Wiwi-Vorkurs Mathematik (Uni Leipzig, Fabricius) 1 Grundregeln

Wiwi-Vorkurs Mathematik (Uni Leipzig, Fabricius)
1 Grundregeln des Rechnens
1.1 Zahlbereiche
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Zahlen
Zahlen
Zahlen
Zahlen
Zahlen
e≈
N = {1, 2, 3, . . .}
Z = {.
. . , −2, −1, 0, 1,2, . . .}
Q = ab | a ∈ Z, b ∈ N
R = alle rationalen und irrationalen Zahlen
C = {a + bi | a, b ∈ R}
√
Bsp:
π≈
2≈
1.2 Brüche
kürzen
7 · 5 · 6 · 12
=
21 · 10 · 9
3
+ 53
a) 10
17
1 =
20 − 4
erweitern mit 13
2
=
5
Multiplikation
12 10
·
=
5 16
Addition
1 1
+ =
3 4
Division
12 10
:
=
5 16
b) Ein Unternehmer spekuliert mit Aktien im Wert von 1 Mio Euro.
1. Jahr 100% Gewinn. 2. Jahr 100% Verlust. Wie viel hat er dann noch?
1.3 Rechengesetze
⊕
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
⊕
a+b=b+a
a·b=b·a
⊕
a · (b + c) = a · b + a · c
Assoziativität
Kommutativität
Distributivgesetz
2 Semantik in der Mathematik
2.1 Quantoren
∀
∃
∃!
6∃
2.2 Aussagenlogik
A
¬
∨
∧
A→B
A↔B
2.3 Mengenlehre
Menge M = {a, b, c, . . .}
x ∈ M,
Vereinigung
Durchschnitt
Differenz
Komplement
A∪B
A∩B
A\B
Ac
A ⊆ B,
= {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
= {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
= {x | x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
= {x ∈ R | x ∈
/ A}
leere Menge ∅ = {}
Bsp: [1, 5] ∪ [−3, 2] =
[1, 3] ∩ [2, 4] =
[1, 5] \ [0, 7] =
[1, 5]c =
1
2.4 Wahrheitstabellen
Können wahr oder falsch sein, je nach Kontext.
wahre Aussage: 5 > 3
A : Heute ist Freitag. B : Ich muss morgen nicht in die Uni.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A∧B
A∨B
A→B
¬A
¬B
¬A ∧ ¬B
¬(¬A ∧ ¬B)
¬A ∨ B
2.5 Schreibweise bei Funktionen
f (x) = 3x2 + 5
G = (x; 3x2 + 5) | x ∈ R
f: R→R
x 7→ 3x2 + 5
f (x) = [4x]
f: R→
x 7→ [4x]
an = 2n + 1
an : N →
n 7→ 2n + 1
Berechne den Funktionswert an 2:
Berechne die Nullstelle:
f (2) =
0 = f (x) =
3 Umformungen
3.1 Gleichungen
x − 3 = 11
x+5=7
60
18
=
x
3
3x = 12
2x + 4x2
=
2x
⇔
Schnittpunkt zweier Funktionen: f (x) = 3x + 4,
x
5
=2
3x2 − x
=
6x2 − 2x
g(x) = −x + 5
3.2 Ungleichungen
x2 > 9
1−x≤2
x+5<3
3.3 Beträge
|x − 5| < 3
2
x > 9
|1 − x| ≤ 2
3.4 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen und e
y = ax
32
⇐⇒
x = loga y
= 3 · 3 = 2. Potenz von 3
7−1 =
1
7
1
83 =
√
3
8
4
52 =
√
2
54 =
√
25 · 25 = 25 = 52
2
(2x − 1)(3 − x) > 0
Logarithmengesetze
log(1) = 0
Potenzgesetze
a0 = 1
a1 = a
m+n
a
log(x · y) = log(x) + log(y)
m
log(xn ) = n · log(x)
n
=a ·a
(an )m = an·m
n
Wurzelgesetze
√
1
a2 = a
√
√ √
a · b = ab
√
( n a)n = a
√
a2 = ±a
n
a · b = (ab)
1
a−n = n
a
logb (a) =
n
ln(a)
ln(b)
4 Summen und Produkte
4.1 Summe
Summenzeichen
5
X
k = 0+1+2+3+4+5
k=0
4
X
1
Bsp:
=
k
k=1
3
X
2n − 1 =
n=0
100
X
k=
k=1
8
X
k=
k=10
n
X
Summenformeln:
k=
k=1
n
X
k=1
n
X
n
(n + 1)
2
k2 =
n
(n + 1)(2n + 1)
6
k3 =
n2
(n + 1)2
4
k=1
4.2 Produkt
Produktzeichen
m
Y
4
Y
k = 1 · 2 · 3 · 4 = 4!
0! = 1
k=1
ak = an · an+1 · · · am−1 · am mit (ak ) ist Zahlenfolge.
k=n
Bsp: ak =
Q5
k=1 3 =
1
k
dann ist
Binomialkoeffizient
Bsp:
5
0
=
Q5
k=2
ak =
n
n!
=
k
(n − k)!k!
