V9.1_Schriflich addieren und subtrahieren

Vorlesung zur Arithmetik
• V1 18./19.04.
• V2 -./26.04.
•
V3
02./03.05.
•
V4
09./10.05.
•
V5
16./17.05.
•
•
•
•
•
V6
V7
V8
V9
V10
23./24.05.
30.05./31.05.
06./07.06.
20./21.06.
27./28.06.
•
•
•
V11 04./05.07.
V12 11./12.07.
V13 18. 07.
Arithmetik in der Grundschule
Die Entwicklung des Zahlbegriffs
beim Kind/Konzepte für den
Anfangsunterricht
Natürliche Zahlen im
Anfangsunterricht
Die Grundrechenoperationen Addition
und Subtraktion
Die Grundrechenoperationen
Multiplikation und Division
Rechengesetze und Rechenstrategien
Rechenfakten automatisieren
Entwicklung von Zahlen und Zahlsystemen
Schriftliche Rechenverfahren
Rechenschwäche und
Rechenbegabung
Aufgabenformate und Übungsangebote
Zusammenfassung und Überblick
Klausur
1
V 9.1 Schriftliches Addieren und
Subtrahieren
• Quellen: Schipper u. a.: Handbuch für den Mathematikunterricht an
Grundschulen und Kl. 3 Handbuch neu; Padberg:
Arithmetik;Wittmann/Müller: Handbuch II
1 Begriff
2 Diskussionspunkte
3 Die schriftliche Addition
3.1 Erarbeitung
3.2 Übung
4 Die schriftliche Subtraktion
4.1 Ergänzen oder Abziehen?
4.2 Die Subtraktionsverfahren
4.3 Erarbeitung der Verfahren
2
1 Begriff
Während beim halbschriftlichen Rechnen (gestütztes
Kopfrechnen)
• die mehrstelligen Rechenzahlen immer als Ganzes überblickt
und
• beim Rechnen (geschickt) zerlegt werden müssen (unter
Berücksichtigung von Zahlbeziehungen und
Gesetzmäßigkeiten),
• ist das schriftliche Rechnen ein Rechnen mit den Ziffern an
den einzelnen Stellen („Ziffernrechnen“).
3
• Die Vereinfachung komplexer Rechnungen
orientiert sich zwangsläufig an der durch die
dezimale Schreibweise vorgegebenen
Zahlraumstruktur.
• Die Techniken des Kopfrechnens und des
halbschriftlichen Rechnens nutzen das Zerlegen in
Stellenwerte.
• Ein geeignetes Rechenschema für das schriftliche
Rechnen sollte die Stellenwertschreibweise
gezielt und besonders geschickt ausnutzen.
n. Baireuther. 2000.
Mathematikunterricht in den Klassen
3 und 4. Auer
4
Schriftliche Verfahren
halbschriftlich
• 798+34=832
• 790+30
• 820+8+4
• 798
• + 1 34
1
832
• 798+34=832
800+34-2
wichtige Voraussetzungen:
Kopfrechnen (Grundaufgaben)
Einsichten in unser Stellenwertsystem (u.a.
Bündelungsprinzip)
5
• Der Grundgedanke
eines effektiven
Additionsverfahrens ist
ganz einfach:
Getrennte Addition in
den einzelnen Stellen
ergibt die Stellen des
Ergebnisses.
6
6H
13 Z
18 E
wird nach dem Bündeln
zur Ziffernfolge 748
vgl. ebenda
6
Nils, Kl. 3
„Ich freu mich so, dass ich
1.-Schuljahr-Aufgaben rechnen darf.“
7
• Schriftliche Verfahren sind algorithmische Verfahren: Es wird
nach feststehenden Regeln (Vorschriften) gerechnet
(Normalverfahren).
• Im Gegensatz dazu spricht man beim halbschriftlichen
Rechnen auch von heuristischem Vorgehen: Man kann die
verschiedensten Rechenstrategien (und immer wieder neue
und andere) entdecken.
8
2 Diskussionspunkte
• Die schriftlichen Verfahren zu den 4 Grundrechenoperationen
werden in der Regel in den Klassenstufen 3 und 4 eingeführt.
• Das schriftliche Verfahren der Division ist ein sehr komplexes
Verfahren. Es wird deshalb nur auf einer recht elementaren
Niveaustufe betrachtet. Es ist angedacht, es in die
Klassenstufe 5 zu verschieben. (vgl. Schipper 2009)
• Bei der schriftlichen Subtraktion ist die gegenwärtige Tendenz,
das Abziehverfahren zu nutzen.
• Kinder mit Rechenstörungen sollten möglichst frühzeitig in
den schriftlichen Verfahren unterwiesen werden.
