Entdeckungsreise am regelmäßigen Fünfeck – ein algebraisch

Das regelmäßige Fünfeck – ein algebraisch-geometrischer Lernzirkel
Reihe 53
S1
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Lösungen
Entdeckungsreise am regelmäßigen Fünfeck –
ein algebraisch-geometrischer Lernzirkel
© W. Czech
Walter Czech, Krumbach
I/D
T
H
C
I
S
N
A
R
O
V
Wie entsteht aus einem Knoten im Raum ein Fünfeck in der Ebene? So und so – und wie weiter?
Klasse:
9/10
Dauer:
4 Stunden
Inhalt:
Die Entdeckung der irrationalen Zahlen
durch Hippasos von Metapont
Regelmäßiges Fünfeck und seine
Eigenschaften
Das Pentagramm und seine
Streckenverhältnisse
Winkelsätze
Sätze über Dreiecke
Goldener Schnitt
Mitternachtsformel
Ihr Plus: Geeignet für fachübergreifenden
Unterricht (Kunst, Geschichte)
Viele Schüler, die sich mit der abstrakten Welt der Algebra schwertun, fühlen sich von
der Geometrie, bei der das Denken durch handfeste Zeichnungen unterstützt wird und
bei der man sich an der Ästhetik und Schönheit einer gelungenen Zeichnung erfreuen
kann, emotional angesprochen. Nutzen Sie dieses Motivationspotenzial!
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Didaktisch-methodische Hinweise
Lehrplanbezug
Geometrie gehört nach dem Bildungsplan Baden-Württemberg zur Leitidee „Raum und
Form“. Sie wird in der 9./10. Klasse unterrichtet.
Folgende Schwerpunkte dieses Bildungsplans vermitteln Sie mit diesem Beitrag:
– grundlegende geometrische Objekte fachgerecht benennen und vollständig beschreiben,
– charakteristische Eigenschaften von geometrischen Objekten erkennen und Beziehungen zwischen verschiedenen Objekten analysieren,
– geometrische Objekte mithilfe von Geodreieck und Zirkel sorgfältig darstellen,
– ebene Figuren abbilden,
I/D
– über ein angemessenes räumliches Vorstellungsvermögen verfügen.
T
H
C
Gedanken zur Geometrie
Geometrie war ursprünglich Feldmesskunst, also eine höchst praktische und konkrete
Sache. Die Menschen wollten Landflächen vermessen, Häuser und Kulträume bauen,
Gebrauchsgegenstände verzieren. Dies war der Anfang geometrischen Handelns. Dabei
spielten das Augenmaß und das sichere Gefühl für Proportionen eine wichtige Rolle.
Gleichzeitig stieß man zwangsläufig auf die Erkenntnis, dass alles Messen auf das Feststellen von Längen, Winkeln sowie auf das Zerlegen in einfache Grundfiguren zurückgeführt werden kann.
I
S
N
A
R
O
Aus dem Messen erwuchs das Verlangen nach Exaktheit und damit das Bedürfnis, das
sonst für den Alltag ausreichende naive Zahlenverständnis (Abzählen mit den Fingern)
auszubauen und zu verfeinern. Die Geometrie wurde sozusagen zum Motor für die Entwicklung der Arithmetik und Algebra.
V
Streckenteilungen erzwangen Bruchzahlen, die Länge einfach konstruierbarer Strecken
(Diagonalen im Quadrat, Streckenverhältnisse im Pentagramm, Kreisumfang) brachte die
Entdeckung der irrationalen Zahlen und machte in der Folge die Entwicklung weiterer
mathematischer Disziplinen wie zum Beispiel der Analysis notwendig.
Für die Schule gesprochen kann man sagen:
Geometrie handelt von der Untersuchung der Figuren, die wir mit Zirkel und Lineal in
unser Heft oder auf die Tafel zeichnen können und die wir in der Welt um uns, an unseren Feldern, Häusern und an unseren Gebrauchsgegenständen entdecken.
