Ubungsblatt 1 - Fakultät für Physik

Fakultät für Physik
Jan von Delft, Olga Goulko, Florian Bauer
T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 2012/13
http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/Lehre/12t0/
Übungsblatt 1
Abgabe: Dienstag, 30.10.2012, 10:00
Beispielaufgabe 1. Rechnen mit Vektoren
Gegeben sind die Vektoren ~a = (4, 3, 1) und ~b = (1, −1, 1). Berechnen Sie zunächst |~a|, |~b|,
~a + ~b, ~a − ~b, ~a · ~b und ~a × ~b. Zerlegen Sie dann den Vektor ~a in einen Vektor ~ak parallel und
einen Vektor ~a⊥ senkrecht zum Vektor ~b. Berechnen Sie ~ak · ~b, ~a⊥ · ~b, ~ak × ~b und ~a⊥ × ~b und
interpretieren Sie jeweils das Ergebnis.
Beispielaufgabe 2. Komplexe Zahlen
Gegeben sind zwei komplexe Zahlen, z1 = 12 + 5i und z2 = −3 + 2i. Berechnen Sie z1 + z2 ,
z1 z2 , z1 /z2 , z2 /z1 , z1∗ , z2∗ (geben Sie alle Ergebnisse jeweils in der Form x + iy an), sowie |z1 |
und |z2 |.
Beispielaufgabe 3. Vektorraum der reellen Funktionen
R
R
Sei F ≡ {f :
→ , x 7→ f (x)} die Menge der reellen Funktionen. Beweisen Sie anhand der Vektorraumaxiome dass (F, +, ·) ein -Vektorraum ist, wobei Vektoraddition und
Multiplikation mit einem Skalar wie folgt definiert wurden:
+:F ×F
(f, g)
·: ×F
(a, f )
R
R
→
7
→
→
7
→
F
f + g, f + g (x) ≡ f (x) + g(x)
F
a · f, a · f (x) ≡ af (x)
Aufgabe 1. (∗ ) Vektorrechnung
Gegeben sind zwei Vektoren, ~a = (1, 0, 3) und ~b = (−5, 2, 1). Berechnen Sie |~a|, |~b|, ~a + ~b,
~a − ~b, ~a · ~b und ~a × ~b. Wie groß ist der Winkel zwischen ~a und ~b?
Aufgabe 2. (∗∗ ) Vektorrechnung
Zerlegen Sie den Vektor ~a = (1, 0, 3) in einen Vektor ~ak und einen Vektor ~a⊥ senkrecht
zum Vektor ~b = (−5, 2, 1). Berechnen Sie ~ak · ~b, ~a⊥ · ~b, ~ak × ~b und ~a⊥ × ~b und interpretieren
Sie jeweils das Ergebnis. Berechnen und vergleichen Sie |~a × ~b| und |~a⊥ × ~b|. Wie kann man
dieses Ergebnis erklären?
1
Aufgabe 3. (∗ ) Basis eines Vektorraums
Gegeben sind drei Vektoren im euklidischen Raum: (1, 2, 3), (2, 4, 6) und (−1, −1, 0). Bilden diese Vektoren eine Basis des Vektorraums?
Aufgabe 4. (∗∗ ) Basis-Transformation
R
Seien S = {v1 , v2 } und S 0 = {v10 , v20 } zwei Basen von 2 , definiert durch
1 1
1 −1
0
1
0
0
v1 =
, v2 =
,
v1 = √
, v2 = √
.
0
1
1
2 1
2
(a) Skizzieren Sie alle diese Vektoren in derselben Skizze.
ES
(b) Die Beziehung vi = ci,j vj0 beschreibt die Vektoren der S-Basis als Linearkombinationen
der Vektoren der S 0 -Basis. Bestimmen Sie die Koeffizienten ci,j explizit.
(c) Zeichnen Sie nun auch den Vektor v = a1 v1 + a2 v2 , mit a1 = −2 und a2 = 0, in die Skizze
von (a) ein.
ES
(d) Die Darstellung von v in der S 0 -Basis laute v = a0j vj0 . Finden Sie mittels der Beziehung
ES
a0j = ai ci,j die Koeffizienten a0j explizit. Überprüfen Sie, ob Ihr Ergebnis konsistent mit der
Skizze von (c) ist!
Aufgabe 5. (∗∗ ) Basis-Transformation
Die Vektoren ~c1 = (1, 2, 2), ~c2 = (0, 1, −1) und ~c3 = (−4, 1, 1) bilden eine Basis des
. Zeigen Sie, dass diese Vektoren jeweils orthogonal zueinander sind. Normieren Sie die
Vektoren, so dass Sie eine Einheitsbasis erhalten. Drücken Sie nun die Vektoren ~a = (1, 0, 3)
und ~b = (−5, 2, 1) in der neuen Basis aus. Berechnen Sie explizit |~a|, |~b|, ~a · ~b und ~a × ~b in der
neuen Basis und vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus Aufgabe 1. Was muss man bei einer
Basis aus nicht orthogonalen oder nicht normierten Vektoren beachten?
R
3
Aufgabe 6. (∗∗ ) Multiplikation komplexer Zahlen: geometrische Deutung
a) Eine komplexe Zahl z = x+iy kann man auch als zweidimensionalen Vektor (x, y) auffassen
und mittels a = ρ cos ϕ, b = ρ sin ϕ durch Polarkoordinaten
reellen Achse
√ bezüglich der √
darstellen. Bestimmen Sie für die komplexen Zahlen z1 = 3 + i, z2 = 2 + 2 3i und z3 =
z1 z2 die entsprechenden Polarkoordinaten ρj und ϕj (mit j = 1, 2, 3) und skizzieren Sie
die drei Vektoren in der komplexen Ebene (in derselben Skizze). Berechnen und skizzieren
Sie ebenfalls 1/z1 und z1∗ , sowie die entsprechenden Polarkoordinaten.
b) Zeigen Sie, dass in der Darstellung zj := (ρj cos ϕj , ρj sin ϕj ), mit z3 = z1 z2 , die allgemeinen
Beziehungen ρ3 = ρ1 ρ2 und ϕ3 = ϕ1 + ϕ2 gelten. Sind diese mit dem obigen konkreten
Beispiel konsistent?
Aufgabe 7. (∗ ) Vektorraum der Polynome
R
R
Sei Pn = {a0 + a1 x + · · · + an xn |ai ∈ } die Menge aller Polynome in der Variable x ∈
vom Grad ≤ n. Zeigen Sie, dass (Pn , +, ·) ein Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen
ist. Addition und Multiplikation sind dabei koeffizientenweise definiert:
X
X
X
X
c ∈ , p(x) =
ak xk , q(x) =
bk xk ⇒ (p+q)(x) =
(ak +bk )xk , (c·p)(x) =
(cak )xk
R
Geben Sie eine Menge aus n Polynomen {p1 , . . . , pn } ⊂ Pn an, die eine Basis von Pn bildet.
2