Zahlentheorie

Diskrete Mathematik – Zahlentheorie – Quadratische Reste – Teil 1
7. Juni 2006
Zahlentheorie
Quadratische Reste
und
Bekannte Primzahlen
Michael M. Meiners * Denis Hahn
1
Diskrete Mathematik – Zahlentheorie – Quadratische Reste – Teil 1
7. Juni 2006
Zahlentheorie
Quadratische Reste – Teil 1
Michael M. Meiners * Denis Hahn
2
Diskrete Mathematik – Zahlentheorie – Quadratische Reste – Teil 1
7. Juni 2006
Systeme
Satz 79: P  x ≡ 0 mod m1⋅m2⋅⋅mr ist lösbar
für paarweise fremde mi ⇔ das System
P  x ≡ 0 mod m1
P  x ≡ 0 mod m2
⋮
P  x ≡ 0 mod m r
lösbar ist.
Die Lösungszahl ist dann gleich dem Produkt der
Lösungszahlen von P  x ≡ 0 mod mi
Michael M. Meiners * Denis Hahn
3
Diskrete Mathematik – Zahlentheorie – Quadratische Reste – Teil 1
7. Juni 2006
Systeme
Beispiel:
2
x ≡ 1 mod 3
2
x ≡ 1 mod 8
besitzt 2 Lösungen {1, 2}
besitzt 4 Lösungen {1,3, 5,7}
Daher besitzt die Gleichung
2
x ≡ 1 mod 24
8
Lösungen.
Michael M. Meiners * Denis Hahn
4
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7. Juni 2006
Quadratischer Rest
Definition 80: Sei nun n ∈ ℕ . Ein Element a
heißt quadratischer Rest, wenn es hierzu eine
passende Zahl x gibt mit
2
x ≡ a mod n
andernfalls quadratischer Nichtrest.
Michael M. Meiners * Denis Hahn
5
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7. Juni 2006
Quadratischer Rest
2
Satz 81: x ≡ a mod n mit n = p ⋅⋅p
lösbar ⇔ das System
e1
1
2
er
r
ist
e1
1
e2
2
x ≡ a mod p
2
x ≡ a mod p
⋮
e
2
x ≡ a mod p r
r
lösbar ist.
Michael M. Meiners * Denis Hahn
6
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Quadratischer Rest
Bemerkung:
2
x
≡ a mod n mit n= pq ⇔
1.
2
2
x ≡ a mod p ∧ x ≡ a mod q
2
2
2. 0, 1 , 2 , sind quadratische Reste zu jedem
Modulo n
3. Jede Zahl ist quadratischer Rest modulo 1
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7
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7. Juni 2006
Übung
Bemerkung:
4. Ist 3 quadratischer Rest modulo 4? Gesucht:
2
x ≡ 3 mod 4 Es ist für:
x
x
x
x
=0 :
=1 :
=2:
=3:
2
x =0
2
x =1
x 2 = 4 ≡ 0 mod 4
2
x = 9 ≡ 1 mod 4
Also: 3 ist quadratischer Nichtrest (sowie 2, 1 und 0
sind quadratische Reste)
Michael M. Meiners * Denis Hahn
8
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2
x ≡ a mod n
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Urbilder
Von oben wissen wir, dass für n = 8
a∈{0, 1, 4}
bzw. a ∈{2, 3, 5,6, 7}
Zum quadratischen Rest existieren dann die Urbilder (Quadratwurzeln). So sind die Quadratwurzeln von 4 mod 8 die Zahlen 2 und 6.
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Urbilder
Bemerkung:
Haben wir eine Quadratwurzel x gefunden, also
eine Zahl mit
2
x ≡ a mod n
so ist auch
2
2
2
2
n − x = n − 2nx − x ≡ x ≡ a mod n
2
⇒ n−x ≡ a mod n
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11
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Urbilder
Die Quadratwurzeln von 4 mod 8 und a mod 8 :
2
2
1
2
3
4
5
6
7
8
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
x −4
1−4= −3
4−4= 0
9−4= 5
16−4= 12
25−4= 21
36−4= 32
49−4= 45
64−4= 60
Michael M. Meiners * Denis Hahn








0
1
2
3
4
5
6
7
8
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
x −a
0−0
1−1
4−4
9−1
16 − 0
25 − 1
36 − 4
49 − 1
64 − 0









