Lineare Algebra

Lineare Algebra
Jung Kyu Canci
Mit der Hilfe von:
Stefano Iula, Olivia Ebneter, Katharina Laubscher, Viviane Wehrle
Herbstsemester 2015
2
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung in die Lineare Algebra
1.1 Elementare Logik . . . . . . . . . .
1.1.1 Aussagen . . . . . . . . . .
1.1.2 Verknüpfung von Aussagen
1.1.3 Wichtige Bemerkungen . .
1.1.4 Aufgaben . . . . . . . . . .
1.2 Elementare Mengentheorie . . . . .
1.2.1 Quantoren . . . . . . . . . .
1.2.2 Zahlenmengen . . . . . . .
1.2.3 Aufgaben . . . . . . . . . .
1.3 Abbildungen und Relationen . . .
1.3.1 Abbildungen . . . . . . . .
1.3.2 Relationen . . . . . . . . .
1.3.3 Aufgaben . . . . . . . . . .
3
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5
5
5
5
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11
12
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15
16
17
17
19
21
4
INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 1
Einführung in die Lineare Algebra
1.1
1.1.1
Elementare Logik
Aussagen
In der Mathematik und in der Logik ist eine Aussage ein sprachliches Gebilde, das
entweder wahr oder falsch ist. Auch wenn wir nicht wissen, welches von beiden gilt,
muss erkennbar sein, dass eine und nur eine der beiden Möglichkeiten zutreffen kann.
Beispiel 1.1. Dies sind Aussagen:
• “Ein Hund ist ein Tier.” (Wahr)
• “2 plus 2 ist gleich 3.” (Falsch) Man schreibt auch 2 + 2 = 3.
• “Jedes Vielfache von 4 ist eine gerade Zahl.” (Wahr)
Dies sind keine Aussagen:
• “2+2.” Es fehlt etwas.
• “α ist grösser als 5.” Man weiss nicht, was α ist; es muss zuerst α definiert werden.
Vorsicht: Es gibt einige Sätze, bei denen kein Mensch bestimmen kann, ob sie gelten
oder nicht. Aber man erkennt, dass sie entweder falsch oder wahr sind.
Beispiel 1.2. “Jede gerade Zahl grösser als 3 ist die Summe zweier Primzahlen.” Dies
ist eine Aussage, von der kein/e Mathematiker/in weiss, ob sie wahr oder falsch ist.
1.1.2
Verknüpfung von Aussagen
Man kann neue Aussagen bilden, indem zwei oder mehr Aussagen verknüpft werden.
5
6
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
• Disjunktion. Seien p und q zwei Aussagen. Die Aussage p ∨ q ist wahr, wenn
entweder p oder q oder beide Aussagen p und q wahr sind. Die Wahrheitstabelle
von p ∨ q ist folgende, wobei m wahr und 7 falsch bedeutet.
p
m
m
7
7
q
m
7
m
7
p∨q
m
m
m
7
(1.1)
Z.B. zeigt die erste Reihe, dass p ∨ q wahr ist, wenn p und q beide wahr sind. Die
zweite Reihe zeigt, dass p ∨ q wahr ist, wenn p falsch und q wahr ist.
Wenn man in der Mathematik die Aussage “p oder q sind wahr” sagt, können auch
beide wahr sein.
Beispiel 1.3. Sei p die Aussage p: “6 ist eine Primzahl” und sei q die Aussage q:
“7 ist eine Primzahl”. p ∨ q ist die Aussage p ∨ q: “Entweder 6 ist eine Primzahl
oder 7 ist eine Primzahl oder beides sind Primzahlen”. Obwohl p falsch ist, ist p ∨ q
wahr, weil q wahr ist.
• Konjunktion. Seien p und q zwei Aussagen. Die Aussage p ∧ q ist nur dann wahr,
wenn beide Aussagen wahr sind. Die Wahrheitstabelle von p ∧ q ist folgende:
p
m
m
7
7
q
m
7
m
7
p∧q
m
7
7
7
(1.2)
Wenn mindestens eine der Aussagen p und q falsch ist, ist p ∧ q falsch.
Beispiel 1.4. Seien a, b, c die folgenden Aussagen:
a: 42 = 16;
b: sin π = 1;
c: cos π = −1;
Es gilt: a ∧ b ist falsch, a ∧ c ist wahr, b ∧ c ist falsch.
• Implikation. Seien p und q zwei Aussagen. Die Aussage p ⇒ q ist wahr, wenn die
Aussage q logisch aus der Aussage p folgt. Um genau zu sein, betrachten wir die
Wahrheitstabelle von p ⇒ q:
1.1. ELEMENTARE LOGIK
7
p
m
m
7
7
q
m
7
m
7
p⇒q
m
7
m
m
Die Implikation p ⇒ q ist genau dann falsch, wenn p wahr und q falsch ist. In allen
anderen Fällen ist p ⇒ q wahr. Man sagt, dass p ⇒ q genau dann stimmt, wenn p
wahr und q falsch nicht möglich ist.
