Formelsammlung Wirtschaftsmathematik

2
Inhalt
Einführung
Algebra
Rechengesetze
Betrag
Binome
Potenzen und Wurzeln
Logarithmus
Dreisatz
Lösung von Gleichungen und Ungleichungen
Lineare Gleichungssysteme
Prozent, Zins und ZinseszinsRechnung
7
7
10
11
13
15
16
19
28
36
Geometrie
46
46
51
54
Ebene Geometrie
Geometrische Körper
Trigonometrie
Funktionen
56
56
57
61
64
69
69
Folgen
Grenzwerte von Folgen und Funktionen
Reihen
Eigenschaften von Funktionen
Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Wichtige Funktionen
3
Lineare Regression
Interpolation
Analysis: differential und Integralrechnung
Stetigkeit
Ableitungen
Kurvendiskussion
Optimierung, Extremwertprobleme
Begriffe der Integration
Hauptsatz der Differential und Integralrechnung
Stammfunktionen
Integrationsregeln
Flächenbestimmung
Numerische Integration
Stochastik
76
78
79
79
80
84
91
99
99
100
100
104
106
108
Kombinatorik
Beschreibende Statistik
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Verteilungen
Kovarianz und Korrelationskoeffizient
108
110
111
112
120
Anhang
Stichwortverzeichnis
121
122
7
Rechengesetze
Algebra
Rechengesetze
Assoziativgesetze:
Kommen in einem Term jeweils ausschlieÿlich
+
oder
·
vor, so dürfen Sie beliebig Klammern setzen:
Algebra (a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
Kommen in einem Term die Operationen
− oder : oder
verschiedene Rechenoperationen vor, so müssen Sie die
Klammern beibehalten oder vorsichtig auösen.
Distributivgesetz:
a · (b + c) = a · b + a · c
(a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d
Beispiel
(x − 3) · (4x − 2) = 4x 2 − 2x − 12x + 6 = 4x 2 − 14x + 6
Bruchrechnung:
Das Erweitern von Brüchen:
Brüche werden erweitert, indem man Zähler und
Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert.
8
Algebra
Die Addition von Brüchen:
- Haben die Brüche gleiche Nenner, so behalten Sie den Nenner bei und addieren einfach
die Zähler:
c
a+c
a
+ =
b b
b
- Haben die Brüche verschiedene Nenner, so
müssen sie zunächst gleichnamig gemacht
werden. Sie müssen die Brüche also so erweitern, dass sie den gleichen Nenner haben.
Als gemeinsamen Nenner können Sie das Produkt der Nenner verwenden:
a
c
a·d
c ·b
a·d +b·c
+ =
+
=
b d
b·d
d ·b
b·d
Beispiel
2x + 1
x −3
(2x + 1) · (x + 1)
(x − 3) · (4x − 2)
+
=
+
4x − 2
x +1
(4x − 2) · (x + 1)
(x + 1) · (4x − 2)
=
2x 2 + 3x + 1
4x 2 − 14x + 6
+
(4x − 2)(x + 1)
(4x − 2)(x + 1)
=
6x 2 − 11x + 7
(4x − 2)(x + 1)
Die Multiplikation von Brüchen:
Es werden jeweils die Zähler und die Nenner miteinander multipliziert:
a·c
a c
· =
b d
b·d
Beispiel
2x + 1 x − 3
(2x + 1) · (x − 3)
2x 2 − 5x − 3
·
=
=
4x − 2 x + 1
(4x − 2) · (x + 1)
(4x − 2)(x + 1)
9
Rechengesetze
Die Division von Brüchen:
Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit
seinem Kehrwert multipliziert:
a
b
c
d
=
a d
a·d
a c
: = · =
b d
b c
b·c
Das Kürzen von Brüchen:
Ein Bruch kann nur gekürzt werden, wenn man
aus allen Bestandteilen des Zählers und Nenners
dieselbe Zahl oder denselben Term ausklammern
und dadurch kürzen kann.
Beispiel
5x 3 + 10x 2
x 2 · (5x + 10)
5x + 10
= 2
=
4
2
7x − x
x · (7x 2 − 1)
7x 2 − 1
Man darf niemals durch 0 dividieren. Der Nenner eines Bruchs
darf deshalb nie 0 werden!