12
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Übung
Zur weiteren Veranschaulichung betrachte die
Fälle n = 6 und n = 7 dh. suche a für
2
2
x ≡ a mod 6
x ≡ a mod 7
bzw.
x − a : 0 − 0

1 − 1 
2 − 4 
3 − 3 
4 − 4 
5 − 1 
6 − 0 
Michael M. Meiners * Denis Hahn
x − a : 0 − 0
1
2
3
4
5
6
7
−
−
−
−
−
−
−
1
4
2
2
4
1
0








13
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Legendre Symbol
Definition 82: Legendre Symbol für eine Primzahl
p2 und p ∤k , so ist
k
1
falls
k
quadratischer
Rest
modulo
p
=
p
−1 falls k quadratischer Nichtrest modulo p
 {
Es gilt:
1
=1 ,
p
3
= −1
7


Michael M. Meiners * Denis Hahn
}
2
l
=1
p

(s.o. 3 taucht als quadr. Rest nicht auf)
14
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Legendre Symbol
Satz 83: Für p2 , p∤ k 1 und k 1 ≡ k 2 mod p ist
k1
k2
=
p
p
   
2
Beweis: trivial, wg. x ≡ k 1 mod p und
2
k 1 ≡ k 2 mod p ist auch x ≡ k 2 mod p und
umgekehrt ( p∤ k 2 ergibt sich aus p∤ k 1 und
k 1 ≡ k 2 mod p )

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15
Diskrete Mathematik – Zahlentheorie – Quadratische Reste – Teil 1
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Legendre Symbol
Satz 84: Jedes prime Restsystem besteht aus
p−1
p−1
quadratischen Resten und
2
2
quadratischen Nichtresten.
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16
Diskrete Mathematik – Zahlentheorie – Quadratische Reste – Teil 1
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Legendre Symbol
Beweis: Bei modulo p können nur die Zahlen
2
2
2
a∈{1 , 2 , , p − 1 } quadratische Reste sein.
Weil  p − x ≡ x ≡ a mod p
2
2
ist jeder qua-
dratische Rest von x auch von p − x quadratischer Rest. Wir betrachten daher nur
2
1 ,2
2
2
, ,  p − 1 
2
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.
17
Diskrete Mathematik – Zahlentheorie – Quadratische Reste – Teil 1
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Legendre Symbol
Diese Zahlen sind modulo p inkongruent, denn
wären zwei Zahlen kongruent, also
x 2 = y 2 mod p so wäre ( Œ sei x ≥ y ):
2
2
x − y =  x − y⋅ x  y = kp
p−1
und wegen 1 ≤ x , y ≤
wäre x  y  p
2
und 0 ≤ x − y  p . Damit muss x = y gelten.
Michael M. Meiners * Denis Hahn

18
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Legendre Symbol
Beispiel:
p = 11
Im primären Restsystem {1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9,10}
sind die Zahlen {1, 3, 4, 5, 9} quadr. Reste,
{2,6, 7, 8,10} sind die quadr. Nichtreste.
Michael M. Meiners * Denis Hahn
19
Diskrete Mathematik – Zahlentheorie – Quadratische Reste – Teil 1
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Legendre Symbol
Satz 85:
p−1
∑
k =1
k
=0
p

Zur praktischen Berechnung hilft folgender Satz
Satz 86:
k
=k
p

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p−1
2
mod p
(nach Euler)
20
Diskrete Mathematik – Zahlentheorie – Quadratische Reste – Teil 1
7. Juni 2006
Legendre Symbol
Beweis: Nach Fermat gilt k
also
Sei
p−1
≡ 1 mod p
p−1
2
p−1
2
p−1
≡ 1 mod p
p∣k
− 1 = k
− 1⋅k
 1 .
k
= 1 . Dann existiert ein x mit
p
2
x ≡ k mod p
p−1

und damit
k
p−1
2
≡x
(da p ∤ k gilt auch p ∤ x ).
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21
Diskrete Mathematik – Zahlentheorie – Quadratische Reste – Teil 1
7. Juni 2006
Legendre Symbol
p−1
Da nun aber mit dieser Lösung bereits
2
Lösungen gefunden werden, verbleiben für den
Rest nur die Werte
k
p−1
2
≡ −1 mod p

