Pr¨adikate, Mengen, Funktionen 8 :

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Prädikate, Mengen, Funktionen
Prädikate als Mengen:
MPA;g = f[ x] A;g j [ P (x)]]A;g = 1g
Mengen als Funktionen:
charakteristische Funktion fM
8>
< 1 wenn
>: 0 wenn
fM : U !f0; 1g; f (x) = ;;
x2M
x 62 M
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Typtheorie, Motivation
Informal: Unterscheidung zwischen verschiedenen
Objekten
z.B.
Terme und Formeln, Prädikate und Funktionen mit
einer, zwei oder mehr Stellen
'einfache' Elemente, Mengen
Relationen in bestimmten Mengen
Sprache: Valenzrahmen von Verben:
schenken, verschenken
glauben, vermuten
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Typtheorie, formal
Die Menge der Typen ist definiert als:
1. e ist ein Typ (Objekte)
2. t ist ein Typ (Wahrheitswerte)
3. wenn a und b Typen sind, dann auch ha; bi
Die Definition kann auf n-Tupel ausgedehnt werden,
dann ist es aber sinnvoller, für Funktionen einen
zusätzlichen zweistelligen Typoperator einzusetzen:
(a!b). Damit können Funktionen als spezielle Paare
unterschieden werden.
Eine typisierte (formale) Sprache ist eine Sprache,
bei der jedem wohlgeformten Ausdruck ein Typ zugewiesen werden kann.
D
bezeichnet die Menge der Denotate der Ausdrücke vom Typ .
Sei U eine Grundmenge, dann:
De = U; Dt = f0; 1g und Dha;bi = ff j f : Da!Dbg
Oder, bei n-Tupeln:
De = U; Dt = f0; 1g, Dha;bi = fp j p 2 Da Dbg und
Da!b = ff j f : Da!Dbg
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Beispiele: prädikatenlogische
Formalisierung
De = f Peter, Maria, ein Buch g,
Prädikate Schenken und Verschenken.
Peter schnarcht
(0) Schnarchen(Peter)
Peter verschenkt ein Buch ...
(1) Verschenken(Peter, ein Buch)
Maria schenkt Peter ein Buch...
(2) Schenken(Maria, Peter, ein Buch)
Typ von Schnarchen: he; ti
Typ von Verschenken: he; he; tii
von Schenken?
Maria vermutet, dass Peter ihr ein Buch schenkt...
Maria vermutet stark, dass Peter ihr ein Buch
schenkt...
Maria vermutet sehr stark, dass Peter ihr ein Buch
schenkt...
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Beispiele
Mengentheorie:
De: Menge aller Elemente und Teilmengen
einer Menge M
x:e
xy :t
fx j x 2 yg : e
fx j x y g : e
x y : he; ei
x2y :t
f : x!y : he; ei
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Typregel
Funktionsapplikation:
Sei f vom Typ (! ) und a vom Typ .
Dann ist f (a) vom Typ .
Beispiele: De = N (die Menge der natürlichen Zahlen)
Sei f; f (x) = x2 ... Typ von f : he; ei
Sei f; f (x) = (x3 0) ... Typ von f : he; ti
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Lambda-Operator
Church (1941): Notation für Definition und
Anwendung von Funktionen.
Statt “sei f
: A ! B mit f (x) = x2 + 3 ”:
x:x2 + 3
Alternative Schreibweisen: x(x2 + 3); x x2 + 3
(Abstraktion)
Anwendung: statt f(4) (und Def. wie oben)
Auswertung, Ersetzung der Variable durch
das Argument
(-Konversion)
(x:x2 + 3)(4) 42 + 3 = 19
Der -Operator bindet eine Variable wie ein Quantor!
8
Lambda-Abstraktion, formal
Syntax
Sei x eine Variable vom Typ ,
u ein Ausdruck vom Typ , in dem x nicht gebunden
vorkommt.
Dann ist x (u) ein Ausdruck vom Typ (! ).
Semantik
Sei x eine Variable vom Typ , u ein Ausdruck vom
Typ , in dem x nicht gebunden vorkommt,
dann ist [ x (u)]]M;h eine Funktion von D nach D
mit:
für alle k in D: [ x (u)]]M;h (k ) = [ u] M;h
und h0 = h bis auf h0(x), h0(x) = k
0
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Lambda-Abstraktion, Beispiel
Denotation von Verben:
Bruno raucht. ... Rauchen(Bruno)
8k : [ x(Rauchen(x))]]M;h(k) =
[ Rauchen(x)]]M;h ; h0(x) = k
0
Sei M = hU; I i mit:
U = fAnna, Bruno, Clarag,
I (Rauchen) = fAnnag
[ x (Rauchen(x))]]M;h ([[Bruno] M;h) = 0
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Die Sprache TL, Syntax
Typisierte Logik: versammelt Prädikatenlogik, Typen,
-Operator und Identität:
Symbole:
Operatoren ^; _; :
Quantoren 8; 9
zu jedem Typ eine Menge von Variablen V
zu jedem Typ eine Menge von Konstanten K
der Lambda-Operator das Gleichheitssymbol =
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Die Sprache TL, Syntax, Ausdrücke
Die Menge der Ausdrücke vom Typ , E :
Für alle Typen a, b
Alle Konstanten und Variablen vom Typ sind Elemente von E .
Wenn x 2 Ea und u 2 Eb, dann ist x u in Ea!b.
Wenn u 2 Ea!b und x 2 Ea, dann ist u(x) in Eb.
Wenn und in Et sind (also Formeln), dann
auch: :; _ ; ^ .
Wenn 2 Et und x in Va ist, dann sind 8x und
9x in Et.
