VERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK (1) Berechne: (1 + i) − (2 + 3i

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ÜBUNGSAUFGABEN KOMPLEXE ZAHLEN
(1) Berechne:
i3 =
(1 + i)3 =
4−i=
√
−5 + 12i =
(1 + i) − (2 + 3i) =
3 + 4i
=
1 − 2i
|2 + 2i| =
√
i=
(2 + i)2 =
3 + 4i
=
1 + 2i
|i| =
√
4 + 4i =
(2) Berechne:
a + bi
=
c − di
(a + bi)3 =
(a + bi)(c + di) =
(a + bi)2 =
(3) Löse folgende Gleichungen in C:
x2 − 4x + 5 = 0
5x2 + 8ix − 5 = 0
x4 + 3x2 − 4 = 0
(4) Beweise, dass für komplexe Zahlen gilt:
(a + bi)(c + di) = (a − bi)(c − di)
(5) Zeige, dass für alle komplexen Zahlen z = a + bi die folgenden
Ausdrücke reell sind:
z + z;
z · z;
z2 + z2
(6) Löse die Gleichung x4 + 1 = 0
(a) mit Substitution;
(b) Durch Ausnutzen binomischer Formeln: schreibe
x4 + 1 = (a2 + 1)2 − ( ∗ )2
und verwende anschließend die dritte binomische Formel.
1
2
ÜBUNGSAUFGABEN KOMPLEXE ZAHLEN
(7) Löse folgende Differentialgleichungen:
2y 0 − 3y = 0
y 00 − 5y 0 + 6y = 0
y 00 + 3y 0 − 3y = 0
(8) Zeige, dass die Funktion y = f (x) der Differentialgleichung (∗)
genügt:
f (x)
(∗)
3x
0
2e
y = 3y
y = sin(2x)
y 00 = −4y
y 0 − 3y = 1 − 3x
x + 2e3x
x ln x − x
y 0 = ln x
S − aekx
y 0 = k(y − S)
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Lösungen
(1) Berechne:
i3 = −i
(1 + i) − (2 + 3i) = −1 − 2i
(2 + i)2 = 3 + 4i
3 + 4i
3 + 4i
11 2
(1 + i)3 = −2 + 2i
=
=
− i
1 − 2i
1 + 2i
5
5
√
4−i=4+i
|2 + 2i| = 8
|i| = 1
√
√
2
√
√
2 −5 + 12i = ±(3 + 2i)
i=±
+
i
2
2
Bei der letzten Aufgabe erhält man
q
q
√
√
√
4 + 4i = 2 + 2 2 + −2 + 2 2i;
die Wurzeln in der letzten Aufgabe lassen sich auf viele Arten
darstellen; notfalls mit GTR kontrollieren.
(2) Berechne:
(a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i
(a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi
a + bi
ac − bd ad + bc
= 2
+ 2
i
c − di
c + d2
c + d2
(a + bi)3 = a3 − 3ab2 + (3a2 b − b3 )i
(3) Löse folgende Gleichungen in C:
x2 − 4x + 5 = 0
5x2 + 8ix − 5 = 0
x4 + 3x2 − 4 = 0
x1,2 = 2 ± i
3 4
x1,2 = ± − i
5 5
x1,2 = ±1, x3,4 = ±2i
(4) Beweise, dass für komplexe Zahlen gilt:
(a + bi)(c + di) = (a − bi)(c − di)
Nachrechnen: linke Seite
(a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i = ac − bd − (ad − bc)i,
rechte Seite
(a − bi)(c − di) = ac − bd − (ad − bc)i.
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ÜBUNGSAUFGABEN KOMPLEXE ZAHLEN
(5) Zeige, dass für alle komplexen Zahlen z = a + bi die folgenden
Ausdrücke reell sind:
z · z;
z + z;
z2 + z2
Nachrechnen: mit z = a + bi findet man
z + z = a + bi + (a − bi) = 2a,
z · z = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 ,
z 2 + z 2 = (a + bi)2 + (a − bi)2 = a2 − b2 + 2abi + a2 − b2 − 2abi
= 2a2 − 2b2 .
(6) Löse die Gleichung x4 + 1 = 0
(a) mit Substitution;
(b) Durch Ausnutzen binomischer Formeln: schreibe
x4 + 1 = (a2 + 1)2 − ( ∗ )2
und verwende anschließend die dritte binomische Formel.
(7) Löse folgende Differentialgleichungen:
2y 0 − 3y = 0
y 00 − 5y 0 + 6y = 0
y 00 + 3y 0 + 3y = 0
Mit y = ekx , y 0 = kekx und y 00 = k 2 ekx erhält man die drei
Gleichungen
2k − 3 = 0,
also
k 2 − 5k + 6 = 0,
also
k 2 + 3k + 3 = 0,
also
3
k= ,
2
k1 = 2, k2 = 3,
√
−3 ± 3 · i
k1,2 =
2
und damit die Lösungen
3
y = ce 2 x ,
y = c1 e2x + c2 e3x ,
y = c1 e
√
−3+ 3·i
2
x
+ c2 e
√
−3− 3·i
2
x
.
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(8) Zeige, dass die Funktion y = f (x) der Differentialgleichung (∗)
genügt:
f (x)
(∗)
3x
0
2e
y = 3y
y = sin(2x)
y 00 = −4y
0
3x
y − 3y = 1 − 3x
x + 2e
x ln x − x
y 0 = ln x
0
kx
y = k(y − S)
S − ae
Nachrechnen; wenn nicht auf beiden Seiten das Gleiche rauskommt, melden.