Ihre Schüler entwickeln in der Auseinandersetzung mit geometrischen Figuren und
Beziehungen ihre Vorstellungs- und Abstraktionsfähigkeit, aber auch ihre sprachlichlogischen und motorischen Fähigkeiten. In Kleingruppen motivieren sich Ihre Schüler
gegenseitig, indem sie Lösungsideen diskutieren und entwickeln und ihre Lösungen
anschließend präsentieren. Insbesondere wird das Interesse der Schüler durch einen
kleinen, aber spannenden Rückblick in die Geschichte der Pythagoreer geweckt.
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Hinweise zur Gestaltung des Unterrichts
Vorwissen – Voraussetzungen Ihrer Lerngruppe
– natürliche und rationale Zahlen
– gewandt mit Zirkel und Geodreieck umgehen können
– Winkelsätze an Geradenkreuzungen und im Dreieck kennen
– gleichschenklige Dreiecke
– kongruente Dreiecke
– Bezeichnungen im Kreis (Sehne, Umfangswinkel, Mittelpunktswinkel)
– Umfangswinkelsatz sowie Umfangs-Mittelpunktswinkelsatz anwenden können
– Mitternachtsformel / quadratische Gleichung
Speziell beim Thema „Goldener Schnitt“ geht es um das Erkennen ähnlicher Dreiecke
und um die Anwendung der Strahlensätze.
I/D
T
H
C
So bereiten Sie die Gruppenarbeit vor
• Fertigen Sie für jeden Schüler von den Materialien M 1 bis M 8 jeweils eine Kopie an.
Laminieren Sie jeweils ein Exemplar für jede Station.
I
S
N
• Kopieren und laminieren Sie die Tippkarten H1, H 2 und H 3 (M 9) jeweils einmal.
• Jeder Schüler hält eine Schere, einen Zirkel und ein Geodreieck bereit und bringt ein
großformatiges Heft mit, in das die Arbeitsblätter eingeklebt und die Rechnungen
und Notizen eingetragen werden.
A
R
O
• Bereiten Sie die Folienvorlage M 10 zur Selbstkontrolle für die Station M 3 vor.
Verblüffender Einstieg
V
Aus einem Knoten im Raum wird in der Ebene ein regelmäßiges Fünfeck – das ist für
die Schüler verblüffend! An der Figur des Fünfecks mit einbeschriebenem Pentagramm
gibt es viel zu entdecken: Geometrisches und Algebraisches. Insbesondere wird das
Augenmerk auf die Rolle des Goldenen Schnitts in der Geometrie gerichtet.
Ablauf – so geht’s
Stellen Sie die Tische so zusammen, dass daran Kleingruppen zu vier bis fünf Schülern
arbeiten können. Die laminierten Arbeitsanweisungen legen Sie am Lehrertisch aus.
Teilen Sie Ihre Klasse durch Losverfahren in Kleingruppen auf. Zufallsgenerator kann
zum Beispiel ein Kartenspiel sein.
Unterrichtsphase 1
Je nach Unterrichtssituation teilen Sie das Wiederholungsblatt M 1 aus. Dort ist nochmals das Basiswissen übersichtlich zusammengefasst.
Die Gruppen bearbeiten der Reihe nach die Stationen M 3, M 4 und M 5.
Die Schüler schreiben ihre Lösungen ins Heft. Die Ergebnisse stellen die Lernenden
nach Beendigung dieser drei Stationen – wiederum nach Losverfahren – im Plenum vor.
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Auf einen Blick
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Thema
Stunde
M 1
Die Basis – frische dein Wissen auf!
1.
(WH)
Sätze über Dreiecke: Innenwinkelsumme, ähnliche Dreiecke,
kongruente Dreiecke, gleichschenklige Dreiecke; Umfangswinkelsatz, Umfangs-Mittelpunktswinkelsatz
M 2
Was kann ich schon alles? – Mein Selbstdiagnosebogen
Sich selbst einschätzen
M 3
In einem Papierstreifen steckt Mathematik!
Aus einem Streifen Papier wird ein Knoten im Raum und
daraus ein Fünfeck in der Ebene geformt.
M 4
Wir gehen auf Entdeckungsreise!