Beispiel 1.5. Seien a, b, und c die folgenden Aussagen:
a: Es regnet.
b: Es gibt Wolken.
c: Ich bin glücklich.
a ⇒ b stimmt, weil es nicht möglich ist, dass es regnet und es keine Wolken gibt.
Wir nehmen an, dass ich den Regen nicht mag. Also ist a ⇒ c falsch. Denn wenn
a wahr ist, ist c falsch.
• Äquivalenz. Seien p und q zwei Aussagen. Die Aussage p ⇔ q ist die Zusammenfassung von (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p). Die Wahrheitstabelle ist folgende:
p
m
m
7
7
q
m
7
m
7
p⇔q
m
7
7
m
Daher sind zwei Aussagen p und q genau dann äquivalent, wenn die Wahrheitswerte
von p und q gleich sind.
Beispiel 1.6. Seien a, b, und c die folgenden Aussagen:
a: Ich habe eine 4 in der Prüfung von Lineare Algebra bekommen.
b: Ich habe die Prüfung in Lineare Algebra bestanden.
c: Ich habe eine Note grösser oder gleich 4 in der Prüfung von Lineare Algebra
bekommen.
a ⇒ b stimmt. Aber a ⇔ b stimmt nicht, weil b nicht a impliziert. b ⇔ c stimmt.
• Negation. Sei p eine Aussage. Die Aussage ¬p ist immer dann wahr, wenn die
Aussage p falsch ist, und immer dann falsch, wenn die Aussage p wahr ist. Die
Wahrheitstabelle ist folgende:
p ¬p
m 7
(1.3)
7 m
8
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
Beispiel 1.7. Sei p die folgende Aussage:
p: “Ich habe Lust, die Aufgaben in Lineare Algebra zu lösen.”.
Also ist ¬p: “Ich habe keine Lust, die Aufgaben in Lineare Algebra zu lösen.”.
Vorsicht! ¬p ist nicht äquivalent zu “Ich hasse es, die Aufgaben in Lineare Algebra
zu lösen.”.
Einige Eigenschaften der Verknüpfungen von Aussagen
Seien a, b, c feste Aussagen, aber beliebig gewählt.
• Kommutativgesetz. Die Aussagen
i) “a ∨ b ist äquivalent zu b ∨ a”
ii) “a ∧ b ist äquivalent zu b ∧ a”
gelten.
Beweis: Trivial oder betrachte die Tabellen (1.1) und (1.2) zuerst mit a = p und
b = q und dann mit a = q und b = p.
• Assoziativgesetz. Die Aussagen
i) “a ∨ (b ∨ c) ist äquivalent zu (a ∨ b) ∨ c”
ii) “a ∧ (b ∧ c) ist äquivalent zu (a ∧ b) ∧ c”
gelten. Z.B. wird durch die Klammer in a∨(b∨c) angezeigt, dass zuerst die Aussage
b∨c betrachtet werden soll und dann die Disjunktion der Aussage a mit der Aussage
b ∨ c; analog mit den anderen Aussagen (a ∨ b) ∨ c, a ∧ (b ∧ c) und (a ∧ b) ∧ c.
Beweis von i). Durch die folgende Wahrheitstabelle:
a
m
m
7
7
m
m
7
7
b
m
7
m
7
m
7
m
7
c
m
m
m
m
7
7
7
7
b∨ c
m
m
m
m
m
7
m
7
a∨(b∨ c)
m
m
m
m
m
m
m
7
a∨ b
m
m
m
7
m
m
m
7
(a∨ b)∨ c
m
m
m
m
m
m
m
7
Alternativer Beweis: Die Aussage a ∨ (b ∨ c) ist genau dann wahr, wenn mindestens
eine der Aussagen a und b ∨ c gilt. Ferner ist die Aussage b ∨ c wahr genau dann,
wenn mindestens eine der Aussagen b und c gilt. Daher ist die Aussage a ∨ (b ∨ c)
wahr genau dann, wenn mindestens eine der Aussagen a, b oder c gilt. Analog für
(a ∨ b) ∨ c.
Beweis von ii). Siehe Aufgabe 1.4.
1.1. ELEMENTARE LOGIK
9
• Distributivgesetz. Die Aussagen
i) “a ∨ (b ∧ c) ist äquivalent zu (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)”
ii) “a ∧ (b ∨ c) ist äquivalent zu (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)”
gelten.
Beweis von i). Durch die folgende Wahrheitstabelle:
a
m
m
7
7
m
m
7
7
b
m
7
m
7
m
7
m
7
c
m
m
m
m
7
7
7
7
b∧ c
m
7
m
7
7
7
7
7
a∨(b∧ c)
m
m
m
7
m
m
7
7
a∨ b
m
m
m
7
m
m
m
7
a∨ c
m
m
m
m
m
m
7
7
(a∨ b)∧(a∨ c)
m
m
m
7
m
m
7
7
Beweis von ii). Siehe Aufgabe 1.5.
• Prinzip der doppelten Negation. Der Wahrheitswert von ¬¬a ist gleich wie a. Um
das zu sehen, betrachte die folgende Wahrheitstabelle:
a
m
7
¬a
7
m
¬¬ a
m
7
Wir habe zwei Mal die Wahrheitstabelle in (1.3) angewandt (zuerst mit a statt p
und dann mit ¬a statt p). Man sagt auch, dass a äquivalent zu ¬¬a ist.
