Algebraische Zahlentheorie — 4. ¨Ubung Aufgabe 1. Bestimme die

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Prof. Dr. Jörn Steuding
Institut für Mathematik, Universität Würzburg
21. November 2014
Algebraische Zahlentheorie — 4. Übung
√
Aufgabe
1. Bestimme die eindeutige Primidealzerlegung von (7), (29) und (31) in Q( 2)
√
und Q( 3 2).
Aufgabe 2. Ein Ring R heißt noethersch (nach Emmy Noether (1882-1935)), wenn jede
aufsteigende Kette von Idealen a1 ⊂ a2 ⊂ . . . ⊂ an ⊂ . . . ⊂ R stationär wird, d.h. es gibt ein
n ∈ N, so dass an+k = an für alle k ∈ N. Zeige, dass dies äquivalent ist zu
i) Jede nicht-leere Menge I von Idealen a in R besitzt ein maximales Element.
ii) Jedes Ideal a ⊂ R ist endlich erzeugt.
Aufgabe 3. Der Ring der ganzen p-adischen Zahlen Zp ist für eine Primzahl p gegeben durch
die Menge aller formalen Potenzreihen
X
an p n
mit
an ∈ {0, 1, . . . , p − 1}
n≥0
mit der üblichen Addition und Multiplikation mit ggfs. Übertrag. Beweise, dass Zp ein
Dedekind-Ring ist und bestimme die Einheitengruppe und charakterisiere die Ideale von Zp .
Aufgabe 4. Wie man Einheiten in einem kubischen Körper K der Signatur {1, 1} berechnen
kann: Zeige dass, ±1 die einzigen Einheitswurzeln in K sind und also UK = {±ǫm : m ∈ Z}
mit einer Einheit ǫ > 1 gilt. Untersuche das Minimalpolynom für ǫ und finde für dessen
Diskriminante disc(µǫ ) die Abschätzung
|disc(µǫ )| ≤ 4ǫ3 + 24.
Zeige, dass speziell für K = Q(α) mit der reellen Wurzel α der Gleichung α3 + 10α + 1 = 0
und Körperdiskriminante ∆K = −4027 sich so ǫ > 10 ergibt. Verifiziere, dass α und ebenso
−1/α Einheiten sind und folgere, dass ǫ = −1/α als Fundamentaleinheit dient.
Aufgabe 5. Euler beobachtete, dass das Polynom X 2 + X + 41 für x = 0, 1, . . . , 39 lauter
Primzahlen produziert. Weise dies durch Berechnung der Legendre-Symbole
−163
für prime p mit 2 < p < 41
p
nach. Zeige dies
√ alternativ unter Benutzung des Wissens, dass der Ganzheitsring des
Zahlkörpers Q( −163) faktoriell ist. Beweise ferner, dass√Pq (X) = X 2 + X + q genau
dann für x = 0, , . . . , q − 2 Primzahlen produziert, wenn Q( 1 − 4q) faktoriell ist.
Aufgabe 6. Es seien K1 und K2 Zahlkörper mit K1 ⊂ K2 . Zeige, dass ∆K1 | ∆K2 und
gib ein nicht-triviales Beispiel an.
Alle Bearbeitungen sind ausreichend zu begründen. Verwendet werden dürfen lediglich Ergebnisse, die bereits in der Vorlesung oder auf vorangegangenen Übungsblättern dieser Veranstaltung behandelt wurden. Für den Scheinerwerb ist das Vortrechnen einer Aufgabe notwendig; alternativ ist eine mündliche Prüfung zu absolvieren. Auf alle Fälle ist es sinnvoll,
Aufgaben zu bearbeiten!
Viel Spaß!
Ein schönes Thema für eine Masterarbeit wäre, die konkurrierenden Theorien von
Kronecker und Dedekind miteinander zu vergleichen (ähnlich zu O. Neumann, Was sollen und was sind Divisoren?, Mathematische Semesterberichte 48 (2002), 139-192).
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