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Das regelmäßige Fünfeck – ein algebraisch-geometrischer Lernzirkel
Reihe 53
S2
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Lösungen
Didaktisch-methodische Hinweise
Lehrplanbezug
Geometrie gehört nach dem Bildungsplan Baden-Württemberg zur Leitidee „Raum und
Form“. Sie wird in der 9./10. Klasse unterrichtet.
Folgende Schwerpunkte dieses Bildungsplans vermitteln Sie mit diesem Beitrag:
– grundlegende geometrische Objekte fachgerecht benennen und vollständig beschreiben,
– charakteristische Eigenschaften von geometrischen Objekten erkennen und Beziehungen zwischen verschiedenen Objekten analysieren,
U
A
– geometrische Objekte mithilfe von Geodreieck und Zirkel sorgfältig darstellen,
– ebene Figuren abbilden,
I/D
– über ein angemessenes räumliches Vorstellungsvermögen verfügen.
H
C
Gedanken zur Geometrie
Geometrie war ursprünglich Feldmesskunst, also eine höchst praktische und konkrete
Sache. Die Menschen wollten Landflächen vermessen, Häuser und Kulträume bauen,
Gebrauchsgegenstände verzieren. Dies war der Anfang geometrischen Handelns. Dabei
spielten das Augenmaß und das sichere Gefühl für Proportionen eine wichtige Rolle.
Gleichzeitig stieß man zwangsläufig auf die Erkenntnis, dass alles Messen auf das Feststellen von Längen, Winkeln sowie auf das Zerlegen in einfache Grundfiguren zurückgeführt werden kann.
S
R
Aus dem Messen erwuchs das Verlangen nach Exaktheit und damit das Bedürfnis, das
sonst für den Alltag ausreichende naive Zahlenverständnis (Abzählen mit den Fingern)
auszubauen und zu verfeinern. Die Geometrie wurde sozusagen zum Motor für die Entwicklung der Arithmetik und Algebra.
O
V
Streckenteilungen erzwangen Bruchzahlen, die Länge einfach konstruierbarer Strecken
(Diagonalen im Quadrat, Streckenverhältnisse im Pentagramm, Kreisumfang) brachte die
Entdeckung der irrationalen Zahlen und machte in der Folge die Entwicklung weiterer
mathematischer Disziplinen wie zum Beispiel der Analysis notwendig.
Für die Schule gesprochen kann man sagen:
Geometrie handelt von der Untersuchung der Figuren, die wir mit Zirkel und Lineal in
unser Heft oder auf die Tafel zeichnen können und die wir in der Welt um uns, an unseren Feldern, Häusern und an unseren Gebrauchsgegenständen entdecken.
Ihre Schüler entwickeln in der Auseinandersetzung mit geometrischen Figuren und
Beziehungen ihre Vorstellungs- und Abstraktionsfähigkeit, aber auch ihre sprachlichlogischen und motorischen Fähigkeiten. In Kleingruppen motivieren sich Ihre Schüler
gegenseitig, indem sie Lösungsideen diskutieren und entwickeln und ihre Lösungen
anschließend präsentieren. Insbesondere wird das Interesse der Schüler durch einen
kleinen, aber spannenden Rückblick in die Geschichte der Pythagoreer geweckt.
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Das regelmäßige Fünfeck – ein algebraisch-geometrischer Lernzirkel
Reihe 53
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Unterrichtsphase 2
Die Schüler inden sich zu neuen Gruppen zusammen. Sie bearbeiten nun in dieser Reihenfolge die Materialien M 6, M 7 und M 8. Für die Ergebnissicherung und Präsentation
ist eine Unterrichtsstunde nötig.
Anforderung und Ermunterung zugleich
Die mathematischen Probleme sind mitunter recht anspruchsvoll. Bei ihren Lösungen
müssen sich die Schüler anstrengen. Die Erfahrung zeigt, dass beharrliches und ausdauerndes Arbeiten zum Erfolg führen. Und dieser Erfolg motiviert gleichzeitig zum
Weitermachen. Vermitteln Sie Ihren Schülern diese Erkenntnis.
U
A
Bezug zu den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz
I/D
Allg. mathematische
Kompetenz
Leitidee
K 1–K 3
L 1–L 3
… werten geometrische Figuren aus
und stellen Zusammenhänge her
(M 4–M 8),
II
K 1–K 3, K 6
L 1–L 3
… diskutieren ihre Lösungswege und
dokumentieren ihre Ergebnisse nachvollziehbar (M 4–M 8),
II, III
K 1–K 2
L 1–L 3
… arbeiten mit dem Umfangswinkelsatz sowie dem Umfangs-Mittelpunktswinkelsatz (M 6, M 8),
I–III
K 1–K 3, K 5
L 1–L 3
… beweisen mit viel Übersicht
geometrische Eigenschaften
(M 5, M 8),
I–III
… stellen Vermutungen auf und
beweisen diese (M 8).
