LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSIT ¨AT M ¨UNCHEN 8. ¨Ubung

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN
FAKULTÄT
FÜR
BIOLOGIE
Prof. Christian Leibold, Franziska Hellmundt,
Department Biologie II
Großhadernerstr. 2
82152 Planegg-Martinsried
8. Übung/Lösung—
Christian Garbers
Telefon: 089-2180-74800
Fax: 089-2180-74803
Mathematik für Studierende der Biologie
—
03.12.2013
Hinweis: Das Argument einer Komplexen Zahl z = x + iy ist
y


arctan


x


π




 2π
−
φ = arg(z) =
2

y



+π
arctan



x

y

 arctan
−π
x
für x > 0
für x = 0 und y > 0
für x = 0 und y < 0
für x < 0 und y ≥ 0
für x < 0 und y < 0 .
1. (Integrale) *****BONUS[1p]*****
Berechnen Sie die folgenden Integrale
Z
(a)
e
2x+1
Z
dx
(b)
Z
cos(x) sin(x)dx
(c)
x
2
e x dx
Z
(d)
x(9x − 4)
dx
− 2x2 + 7)5
(3x3
Lösung:
(a)
1 2x+1
e
+c
2
(b)
−
1
cos2 (x) + c
2
(c)
ex (x2 − 2x + 2) + c
(d)
−
1
+c
4(3x3 − 2x2 + 7)4
2. (Vektoren) [1p]
(a) Skizzieren Sie die beiden Vektoren:
1 ~
3
~a =
,b =
.
2
2
Errechnen Sie die Länge der beiden Vektoren sowie die Winkel zwischen den Vektoren und der
Abszisse.
(b) Addieren Sie die beiden Vektoren ~a,~b und skizieren Sie den resultierenden Vektor ~c. Bestimmen
Sie außerdem die Länge von ~c sowie den Winkel den er mit der Abszisse bildet.
(c) Drehen Sie ~c nun um π2 gegen den Uhrzeigersinn. Welche Länge hat der gedrehte Vektor d~ nun?
Welchen Winkel bildet er mit der Abszisse? Skizzieren Sie den gedrehten Vektor und geben Sie
seine Koordinaten an.
(d) Drehen Sie d~ nun um weitere 18 π. Strecken Sie das Resultat außerdem um das 1,5 Fache. Welche
Koordinaten hat der neue Vektor? Wie lang ist er und welchen Winkel bildet er mit der Abszisse?
Lösung:
√
√
(a) |~a| = 5; |~b| = 13; α = tan−1 (2); β = tan−1 ( 23 )
√
√
4
(b) ~c =
; |~c| = 32 = 4 2; γ = tan−1 (1) = π4
4
0
(c) |~c | =
(d) δ =
π
4
√
√
32 = 4 2; γ 0 =
+
π
2
+
π
8
=
7π
8
−4
+ =
bzw.
~c =
4
√ 7π
√
√
~ = 32 · 3 = 6 2; d~ = cos( 8 ) · 6√ 2 ≈ −7, 8
bzw. π8 ; |d|
2
3, 2
sin( 7π
8 )·6 2
π
4
π
2
3π
4
π
4;
0
3. (Komplexe Zahlen: Addition) [1p]
Berechnen Sie jeweils die Summe und Differenz der komplexen Zahlen z1 = 2+i und z2 = −1+i. Tragen
Sie anschließend jeweils beide Zahlen und die Ergebnisse in die Gaußsche Zahlenebene ein. Berechnen
Sie außerdem jeweils den Betrag und das Argument des Ergebnisses (Sie können beides durch Messen
in der Zeichnung überprüfen!) und die zu Ihren Ergebnissen konjugiert komplexen Zahlen.
Lösung:
z3 = z1 + z2 = 2 + i + (−1 + i) = 1 + 2i
z4 = z1 − z2 = 2 + i − (−1 + i) = 3
Beträge√und Argumente:
√
|z1 | = p22 + 12 = 5, √φ1 = arctan 1/2 = 0.46
|z2 | = (−1)2 + 12 = 2, φ2 = arctan 1/ − 1 + π = 34 π
√
√
|z3 | = √12 + 22 = 5, φ3 = arctan 2/1 = 1.11
|z4 | = 32 = 3, φ4 = arctan 0/3 = 0
z̄1 = 2 − i, z̄2 = −1 − i, z̄3 = 1 − 2i, z̄4 = 3
4. (Komplexe Zahlen: Multiplikation) [1p]
Berechnen Sie das Produkt von −i mit
−i
(a)
(b)
3
(c)
2i + 1
in kartesischen Koordinaten und auch in Polarkoordinaten.
Lösung:
Berechnen Sie das Produkt von −i mit
in Polarkoordinaten:
r1 = r2 = | − i| = 1 ⇒ r1 · r2 = 1
−i(−i) = −1
(a)
φ1 = φ2 = arg(−i) = arcsin −1/| − i| = − π2 ⇒ φ1 + φ2 = − π2 −
π
2
= −π
(−i)(−i) = r1 · r2 [cos(φ1 + φ2 ) + i sin(φ1 + φ2 )] = 1 [cos(−π) + i sin(−π)] = −1
in Polarkoordinaten:
r1 = |3| = 3, r2 = | − i| = 1 ⇒ r1 · r2 = |3| · | − i| = 3
φ1 = arg(3) = 0, φ2 = arg(−i) = arcsin −1/| − i| = − π2 ⇒ φ1 + φ2 = − π2
3(−i) = −3i
(b)
3(−i)
= r1 · r2 [cos(φ1 + φ2 ) + i sin(φ1 + φ2 )]
