Präsenzübung 11 - Universität Paderborn

Sommersemester 2010
Konzepte und Methoden der Systemsoftware
Präsenzübung 11
Universität Paderborn
vom 28.06.2010 bis 02.07.2010
Fachgebiet Rechnernetze
1. Zufallsexperiment: Münzwurf
(a) Eine faire Münze werde mehrfach hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst (k − 1)-mal Zahl und dann einmal Kopf fällt?
Lösung: X repräsentiere die Anzahl notwendiger Wurfversuche. Es gilt:
Pr(X = k) = 1/2k−1 (1/2) = 1/2k ; k ∈ {1, 2, ...}
(b) Sie verwenden nun und für alle folgenden Versuche eine manipulierte Münze, die Kopf mit
der Wahrscheinlichkeit p anzeigt. Wie groß ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst (k −
1)-mal Zahl und dann einmal Kopf fällt?
Lösung: Geometrische Verteilung
X repräsentiere die Anzahl notwendiger Wurfversuche. Es gilt:
Pr(X = k) = (1 − p)k−1 p; k ∈ {1, 2, ...}
(c) Geben Sie an, wie viele Versuche Sie mit der manipulierten Münze im Durchschnitt benötigen, bis zum ersten Mal Kopf fällt.
Lösung: Erwartungswert:
∞
E(X) =
∑ j(1 − p) j−1 p = 1/p
j=1
d j
q = jq j−1 , Berechnung der geometrischen Reihe mit |q| <
(Kann gezeigt werden mittels dq
1, wobei q = 1 − p, dann ableiten)
(d) Geben Sie für die manipulierte Münze die Wahrscheinlichkeit an, dass nach spätestens k
Versuchen das erste Mal Kopf fällt (d.h. k Versuche insgesamt).
Lösung:
k
k−1
Pr(X ≤ k) = ∑ qi−1 p = p ∑ qi = (1 − q)
i=1
i
Merke: ∑k−1
i=0 q =
1−qk
1−q
i=0
1 − qk
= 1 − qk = 1 − Pr(X > k)
1−q
für |q| < 1 (Geometrische Summenformel)
2. Informatiker lieben Kaffee
In Vorbereitung auf ein Informatikertreffen möchten Sie Kaffeetassen im Internet bestellen. Ein
Karton enthält n Kaffeetassen. Bei der Lieferung zerbricht jede einzelne Tasse mit der Wahrscheinlichkeit p = 0, 01. Die Tassen zerbrechen unabhängig voneinander.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält ein Karton genau k zerbrochene Tassen, 0 ≤ k ≤ n?
Lösung: Bernoulli-Prozess, da Tasse entweder zerbrochen (0) oder heile (1). Sei X die
Anzahl zerbrochener Tassen in einem Karton. X ist Bn,p verteilt (Binominialverteilung), d.h.
n k
Pr(X = k) =
p (1 − p)(n−k)
k
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(b) Ein Karton mit mindestens einer zerbrochenen Kaffeetasse werden Sie reklamieren. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für eine Reklamation in Abhängigkeit von n.
Lösung: Eine Reklamation tritt ein, wenn Pr(X > 0) = 1 − Pr(X = 0) = 1 − (1 − p)n .
(c) Wie viele Kartons müssen im Mittel versendet werden, bis Sie einen Karton ohne zerbrochene Kaffeetassen empfangen?
Lösung: Sei Y die Anzahl notwendiger Sendungen, d.h. Y = k bedeutet, dass k − 1 Kartons
beschädigt, der k-te Karton jedoch korrekt empfangen wurde. Gesucht ist jetzt der Erwartungswert von Y .
Pr(Y = k) = Pr(X > 0)(k−1) Pr(X = 0). Damit gilt:
= ∑∞
k=1 k Pr(Y = k)
E[[]Y ]
n (k−1) (1 − p)n
= ∑∞
k=1 k(1 − (1 − p) )
(sei q = 1 − (1 − p)n )
(k−1) (1 − q)
= ∑∞
k=1 kq
d k
q
= (1 − q) ∑∞
k=1 dq
d
k
= (1 − q) dq
q
∑∞
k=1
unendl.geometr.Reihe(k=0)!
(1 − q)
z}|{
=
d
dq
1
1−q
−1
= (1 − q) −1(−1)
(1−q)2
1
1−q
1
= (1−p)
n
1
= Pr(X=0)
=
Wichtiges Ergebnis! (Erwartungswert der geometrischen Verteilung!)
3. Poisson-Verteilung
Das Ankunftverhalten an Warteschlangen (z.B. die Anzahl der neu eintreffenden Kunden an einer
Supermarktkasse) kann oft durch die Poisson-Verteilung beschrieben werden. Genauer: Ist X eine
ganzzahlige Zufallsvariable, die die Anzahl von Ankünften pro Zeiteinheit beschreibt, so ist
pk = P(X = k) =
λ k −λ
e
k!
mit dem Parameter λ > 0. Für beliebige Zeitintervalle der Länge t gilt entsprechend
pk (t) =
(λt)k −λt
e .
k!
(a) Bestimmen Sie den Erwartungswert E[X] der Poisson-Verteilung für eine Zeiteinheit.
k
k−1
λ
−λ λ = λ e−λ ∞
= λ.
Lösung: Erwartungswert: E[X] = ∑∞
∑k=1 (k−1)!
k=0 ke
k!
k
λ
λ
Bemerkung: Die Summe ∑∞
k=0 k! ist die Reihenentwicklung von e .
k = 0 herausgezogen
Def. Erwartungswert
Ausführlich: E(x)
−λ λ k
∑∞
k=0 ke
k!
z}|{
=
Substitution j = k − 1
e−λ λ
λ k−1
∑∞
k=1 (k−1)!
z}|{
=
z}|{
=
λ aus Zähler gezogen, k gekürzt
e−λ
λk
∑∞
k=1 k k!
z}|{
=
Reihenentwicklung eλ
e−λ λ
j
∑∞j=0 λj!
z}|{
=
λ e−λ eλ = λ
(b) Zeigen Sie, dass die Zwischenankunftszeiten bei einem Poisson-Prozess exponentialverteilt
sind.
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Lösung: Sei Y eine Zufallsvariable, die die Zwischenankunftszeit eines Poisson-Prozesses
darstellt. Berechne die Dichte von Y :
Die Verteilungsfunktion von Y ergibt sich wie folgt
FY (t) = Pr(Y ≤ t)
= 1 − Pr(Y > t)
= 1 − Pr(X(t) = 0)
(λt)0 −λt
e
0!
= 1 − e−λt (Exponentialverteilung)
= 1−
und die Verteilungsdichtefunktion (Dichte) von Y wie folgt:
d
FY (t)
dt
= λ e−λt (Exponentialverteilung)
fY (t) =
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