Beispiel 1.8. Sei a die Aussage a: “Ich habe einen Apfel gegessen”. Die Aussage
¬¬a besagt: “Es ist falsch, dass ich keinen Apfel gegessen habe”.
• De Morgansche Gesetze.
i) ¬(a ∨ b) ist äquivalent zu ¬a ∧ ¬b.
Beweis: Gemäss der Tabelle (1.1) gilt
a
m
m
7
7
und gemäss der Tabelle (1.2) gilt
b
m
7
m
7
¬(a ∨ b)
7
7
7
m
10
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
a
m
m
7
7
b
m
7
m
7
¬a
7
7
m
m
¬b
7
m
7
m
¬a ∧ ¬b
7
7
7
m
Beispiel 1.9. Sei a wie im Beispiel 1.8. Sei b die Aussage b: “Ich habe eine
Birne gegessen.”. a ∨ b besagt: “Ich habe einen Apfel gegessen oder ich habe
eine Birne gegessen.”. Daher sagt die Aussage ¬(a∨b): “Es ist nicht wahr, dass
ich einen Apfel oder eine Birne gegessen habe.”. Andererseits sagt ¬a ∧ ¬b:
“Ich habe keinen Apfel gegessen und ich habe keine Birne gegessen.”.
ii) ¬(a ∧ b) ist äquivalent zu ¬a ∨ ¬b.
Beweis: Siehe Aufgabe 1.3.
1.1.3
Wichtige Bemerkungen
Die gemeinsame Logik (die Logik der Menschen) hat folgende wesentliche Prinzipien:
• Prinzip der Zweiwertigkeit (Bivalenzprinzip). Jede Aussage ist entweder wahr oder
falsch. Ist das Prinzip der Zweiwertigkeit nicht erfüllt, spricht man von mehrwertiger Logik. Wir werden hier nie mehrwertige Logik betrachten.
• Satz vom Widerspruch. Zwei sich widersprechende Aussagen können nicht zugleich
zutreffen. In mathematischen Symbolen: a ∧ ¬a ist immer falsch für jede Aussage
a.
Hinreichende und notwendige Bedingungen
Wirklich wichtig ist die Veknüpfung “⇒” (Implikation). Seien a und b zwei Aussagen.
Nehmen wir an, dass die Aussage a ⇒ b wahr ist. Man sagt, dass die Prämisse a eine
hinreichende Bedingung für die Konklusion b ist und die Konklusion b eine notwendige
Bedingung für die Prämisse a ist.
Seien a und b wie im Beispiel 1.5. a ist eine hinreichende Bedingung für b. Wenn
es regnet, müssen (mindestens ein paar) Wolken am Himmel sein. Aber das Gegenteil
gilt nicht: Es können Wolken am Himmel sein, ohne dass es regnet. Also ist die Aussage “Es regnet” nur eine hinreichende Bedingung für die Aussage “Es gibt Wolken”
(und die Aussage “Es gibt Wolken” ist nur eine notwendige Bedingung für die Aussage
“Es regnet”). Die Aussage a ⇒ b liest man wie folgt: “Wenn es regnet, dann gibt es
Wolken.”.
Antinomien
Eine Antinomie ist ein Satz, der einen Widerspruch enthält. Sie ist keine Aussage. Man
kann nicht bestimmen, ob sie wahr oder falsch ist, weil es immer einen Widerspruch
(Kontradiktion) gibt.
1.1. ELEMENTARE LOGIK
11
Beispiel 1.10. Antinomie des Barbiers:
“Man kann einen Barbier als einen definieren, der all jene und nur jene rasiert, die sich
nicht selbst rasieren.”
Die Frage ist: Rasiert der Barbier sich selbst?
Beim Versuch, die Frage zu beantworten, ergibt sich ein Widerspruch. Denn angenommen
der Barbier rasiert sich selbst, dann gehört er zu denen, die er laut Definition nicht
rasiert, was der Annahme widerspricht. Angenommen es gilt das Gegenteil und der
Barbier rasiert sich nicht selbst, dann erfüllt er selbst die Eigenschaft derer, die er rasiert,
entgegen der Annahme.
1.1.4
Aufgaben
Aufgabe 1.1. Bestimmen Sie, welche Sätze Aussagen sind:
(a) Das ist eine Katze.
(b) Eine Katze ist ein Tier.
(c) Ein Hund und eine Katze.
(d) Wie viel Uhr ist es?
(e) Nicht rauchen!
(f) Rauchen ist verboten.
(g) Ich lüge immer.
(h) Eine ganze Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3
teilbar ist.
Bilden Sie für jede obige Aussage die Negation.
Aufgabe 1.2. Seien p und q zwei Aussagen. Betrachten Sie die Aussagen A : p ⇒ q und
B : ¬q ⇒ ¬p. Beweisen Sie, dass A äquivalent zu B ist. Geben Sie ein paar Beispiele.