= 3 cos(− π2 ) + i sin(− π2 ) = −3i
(2i + 1)(−i) = 2 − i
(c)
in Polarkoordinaten:
√
√
r1 = |2i + 1| = 5, r2 = | − i| = 1 ⇒ r1 · r2 = |2i + 1| · | − i| = 5
φ1 = arg(2i + 1) ≈ 1.11, φ2 = arg(−i) = arcsin −1/| − i| = − π2
⇒ φ1 + φ2 = arg(2i + 1) + arg(−i) = 1.11 − 1.57 ≈ −0.46
(2i√
+ 1)(−i) = r1 · r2 [cos(φ1 + φ2 ) + i sin(φ1 + φ2 )]
= 5 [cos(≈ −0.46) + i sin(≈ −0.46)] = 2 − i
5. (Komplexe Zahlen: Division) [2p]
Berechnen Sie Real- und Imaginärteil des Quotienten q = z1 /z2 für die Zahlen z1 = 2i − 3 und
z2 = 1 − 3i. Erweitern Sie dazu den Bruch mit der komplex konjugierten Zahl z̄2 des Nenners z2 und
wenden Sie die dritte binomische Formel an, um den Nenner reell zu machen.
Lösung:
z̄2 = 1 + 3i
q=
z1
z2
=
2i−3
1−3i
=
2i−3
1−3i
·
1+3i
1+3i
=
(−3+2i)(1+3i)
1+9
=
−9−7i
10
9
= − 10
−
7
10 i
6. (Komplexe Zahlen) [2p]
Finden Sie die komplexen Zahlen z, welche folgende Gleichungen lösen
(a) z 4 = −1,
(b) z 2 + 2z + 2 = 0,
Lösung:
(a) z =
√1 (±1
2
± i)
(b) Hier handelt es sich um eine quadratische Gleichung:
z± = (−2 ±
√
−4)/2 = −1 ±
√ √
4 −1
= −1 ± i.
2
7. (Komplexe Zahlen: Wurzeln) [3p]
Mit Hilfe der Darstellung z = r eiϕ können wir sehr einfach Wurzeln von beliebigen komplexen Zahlen
z berechnen. Dazu aber erst eine Vorüberlegung:
√
(a) Schreiben Sie die komplexe Zahl z0 = 2 eiπ/4 in der arithmetischen Darstellung (z=x+iy).
Nutzen Sie dazu die Eulergleichung.
√
√
(b) Was erhalten Sie für √
die arithmetische Darstellung der Zahlen z1 = 2 ei(π/4+2π) , z2 = 2 ei(π/4+4π)
und allgemein zk = 2 ei(π/4+2kπ) , (k ∈ Z) ?
(c) Zeigen Sie für beliebige Zahlen z, daß gilt
z = r eiϕ = r ei(ϕ+2kπ) , k ∈ Z .
Jede komplexe Zahl kann also auf unendlich viele verschiedene Weisen dargestellt werden (für
jedes k eine).
(d) Ziehen Sie nun aus z = 4 ei(π+2kπ) , k ∈ Z die Wurzel, berechnen Sie also z 1/2 . Welchen Betrag hat
z 1/2 ? Was erhalten Sie als Argument von z 1/2 für k = 0, 1, 2, 3, 4? Wieviele tatsächlich verschiedene
Zahlen erhalten Sie also? Zeichnen Sie diese und z in die Gaußsche Zahlenebene ein. Haben Sie
gemerkt, daß Sie gerade die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen haben?
(e) Berechnen Sie genauso wie in (d) die dritte Wurzel aus z = 8 ei(π/2+2kπ) . Wieviele verschiedene
Lösungen erhalten Sie diesmal? Skizzieren Sie das Ergebnis und z in der Gaußschen Zahlenebene.
(f) Wir wollen die Gleichung x2 = 9 nach x auflösen. Dazu müssen wir aus 9 die Wurzel ziehen.
Gehen Sie dabei so vor wie in Teilaufgabe (d) (welchen Betrag und welches Argument hat die
reele Zahl 9 ?). Wieviele Lösungen erhalten Sie? Kommt Ihnen das bekannt vor?
Lösung:
(a) z0 =
√
2 e
iπ/4
=
√
2 (cos(π/4) + i sin(π/4)) =
√
2
1√
1√
2+i
2 =1+i
2
2
(b) z0 = z1 = z2 = zk = 1 + i
(c) r ei(ϕ+2kπ) = r (cos(ϕ + 2kπ) + i sin(ϕ + 2kπ)) = r (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) = r eiϕ
12
√ 1
√
π
= 4 ei 2 (π+2kπ) = 2 ei( 2 +kπ)
(d) z = 4 ei(π+2kπ)
Welchen Betrag hat z 1/2 ?
|z 1/2 | = 2
Was erhalten Sie als Argument von z 1/2 für k = 0, 1, 2, 3, 4?
π
π
π
1/2
1/2
1/2
arg(z0 ) = ,
arg(z1 ) = ( + π),
arg(z2 ) = ( + 2π),
2
2
2
π
1/2
arg(z4 ) = ( + 4π)
2
Wieviele tatsächlich verschiedene Zahlen erhalten Sie also?
2
(e)
√
1 π
π
2
3
z = 8 ei 3 ( 2 +2kπ) = 2 ei( 6 +k 3 π)
Wieviele verschiedene Lösungen erhalten Sie diesmal?
√
3
(f) 9 = 9 ei(0+2kπ) = 9 ei(2kπ) ,
√
i(kπ)
9=
,
3 e
k∈Z
k∈Z 


= 3 cos(kπ) +i sin(kπ) = ±3
| {z } | {z }
∈{−1,1}
=0
Wieviele Lösungen erhalten Sie?
2
3
1/2
arg(z3 ) = (
π
+ 3π),
2