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22
Diskrete Mathematik – Zahlentheorie – Quadratische Reste – Teil 1
7. Juni 2006
Legendre Symbol
Satz 87: Es gilt
k1k2
k1 k2
=
⋅
p
p
p
    
Also: Das Produkt ist genau dann ein quadratischer
Rest, wenn beide Faktoren quadratischer Rest
oder quadratischer Nichtrest sind.
Michael M. Meiners * Denis Hahn
23
Diskrete Mathematik – Zahlentheorie – Quadratische Reste – Teil 1
7. Juni 2006
Legendre Symbol
Beweis:
k1 k2 ≡
k 1⋅k 2 
p Satz 86
 
≡k
p−1
2
1
⋅k
p−1
2
p−1
2
2
mod p
mod p
≡ k 1 ⋅ k 2 mod p
p
p
Satz 86
  
Die rechte Seite ist -1 oder 1, die linke auch.
Daher unterscheiden sich beide Seiten um -2, 0
oder 2.
Michael M. Meiners * Denis Hahn
24
Diskrete Mathematik – Zahlentheorie – Quadratische Reste – Teil 1
7. Juni 2006
Legendre Symbol
Da aber p2 und die Werte modulo p kongruent
sind (p die Differenz teilen muss), bleibt nur 0
und damit
Michael M. Meiners * Denis Hahn
k1k2
k1 k2 .
=
⋅
p
p
p
    