I/D
T
H
C
Konstruktionsbeschreibung eines Pentagramms aus einem
gegebenen Fünfeck; Messen von Seiten und Ermitteln von
Seitenverhältnissen im Fünfeck und eingeschlossenem
Pentagramm
M5
I
S
N
Kannst du ein regelmäßiges Fünfeck zeichnen?
2.
Konstruktionsbeschreibung eines regelmäßigen Fünfecks
M6
Vom regelmäßigen Fünfeck zum Pentagramm
A
R
O
Winkelberechnung im Pentagramm mit Umfangs-Mittelpunktswinkelsatz, Scheitelwinkel und Summe der Innenwinkel im Dreieck
V
M7
Das Weltbild einiger Mathematiker gerät ins Wanken
3.
Goldener Schnitt; irrationale Zahl; Mitternachtsformel
M8
Wir sind am Ziel unserer kleinen Entdeckungsreise!
4.
Beweis der Vermutung, dass sich die Diagonalen im regelmäßigen Fünfeck im goldenen Schnitt teilen
M9
Tippkarten zu M 5 und M 8
M 10
Folienvorlage
(Fo)
Knoten im Raum à regelmäßiges Fünfeck in der Ebene
M 11/M 12
Sich selbst rückwirkend einschätzen – ein Kompetenzraster
WH = Wiederholungsblatt
Minimalplan
Bei Zeitnot erarbeiten Sie in der ersten Unterrichtsstunde gemeinsam mit Ihren Schülern die Winkelgrößen im Pentagramm (M 6) sowie das Streckenverhältnis „Goldener
Schnitt“ (M 7). Damit Ihre Schüler das Gelernte vertiefen, lassen Sie sie zu Hause die
Seitenverhältnisse eines regelmäßigen Fünfecks mit einbeschriebenem Pentagramm
ermitteln (M 4) sowie ein Konstruktionsprotokoll eines regelmäßigen Fünfecks erstellen
(M 5). In der zweiten Unterrichtsstunde können Ihre Schüler in Kleingruppen Material
M 8 bearbeiten. Diese Station ist sehr anspruchsvoll, sodass in jeder Gruppe ein leistungsstarker Schüler sein sollte. Sowohl für die Hausaufgabe als auch für die Gruppenarbeit sollten Sie das Wiederholungsblatt M 1 sowie die Tippkarten aus M 9 austeilen.
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Die Basis – frische dein Wissen auf!
Sätze über Dreiecke
Innenwinkelsumme: In jedem Dreieck ist die Innenwinkelsumme 180°.
Ähnliche Dreiecke: Dreiecke, die in
den drei Winkeln oder in den entsprechenden Seitenverhältnissen
übereinstimmen, sind ähnlich.
Es gilt:
a' a b' b
a' a
= ;
= ;
= und
b' b c' c
c' c
α = α ' , β = β' , γ = γ ' .
I/D
Kongruente Dreiecke:
T
H
C
Zwei Dreiecke heißen kongruent (deckungsgleich), wenn sie übereinstimmen in
1. drei Seiten (SSS) oder
2. zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Innenwinkel (SWS) oder
I
S
N
3. einer Seite und den beiden anliegenden Innenwinkeln (WSW) oder
4. zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Innenwinkel (SSW).
Gleichschenklige Dreiecke:
A
R
O
Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck. Dreiecke mit
zwei gleich großen Winkeln sind gleichschenklig.
Winkel an Kreis:
V
Begrenzen die beiden Punkte A und B einen Kreisbogen b und ist ferner C ein Punkt
auf dem Kreisbogen, dann heißt ACB Umfangswinkel über den Kreisbogen b und
AMB der zugehörige Mittelpunktswinkel.
Umfangswinkelsatz:
Umfangs-Mittelpunktswinkelsatz:
Die zu einer Kreissehne gehörigen Umfangswinkel auf derselben Seite der Sehne
sind gleich groß.
Jeder Umfangswinkel zur Sehne AB ,
dessen Scheitel auf derselben Seite von
AB liegt, ist halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.
C
Se h
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ne
Das regelmäßige Fünfeck – ein algebraisch-geometrischer Lernzirkel
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Was kann ich schon alles? –
Mein Selbstdiagnosebogen
Der Selbstdiagnosebogen wird dir helfen herauszuinden,
was du schon alles kannst. Mache den Test.