II
Die Schüler ...
H
C
S
R
O
V
K 1–K 2
Inhaltsbezogene Kompetenzen
L 1–L 3
Anforderungsbereich
Abkürzungen
Kompetenzen
K 1 (Mathematisch argumentieren); K 2 (Probleme mathematisch lösen); K 3 (Mathematisch modellieren); K 4 (Mathematische Darstellungen verwenden); K 5 (Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen); K 6 (Kommunizieren)
Leitideen
L 1 (Zahl und Zahlbereich); L 2 (Messen und Größen); L 3 (Raum und Form); L 4 (Funktionaler
Zusammenhang); L 5 (Daten und Zufall)
Anforderungsbereiche
I Reproduzieren; II Zusammenhänge herstellen; III Verallgemeinern und Relektieren
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Material
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Auf einen Blick
Material
Thema
Stunde
M 1
Die Basis – frische dein Wissen auf!
1.
(WH)
Sätze über Dreiecke: Innenwinkelsumme, ähnliche Dreiecke,
kongruente Dreiecke, gleichschenklige Dreiecke; Umfangswinkelsatz, Umfangs-Mittelpunktswinkelsatz
M 2
Was kann ich schon alles? – Mein Selbstdiagnosebogen
Sich selbst einschätzen
M 3
U
A
In einem Papierstreifen steckt Mathematik!
Aus einem Streifen Papier wird ein Knoten im Raum und
daraus ein Fünfeck in der Ebene geformt.
M 4
Wir gehen auf Entdeckungsreise!
I/D
Konstruktionsbeschreibung eines Pentagramms aus einem
gegebenen Fünfeck; Messen von Seiten und Ermitteln von
Seitenverhältnissen im Fünfeck und eingeschlossenem
Pentagramm
M5
H
C
Kannst du ein regelmäßiges Fünfeck zeichnen?
2.
Konstruktionsbeschreibung eines regelmäßigen Fünfecks
M6
S
R
Vom regelmäßigen Fünfeck zum Pentagramm
Winkelberechnung im Pentagramm mit Umfangs-Mittelpunktswinkelsatz, Scheitelwinkel und Summe der Innenwinkel im Dreieck
M7
O
V
Das Weltbild einiger Mathematiker gerät ins Wanken
3.
Goldener Schnitt; irrationale Zahl; Mitternachtsformel
M8
Wir sind am Ziel unserer kleinen Entdeckungsreise!
4.
Beweis der Vermutung, dass sich die Diagonalen im regelmäßigen Fünfeck im goldenen Schnitt teilen
M9
Tippkarten zu M 5 und M 8
M 10
Folienvorlage
(Fo)
Knoten im Raum à regelmäßiges Fünfeck in der Ebene
M 11/M 12
Sich selbst rückwirkend einschätzen – ein Kompetenzraster
WH = Wiederholungsblatt
Minimalplan
Bei Zeitnot erarbeiten Sie in der ersten Unterrichtsstunde gemeinsam mit Ihren Schülern die Winkelgrößen im Pentagramm (M 6) sowie das Streckenverhältnis „Goldener
Schnitt“ (M 7). Damit Ihre Schüler das Gelernte vertiefen, lassen Sie sie zu Hause die
Seitenverhältnisse eines regelmäßigen Fünfecks mit einbeschriebenem Pentagramm
ermitteln (M 4) sowie ein Konstruktionsprotokoll eines regelmäßigen Fünfecks erstellen
(M 5). In der zweiten Unterrichtsstunde können Ihre Schüler in Kleingruppen Material
M 8 bearbeiten. Diese Station ist sehr anspruchsvoll, sodass in jeder Gruppe ein leistungsstarker Schüler sein sollte. Sowohl für die Hausaufgabe als auch für die Gruppenarbeit sollten Sie das Wiederholungsblatt M 1 sowie die Tippkarten aus M 9 austeilen.
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83 RAAbits Mathematik Juni 2015
Das regelmäßige Fünfeck – ein algebraisch-geometrischer Lernzirkel
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Glossar
Lösungen
Wir gehen auf Entdeckungsreise!
Seit sich die Menschen mit Mathematik beschäftigen, versuchen sie, Dreiecke, Vierecke
oder regelmäßige Vielecke mit einfachen Mitteln, also mit Zirkel und Lineal, zu konstruieren.
Gleichseitiges Dreieck, Rechteck, das regelmäßige Sechs- und Achteck stellten keine
großen Schwierigkeiten dar. Man erkannte auch, dass die Ecken jedes regelmäßigen
Vielecks auf einem Kreis, dem Umkreis, liegen. Als äußerst geheimnisvolle Figur im
Kreis erwies sich jedoch das regelmäßige Fünfeck.