Beispiel
In den Bruch
2x+1
darf man für
4x−2
der Nenner nicht
0
x
nur die Zahlen einsetzen, für die
wird. Der Nenner wird
4x − 2 = 0 ⇔ x =
Man sagt, die Denitionsmenge
D = R\
1
2
D
0,
wenn
4x − 2 = 0
ist:
1
2
(s. auch S. 65) des Bruches ist
.
Intervalle
Um zusammenhängende Zahlenmengen einfacher schreiben zu können, verwendet man Intervalle:
10
Algebra
[a; b] = {x|a ≤ x ≤ b}
vall. Die Randpunkte
ist ein abgeschlossenes Inter-
a, b
gehören zum Intervall.
]a; b[ = (a; b) = {x|a < x < b} ist ein oenes Intervall.
Die Randpunkte
a, b
[a; ∞[ = {x|x ≥ a}
gehören nicht zum Intervall.
ist ein halb oenes Intervall.
Betrag
Der Betrag einer Zahl ist der positive Wert der Zahl:
(
|a| =
a,
falls
a≥0
−a,
falls
a<0
Beispiele
|2| = 2,
| − 2| = 2
Der Betrag gibt den Abstand einer Zahl von der Zahl 0
auf der Zahlengeraden an.
|a − b|
ist der Abstand der Zahlen
Für eine positive Zahl
|x| = a
und
b
voneinander.
gilt:
x =a
oder
x = −a.
|x| < a gilt, so liegt x zwischen den Zahlen −a
a: x ∈ ]−a; a[ oder gleichwertig: −a < x < a.
Wenn
und
bedeutet
a
a
|x| ≥ a, so liegt x auÿerhalb des Intervalls ] − a; a[,
x ∈ R\ ] − a; a[ oder gleichwertig: x ≥ a oder
x ≤ −a.
Gilt
also
11
Binome
Beispiel
Wie nde ich alle Zahlen
die von der Zahl
3
alle Zahlen zwischen
2
0
1
x
mit
|x − 3| < 2?
Dies sind die Zahlen,
einen Abstand haben, der kleiner als
1
und
5,
genauer das Intervall
2
ist, also
]1; 5[.
2
2
3
4
5
Binome
Binomische Formeln:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b 2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b 2
(a + b) · (a − b) = a2 − b 2
Beispiel
(4c − 3d)2 = (4c)2 − 2 · (4c) · (3d) + (3d)2 = 16c 2 − 24cd + 9d 2
Wie Sie höhere Potenzen von Binomen berechnen können,
sagt der Binomische Lehrsatz:
n n−1
n n−2 2
a b+
a b + ...
(a + b)n = an +
1
2
n
+
a1 b n−1 + b n
n−1
n X
n
· an−k · b k
=
k
k=0
Die Binomialkoezienten
n
k
werden auf S. 12 erläutert.
122
Stichwortverzeichnis
Abbildung
Bruchgleichungen
64
21
Ableitung 80
Bruchrechnung 7
Abschreibung 44
Bruchungleichungen
22
geometrisch-degressive 45
Cosinus
lineare 44
Abstand
Achsensymmetrie
Cramer'sche Regel 30, 32
85
Additionsmethode
29
Datenpunkte 78
Ankathete 54
Annuitätendarlehen
42
Argumente 65
Arithmetische Folge 56
Assoziativgesetz
7
Auf-Hundert-Rechnung 37
Aufzinsungsfaktor
Denitionsbereich 84
Denitionslücke 85
Denitionsmenge 9, 64
Determinante
34
Dichtefunktion 116
Asymptote 87
39
Dierenzierbarkeit 85
Diskriminante 24
Distributivgesetz 7
Ausgleichsgerade 77
Barwert
54
Cotangens 54
10, 46
Dreieck
48
Fläche 48
41
rechtwinkliges 48
Bedingte Wahrscheinlichkeit 111
Dreiecksform
Bernoulli-Verteilung
Dreisatz 16
112
31
Beschränktheit 68
Betrag 10
Eektivzins 41
Bild
Einsetzungsverfahren 28
65
Bildmenge 64
Binom
Einzahlungen, regelmäÿige 41
11
Binomialkoezienten
Elastizitätsfunktion 81
12, 108
Ellipsoid 53
Binomialverteilung 112
Exponentialfunktion
Binomische Formeln 11
Exponentialgleichung 25
Bisektionsverfahren 27
Extremwerte
Bogenmaÿ 46
Extremwertproblem
75
85
91
123
Fläche 98, 103
Dreieck