Aufgabe 1.3. Beweisen Sie Teil ii) aus den De Morganschen Gesetzen: ¬(a ∧ b) ⇔
¬a ∨ ¬b.
Aufgabe 1.4. Beweisen Sie Teil ii) des Assoziativgesetzes: a ∧ (b ∧ c) ⇔ (a ∧ b) ∧ c.
Aufgabe 1.5. Beweisen Sie Teil ii) des Distributivgesetzes: a ∧ (b ∨ c) ⇔ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).
12
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
1.2
Elementare Mengentheorie
Eine Menge ist eine abstrakte Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte zu einem Ganzen. Diese Objekte heissen Elemente einer Menge.
Sei M eine Menge. “x ∈ M ” bezeichnet “x ist ein Element von M ” oder anders
gesagt “x ist in M ”.
“x ∈
/ M ” bezeichnet “x ist kein Element von M ” und ist gleichwertig mit “x ist nicht
in M ”.
Es gibt zwei Arten, Mengen zu beschreiben:
• Durch die Angabe der Elemente.
Zum Beispiel:
M = {Viviane Wehrle, Stefano Iula, Olivia Ebneter, Katharina Laubscher}
Daher ist M die Menge der Assistierenden in Lineare Algebra 1.
• Durch die Angabe einer Eigenschaft, die zwischen x ∈ M und x ∈
/ M unterscheidet.
Zum Beispiel:
M = {x | x ist ein/e Assistent/in in Lineare Algebra 1 im HS2015 in Basel}
Man liest “M ist die Menge der Elemente x, so dass x ein ... ist”.
Sind alle Elemente einer Menge N zugleich Elemente von M , so heisst N eine Teilmenge
oder Untermenge von M und man schreibt
N ⊂ M.
Wenn N ⊂ M und M ⊂ N , dann enthalten N und M genau dieselben Elemente. Man
nennt die Mengen M , N gleich und schreibt
M = N.
Die Notation
N (M
bedeutet, dass N ⊂ M und dass es mindestens ein x ∈ M gibt, s.d. x ∈
/ N.
Die leere Menge ist eine Menge, die keinerlei Elemente enthält. Daher gibt es nur
eine einzige leere Menge. Als Zeichen für die leere Menge verwendet man ∅ (auch ∅ oder
{}). Es gilt
∅⊂M
für jede beliebige Menge M .
Seien A und B beliebige Mengen. Die Menge D, die aus allen Elementen besteht,
welche sowohl zu A als auch zu B gehören, heisst Durchschnitt der Mengen A und B.
Man schreibt:
D = A ∩ B.
1.2. ELEMENTARE MENGENTHEORIE
13
Beispiel 1.11. Seien A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {5, 6, 7} und C = {6, 7}. Dann ist
A ∩ B = {5}, A ∩ C = ∅, B ∩ C = C.
Wie vorher seien A und B beliebige Mengen. Die Menge V , die aus allen Elementen
besteht, die zu mindestens einer der Mengen A oder B gehören, heisst Vereinigungsmenge
von A und B. Man schreibt:
V = A ∪ B.
Beispiel 1.12. Seien A, B, C wie im Beispiel 1.11. Dann ist
A ∪ B = {x | x ganze Zahl und 1 ≤ x ≤ 7} = A ∪ C, B ∪ C = B.
Sei A eine Teilmenge einer Menge U (manchmal wird eine solche Menge U Universum genannt). Ac bezeichnet genau die Menge der Elemente aus U , welche nicht in A
enthalten sind. D.h.
Ac = {x ∈ U | x ∈
/ A}.
Ac heisst das Komplement von A in U . In einem Mengendiagramm sieht die Situation
so aus:
Dabei ist A der weisse Kreis und U das ganze Rechteck. Das Komplement Ac ist rot
gefärbt.
Sei B eine andere Teilmenge von U (B kann auch gleich A sein). Die Menge B \ A
bezeichnet genau die Menge der Elemente aus B, welche nicht in A enthalten sind. D.h.
B \ A = {x ∈ B | x ∈
/ A}.
In einem Mengendiagramm:
Dabei bezeichnet jetzt A den linken und B den rechten Kreis und U weiterhin das
gesamte Rechteck. Die Menge B \ A ist rot gefärbt.
Die Menge B \ A wird relatives Komplement von A in B genannt oder einfacher als B
ohne A bezeichnet.
14
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
Beispiel 1.13. Seien A, B, C wie im Beispiel 1.11. Sei U = A ∪ B ∪ C. Dann ist
Ac = C\A = C, B c = {1, 2, 3, 4} = A\B, C c = A, A\C = A, B\C = {5}, B\A = {6, 7}.
Man benutzt Klammern in der Mengentheorie wie in Rechnungen: z.B. betrachtet
man im Ausdruck A ∪ (B ∪ C) zuerst die Menge B ∪ C als die Vereinigungsmenge von B
und C und dann die Menge A ∪ (B ∪ C) als die Vereinigungsmenge der Mengen A und
B ∪ C. Es gilt folgender Satz:
Satz 1.14. Seien A, B, C drei beliebige Teilmengen einer Menge U . Es gelten die folgenden Eigenschaften:
1. A ∪ B = B ∪ A und A ∩ B = B ∩ A.
2. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C und A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
3. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) und A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
4. A = (Ac )c .
5. (A ∪ B)c = Ac ∩ B c und (A ∩ B)c = Ac ∪ B c .