25
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
Zahlentheorie
Quadratische Reste und Bekannte
Primzahlen
Michael Meiners, Dennis Hahn
2006-06-07
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
Legendre Symbol
Satz: Es gilt
⎛ k1 ⋅ k 2 ⋅ ... ⋅ k r ⎞ ⎛ k1 ⎞ ⎛ k 2 ⎞
⎛ kr ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ..... ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
p
⎝
⎠ ⎝ p⎠ ⎝ p⎠
⎝ p⎠
Insbesondere
⎛ k1 ⋅ k 22 ⎞ ⎛ k1 ⎞ ⎛ k 22 ⎞ ⎛ k1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ p ⎠ ⎝ p⎠ ⎝ p ⎠ ⎝ p⎠
Michael Meiners, Dennis Hahn
2006-06-07
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
2006-06-07
Legendre Symbol
Daraus ergibt sich, dass man die Bestimmung
des Legendre-Symbols zurückführen kann,
indem man zunächst alle quadratfreien Anteile
herausnimmt und schließlich nur noch die
Legendre Symbole für
⎛ ±1⎞ ⎛ 2 ⎞
⎛q⎞
⎜⎜
⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟ und ⎜⎜ ⎟⎟ für Primzahlen q benötigt.
⎝ p ⎠ ⎝ p⎠
⎝ p⎠
Michael Meiners, Dennis Hahn
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
Legendre Symbol
Satz:
p −1
⎛ −1⎞
1. ⎜⎜ ⎟⎟ = (−1) 2
⎝ p⎠
Analog : 1 falls p ≡ 1 mod 4
p 2 −1
8
⎛2⎞
2. ⎜⎜ ⎟⎟ = (−1)
⎝ p⎠
Analog : 1 falls p ≡ ±1 mod 8
Michael Meiners, Dennis Hahn
2006-06-07
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
2006-06-07
Legendre Symbol
p +1
⎛3⎞
3. ⎜⎜ ⎟⎟ = ( −1) 6
⎝ p⎠
Analog : 1 falls p ≡ ±1 mod3. 12
⎛ q ⎞ ⎛ p⎞
4. ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ a (Quadratis ches Reziprozit ätsgesetz)
⎝ p⎠ ⎝ q ⎠
mit a = 1 falls p ≡ q ≡ 3 mod 4 sonst a = −1
Michael Meiners, Dennis Hahn
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
Legendre Symbol
Aufgabe:
Ist 360 quadratischer Rest modulo 127?
⎛ k ⎞ ⎛ 360 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜
⎟ = ...
⎝ p ⎠ ⎝ 127 ⎠
Michael Meiners, Dennis Hahn
2006-06-07
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
2006-06-07
Legendre Symbol
Lösung
⎛ 360⎞ ⎛ 4 ⋅ 9 ⋅ 2 ⋅ 5 ⎞ ⎛ 2² ⎞ ⎛ 3² ⎞ ⎛ 2 ⋅ 5 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 5 ⎞
⎜
⎟=⎜
⎟=⎜
⎟⋅⎜
⎟⋅⎜
⎟=⎜
⎟⋅⎜
⎟
⎝ 127⎠ ⎝ 127 ⎠ ⎝ 127⎠ ⎝ 127⎠ ⎝ 127⎠ ⎝ 127⎠ ⎝ 127⎠
⎛ 127² −1 ⎞
⎜
⎟
8
⎝
⎠
⎛ 2 ⎞
2016
= (−1) = 1 => aus 2.
⎟ = (−1)
⎜
⎝ 127 ⎠
⎛ 5 ⎞
⎛ 127 ⎞
⎛ 2⎞
3
=
−
=
(
−
1
)
=
−
(
−
1
)
= 1 => aus 4.
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠
⎝ 5⎠
⎝ 127 ⎠
Michael Meiners, Dennis Hahn
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
Legendre Symbol
Satz: Es gibt unendlich viele Primzahlen der
Form p ≡ 1 mod 4
Es ist
⎛ −1⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = 1 falls p ≡ 1 mod 4
⎝ p⎠
Damit ist für n>1: x ≡ −1 mod p Lösbar,
2
falls
Michael Meiners, Dennis Hahn
p ≡ 1 mod 4
2006-06-07
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
2006-06-07
Legendre Symbol
Nun ist aber jeder (Prim-)Teiler von (n!)² + 1
größer als n und eben p ≡ 1 mod 4.
Wäre der Teiler p ≡ 3 mod 4 so könnte eine
2
Lösung für x ≡ −1 mod p gefunden werden mit
x = n!. Leider kann es diese Lösung aber nicht
geben da ⎛ − 1 ⎞
ist.
⎜⎜ ⎟⎟ = −1
⎝ p⎠
Michael Meiners, Dennis Hahn
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
Bekannte Primzahlen
Michael Meiners, Dennis Hahn
2006-06-07
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
2006-06-07
Bekannte Primzahlen
Zu den bekanntesten Primzahlen zählen die Primzahlen
der Form:
2 + 1 und 2 − 1
n
n
Wir betrachten nun welche Gestalt der Exponent haben
muss, damit überhaupt eine Lösung existieren kann.
Michael Meiners, Dennis Hahn
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
2006-06-07
Mersennesche Primzahlen
Definition: Zahlen der Gestalt
M n = 2 −1
n
heißen Mersennesche Zahlen. Sind Sie prim,
spricht man von Mersenneschen Primzahlen.
Michael Meiners, Dennis Hahn
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
Mersennesche Primzahlen
Notwendige Vorraussetzung:
Der Exponent ist eine Primzahl n=p. Währe der
Exponent eine zusammengesetzte Zahl n=pq, so
q
währe M n durch 2 − 1 teilbar, da
⎛ 2 pq − 1 ⎞ ⎛ (2 p ) q − 1 ⎞