Grenzkostenfunktion 81
48
Kreis 50
Grenzwert
57, 79
Grundwert
36
Folge 56
arithmetische
56
Höhensatz 48
geometrische 56
Funktionswert
Funktion
Hintereinanderausführung 66
65
Hypotenuse
54
64
äuÿere 66, 83
Im-Hundert-Rechnung 38
gerade 85
Integral 98
graphische Darstellung 65
Integration 98
innere 66, 83
lineare
numerische 105
69
Interpolation
78
quadratische 72
Intervall
ungerade 85
Inverse Funktion
Gauÿ'sches Eliminations-
66
Kathete 54
verfahren 30
Gegenkathete
9
Kathetensatz 48
54
Kegel
Geometrische Folge 56
Geometrische Verteilung
115
Kombination
29
Folge 57
Reihe
Gleichung 19
66
Konvergenz
Geradengleichung 70
Gleichsetzungsmethode
51
Kettenregel 83
63
Bruch- 21, 22
Konvexität
Exponential-
Korrelationskoezient 119
lineare
25
Kovarianz
21
Logarithmus
26
86
119
Krümmung 86
quadratische 23
Kreis 50
Wurzel-
Kreiszylinder 52
24
Gleichungssystem
Kugel 53
Lösbarkeit 35
Kugelkappe 53
lineares
Kugelschicht 53
28
Gleichverteilung 117
Kugelsektor
Grad
Kurvendiskussion 84
46, 73
53
Gradient 95
Graph 65
L'Hospital 60
Grenzfunktion 81
Lösungsmenge 19
124
Lagrange-Funktion
Polynom
96
72, 73
Leibniz-Kriterium 63
Polynomdivision
Lineares Gleichungssystem 28
Potenzfunktion
Linkskrümmung
Potenzgesetze 13
Logarithmus
86
Produktregel
15, 76
83
Logarithmusfunktion 76
Prozent 36
Logarithmusgleichung
Prozentsatz 36
26
Prozentwert
Majorantenkriterium
Marginalanalyse
63
36
Punktsymmetrie 85
Pyramide
80
Marginalfunktion
73
74
52
Pythagoras 48
81
Matrix 33
Matrixform 30
Quader
Maximum 85
Quadrat 49
Median
Quotientenkriterium 63
109
Methode der kleinsten Quadrate
51
Quotientenregel
83
77
Minimum
85
Rate 43
Mittelpunkt 47
Raute
Mittelwert
Rechteck 49
109
50
Monotonie 68, 84
Rechtskrümmung 86
Monotoniebereich 86
Rechtwinkliges Dreieck
Regression, lineare 76
Nebenbedingungen 96
Newton-Verfahren
27
Normalengleichungen 77
Normalparabel
72
Reihe
63
alternierend 63
geometrisch 64
Konvergenz 63
Normalverteilung 117
Relative Häugkeit 110
Nullstellen
Rentenrechnung 41
85
Restschuld
42
Optimierung 91
Rhombus
Parabel
Scheitelpunkt
72
50
72
Schnittpunkt 69
Parallelogramm 49
Partielle Integration 100
Sekante 80
Pascal'sches Dreieck
Simpsonregel 106
12
Sinus 54
Permutation 108
Poisson-Verteilung
114
Spiegelung 67
48
125
Stammfunktion 98
Varianz
Standardabweichung 109
Verschiebung 67
Steigung
Verteilung
69
Steigungswinkel
80
Stetigkeit 79, 85
109
diskrete 112
kontinuierliche 116
Strahlensätze 47
Verteilungsfunktion 112, 116
Streckung 67
Vierecke
Strenge Monotonie 86
Vorzeichenbereiche 85
49
Substitution 101
Summe
Würfel
51
endliche 61
Wahrscheinlichkeitsfunktion 112
unendliche 63
Wendepunkte 86
Summenzeichen 61
Wertemenge 65
Symmetrie 85
Winkel
46
Wurzel
13
Tangens
54
Wurzelfunktionen 75
Tangente 80
Wurzelgleichung
24
Tilgung 42, 43
Trapez 50
Trapezregel
y-Achsenabschnitt
69
106
Trigonometrie 54
Zahlung, nachschüssige 42
Zentralwert
Umkehrfunktion
66
109
Zinseszinsrechnung 39
Unabhängige Ereignisse 111
Zinsrechnung 39
Ungleichung
Zuordnungsvorschrift 65
Urbild
65
22
Zylinder 52