Beweis. Einige der obigen Eigenschaften sind ganz einfach zu beweisen (z.B. 1)). Im
Allgemeinen betrachtet man folgende Aussagen: a:“x ∈ A”, b:“x ∈ B”, c:“x ∈ C”.
Dann wenden Sie das Kommutativ-, das Assoziativ- und das Distributivgesetz sowie das
Prinzip der doppelten Negation und die De Morgansche Gesetze auf die Aussagen a, b, c
an.
Seien A und B zwei beliebige Mengen. Das kartesische Produkt zweier Mengen A
und B ist die Menge aller geordneten Paare von Elementen der beiden Mengen, wobei
die erste Komponente ein Element von A und die zweite Komponente ein Element der
Menge B ist. Man schreibt
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.
Beispiel 1.15. Seien B, C wie im Beispiel 1.11. Also
B × C = {(5, 6), (5, 7), (6, 6), (6, 7), (7, 6), (7, 7)}.
Vorsicht! Im Allgemeinen ist (a, b) 6= (b, a). Die Position ist wichtig. Z. B. sind in der
obigen Menge B × C die Elemente (6, 7) und (7, 6) nicht gleich.
Sei A eine beliebige Menge. P(A) bezeichnet die Potenzmenge von A, die die Menge
aller Teilmengen von A ist.
Beispiel 1.16. Es gilt:
• P(∅) = {∅}.
• P({a}) = {∅, {a}}.
1.2. ELEMENTARE MENGENTHEORIE
15
• P({a, b}) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
Vorsicht! Die Menge {∅} ist eine Menge, die genau ein Element enthält. Dieses
Element ist die Leermenge. Es gilt a ∈ {a, b}, {a} ⊂ {a, b} und {a} ∈ P({a, b}).
Satz 1.17. Sei n eine beliebige aber feste ganze Zahl n ≥ 0. Sei A eine Menge mit genau
n Elementen. Dann hat die Potenzmenge P(A) genau 2n Elemente.
Beweis. Man beweist den Satz durch vollständige Induktion über n. Induktionsanfang:
Sei n = 0 (also A = ∅). Dann ist P(∅) = {∅}, P(∅) hat also genau 20 = 1 Element.
Induktionsschritt: Wir nehmen die Induktionsvoraussetzung an, d.h. dass P(A) genau 2n
Elemente hat für jede Menge A mit n Elementen. Sei B eine Menge mit n+1 Elementen.
Dann existiert eine Teilmenge A ⊂ B und ein Element x ∈ B, so dass B = A ∪ {x}.
Daher enthält A genau n Elemente. Jede Teilmenge von B ist entweder eine Teilmenge
von A oder von der Form C ∪ {x}, wobei C eine Teilmenge von A ist. Die Anzahl der
Teilmengen erster Sorte ist 2n und die Anzahl der Teilmengen zweiter Sorte ist ebenfalls
2n . Daher hat die Potenzmenge P(B) genau 2 · 2n = 2n+1 Elemente.
1.2.1
Quantoren
Der Existenzquantor wird durch das Zeichen ∃ dargestellt. Die Schreibweise ∃x bedeutet:
“Es existiert (gibt) ein x ...”. Z.B. sei n eine beliebige ganze Zahl. Sei Xn = {n, n + 2, n +
4}. ∃x ∈ Xn , so dass x ein Vielfaches von drei ist.
Die Schreibweise @ ist die Negation von ∃. Z.B. sei n eine gerade Zahl und Xn wie
oben beschrieben. Also @x ∈ Xn s.d. x ungerade ist.
Die Schreibweise ∃! bedeutet “Es gibt ein x und genau ein x ...”. Z.B. sei Xn wie
oben beschrieben. Also ∃!x ∈ Xn , s.d. x ein Vielfaches von drei ist.
Der Allquantor wird durch das Zeichen ∀ dargestellt. Die Schreibweise ∀x bedeutet:
“Für jedes x ...”. Z.B. sei n eine gerade Zahl und Xn wie oben beschrieben. Dann ist x
eine gerade Zahl ∀x ∈ Xn .
Beispiel 1.18. Die folgende Aussage ist wahr: “∀ Pferd, das meine Vorlesung besucht,
gilt, dass es die Farbe grün hat”. Die Aussage ist wahr, weil kein Pferd meine Vorlesungen besucht. In der Logik sagt man, dass die Leermenge jede Eigenschaft erfüllt.
1.2.2
Zahlenmengen
Mit N bezeichnen wir die Menge der natürlichen Zahlen.
N = {1, 2, 3, . . .}
(Um die natürlichen Zahlen richtig zu definieren braucht man die Peano-Axiome). Mit
N0 bezeichnen wir N ∪ {0}.
Mit Z bezeichnen wir die Menge der ganzen Zahlen.
