Informatik I 23. November 2010 — 8. Mathematische Exkursion: Binäre Relationen 8.1 Darstellung Informatik I 8. Mathematische Exkursion: Binäre Relationen 8.2 Komposition 8.3 Wichtige Eigenschaften Jan-Georg Smaus Albert-Ludwigs-Universität Freiburg 8.4 Die Relation ∼ 23. November 2010 8.5 Ordnungen 8.6 Natürliche Zahlen Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 1 / 53 Relationen Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 2 / 53 Beispiele 1. ∅ ⊆ A × B, die leere Relation; Definition 2. A × B, die volle Relation; Eine binäre Relation R ist eine Teilmenge (⊆) von A × B, wobei A, B Mengen sind. Wir schreiben (a, b) ∈ R oder a R b. 3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A}, die Gleichheit; 4. ≤ ⊆ N × N; 5. < ⊆ N × N; 6. | ⊆ N × N mit m|n falls ein c ∈ N existiert mit c · m = n; Zu einer binären Relation R ist R −1 ⊆ B × A die Umkehrrelation mit R −1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R}. 7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R; 8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}), wobei P({1, 2, 3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}; Im Folgenden betrachten wir ausschließlich binäre Relationen. 9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0 . Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 2 / 53 Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 3 / 53 Darstellung Darstellung 8.1 Darstellung Darstellung von Relationen Matrix ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}), wobei P({1, 2, 3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}, lässt sich gut als Matrix darstellen: ⊆ ∅ {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3} √ √ √ √ √ √ √ √ ∅ √ √ √ √ {1} √ √ √ √ {2} √ √ √ √ {3} √ √ {1, 2} √ √ {1, 3} √ √ {2, 3} √ {1, 2, 3} Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 4 / 53 Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Darstellung Informatik I 23. November 2010 5 / 53 Darstellung Darstellung von Relationen Darstellung von Relationen Pfeildiagramm Graph ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}), wobei P({1, 2, 3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}, lässt sich auch als Pfeildiagramm darstellen: K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R ( 7 ) ist eine Kreisfläche und lässt sich gut als Graph darstellen. y {} {} {1} {1} {2} {2} {3} {3} {1,2} {1,2} {1,3} {1,3} {2,3} {2,3} {1,2,3} {1,2,3} x Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 6 / 53 Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 7 / 53 Komposition Komposition 8.2 Komposition Komposition Definition Seien R ⊆ A × B und S ⊆ B × C . Dann ist S ◦ R die Komposition von R und S mit S ◦ R ⊆ A × C und S ◦ R = {(a, c) | es gibt b ∈ B mit (a, b) ∈ R und (b, c) ∈ S}. C B A S R 3 4 2 4 5 3 5 6 4 6 7 5 7 8 1 S oR Beachte: Man findet in der Literatur auch die Notation R ◦ S. Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 8 / 53 Komposition Informatik I 23. November 2010 9 / 53 Wichtige Eigenschaften IA = R −1 ◦ R? 8.3 Wichtige Eigenschaften I Gilt im Allgemeinen IA = R −1 ◦ R? Nein! I Gilt im Allgemeinen R −1 ◦ R ⊆ IA ? Nein, nimm A = {0, 1, 2} und R = {(0, 1), (2, 1)}. Dann gilt (0, 2) ∈ R −1 ◦ R, aber (0, 2) ∈ / IA = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)}. I Gilt im Allgemeinen IA ⊆ R −1 ◦ R? Nein, nimm A = {0, 1, 2} und R = ∅. Dann gilt (0, 0) ∈ IA , aber (0, 0) ∈ / R −1 ◦ R = ∅. Oder nimm A = {0, 1, 2} und R = {(0, 1), (2, 1)}. Dann ist R −1 ◦ R = {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2)} und somit (1, 1) ∈ / R −1 ◦ R. Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 10 / 53 Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 11 / 53 Wichtige Eigenschaften Wichtige Eigenschaften . . . eindeutigkeit . . . eindeutigkeit 1. ∅ ⊆ A × B ist links- und rechtseindeutig; 2. A × B ist weder noch; 3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} ist links- und rechtseindeutig; Definition Sei R ⊆ A × B. 4. ≤ ⊆ N × N ist weder noch; 1. R ist linkseindeutig (injektiv) falls gilt: wenn a R b und a = a0 . a0 R b, dann 2. R ist rechtseindeutig falls gilt: wenn a R b und a R b 0 , dann b = b 0 . Rechtseindeutige Relationen heißen partielle Funktionen. 5. < ⊆ N × N ist weder noch; 6. | ⊆ N × N, mit m|n falls ein c ∈ N existiert mit c · m = n, ist weder noch; 7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R ist weder noch; 8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) ist weder noch; 9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0 ist weder noch. Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 12 / 53 Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Wichtige Eigenschaften Informatik I 23. November 2010 13 / 53 Wichtige Eigenschaften Äquivalenzrelationen u.