9
Rahmenplan Grundschule (Rheinland-Pfalz)
Kl. 3
10
Kernlehrplan Saarland (2009)
• Das schriftliche Rechenverfahren der Addition
mit zwei und mehr Summanden beherrschen
• Das schriftliche Rechenverfahren der
Subtraktion mit einem Subtrahenden
beherrschen
11
Akzentverschiebungen
• nicht nur Rechentraining, auch Einsicht in
die Verfahren gewinnen lassen
• auf besonders schwierige Rechenfälle
verzichten
• der Kontroll- und Überschlagsrechnung
mehr Bedeutung beimessen
12
3 Die schriftliche Addition
• seit KMK 1958 Form und Sprechweise
vorgegeben
• international nur geringfügige Unterschiede, z.
B. in Italien:
357+
gerechnet:
876=
„7+6=13“...
1233
13
3.1 Erarbeitung des Verfahrens
a. Veranschaulichung
•mit Mehrsystemblöcken in einer großen
Stellenwerttafel
•mit Plättchen in der Stellenwerttafel
•mit dem Schulabakus
14
Darstellen mit Mehrsystemblöcken
386+453
•
•
1. Darstellen beider Summanden
2. Addition der Einer: „6 Einer plus 3
Einer gleich 9 Einer.“ (9 Einer nach
unten schieben)
•
3. Addition der Zehner mit
Übertrag: „7 Zehner plus 5 Zehner
gleich 12 Zehner; 1 Hunderter und 2
Zehner.“ (12 Zehner nach unten
schieben; 10 Zehner in einen Hunderter
wechseln)
•
4. Addition der Hunderter: „3
Hunderter plus 4 Hunderter plus 1
Hunderter gleich 8 Hunderter.“ (7
Hunderter nach unten schieben und den
Übertrag-Hunderter dazunehmen)
Quelle: Handbuch 3,
Radatz/Schipper u. a.
15
Darstellen mit Rechenplättchen in der
Stellenwerttafel
479+145=500+110+14=624
400+100
70+40
9+ 5
Erklärung ausgehend vom
halbschriftlichen Addieren
(stellenweise)
16
Quelle: Handbuch II, Müller/Wittmann
Erarbeiten mit dem Schulabakus
247+386
Quelle: Wechselspiele,
Johann/Matros
17
Atlas Mathematik 3
Wie haben
Rechenmeister
addiert?
845+436 = ?
1.
Zahlen legen.
2.
Plättchen zusammenschieben.
3.
Je zehn Plättchen wechseln.
845+436=1281
18
Atlas Mathematik 3
Wie kannst du schriftlich addieren?
1.
Spaltenweise addieren.
2.
Jeweils den Einer der Summe unter den Additionsstrich schreiben.
3.
Jeweils den Zehner der Summe in die nächsthöhere Spalte übertragen.
19
Schreib- und Sprechweise
• 3 plus 6 gleich 9
• 5 plus 7 gleich 12; schreibe
2, übertrage 1
• 5 plus 3 gleich 8
• Probe: Die andere
Rechenrichtung zum
nochmaligen Addieren
wählen.
Der Sprechrhythmus
unterstützt das
Verinnerlichen des
Verfahrens.
20
Flexibilisierung
Rechenrichtung verändern: mal von unten
nach oben , mal von oben nach unten
Rechenrichtung innerhalb einer Aufgabe
ändern
21
c. Schwierigkeiten und
Schülerfehler
•falsche Stellenzuordnung beim Abschreiben
•Fehler im Zusammenhang mit dem Übertrag
•Verwechseln der Operation
22
d. Erarbeitungsidee
(in Anlehnung an „Rechenwege“)
• Kassenbelege, Rechnungen mitbringen: Finde
heraus, wie man so rechnen kann. Oder: Wer
kann schon so rechnen?
23
Rechnen mit Einern, Zehnern, Hundertern, Tausendern
Matheprofis Kl. 3
24
Matheprofis Kl. 3
25
Versuche, auch so zu rechnen:
555+222; 87+607; 187+657; 319+62;
1,43 € + 3,07 €; 5,45 € + 1,22 €
So rechneten die Kinder der Kl. 3b. Was fällt euch auf?
26
3.2 Übungen
27
Palindrome
Palindrome sind Wörter, Sätze oder Ziffernfolgen, die von
vorne und von hinten gelesen das Gleiche ergeben.