Wie sicher fühlst du dich
in den folgenden Situationen?
Unsicher
Ziemlich
sicher
Sicher
Sehr
sicher
Ich kann Winkel konstruieren und bestimmen.
M 1, M 5,
M 6, M 8
M 1, M 5
Ich kann ähnliche Dreiecke
erkennen und eine Verhältnisgleichung der jeweiligen Strecken aufstellen.
I
S
N
A
R
O
M 1, M 8
M 1, M 5,
M8
Ich kann quadratische
Gleichungen mit der
Mitternachtsformel lösen.
M7
Ich kenne die Mengen der
natürlichen, rationalen
und irrationalen Zahlen.
M 4, M 7
M8
Ich kann Verhältnisgleichungen von Strecken
aufstellen und lösen.
M 1, M 4,
M 7, M 8
Ich kenne die Streckenverhältnisse und Winkelgrößen im regelmäßigen
Fünfeck und Pentagramm
und kann diese konstruieren.
M 4, M 5,
M 6, M 7,
M8
V
I/D
T
H
C
Ich kann kongruente Dreiecke erkennen und konstruieren.
Ich kann ein gleichschenkliges Dreieck erkennen
und konstruieren.
Wenn
unsicher,
dann
bearbeite
Ich kann gut in der
Gruppe arbeiten und sie
unterstützen bzw. Unterstützung annehmen.
Es gelingt mir gut, ausgearbeitete Lösungen zu
präsentieren.
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I/D
Reihe 53
In einem Papierstreifen steckt Mathematik!
Schneide von einem Blatt Papier einen ca. 2 cm breiten und ca. 15 cm langen Streifen ab.
Gehe nun in drei Schritten vor:
1. Verforme den Papierstreifen zu einer Schlinge.
Verlauf
2. Ziehe die Schlinge zu einer ebenen Figur zusammen.
Wenn du sorgfältig gearbeitet hast, dann solltest du aus einem Knoten im Raum eine ebene Figur erhalten haben.
ANS
3. Knicke die beiden unteren Ecken hoch, sodass einzig ein Fünfeck vor dir auf dem Tisch liegt.

LEK
1
5
2
4
Glossar
3
Lösungen
T
ICH
Aus einem Knoten im Raum wird ein Fünfeck.
Material
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
© W. Czech
Was ist wohl das Besondere an der erhaltenen Figur?
Das regelmäßige Fünfeck – ein algebraisch-geometrischer Lernzirkel
VOR
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M3
Das regelmäßige Fünfeck – ein algebraisch-geometrischer Lernzirkel
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M4
Verlauf
Material
S4
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Lösungen
Wir gehen auf Entdeckungsreise!
Seit sich die Menschen mit Mathematik beschäftigen, versuchen sie, Dreiecke, Vierecke
oder regelmäßige Vielecke mit einfachen Mitteln, also mit Zirkel und Lineal, zu konstruieren.
Gleichseitiges Dreieck, Rechteck, das regelmäßige Sechs- und Achteck stellten keine
großen Schwierigkeiten dar. Man erkannte auch, dass die Ecken jedes regelmäßigen
Vielecks auf einem Kreis, dem Umkreis, liegen. Als äußerst geheimnisvolle Figur im
Kreis erwies sich jedoch das regelmäßige Fünfeck.
Die folgende Abbildung zeigt ein solches regelmäßiges Fünfeck ABCDE.
I/D
T
H
C
I
S
N
A
R
O
V
Zusätzlich sind weitere Linien und Punkte eingezeichnet.
Aufgaben
1. Beschreibe mit Worten, wie die hier abgebildete Figur entstanden ist. Du kannst
davon ausgehen, dass der Kreis und die Eckpunkte A, B, C, D, E des regelmäßigen
Fünfecks vorgegeben sind.
