Algorithmen für die Kryptographie Aufgabenblatt 6

M. Kufleitner
Sommersemester 2017
Algorithmen für die Kryptographie
Aufgabenblatt 6
Besprechung am 7. Juli 2017
1. (Lucas-Test) Sei n > 1 und a ∈ Z. Zeigen Sie, dass n eine Primzahl ist, wenn die
folgenden beiden Bedingungen gelten:
(i) an−1 ≡ 1 mod n und
(ii) a(n−1)/q 6≡ 1 mod n für alle Primteiler q von n − 1.
2. Zeigen Sie: Wenn 2k + 1 eine Primzahl ist, dann ist k eine Zweierpotenz. Zahlen
n
der Form 22 + 1 nennt man Fermat-Zahlen.
n
3. (Pépin-Test) Sei n ≥ 1. Zeigen Sie, dass die Fermat-Zahl fn = 22 + 1 genau dann
eine Primzahl ist, wenn die Kongruenz 3(fn −1)/2 ≡ −1 mod fn gilt.
4. Zeigen Sie: Wenn 2k − 1 eine Primzahl ist, dann ist k eine Primzahl. Zahlen der
Form 2k − 1 nennt man Mersenne-Zahlen.
5. Sei p > 2 eine Primzahl und n = 2p − 1. Zeigen Sie:
a) Wenn n eine Primzahl ist, dann ist f (X) = X 2 − 4X + 1 in Fn = Z/nZ
irreduzibel.
b) Sei n eine Primzahl und K = Fn [X]/f . In K gilt X n = 4−X, (X −1)n+1 = −2
und (X − 1)n+1 = 2X (n+1)/2 .
c) n ist genau dann eine Primzahl, wenn im Polynomring (Z/nZ)[X] die Kongruenz X (n+1)/2 ≡ −1 mod X 2 − 4X + 1 gilt.
6. (Lucas-Lehmer-Test) Sei p > 2 eine Primzahl und n = 2p − 1 die zugehörige
Mersenne-Zahl. Die Folge (`j )j∈N ist definiert durch `0 = 4 und `j+1 = `2j −2 mod n.
Zeigen Sie, dass n genau dann eine Primzahl ist, wenn `p−2 = 0 gilt.
j
j
Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 5, und zeigen Sie: `j = X 2 + (4 − X)2 in K.
http://www.fmi.uni-stuttgart.de/ti/lehre/ss17/ak/