OTTO ANNASUSANNA
EIN ESEL LESE NIE
BEI LIESE SEI LIEB
28
Auf folgende Weise erhält man mit der Zeit
meistens ein Zahlenpalindrom (Drehwurm):
Nimm eine Zahl:
Addiere dazu die Umkehrzahl:
76
+ 67
143
Addiere zum Resultat
wieder die Umkehrzahl:
143
+341
484
Bei diesem Beispiel gelingt ein Drehwurm schon nach 2
Schritten, manchmal dauert es viel länger. Untersuche die
Zahlen 43, 54, 55, 56.
29
Zahlenzüge
•
•
•
•
•
in die Lokomotive: 3 voneinander verschiedene einstellige Zahlen (>0)
z. B. 1,5,7
größte und kleinste Zahl bilden (751, 157)
Differenz errechnen (751-157=594)
davon (594) wieder größte und kleinste dreistellige Zahl bilden (954, 459)
So fortfahren, so lange es geht – Wer schafft den längsten Zug?
30
4 Die schriftliche Subtraktion
4.1 Ergänzen oder Abziehen?
Das Ergänzen „war“ bis vor ca. drei Jahren das
Normalverfahren in der BRD (seit 1958).
Das Abziehen ist gebräuchlich in den meisten anderen
europäischen Ländern. Auch bei uns setzt es sich immer
mehr durch.
31
Hintergrund
• Das Ergänzungsverfahren wurde 1913 für den
gymnasialen Mathematikunterricht
empfohlen - die sogenannte österreichische
(süddeutsche) Methode
• Anpassung des Rechnens in der Volksschule
an die gymnasiale Praxis, u. a. deshalb KMKBeschluss 1958 für dieses Verfahren.
32
Vorteile des Ergänzens, die
betont wurden:
Sicherheit und Schnelligkeit des Verfahrens
(vor allem bei Minuenden mit mehreren
Nullen, bei mehreren Subtrahenden) – nach
Untersuchungen von Johnson 1938
33
Kritik heute:
- international wenig gebräuchlich
- Einsicht in das Verfahren ist schwerer zu
erwerben
- schriftliche Subtraktion in Deutschland
Höhepunkt bei Schülerfehlern
34
Abziehen
10 10
521
- 378
521
378
143
•
•
•
1 Einer minus 8 Einer geht nicht. Ich
entbündle einen Zehner und erhalte
10 Einer. ( Ich wechsle einen Zehner
um in 10 Einer. ) 11 minus 8 ist
gleich 3.
1 Zehner minus 7 Zehner geht nicht.
Ich entbündle einen Hunderter und
erhalte 10 Zehner. 11 minus 7 ist
gleich 4.
... 4 minus 3 ist gleich 1.
35
mögliche Kurzform
5`2`1
- 378
1 43
• 11 minus 8 gleich 3.
• 11 minus 7 gleich 4.
• 4 minus 3 gleich 1.
36
Argumente für das Abziehverfahren
• einsichtsvoll zu erwerben
• Abziehen entspricht eher den kindlichen Vorstellungen vom
Subtrahieren.
• Abziehen u.a. in: USA, Kanada, Niederlande, Großbritannien,
Italien, Spanien, Portugal, Türkei, Japan, China, Finnland,
Schweden, Indonesien, Israel, ...
• In den neuen Lehrplänen werden diese Argumente
berücksichtigt und eine Öffnung des Subtraktionsverfahrens
wird empfohlen: Erarbeiten über das Ergänzen oder Abziehen
ist möglich. Viele Schulen wählen das Abziehen.
37
Die Subtraktionsverfahren
• Sie unterscheiden sich
nach der
Rechenrichtung:
– Ergänzen oder
– Abziehen
• Sie unterscheiden sich
nach der Art wie mit
dem Übertrag
umgegangen wird:
– Entbündeln (Wechseln ,
Borgen) oder
– Erweitern
Hinzu kommt die
Übertragstechnik „Auffüllen“.
38
a. Abziehverfahren (Minus-Sprechweise)
1)
Abziehen mit Entbündeln (Wechseln, Borgen),
norddeutsche Methode (das heute empfohlene Verfahren)
10
5 6`2
247
5
„2-7 geht nicht. Ich wechsle
einen Zehner in zehn Einer um:
12-7=5.“... (s. Folien 33, 34)
39
die im „Padberg“
empfohlenen
Notationsformen:
ausführliche Form
Kurzformen
40
Nachteile des Abziehverfahrens mit Entbündeln:
mehrere Nullen im Minuenden
mehrere Subtrahenden
Schreibweise
nicht exakt
• Von 0 kann ich nichts
entbündeln, von der nächsten
und übernächsten Null auch
nichts.
• Also wird ein Zehntausender in
10 Tausender gewechselt.
• Einer dieser Tausender wird in
10 Hunderter, einer dieser
Hunderter in 10 Zehner und
einer dieser Zehner in 10 Einer
gewechselt. Nun kann ich 17-9
rechnen.