2. Miss in der Figur der Reihe nach:
a) Länge der Seite a = AC des großen Sterns
b) Länge der Seite b = AB des großen Fünfecks
c) Länge der Seite c = FH des kleinen Sterns
d) Länge der Seite d = TF des kleinen Fünfecks im großen Stern
e) Länge der Seite e = PG des kleinen Sterns
f) Länge der Seite f = SR des Fünfecks im kleinen Stern
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Das regelmäßige Fünfeck – ein algebraisch-geometrischer Lernzirkel
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Material
S5
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Lösungen
M 5 Kannst du ein regelmäßiges Fünfeck zeichnen?
Die folgende Abbildung zeigt ein regelmäßiges
Fünfeck.
I/D
Matilda behauptet: „Mit Lineal, Zirkel, Winkelmesser und Stift kann ich ein regelmäßiges
Fünfeck zeichnen.“ Wie macht sie das?
I
S
N
Nutze die Tippkarte H 1

T
H
C
A
R
O
M6
Vom regelmäßigen Fünfeck zum Pentagramm
D
Die Abbildung entsteht dadurch, dass man die
Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks miteinander verbindet und gleichzeitig die Seiten des
regelmäßigen Fünfecks „löscht“.
V
C
M
Der so erhaltene Stern wird auch
Pentagramm1 genannt.
Das Pentagramm wurde im antiken Griechenland vielfach als Symbol verwendet, dem
magische Kräfte zugesprochen wurden. Seine fünf Spitzen symbolisieren die vier Elemente Feuer, Wasser, Erde, Luft der Antike und als fünftes Element den Äther (Geist).
Aufgaben
a) Berechne die Winkel α,
und .
b) Das Pentagramm gehört zu den Figuren, die man in einem Zug ohne abzusetzen mit
einem Stift zeichnen kann. Versuche es.
1
Pentagramm leitet sich aus dem Griechischen ab: pentagrammos – mit fünf Linien.
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M7
Verlauf
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S6
LEK
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Lösungen
Das Weltbild einiger Mathematiker
gerät ins Wanken
Das Pentagramm war das Erkennungszeichen einer religiösen
Gemeinschaft in Griechenland, die sich – nach ihrem Gründer
Pythagoras – Pythagoreer nannte. Im Zentrum ihrer Lehre stand
die Mathematik, denn Gott hat – zumindest ihrer Meinung nach –
den Kosmos nach Zahlen geordnet. Das heißt: Alles ist Zahl. Zahlen waren für die Pythagoreer ausschließlich natürliche Zahlen
und Verhältnisse natürlicher Zahlen, also etwa
2
13
oder
.
7
77
Heute würden die Pythagoreer das so ausdrücken: „Alles ist rationale Zahl.“
Gewaltig erschüttert wurde die antike Mathematik etwa um 450 v.
Chr., als einer der Pythagoreer, nämlich Hippasos von Metapont
(geb. 500 v. Chr.), entdeckte, dass es auch ganz andere Zahlen gibt.
Zahlen, die sich nicht als Quotient natürlicher Zahlen schreiben lassen. Damit war die Grundlage der pythagoreischen Lehre infrage
gestellt. Besonders peinlich war es, dass Hippasos von Metapont
gerade am Pentagramm, dem Vereinsabzeichen der Pythagoreer, zu
seiner Erkenntnis gelangte. Um das zu verstehen, müssen wir uns
zunächst mit einem besonderen Streckenverhältnis beschäftigen:
I/D
T
H
C
I
S
N
Gegeben sei die Strecke AB und auf dieser der Teilungspunkt T.
A
R
O
Punkt T wird nun so gewählt, dass sich die längere Teilstrecke AT zur kürzeren Teilstrecke TB genauso verhält wie die Gesamtstrecke AB zur längeren Teilstrecke AT .
V
Man sagt dann: Punkt T teilt die Strecke AB im Goldenen Schnitt.
Beispiel: Wir wenden dies auf eine Strecke der Länge 1 an. Also: AB = 1. Und diese
Strecke soll nun im Goldenen Schnitt geteilt werden. Gesucht ist also der Abstand des
Teilungspunktes T vom Punkt A, sodass die Strecke AB mit der Länge 1 im Goldenen
Schnitt geteilt wird.
