WS 2013/2014 Institut für mathematische Strukturtheorie (Math. C)

Übungen “Höhere Wahrscheinlichkeitstheorie”
WS 2013/2014
Institut für
Mathematik C
Institut für mathematische Strukturtheorie (Math. C)
29. Oktober 2013
Nachtrag zum Beweis des folgenden Satzes aus der Vorlesung: In der Vorlesung wurden
an einer Stelle im Beweis der “⇒”-Richtung Suprema weggelassen, was eine kleine Lücke im
Beweis hinterlässt. Daher hier als Nachtrag der vollständige Beweis der “⇒”-Richtung:
Satz: Es existiert eine Zufallsvariable X mit Xn → X fast sicher genau dann, wenn Wk :=
k→∞
supn≥k |Xn − Xk | −−−→ 0 in Wahrscheinlichkeit.
Beweis: ⇒: Aus einem vorherigen Satz in der Vorlesung folgt, daß
Uk = sup |Xn − X| → 0
in Wahrscheinlichkeit,
n≥k
d.h. für jedes a > 0 gilt
P[Uk ≥ a/2] = P sup |Xn − X| ≥ a/2 → 0.
n≥k
Somit erhalten wir:
0 ≤ P sup |Xn − Xk | ≥ a
n≥k
≤ P sup |Xn − X| + |Xk − X| ≥ a
n≥k
≤ P sup |Xn − X| ≥ a/2 + P[|Xk − X| ≥ a/2]
n≥k
k→∞
−−−→ 0,
da nach Voraussetzung Xk insbesondere in Wahrscheinlichkeit gegen X konvergiert, d.h.
P[|Xk − X| ≥ a/2] → 0.
Somit folgt Wk → 0 in Wahrscheinlichkeit.
.
9. Seien X und Y Zufallsvariablen und (Xn )n∈N eine Folge von Zufallsvariablen derart, daß
Xn gegen X und Xn gegen Y P-fast sicher (bzw. in Wahrscheinlichkeit) konvergiert.
Zeigen Sie, daß in beiden Fällen X P-fast sicher gleich Y ist.
10. Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X, Y unabhängige, integrierbare Zufallsvariablen mit E|XY | < ∞. Man zeige:
E[XY ] = E[X] · E[Y ].
Man gehe im Beweis wie folgt vor:
(a) P
Zeigen Sie die Gleichung
X und Y , d.h. X =
Pn für zwei einfache Zufallsvariablen
m
m , (B )n
a
1
und
Y
=
b
1
,
wobei
(A
)
Partitionen
von Ω sind.
k k=1
k k=1
k=1 k Ai
k=1 k Bi
(b) Man zeige die Gleichung nun für nicht-negative Zufallsvariablen, wobei X und Y
Approximationen durch folgende einfache Zufallsvariablen besitzen:
n −1
n2
h
X
k=0
i
k
1
(X)
+ n1[n,∞)(X).
k+1
k
2n [ 2n , 2n ]
(c) Zeigen Sie nun die Gleichung für allgemeine Zufallsvariablen X und Y durch Auftrennen von X und Y in positive und negative Teile X + , Y + und X − , Y − .
11. Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, sei X eine Zufallsvariable und (Xn )n∈N eine
Folge von Zufallsvariablen. Sei g : R → R eine stetige Funktion. Man zeige:
(a) “Xn → X P-fast sicher” impliziert “g(Xn ) → g(X) P-fast sicher”.
(b) “Xn → X in Wahrscheinlichkeit” impliziert “g(Xn ) → g(X) in Wahrscheinlichkeit”
12. Sei X eine nicht-negative Zufallsvariable. Man zeige, daß E[X] < ∞ genau dann, wenn
∞
X
P[X ≥ n] < ∞.
n=1
13. Man zeige, daß die Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsvariablen höchstens abzählbar
viele Sprungstellen besitzen darf.
14. Man betrachte die auf dem Intervall [0, 1) (versehen mit dem Lebesgue-Maß) definierte
Folge von Zufallsvariablen
Xn = 1[ k , k+1 [ für n = 2l + k mit 0 ≤ k < 2l .
2l
2l
Zeigen Sie, daß (Xn )n∈N in Wahrscheinlichkeit konvergiert, allerdings nicht fast sicher
konvergiert.
Hinweis: Man konstruiere eine fast sicher konvergierende Teilfolge.
15. Sei (Xn )n∈N eine Folge von unabhängigen, auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilten Zufallsvariablen. Definiere
Zn = min Xk .
k=1,...,n
Bestimmen Sie die Verteilung von Zn .
16. Sei X eine nicht-negative Zufallsvariable und p > 0 mit E[X p ] < ∞. Man zeige:
Z ∞
tp−1 P[X ≥ t] dt.
E[X p ] = p
0
Hinweis: Verwenden Sie die Gleichung xp = p
Rx
0
tp−1 dt und den Satz von Fubini.
17. Sei X eine reelle Zufallsvariable mit den folgenden Eigenschaften:
P[X < 0] = 0,
P[X = 0] = a,
P[X > t] = (1 − a)e−λt für 0 < a < 1, λ, t > 0.
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X und berechnen Sie E[X].