• An der Zehnerstelle stehen jetzt
im Minuenden noch 9 Zehner,
also 9-5 …
41
mehrere Subtrahenden (in Rheinland-Pfalz nicht gefordert)
• Zuerst muss in einem
Überschlag geklärt werden,
wie viele Zehner gewechselt
werden müssen bzw. um
wie viel erweitert werden
muss. Erst dann kann die
erste Rechnung
durchgeführt werden.
• Man kann aber auch die
Subtrahenden erst
addieren.
42
2) Abziehen mit Erweitern
• Einerstelle: 4-9 geht nicht.
Ich erweitere im Minuenden um
10 und im Subtrahenden an der
nächsten Stelle um 1. (So wird die
Konstanz der Differenz gewahrt.)
• Zehnerstelle: 2-8 geht nicht.
Ich erweitere deshalb im
Minuenden um 10 (um rechnen
zu können) und im Subtrahenden
der nächsten Stelle um 1 (um die
Konstanz der Differenz zu
wahren).
• Hunderterstelle: 8-5=3.
43
b. Ergänzungsverfahren (Plus-Sprechweise)
• 1) Ergänzen mit Erweitern (unser erlerntes
Verfahren)
10
562
- 247
1
5
„7+_=2 geht nicht. Ich erweitere
oben mit 10 Einern und unten mit
einem Zehner: 7+5=12....“
Konstanz der Differenz
44
2) Ergänzen mit Entbündeln (Wechseln, Borgen)
10
5 6‘ 2
- 247
5
7+_=2 geht nicht. Ich entbündele einen
Zehner in zehn Einer.
7+5=12. (Es
sind noch 5 Zehner.) ... “
45
3) Ergänzen mit Auffüllen
• Die Auffülltechnik füllt den
Subtrahenden stellenweise
so weit auf, dass er dem
Minuenden gleichkommt.
(Wenn nötig wird auch die
nächste Stelle im
Subtrahenden verändert.)
Auffüllen der Einer:
Aus 479 wird 484 (+5 Einer).
• Entspricht dem Herangehen
Übertrag: Aus 7 Zehnern werden 8.
an der „Kasse“. (Das Geld
Auffüllen der Zehner:
wird „ergänzend“
Aus 484 wird 524 (+4 Zehner).
herausgegeben, wobei man
Übertrag: aus 4 Hundertern werden 5.
alle Stellen im Blick hat.)
Auffüllen der Hunderter:
Aus 524 wird 824 (+ 3 Hunderter).
Quelle: Baireuther
46
4. 3 Erarbeitung der Verfahren
Atlas Mathematik 3
Weg über die Vorerfahrungen
Ausschnitte aus Mathematikus, Kl. 3
Denken und Rechnen Kl. 3
47
Weg über die Vorerfahrungen
• Wir haben schriftlich addiert.
• Wer kann sich denken, wie man schriftlich subtrahiert?
• Aufgaben vorgeben oder bilden lassen und Schüler probieren
lassen.
• Überschlagt, kann das stimmen, was ihr gerechnet habt?
• Rechnet eure Beispiele vor.
48
Wie haben
Rechenmeister
subtrahiert?
1281-845 = ?
1.
2.
3.
Die erste Zahl legen.
1281-845=436
Wo nötig, Plättchen aus den höheren Spalten wechseln.
Plättchen der zweiten Zahl nach unten schieben. (Was oben liegen
bleibt, ist das Ergebnis.)
Atlas Mathematik 3
49
Wie kannst du schriftlich subtrahieren?
1.
Wo nötig, vor der Subtraktion aus höheren Stellen
wechseln.
2.
Spaltenweise subtrahieren.
Atlas Mathe 3
50
Berechne die Differenzen.
Atlas Mathe 3
51
In die Lehrbücher geschaut …
52
Neuere Schulbücher
zeigen beim
Subtrahieren
verschiedene
Verfahren.
Mathematikus Kl. 3
Welches Verfahren
zeigt das Buch zuerst?
53
Mathematikus Kl. 3
54
Primo Kl. 3
Subtrahieren so …?
55
Primo Kl. 3
… oder so?
56
Abziehen (Denken und Rechnen 2003)
57
Studienaufgabe zur Vorbereitung auf die Übung
(Woche vom 20.-24.06.2011)
• Sie wollen beim schriftlichen Subtrahieren das
Abziehen mit Entbündeln erklären. Notieren
Sie Ihre Erklärung an einem Beispiel.
• Sie wollen beim schriftlichen Subtrahieren das
Abziehen mit Erweitern erklären. Notieren Sie
Ihre Erklärung an einem Beispiel.
58