In der folgenden Abbildung ist dies veranschaulicht:
1–x
Aufgaben
1. Ergänze! Wir erinnern uns: Punkt T teilt AB im Goldenen Schnitt, wenn sich die
längere Strecke AT zur kürzeren Strecke TB verhält wie
_____________________________________________________________________.
2. Setze AT = x und übersetze den Wortlaut in 1 in mathematische Kurzschrift.
3. Löse die in 2 erhaltene Bruchgleichung. Diskutiere kurz das Ergebnis.
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M8
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LEK
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Lösungen
Wir sind am Ziel unserer kleinen Entdeckungsreise!
Bei der Entdeckung dieser neuen
Zahlen, der irrationalen Zahlen, ging
sein wahrscheinlicher Entdecker, der
griechische Mathematiker Hippasos
von Metapont, vermutlich von einer
solchen Zeichnung aus, wie sie die
Abbildung zeigt.
I/D
Er richtete sein Augenmerk auf die
Diagonale AD und konnte durch
geschicktes Argumentieren zeigen,
dass die Diagonale AD mit der Seite
DE = DT kein gemeinsames Maß hat.
Das heißt:
T
H
C
Es gibt keine rationale Zahl, die mit DT
multipliziert als Ergebnis AD hat.
I
S
N
Daraus konnte Hippasos von Metapont schließen, dass es neben den rationalen Zahlen
auch noch andere Zahlen geben muss.
Aus heutiger Sicht sind wir „ganz dicht auf den Spuren des Hippasos von Metapont“,
wenn wir – wie dieser – die Diagonale AD betrachten und zeigen, dass diese durch den
Punkt T im Goldenen Schnitt geteilt wird.
A
R
O
Aufgabe
V
Zeige, dass die Diagonale AD durch
den Punkt T im Goldenen Schnitt
geteilt wird.
Lösungsidee: Die gefundene Bruchgleichung in eine quadratische Gleichung umformen und ihre Lösung mit
der Mitternachtsformel bestimmen.
Betrachte die Dreiecke
DTE und DCA. Zeige, dass diese gleichschenklig und einander ähnlich sind.
Was folgt daraus für das Verhältnis
entsprechender Seiten?
Tippkarte H 2 zeigt dir einen Teil der
Lösung, den Nachweis, dass das
Dreieck DTE gleichschenklig ist.
Tippkarte H 3 gibt dir weitere konkrete
Lösungshinweise.
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Verlauf
M9
Material
S8
LEK
Glossar
Lösungen
Tippkarten

H1
Tippkarte
zu M 5
Um jedes regelmäßige Vieleck können
wir einen Kreis ziehen, auf dem alle
Eckpunkte liegen, so auch um das regelmäßige Fünfeck. Punkt M bezeichnet
den Mittelpunkt des Kreises. Jetzt sollte
dir die Lösung gelingen.
I/D
T
H
C

H2
Tippkarte
I
S
N
zu M 8
Erkennungszeichen gleichschenkliger Dreiecke: zwei gleich große Winkel
Dreieck DTE
A
R
O
Wir zeigen, dass im Dreieck DTE die beiden Winkel DET und DTE gleich groß sind
und dass das Dreieck DTE folglich gleichschenklig ist.
Was wissen wir bereits:
V
DAC = EBD = ACE = BDA = CEB = 36°.
Jetzt benutzen wir den Umfangswinkelsatz:
– bezüglich der Sehne CD :
DEC = DAC = 36°
– bezüglich der Sehne AE :
EDA = ACE = 36°
Daraus folgt:
1. DET = DEC + CEB = 36° + 36° = 72°
2. DET + EDA + ETD = 72° + 36° +  ETD = 180° ,
also  ETD = 72°
Ergebnis:
Im Dreieck DTE sind zwei Winkel gleich groß.
Daraus folgt, dass das Dreieck DTE gleichschenklig ist.

83 RAAbits Mathematik Juni 2015
I/D
(M 1, M 5)




Ich kann Winkel mit einem
Geodreieck konstruieren.
Ich kann mit dem Umfangswinkelsatz und Umfangs-Mittelpunktswinkelsatz Winkel am
Kreis bestimmen.