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
16
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
Die Menge Q der rationalen Zahlen ist die Menge, die alle Brüche zweier ganzer
Zahlen enthält:
nz
o
Q=
| z, n ∈ Z, n 6= 0 .
n
a c
Erinnerung: Seien b , d ∈ Q (also bd 6= 0). Dann gilt ab = dc genau dann, wenn ad−bc = 0.
Mit R bezeichnen wir die Menge der reellen Zahlen. Es gibt eine intuitive Idee hinter
den reellen Zahlen. Man kann sie sich als Gerade vorstellen:
Eine andere Darstellung der reellen Zahlen ist die folgende:
R = {a0 , a1 a2 a3 . . . | a0 ∈ Z, ai ∈ {0, 1, . . . , 9} ∀i ∈ N} .
Eine echte Definition der reellen Zahlen ist:
“Die reellen Zahlen sind die Grenzwerte der Cauchy–Folgen rationaler Zahlen”. (Diese
Begriffe werden Sie in Analysis kennenlernen).
1.2.3
Aufgaben
Aufgabe 1.6. Seien A, B zwei Mengen. Beweisen Sie, dass A = B genau dann wenn
∃ eine Menge C mit
A ∩ C = B ∩ C und A ∪ C = B ∪ C.
Aufgabe 1.7. Seien A, B zwei Mengen. Beweisen Sie
1. A \ (A \ B) = A ∩ B;
2. (A \ B) \ (B \ A) = A \ B;
3. A ∪ (B \ A) = A ∪ B;
4. (A \ B) ∪ (A ∩ B) = A.
Aufgabe 1.8. Seien A, B, C drei Mengen. Beweisen Sie
1. (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C);
2. (A \ B) \ C ⊂ A \ (B \ C);
3. (A \ B) \ C = A \ (B \ C) genau dann wenn A ∩ C = ∅.
4. A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C).
1.3. ABBILDUNGEN UND RELATIONEN
17
Aufgabe 1.9. Die symmetrische Differenz zweier Teilmengen A, B einer Universummenge ist die Menge definiert durch:
A 4 B := (A \ B) ∪ (B \ A).
Beweisen Sie, dass
A 4 B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
Aufgabe 1.10. Bestimmen Sie die Potenzmengen von A = P(∅) und B = P({a}).
Aufgabe 1.11. Seien A, B zwei Mengen. Beweisen Sie
1. P(A) ∪ P(B) = P(A ∪ B) genau dann wenn A ⊂ B oder B ⊂ A;
2. P(A \ B) ⊂ (P(A) \ P(B)) ∪ {∅};
3. P(A \ B) = (P(A) \ P(B)) ∪ {∅} genau dann wenn A ⊂ B oder A ∩ B = ∅.
1.3
Abbildungen und Relationen
1.3.1
Abbildungen
Definition 1.19. Seien X, Y zwei Mengen. Eine Abbildung von X nach Y ist eine
Vorschrift f , die jedem x ∈ X ein eindeutig bestimmtes y = f (x) ∈ Y zuordnet. X wird
Definitionsmenge genannt, Y Zielmenge.
Man schreibt
f: X → Y
x 7→ y = f (x)
Beispiel 1.20. Folgendes sind Abbildungen:
1.
f: R → R
x 7→ x2
f : {1, 2, 3}
1
2.
2
3
→
7→
7→
7→
{1, 2}
f (1) = 1
f (2) = 2
f (3) = 1
Folgendes sind keine Abbildungen:
3.
f: R → R
√
x 7→
x
f (x) ist nicht definiert für negative x. Wenn die Definitionsmenge R≥0 = {x ∈ R |
x ≥ 0} ist anstatt R, ist f eine Abbildung.
18
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
4.
f : [−1, 1] → R
.
x 7→ arcsin x
f ist keine Abbildung, weil gilt sin(x) = sin(x + 2nπ) ∀n ∈ Z. Wenn die Zielmenge
[−π/2, π/2] ist anstatt R, ist f eine Abbildung.
Zwei Abbildungen f : X → Y , g : X 0 → Y 0 sind genau dann gleich, wenn X = X 0 ,
Y = Y 0 und f (x) = g(x) für jedes x ∈ X = X 0 .
Definition 1.21. Sei f : X → Y eine Abbildung und M ⊂ X eine Teilmenge. Dann
heisst
f |M : M → Y
x 7→ f (x)
die Einschränkung von f auf M .
Weiter bezeichnen wir mit
f (M ) = {y ∈ Y | ∃x ∈ M mit f (x) = y}
= {f (x) | x ∈ M } ⊂ Y
das Bild von M (in Y ). Insbesondere nennt man f (X) das Bild von f .
Sei N ⊂ Y eine Teilmenge. Die Teilmenge
f −1 (N ) = {x ∈ X | ∃f (x) ∈ N }
heisst Urbild von N in X.
Definition 1.22. Eine Abbildung f : X → Y zwischen zwei Mengen heisst
1. injektiv, wenn gilt aus f (x) = f (x0 ) folgt x = x0 für alle x, x0 ∈ X. Äquivalent
dazu ist: Für jedes y ∈ Y enthält das Urbild f −1 ({y}) entweder 0 oder 1 Element.