5
1 =
Lotto
49
6
=
4.3 Binomische Formeln
(a + b)2 =
(a − b)2 =
(a + b)(a − b) =
Quadratzahlen
1 2 3 4 5
6
3
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(10 + 4)2 =
Bsp:
4x2 − 25y 2
=
2x + 5y
x+4
=
16 + 8x + x2
5 Funktionen
Funktion/Abbildung f (x) ist eine Zuordnung, bei der jedem x genau ein y zugeordnet wird
mittels einer Funktion(svorschrift) f .
x: unabhängige Variable
y: abhängige Variable
y = 2x − 3
Wertetabelle
x
y
−1
Definitions- und Wertebereich
f : [0, 1] → R
Bsp:
0
1
2
f : X −→ Y
f : [−π, 2π] → [−1, 1]
2
x 7→ sin(x)
x 7→ x
Wertebereich 6= Bildbereich
Bsp:
f: R→R
Wf =
x 7→ sin(x)
g : [0, 2] → R
x 7→ x
Wg =
2
h: R → R
Wh =
x 7→ 3x + 1000
5.1 Polynome
n
X
ak xk = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn
k=0
n=0
konstante Funktion
f (x) = c
n=1
lineare Funktion
f (x) = mx + n
n=2
quadratische Funktion
f (x) = ax2 + bx + c
n=3
kubische Funktion
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d
n=4
f (x) = a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
5.2 gebrochenrationale Funktion
f (x) =
Polynom
Polynom
Definitionslücken
Polstellen
5.3 Wurzel- und Potenzfunktionen
f (x) = ax
g(x) =
√
x
4
f (x) =
1
4 − x2
Df =
5.4 Trigonometrische Funktionen
180◦ = π
sin
tan =
cos
− π2
0
π
2
π
3
2π
2π
sin
cos
5.5 Exponential- und Logarithmusfunktionen
f (x) = ex
g(x) = ln(x)
e0 =
ex 6= 0
ln(1) =
ln(x) = n.d. ∀x ≤ 0
6 Kurvendiskussion
6.1 lineare Funktion f (x) = 3x + 1
Skizze:
Nullstelle
Ableitungen
Monotonie
Extrema
Konvexität
Grenzwerte
Stetigkeit
Beschränktheit/Wertebereich
Umkehrfunktion
6.2 quadratische Funktion f (x) = −x2 − 1
Skizze:
Nullstelle
Ableitungen
Monotonie
Extrema
Konvexität
Grenzwerte
Stetigkeit
Beschränktheit/WB
Umkehrfunktion
6.3 kubische Funktion f (x) = 4x3 −
1
2
Skizze:
Nullstelle
Ableitungen
Monotonie
Extrema
Konvexität
Grenzwerte
Stetigkeit
Beschränktheit/WB
Umkehrfunktion
5
6.4 f (x) = x4 − 9x2
Skizze:
Nullstelle
Ableitungen
Monotonie
Extrema
Konvexität
Grenzwerte
Stetigkeit
Beschränktheit/WB
Umkehrfunktion
6.5 f (x) =
x+1
x2
Skizze:
Nullstelle
Ableitungen
Monotonie
Extrema
Konvexität
Grenzwerte
Stetigkeit
Beschränktheit/WB
Umkehrfunktion
6.6 Wurzelfunktion f (x) =
√
x
Skizze:
Nullstelle
Ableitungen
Monotonie
Extrema
Konvexität
Grenzwerte
Stetigkeit
Beschränktheit/WB
Umkehrfunktion
6.7 trigonometrische Funktion f (x) = sin(x)
Nullstelle
Ableitungen
Monotonie
Extrema
Konvexität
Grenzwerte
Stetigkeit
Beschränktheit/WB
Umkehrfunktion
6
Skizze:
6.8 Exponentialfunktion f (x) = ex
Skizze:
Nullstelle
Ableitungen
Monotonie
Extrema
Konvexität
Grenzwerte
Stetigkeit
Beschränktheit/WB
Umkehrfunktion
6.9 Logarithmusfunktion f (x) = ln(x)
Skizze:
Nullstelle
Ableitungen
Monotonie
Extrema
Konvexität
Grenzwerte
Stetigkeit
Beschränktheit/WB
Umkehrfunktion
7 Beispiel einer ökonomischen Funktion
Budgetgerade m = p1 x1 + p2 x2
Bsp: Student 20¤ Budget zum Lernen. Kaffee 2¤, Buch 5¤.
Indifferenzkurven = Nutzenniveau
u(x1 , x2 ) =
8 Gleichungen
8.1 Quadratische Gleichung x2 + px + q = 0
x2 + 2x − 6 = 2
pq-Formel: x1,2
6x − 5 = 2x2 + 5
p
=− ±
2
(x − 1)(x + 2) = 0
7
r p 2
2
−q
8.2 Biquadratische Gleichung ax4 + bx2 + c = 0
x4 − 5x2 + 4 = 0
8.3 Wurzelgleichung
√
√
√
5x − 30 = 0
x−1=x−3
x+4+2=
√
1−x+1
8.4 Exponential- und Logarithmusgleichungen
lg(3x + 1) = 2
ln(x) = 2 ln(x) + ln(1 + x)
9 Lineare Gleichungssysteme
I a1 ·x + b1 ·y = c1
II a2 ·x + b2 ·y = c2
3 mögliche Lagebeziehungen von 2 Geraden in der Ebene:
I
2x −
II −2x +
y
2y
=
=
3
4
Einsetzungsverfahren:
weitere Beispiele:
I
2x − 3y
II −2x + 3y
=
=
Additionsverfahren:
4
5
Gleichsetzungsverfahren:
I
x
II −2x
8
− 2y
+ 4y
= 3
= −6