P (Tweety), V (Tweety), F (Polly),
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle – Beispiel
P:
V (Polly).
V (x) ← P (x).
P (Tweety). F (x) ← V (x).
• Herbranduniversum: {Polly, Tweety};
• Herbrandbasis H(P) = {V (Polly), V (Tweety),
P (Polly), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety)};
• Herbrandinterpretationen:
M1 = { V (Polly), V (Tweety), P (Polly), P (Tweety)},
M2 = { V (Polly), V (Tweety), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety),
P (Polly)}, . . .
• Herbrandmodell: M2 ist ein Herbrandmodell von P, M1 nicht;
• kleinstes Herbrandmodell ist
M = {V (Polly), P (Tweety), V (Tweety), F (Polly), F (Tweety)}.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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WS 2015/16
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