mentoring für wirtschaftsmathematiker

M ENTORING FÜR W IRTSCHAFTSMATHEMATIKER - C HECKLIST
ZUR A NALYSIS 1
Franz Gmeineder, Roland Tomasi
November 25, 2011
Sind die folgenden Aussagen korrekt? (ja/nein) Falls Du dich für nein entscheidest, überlege Dir ein Gegenbeispiel.
W ICHTIG : Mit Folge ist immer eine reellwertige Folge gemeint, falls es nicht anders gesagt wird.
1. Eine konvergente Folge ist beschränkt.
2. Eine beschränkte Folge ist konvergent.
3. Grenzwerte konvergenter Folgen sind nicht unbedingt eindeutig bestimmt.
4. Eine konvergente Folge ist immer eine Cauchy-Folge.
5. In R ist jede Cauchyfolge eine konvergente Folge.
6. Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn sie absolut konvergiert.
P∞
k
konvergiert.
7. Die Reihe k=1 k+1
P∞
k
8. Die Reihe k=1 (−1) k21+k konvergiert.
9. Eine Folge hat stets einen Häufungspunkt.
10. Konvergiert eine Folge, so hat sie genau einen Häufungspunkt - nämlich den Grenzwert.
11. Ich kann eine absolut konvergente Reihe umordnen wie ich will, sie konvergiert immer gegen denselben
Grenzwert.
12. Eine monoton fallende, nach oben beschränkte Folge konvergiert.
13. Ist (an )n nach oben beschränkt und (bn )n konvergent, so konvergiert auch die Produktfolge (an bn )n .
14. In den rationalen Zahlen Q konvergiert jede Cauchy-Folge.
15. In den rationalen Zahlen Q ist jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge.
P∞
16. Konvergiert (an )n gegen 0, so konvergiert die Reihe n=1 an .
P∞
17. Es sei (an )n eine FolgePmit lauter positiven Gliedern. Dann konvergiert n=1 an genau dann, wenn die
m
Partialsummenfolge ( n=1 an )m nach oben beschränkt ist.
P∞
P∞
18. Es gelte an → 1/2 für n → ∞. Dann konvergiert n=1 ann , aber nicht n=1 an .
√
2
2
2
19. Da
√ in C gilt, dass i = −1, folgt für den Betrag der komplexen Zahl z = 1 + i, dass |z| = 1 + i =
1 − 1 = 0.
20. Die Multiplikation einer komplexen Zahl z mit 2i entspricht geometrisch der Streckung von z um den
Faktor 2 und der Drehung um 90◦ .
21. In C besitzt jede Gleichung pn (z) = 0, wobei pn ein Polynom vom Grad n ist, genau n Lösungen.
22. In C besitzt jede Gleichung pn (z) = 0, wobei pn ein Polynom vom Grad n ist, genau n Lösungen und
diese sind alle verschieden.
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