Ich kenne die Größen Seite und
Winkel im Dreieck.
Ich kann anhand der Kongruenzsätze kongruente Dreiecke
erkennen.
Ich kann kongruente Dreiecke
erkennen und konstruieren.
Ich kenne die Größen Seite und
Winkel im Dreieck.
Ich kann ähnliche Dreiecke
erkennen.
Ich kann ähnliche Dreiecke
erkennen und eine Verhältnisgleichung der jeweiligen
Strecken aufstellen.
Ich kenne die Größen Seite und
Winkel im Dreieck.
Ich kann ein gleichschenkliges
Dreieck erkennen.
Ich kann ein gleichschenkliges
Dreieck erkennen und konstruieren.
Erreicht: meine Unterschrift
Gleichschenkliges Dreieck
(M 1, M 5, M 8)
Erreicht: meine Unterschrift
Lösungen
Ich kann Winkel mit einem
Winkelmesser bzw. Geodreieck
messen.
Glossar
Ähnliche Dreiecke (M 1, M 8)



T
ICH
Erreicht: meine Unterschrift


LEK
Kongruente Dreiecke
Stufe 3
Material
S 11
Erreicht: meine Unterschrift
Stufe 2
ANS
Winkel im Dreieck und am Kreis
(M 1, M 5, M 6, M 8)
Stufe 1
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Gebiet
Reihe 53
Sich selbst rückwirkend einschätzen – ein Kompetenzraster
Verlauf
VOR
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Verlauf
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Lösungen
S1
Lösungen und W Tipps zum Einsatz
M3
In einem Papierstreifen steckt Mathematik!
Im Innern der Fläche entsteht wiederum ein neues, zum gegebenen Fünfeck ähnliches
Fünfeck. Dies werden Ihre Schüler im Material M 4 entdecken.
M4
I/D
Wir gehen auf Entdeckungsreise!
1. Zunächst werden die Eckpunkte des regelmäßigen Fünfecks miteinander verbunden.
Dann werden die Diagonalen des Fünfecks AC, AD, BD, BE und CE eingezeichnet.
Es entsteht ein sogenanntes Pentagramm. Das Pentagramm umschließt seinerseits
wiederum ein regelmäßiges Fünfeck, und zwar FGHKT . Anschließend werden die
Diagonalen dieses Fünfecks FH, FK, GK, GT und HT so eingezeichnet, dass ein weiteres Pentagramm mit eingeschlossenem regelmäßigem Fünfeck entsteht.
T
H
C
2. Jede dieser Längen ist die Summe der Längen der beiden folgenden kleineren Längen.
Im Einzelnen: a = b + c ; b = c + d; c = d + e; d = e + f.
Des Weiteren gilt: a : b = b : c; b : c = c : d; c : d = d : e; d : e = e : f.
I
S
N
Dies zeigen die Messergebnisse. Der mathematische Beweis ist aufwendig.
M 5 Kannst du ein regelmäßiges Fünfeck zeichnen?
A
R
O
Lösungsidee (siehe Tippkarte H 1): Wir verbinden die Eckpunkte A, B, C, D und E einer
Skizze des Fünfecks jeweils mit dem Mittelpunkt M. Es entstehen fünf gleichschenklige
Dreiecke mit einem 72°-Winkel an der Spitze.
Exakte Zeichnung:
V
Exakte Zeichnung: Wir zeichnen zunächst ein
gleichschenkliges Dreieck mit einem 72°-Winkel an der Spitze. An dieses Dreieck setzen
wir vier weitere, dazu kongruente Dreiecke so
an, dass ihre Spitzen zusammenfallen.
M6
Vom regelmäßigen Fünfeck zum Pentagramm
a) Lösungsidee: Wir betrachten das Dreieck DCM mit dem 72°-Winkel an der Spitze.
Winkel α
Wir wenden den Umfangs-Mittelpunktswinkelsatz bezogen auf die Sehne DC an.
Danach gilt: Zum Mittelpunktswinkel DMC = 72° gehört der halb so große Umfangswinkel α = 36°.
Analog gilt: δ = ε = ϕ = ψ = 36° .
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