⎜⎜ q
⎟⎟ = ⎜⎜ q
⎟⎟ = 1 + 2 q + 2 2 q + K + 2( p −1) q
⎝ 2 −1 ⎠ ⎝ 2 −1 ⎠
damit die Lösung der Division gemäß der
geometrischen Reihe liefert.
Michael Meiners, Dennis Hahn
2006-06-07
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
2006-06-07
Mersennesche Primzahlen
Aufgabe:
Berechne die ersten 5 Mersennischen Zahlen aus
den ersten 5 Primzahlen und machen Sie eine
Aussage ob es sich um Mersennische
Primzahlen handelt?
Michael Meiners, Dennis Hahn
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
2006-06-07
Mersennesche Primzahlen
Die ersten Mersenneschen Primzahlen sind:
p
Mn
Prim ?
2
3
Ja
3
7
Ja
5
31
Ja
7
127
Ja
11
2047
Nein
Bis heute sind 43 Mersennesche Primzahlen bekannt.
Michael Meiners, Dennis Hahn
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
2006-06-07
Fermatsche Primzahlen
Definition: Zahlen der Gestalt
Fn = 2 + 1
n
heißen Fermatsche Zahlen. Eine Fermatsche
Zahl die gleichzeitig Primzahl ist, wird
Fermatsche Primzahl genannt.
Michael Meiners, Dennis Hahn
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
2006-06-07
Fermatsche Primzahlen
Notwendige Vorraussetzung:
Der Exponent ist eine Zweierpotenz n = 2 . Währe der
Exponent aus einem ungeraden Anteil n=g*u
g
F
zusammengesetzte,so währe n durch 1+ 2
teilbar, da
k
⎛ 1 + 2 g ⋅u ⎞ ⎛ 1 − (−2 g )u ⎞
g
g 2
g ( u −1)
⎜⎜
⎟
⎜
⎟
=
=
1
+
(
−
2
)
+
(
−
2
)
+
K
+
(
−
2
)
g ⎟
g ⎟
⎜
⎝ 1 + 2 ⎠ ⎝ 1 − (−2 ) ⎠
damit die Lösung der Division gemäss der
geometrischen Reihe liefert.
Michael Meiners, Dennis Hahn
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
2006-06-07
Fermatsche Primzahlen
Die ersten Fermatschen Primzahlen sind:
k
Fp
Prim?
0
3
Ja
1
5
Ja
2
17
Ja
3
257
Ja
4
65537
Ja
5
4.294.967.297
Nein
Bis heute sind keine weiteren Fermatschen Primzahlen
bekannt.
Michael Meiners, Dennis Hahn
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
2006-06-07
Teilbarkeitsregeln
Bekannte Sätze der Teilbarkeitsregeln lassen
sich mit Hilfe der Zahlentheorie bewältigen:
Wann ist eine Zahl durch 3, 9 oder 11 teilbar?
Betrachten wir hierzu zunächst die Zerlegung der
Zahl in das Zehnersystem. Jede (k+1)-stellige
Zahl hat eine eindeutige Darstellung:
k
n = ∑ ai ⋅10
i =0
Michael Meiners, Dennis Hahn
i
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
Teilbarkeitsregeln
Wir betrachten die Teilbarkeit durch 3:
n ≡ 0 mod 3
Da aber
1 ≡ 1 mod 3
und
10 ≡ 1mod 3
ist auch
10i ≡ 1 mod 3 und
ai ⋅10i ≡ 1 ⋅ ai mod 3
Michael Meiners, Dennis Hahn
2006-06-07
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
2006-06-07
Teilbarkeitsregeln
k
k
n = ∑ (ai ⋅10 ) ≡ (∑ ai ) mod 3
i
i =0
i =0
Damit gilt:
k
n ≡ 0 mod 3 ⇔ ∑ ai ≡ 0 mod 3
i =0
Dies Bedeutet: Eine Zahl ist genau dann durch 3
teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern(also die
Quersumme) durch 3 teilbar ist
Michael Meiners, Dennis Hahn
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
2006-06-07
Teilbarkeitsregeln
Aufgabe:
Führen Sie nach gleichem Prinzip den Beweis für
die Teilbarkeit durch 9 durch:
Michael Meiners, Dennis Hahn
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeit durch 11:
n ≡ 0 mod 11
Da aber
1 ≡ 1 mod 11
10 ≡ −1 mod 11
10 = 100 ≡ 1 mod 11
2
ist auch
10i ≡ (−1) i mod 11
Michael Meiners, Dennis Hahn
2006-06-07
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
Teilbarkeitsregeln
und
ai ⋅10i ≡ ai ⋅ (−1) i mod 11
k
k
i =0
i =0
n = ∑ (ai ⋅10i ) ≡ (∑ ai ⋅ (−1) i ) mod 11
Damit gilt
k
n ≡ 0 mod 11 ⇔ ∑ (ai ⋅ (−1) i ) ≡ 0 mod 11
i =0
Michael Meiners, Dennis Hahn
2006-06-07
Diskrete Mathematik – Quadratische Reste/ Bekannte Primzahlen – Teil 2
2006-06-07
Teilbarkeitsregeln
Dies bedeutet: Eine Zahl ist genau dann durch 11
teilbar, wenn die alternierende Summe ihrer Ziffer
(also die alternierende Quersumme) durch 11 teilbar
ist.
Beispiel: 53967432607 durch 11 teilbar?
Alternierende Summe: 5-3+9-6+7-4+3-2+6-0+7=22. Da
diese Zahl durch 11 teilbar ist, ist damit auch die
ursprüngliche Zahl durch 11 Teilbar.
Michael Meiners, Dennis Hahn