Wenn u und v in Ea sind, dann ist u = v in Et.
Viel aussagekräftiger als Prädikatenlogik: Prädikate und Funktionen höherer Ordnung, Quantifikation
über beliebige Ausdrücke...
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Die Sprache TL, Semantik
Typen
Sei U eine Grundmenge, die ”Diskursdomäne”. Die
möglichen Denotate von Ausdrücken der Typen sind:
De = U
Dt = f0; 1g
Dha;bi = ff j f : Da!Dbg
Ausdrücke
Tatsächliche Denotate von Ausdrücken in einem
Model M = hU; F i mit einer Variablenbelegung h.
F ersetzt hier I und ist ”nur” eine Belegung der
Konstanten, keine Interpretation von Prädikaten- und
Funktionssymbolen mehr (die werden mit Hilfe des
Lambda-Operators ”anonym” definiert)
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TL, Semantik von Ausdrücken
Sei exp ein Ausdruck in TL, dann ist das Denotat von
exp bez. M und h, [ exp] M;h wie folgt definiert:
Sei c eine nicht-logische Konstante, dann:
[ c] M;h = F (c).
Sei x eine Variable, dann:
[ x] M;h = g(x).
(Abstraktion)
Sei x 2 Ea, u 2 Eb, x nicht gebunden in u,
dann ist [ x u] M;h eine Funktion von
mit:
für alle k in Da: [ x u] M;h (k ) = [ u] M;h
und h0 = h bis auf h0(x), h0(x) = k .
0
(Konversion)
Sei u 2 Ea!b, x 2 Ea, dann:
[ u(x)]]M;h = [ u] M;h([[x] M;h).
Da nach Db
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TL, Semantik von Ausdrücken II
Seien und in Et, dann:
[ :] M;h = :[ ] M;h
[ ^ ] M;h = [ ] M;h ^ [ ] M;h
[ _ ] M;h = [ ] M;h _ [ ] M;h.
Sei 2 Et und x 2 Ea , dann:
[ 8x] M;h = 1 gdw. für alle Variablenbelegungen g,
die ausser auf x mit h identisch sind, gilt:
[ ] M;g = 1.
und:
[ 9x] M;h = 1 gdw. für mindestens eine Variablenbelegungen g , die ausser auf x mit h identisch
sind, gilt:
[ ] M;g = 1.
Seien u und v in Ea, dann:
[ u = v] M;g = 1 gdw. [ u] M;g = [ v] M;g .
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Lambda-Kalkül, Weitere Anwendung des Lambda-Operators: das
Lambda-Kalkül. Unterschied zu TL: keine logischen
Operatoren, nicht typisiert; dafür Axiomatisierung.
Syntax von :
Vokabular: Variablen x; y , , Klammern;
syntaktische Regeln:
x2
Wenn M 2 , dann auch (xM ).
Wenn M; N in , dann auch (MN ).
Wenn M; N in , dann ist M = N eine Formel.
Axiomatisierung
(xM )N = M 0, M 0 ist M , worin jedes Auftreten von
x durch N ersetzt ist.
= ist reflexiv, symmetrisch und transitiv.
Wenn M = N , dann MZ = NZ , ZM = ZN und
(xM ) = (xN )
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Linguistische Anwendungen
Kompositionale Analyse von formalen Ausdrücken
höherer Ordnung
kompositionale Semantik natürlicher Sprache.
Beispiele:
Denotation von Verben:
intransitiv, Abb. des Subjekts auf einen Wahrheitswert:
P [x[P (x)]]
transitiv, Abb. von Subjekt und Objekt auf Ww.:
yx[P [P (x)]](y), oder:
yx[P [P (x; y)]]
Adverben - gesuchte Funktion muss ein VerbDenotat auf ein Verb-Denotat abbilden:
Bsp:
P [x[schnell(P (x))]]
allgemein:
Q[P [x[Q(P (x))]]]
Weitere Beispiele: Lohnstein, [PMW]
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Montague: Intensionale Logik
Kombination von allen bisher eingeführten Konzepten:
Aussagenlogik:
logische Operatoren, Wahrheits-
werte
Prädikatenlogik: Terme, Quantoren
Modallogik: mögliche Welten, Informationszustände;
Operatoren 2 (notwendig), 3 (möglich)
Temporallogik: zeitlicher Verlauf, Zeitpunkte; Operatoren P (Past), F (Future)
Lambda-Operator: Abstraktion über Variablen beliebigen Typs
Unterscheidung zwischen Intension und Extension
(Formalisierung siehe Lohnstein oder [PMW])
Modelle dazu: Bäume von ”einfachen Modellen”, die
mit Indizes hw; ti für die ”mögliche Welt” w und den
Zeitpunkt t versehen sind.
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Intension und Extension
Frege: Sinn und Bedeutung
Der Abendstern, der Morgenstern vs. die Venus ...
Die Königin von England vs. Elisabeth, Victoria, ....
Intension als Funktion von Indizes
(hw; ti, = mögliche Welt und Zeitpunkt)
auf Menge von Extensionen (Individuen).
Neue Operatoren: Intensor ^:
Sei ein Ausdruck mit dem Denotat [ ] M;w;t;g .
Dann ist am Index hw; ti [ ^] M;w;t;g die Intension von
Extensor _: Umkehrfunktion von ^:
[ _^] M;w;t;g = [ ] M;w;t;g
Nicht umgekehrt: Extension gibt es nur zu bestimmtem Index, Intension ermöglicht, an jedem Index die
Extension zu bestimmen.
zusätzlicher Typ s:
Sei X vom Typ a, dann ist ^X vom Typ hs; ai.
Sei X vom Typ hs; ai, dann ist _X vom Typ a.