LB05: Datum: 21.06.03 Ausdruck: 25. Juni 2003 1 1. Sei X = IR und

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1. Sei X = IR und x ∼ x0 ⇔ x = x0 = 0 oder xx0 > 0. Zu zeigen: IR/ ∼ ist zu einem
3 elementigen Raum, etwa zu {−1, 0, 1} mit einer geeigneten Topologie O homöomorph.
Bestimme dazu O.
2. Sei X := IR2 \ {0} und
(x, y) ∼ (x0 , y 0 ) ⇔ (x = x0 6= 0) oder (x = x0 = 0 und yy 0 > 0).
Bestimme die Äquivalenzklassen zu dieser Relation. Skizziere X/ ∼. Zeige, daß jeder
Punkt von X/ ∼ eine zu IR homöomorphe Umgebung besitzt. Erfüllt X das 2. Abzählbarkeitsaxiom? Ist X/R = X/ ∼ ein T2 –Raum?
3. Zeige, daß die 2–adische Entwicklung
ϕ : {0, 1}IN → [0, 1],
ϕ(a1 , a2 , ....) := a1 2−1 + a2 2−2 + · · ·
eine surjektive, stetige Abbildung ergibt.
4. Man hat folgende Definitionen (Verabredungen). Die Zusammenhangskomponente K(x)
von x ∈ X ist die größte zusammenhängende Teilmenge K(x) ⊂ X mit x ∈ K(x).
Man nennt X total unzusammenhängend, wenn für jedes x die Zusammenhangskomponente K(x) nur aus x besteht.
Zu zeigen:
(a) Wenn es für alle x, y ∈ X offen–abgeschlossene Teilmengen A, B gibt mit x ∈ A,
y ∈ B und A ∩ B = ∅, dann ist X total unzusammenhängend.
(b) Q
I ist total unzusammenhängend.
(c) {0, 1}IN ist total unzusammenhängend.
5. Sei X eine Menge. Die kofinite Topologie Ocof in auf X hat als abgeschlossene Mengen
genau die endlichen Mengen und zusätzlich noch die Menge X. Zu untersuchen ist, für
welche X der Raum (X, Ocof in ) zusammenhängend ist.
Lösung. Es genügt (1) oder (2) nachzuweisen:
(1) (X, Ocof in ) zusammenhängend ⇔ #X = ∞
(2) (X, Ocof in ) unzusammenhängend ⇔ 1 < #X < ∞
Wir zeigen (2).
⇒“ Wenn (X, Ocof in ) unzusammenhängend ⇒ ∃A ⊂ X, so daß A 6= ∅, X und offen–
”
abgeschlossen ist. A und X \ A sind abgeschlossen 6= X und somit sind beide endlich.
Also ist X endlich. A 6= ∅, X impliziert 1 ≤ #A < #X.
⇐“ 1 < #X < ∞. Es gibt wenigstens einen Punkt, nennen wir ihn a ∈ X Ferner hat
”
wegen #X > 1 unser X mehr als diesen einen Punkt.
Somit haben wir A := {a} und X \ A sind nicht leer 6= ∅, X und beide sind abgeschlossen,
als endlich Mengen in der cofiniten Topologie.
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6. Die Großbuchstaben des Alphabeths
A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z
sind bis auf Homöomorphie zu klassifizieren.
Lösung. Zeilenweise schreiben wir die Homöomorphietypen
A,R,
B,
C, G, I,J, L,M,N,S ,U,V, W, Z
D,O,
E,F,T,Y,
H,K,
P,
Q,
X.
• Man begründe, warum diese Objekte in jeder Zeile zueinander homöomorph sind. Man
kann sich leicht Homöomorphismen überlegen. Anschaulich kann man die Buchstaben der
Zeilen ineinander verbiegen.
• Gründe, warum diese Buchstaben in verschiedenen Zeilen nicht zueinander homöomorph
sind liegt an dem Zusammenhang.
• Hier kann man sich global und lokal die Zusammenhangskomponenten ansehen, die nach
Herausnahme eines Punktes entstehen. Wegekomponenten und Zusammenhangskomponenten stimmen in den nachfolgenden Beispielen überien. Man kann auch für solche 1–
dimensionalen Zeichen ganz naiv Randpunkte in folgendem Sinne betrachten:
Randpunkte dieser Buchstaben zeichnen sich dadurch aus, daß sie eine Umgebungsbasis
besitzen aus zu halboffenen Intervallen homöomorphe Mengen. Die Randpunkte und die
sonst aufgelisteten Zusammenhangseigenschaften müssen bei Homöomorphismen erhalten
bleiben. Dadurch läßt sich sofort und trivialerweise begründen, warum die Zeichen der
jewieligen Zeile nicht homöomorphe Räume Liefern.
• C, G, I,J, L,M,N,S ,U,V, W, Z haben 2 solche Randpunkte.
Die Wegnahme jedes anderen Punktes ergibt einen Rest, mit 2 Wegekomponenten
• E,F,... haben 3 Randpunnkte.
• H,K und X haben 4 Randpunkte.
In X gibt es einen Punkt, bei dessen Herausnahme der Rest 4 Zusammenhangskomponenten hat.
Bei H,K können höchstens 3 Zusammenhangskomonenten entstehen bei Wegnahme eines
Punktes
• Bei D,O bleiben stets nach Wegnahme eines Punktes stets nur eine Zusammenhangskomponente. Hier gibt es keine Randpunkte (im Sinne wie oben)
• Bei P hat man
(a) Genau einen Randpunkt,
(b) Unendlich viele Punkte, bei deren Wegnahme der Rest 2 Wegekomponenten und
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(c) unendlich viele Punkte, bei deren Wegnahme der Rest wegzusammenhängend bleibt.
• Bei Q hat man 2 Randpunke und genau einen Punkt bei dessen Herausnahe der Rest 3
Wegekomponenten besitzt,
unendlich viele Punkte, bei denen der Rest zusammenhängend bleibt.
• Bei A, R erhält man nach Herausnahme von 2 Punkten einen Rest mit 4 Wegekomponenten. Das ist nicht so bei Q