2. surjektiv, wenn f (X) = Y , d.h. wenn es zu jedem y ∈ Y ein x ∈ X mit f (x) =
y gibt. Äquivalent dazu ist: Für jedes y ∈ Y ist das Urbild f −1 ({y}) nicht die
Leermenge.
3. bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. Äquivalent dazu ist: Für jedes y ∈ Y
enthält das Urbild f −1 ({y}) genau ein Element.
Ist f bijektiv, dann gibt es eine Umkehrabbildung
f −1 : Y → X
y 7→ x, so dass y = f (x).
Beispiel 1.23.
• Die Abbildung f definiert in Beispiel 1.20 1 ist nicht injektiv
(f (x) = f (−x) ∀x ∈ R). f ist nicht surjektiv, denn es gibt keine negative Zahl, die
ein Quadrat ist.
1.3. ABBILDUNGEN UND RELATIONEN
19
• Die Abbildung f definiert in Beispiel 1.20 2 ist nicht injektiv (f (1) = f (3) = 1). f
ist surjektiv, weil f ({1, 2, 3}) = {1, 2}.
• Die Abbildung f : [−1, 1] → [−π/2, π/2] definiert durch f (x) = arcsin x ist bijektiv
(folgt aus Trigonometrie).
Definition 1.24. Seien X, Y, Z Mengen und f : X → Y , g : Y → Z Abbildungen. Dann
heisst die Abbildung
g◦f: X → Z
x 7→ g(f (x))
die Komposition von f und g.
Bemerkung 1.25. Die Komposition von Abbildungen ist assoziativ, d.h. für f : X → Y ,
g : Y → Z, h : Z → W gilt
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f )
Beweis. Für jedes x ∈ X gilt:
((h ◦ g) ◦ f )(x) = (h ◦ g)(f (x)) = h(g(f (x))) = h((g ◦ f )(x)) = (h ◦ (g ◦ f ))(x).
Bemerkung 1.26. Die Komposition von Abbildungen ist nicht kommutativ. Z.B. Seien
f: R → R
,
x 7→ x + 1
g: R → R
x 7→ 2x + 1
Es gilt (f ◦ g)(x) = f (2x + 1) = 2x + 2 und (g ◦ f )(x) = g(x + 1) = 2x + 3.
Definition 1.27. Für eine Menge X heisst
f: X → X
x 7→ x
die identische Abbildung, bezeichnet mit idX .
Mit Hilfe der identischen Abbildung werden wir eine Charakterisierung der bijektiven
Abbildungen geben (Siehe Aufgabe 1.13).
1.3.2
Relationen
Für zwei gegebene Mengen A und B bezeichnet eine Relation R zwischen A und B eine
Teilmenge des kartesischen Produkts A × B:
R ⊂ A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.
Definition 1.28. Sei X eine Menge. Eine Relation R ⊂ X×X auf X heisst Äquivalenzrelation,
wenn für alle x, y, z ∈ X gilt
20
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
1. (x, x) ∈ R; (reflexiv)
2. ∀x, y ∈ X gilt (x, y) ∈ R ⇔ (y, x) ∈ R; (symmetrisch)
3. (x, y), (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R; (transitiv)
Für x1 , x2 ∈ X schreibt man oft
x1 ∼ x2
statt (x1 , x2 ) ∈ R.
Beispiel 1.29.
1. Sei X eine beliebige Menge. Die Relation x ∼ y ⇔ x = y ist eine
Äquivalenzrelation.
2. Sei X = Z. Die Relation x ∼ y ⇔ (x − y ist gerade) ist eine Äquivalenzrelation.
3. Sei X = {p | p ist eine Aussage}. Die Relation x ∼ y ⇔ (x ist äquivalent zu y) ist
eine Äquivalenzrelation.
4. Seien X, Y Mengen. Sei f : X → Y eine Abbildung. Die Relation x1 ∼ x2 ⇔
f (x1 ) = f (x2 ) ist eine Äquivalenzrelation.
Ist auf einer Menge X eine Äquivalenzrelation ∼ definiert, betrachtet man für x ∈ X
die Menge
Ax := {y ∈ X | x ∼ y} .
Ax ist eine Untermenge von X und heisstÄquivalenzklasse von x.
Bemerkung 1.30. Für x, y ∈ X gilt:
1. Ax = Ay ⇔ x ∼ y;
2. Entweder ist Ax = Ay oder Ax ∩ Ay = ∅. (Es gibt keine andere Möglichkeit!)
Beweis. Wir beweisen zuerst 1.
“⇐” Annahme: x ∼ y. Sei z ein beliebiges Element von Ax . Dann gilt z ∼ x und gemäss
Annahme auch x ∼ y. Mit der Transitivität von ∼ haben wir z ∼ y. Also z ∈ Ay .
Daher Ax ⊂ Ay (weil z ein beliebiges Element von Ax ist). Ähnlich beweisen wir
Ay ⊂ Ax , also Ax = Ay .
“⇒” Da y ∈ Ay = Ax folgt y ∼ x.