Die folgende Abbildung zeigt ein solches regelmäßiges Fünfeck ABCDE.
U
A
I/D
H
C
S
R
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V
Zusätzlich sind weitere Linien und Punkte eingezeichnet.
Aufgaben
1. Beschreibe mit Worten, wie die hier abgebildete Figur entstanden ist. Du kannst
davon ausgehen, dass der Kreis und die Eckpunkte A, B, C, D, E des regelmäßigen
Fünfecks vorgegeben sind.
2. Miss in der Figur der Reihe nach:
a) Länge der Seite a = AC des großen Sterns
b) Länge der Seite b = AB des großen Fünfecks
c) Länge der Seite c = FH des kleinen Sterns
d) Länge der Seite d = TF des kleinen Fünfecks im großen Stern
e) Länge der Seite e = PG des kleinen Sterns
f) Länge der Seite f = SR des Fünfecks im kleinen Stern
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Wir sind am Ziel unserer kleinen Entdeckungsreise!
Bei der Entdeckung dieser neuen
Zahlen, der irrationalen Zahlen, ging
sein wahrscheinlicher Entdecker, der
griechische Mathematiker Hippasos
von Metapont, vermutlich von einer
solchen Zeichnung aus, wie sie die
Abbildung zeigt.
I/D
Er richtete sein Augenmerk auf die
Diagonale AD und konnte durch
geschicktes Argumentieren zeigen,
dass die Diagonale AD mit der Seite
DE = DT kein gemeinsames Maß hat.
Das heißt:
Es gibt keine rationale Zahl, die mit DT
multipliziert als Ergebnis AD hat.
U
A
H
C
Daraus konnte Hippasos von Metapont schließen, dass es neben den rationalen Zahlen
auch noch andere Zahlen geben muss.
S
R
Aus heutiger Sicht sind wir „ganz dicht auf den Spuren des Hippasos von Metapont“,
wenn wir – wie dieser – die Diagonale AD betrachten und zeigen, dass diese durch den
Punkt T im Goldenen Schnitt geteilt wird.
Aufgabe
O
V
Zeige, dass die Diagonale AD durch
den Punkt T im Goldenen Schnitt
geteilt wird.
Lösungsidee: Die gefundene Bruchgleichung in eine quadratische Gleichung umformen und ihre Lösung mit
der Mitternachtsformel bestimmen.
Betrachte die Dreiecke
DTE und DCA. Zeige, dass diese gleichschenklig und einander ähnlich sind.
Was folgt daraus für das Verhältnis
entsprechender Seiten?
Tippkarte H 2 zeigt dir einen Teil der
Lösung, den Nachweis, dass das
Dreieck DTE gleichschenklig ist.
Tippkarte H 3 gibt dir weitere konkrete
Lösungshinweise.
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Winkel ȕ
Winkel ȕ kommt auch im Dreieck
DZA vor. Es gilt: Winkel DZA = ȕ
(Scheitelwinkel).
Damit ist ȕ über die Winkelsumme
im Dreieck DZA berechenbar.
Es gilt:
ϕ + α + β = 180° ,
also β = 180° − 36° − 36° = 108° .
Winkel Ȗ
U
A
Im Dreieck XCA gilt:
γ + ψ + α = γ + 36° + 36° =
180°, also γ = 108°.
b) zum Beispiel der Streckenzug ADBECA
M7
I/D
H
C
Das Weltbild einiger Mathematiker gerät ins Wanken
1. Punkt T teilt AB im Goldenen Schnitt, wenn sich die längere Strecke AT zur kürzeren
Strecke TB verhält wie die Gesamtstrecke AB zur längeren Teilstrecke AT .
S
R
2. Mit AT = x , AB = 1 wird TB = 1 − x .
Also: x : (1 – x) = 1 : x
3. Gleichwertig mit x : (1 – x) = 1 : x ist
x
1
= .
1− x
x
O
V
Lösungsidee:
Die gefundene Bruchgleichung in eine quadratische Gleichung umformen und ihre
Lösung mit der Mitternachtsformel bestimmen.
Wir multiplizieren beide Seiten mit (1 – x) ∙ x und erhalten
2
x = 1 − x ⇔ x2 + x − 1 = 0 .
Wir benutzen die Mitternachtsformel:
x1/2 =
−b ±
b2 − 4ac
.
2a
Setzen darin ein a = 1, b = 1 und c = –1 und erhalten
x1/2 =
12 + 4
−1 ±
2
.
Da nur die positive Lösung infrage kommt, gilt:
x=
5 −1
≈ 0,618.
2
Damit ist gezeigt, dass die Länge der Strecke AT eine irrationale Zahl ist.
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