Jetzt beweisen wir 2. Sei Ax ∩ Ay 6= ∅. Es folgt, dass es ein z ∈ Ax ∩ Ay gibt. Also z ∼ x
und z ∼ y. Daher x ∼ y (Transitivität), woraus mit 1 folgt Ax = Ay .
Die Äquivalenzklassen von X bezüglich ∼ betrachtet man nun als Elemente einer
neuen Menge X/ ∼.
1.3. ABBILDUNGEN UND RELATIONEN
21
Beispiel 1.31. Sei m ∈ N. Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf Z durch x ∼ y
genau dann wenn gilt m teilt y − x. Man schreibt auch x ≡ y mod m wenn x ∼ y. Die
Äquivalenzklasse eines Elements n ∈ Z ist
An = {n + km | k ∈ Z} .
Oft schreibt man hier n anstatt An . Die Klasse n wird Restklasse von n modulo m
genannt. In der Tat kann man durch Division mit
Rest zeigen,dass es für jedes n ∈ Z
ein 0 ≤ r < m gibt, so dass n = r. Also Z/ ∼= 0, 1, . . . , m − 1 .
1.3.3
Aufgaben
Aufgabe 1.12. Seien A, B zwei Mengen und f : A → B eine Abbildung. Seien X1 , X2 ∈
P(A) und Y1 , Y2 ∈ P(B). Beweisen Sie
1. f (X1 ∩ X2 ) ⊂ f (X1 ) ∩ f (X2 );
2. f (X1 ∪ X2 ) = f (X1 ) ∪ f (X2 );
3. f (X1 \ X2 ) ⊃ f (X1 ) \ f (X2 );
4. f −1 (Y1 ∩ Y2 ) = f −1 (Y1 ) ∩ f −1 (Y2 );
5. f −1 (Y1 ∪ Y2 ) = f −1 (Y1 ) ∪ f −1 (Y2 );
6. f −1 (Y1 \ Y2 ) = f −1 (Y1 ) \ f −1 (Y2 );
Geben Sie Beispiele, bei denen in 1 und/oder 3 die Gleichheit nicht gilt.
Aufgabe 1.13. Zeigen Sie, dass gilt: f : X → Y ist bijektiv ⇔ ∃g : Y → X mit g ◦ f =
idX und f ◦ g = idY . (Ein solches g wird inverse Abbildung genannt und man sagt, dass
f invertierbar ist.)
Aufgabe 1.14. Beweisen Sie, dass die folgende Abbildung invertierbar ist:
f : R \ {1} → R \ {2} , x 7→
2x + 1
x−1
Bestimmen Sie die inverse Abbildung.
Aufgabe 1.15. Sei X eine endliche Menge. Sei f : X → X eine Abbildung. Beweisen
Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
1. f ist injektiv;
2. f ist surjektiv;
3. f ist bijektiv.
22
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
Aufgabe 1.16. Sei X eine endliche Menge und A eine Teilmenge von X. Sei f : A → X
eine Bijektion. Beweisen Sie, dass A = X. Was könnten Sie sagen, wenn X unendlich
wäre?
Aufgabe 1.17. Sei X eine nichtleere Menge. Sei f : X → P(X) die Abbildung definiert
durch x 7→ X \ {x}. Beweisen Sie, dass f injektiv, aber nicht surjektiv ist.
Aufgabe 1.18. (∗ ) Beweisen Sie, dass es für jede Menge X keine Bijektion
f : X → P(X)
gibt.
Aufgabe 1.19. Beweisen Sie, dass die Relationen in Beispiel 1.29 Äquivalenzrelationen
sind.
Aufgabe 1.20. Sei X eine Menge. Eine Partition P ist eine Teilmenge der Potenzmenge P(X), deren Elemente nichtleere Teilmengen von X sind, sodass jedes Element von X
in genau einem Element von P enthalten ist. Sei A die Menge aller Äquivalenzrelationen
auf X und B die Menge aller Partitionen von X. Beweisen Sie, dass A in Bijektion zu
B steht.
Aufgabe 1.21. (∗ ) Seien A, B zwei nichtleere Mengen. Zeigen Sie: Wenn es eine injektive Abbildung f : X → Y und eine injektive Abbildung g : Y → X gibt, dann gibt es
eine Bijektion zwischen X und Y .
Index
Äquivalenzklasse, 20
Äquivalenzrelation, 19
Abbildung, 17
Allquantor, 15
Bijektiv, 18
Bild, 18
Teilmenge, 12
Umkehrabbildung, 18
Untermenge, 12
Urbild, 18
Vereinigungsmenge, 13
Zielmenge, 17
De Morgansche Gesetze, 9
Definitionsmenge, 17
Durchschnitt von Mengen, 12
Einschränkung einer Abbildung, 18
Elemente einer Menge, 12
Existenzquantor, 15
Hinreichende Bedingung, 10
Injektiv, 18
Inverse Abbildung, 21
Invertierbare Abbildung, 21
Kartesisches Produkt, 14
Komplement, 13
Komposition, 19
Menge, 12
Notwendige Bedingung, 10
Potenzmenge, 14
Relation, 19
Relatives Komplement, 13
Restklasse, 21
Surjektiv, 18
23