ä. Reflexiv? R heißt reflexiv, falls (∀a ∈ A) a R a. Definition 1. ∅ ⊆ A × A nein Sei R ⊆ A × A eine Relation über A. 1. R heißt reflexiv, falls (∀a ∈ A) a R a; 2. A × A ja; 2. R heißt irreflexiv, falls (∀a ∈ A) ¬(a R a); 3. IA ⊆ A × A ja; 3. R heißt symmetrisch, falls (∀x, y ∈ A): wenn x R y dann auch y R x; 4. ≤ ⊆ N × N ja; 4. R heißt antisymmetrisch, falls (∀x, y ∈ A): wenn x R y und y R x dann x = y ; 5. < ⊆ N × N nein; 5. R heißt transitiv, falls (∀x, y , z ∈ A): wenn x R y und y R z dann x R z; 7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein; 6. R heißt Äquivalenzrelation, falls R reflexiv, transitiv und symmetrisch ist. 9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0 ja. Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 6. | ⊆ N × N ja; 8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) ja; 14 / 53 Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 15 / 53 Wichtige Eigenschaften Wichtige Eigenschaften Irreflexiv? Symmetrisch? R heißt irreflexiv, falls (∀a ∈ A) ¬(a R a). R heißt symmetrisch, falls (∀x, y ∈ A): wenn x R y dann auch y R x. 1. ∅ ⊆ A × A ja 1. ∅ ⊆ A × A ja; 2. A × A nein 2. A × A ja; 3. IA ⊆ A × A nein 3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} ja; 4. ≤ ⊆ N × N nein 4. ≤ ⊆ N × N nein; 5. < ⊆ N × N ja 5. < ⊆ N × N nein; 6. | ⊆ N × N nein 6. | ⊆ N × N nein; 7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein 7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R ja; 8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) nein; 8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) nein; 9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ nein. Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) (m0 , n0 ) Informatik I gdw. m + n0 =n+ 23. November 2010 m0 16 / 53 9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0 ja. Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Wichtige Eigenschaften Informatik I 23. November 2010 17 / 53 Wichtige Eigenschaften Antisymmetrisch? Transitiv? R heißt antisymmetrisch, falls (∀x, y ∈ A): wenn x R y und y R x dann x = y. R heißt transitiv, falls (∀x, y , z ∈ A): wenn x R y und y R z dann x R z. 1. ∅ ⊆ A × A ja; 1. ∅ ⊆ A × A ja; 2. A × A ja; 2. A × A nein; 3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} ja; 3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} ja; 4. ≤ ⊆ N × N ja; 4. ≤ ⊆ N × N ja; 5. < ⊆ N × N ja; 5. < ⊆ N × N ja; 6. | ⊆ N × N ja; 6. | ⊆ N × N ja; 7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein; 7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein; 8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) ja; 8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) ja; 9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0 nein. Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 18 / 53 9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0 ja. Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 19 / 53 Die Relation ∼ Wichtige Eigenschaften 8.4 Die Relation ∼ Äquivalenzrelation? R heißt Äquivalenzrelation, falls R reflexiv, transitiv und symmetrisch ist. 1. ∅ ⊆ A × A nein; 2. A × A ja; 3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} ja; 4. ≤ ⊆ N × N nein; 5. < ⊆ N × N nein; 6. | ⊆ N × N nein; 7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein; 8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) nein; 9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0 ja. Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 20 / 53 Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Die Relation ∼ 23. November 2010 21 / 53 Die Relation ∼ Die Relation ∼ Die Addition und Subtraktion auf den ganzen Zahlen Die Relation ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0 , kann man benutzen, um aus den natürlichen Zahlen die ganzen Zahlen zu konstruieren. Idee: stelle jede ganze Zahl als Differenz von zwei natürlichen Zahlen dar. 23. November 2010 denn (n − m) + (n0 − m0 ) = (n + n0 ) − (m + m0 ). Wir dürfen − offiziell“ nicht benutzen. ” Nebenrechnung: (n − m) − (n0 − m0 ) = (n + m0 ) − (m + n0 ). Es gilt z.B. 2 + 1 = 3 + 0 oder 0 + 3 = 2 + 1. Trick: man verwendet − in der Definition nicht, denn + ist auf den natürlichen Zahlen total definiert, − aber nicht. Informatik I (n, m) ⊕ (n0 , m0 ) = (n + n0 , m + m0 ) (n, m) (n0 , m0 ) = (n + m0 , m + n0 ) 0 = ˆ (0, 0) ∼ (1, 1) ∼ (150000, 150000) 2 = ˆ (2, 0) ∼ (3, 1) ∼ (150002, 150000) −2 = ˆ (0, 2) ∼ (1, 3) ∼ (150000, 150002) Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I Übung: definiere , die Multiplikation auf den ganzen Zahlen. 22 / 53 Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 23 / 53 Die Relation ∼ Ordnungen Die Relation ./ 8.5 Ordnungen Definiere ./ ⊆ (N × (Z \ {0})) × (N × (Z \ {0})) mit (m, n) ./ (m0 , n0 ) gdw. m · n0 = n · m0 . Was ist das und wozu könnte es gut sein? Definitionen Minimale, kleinste, maximale, größte Elemente Wohlfundiertheit Induktion Wohlordnungen Die Relation ./ kann man benutzen, um aus den natürlichen und ganzen Zahlen die rationalen Zahlen zu konstruieren. n Das nennen wir Bruch und schreiben normalerweise m . Dass eine Zahl sich auf verschiedene Arten als Bruch schreiben lässt, ist bekannt. Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I Ordnungen 23. November 2010 24 / 53 Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Definitionen Informatik I Ordnungen Ordnungen 23. November 2010 25 / 53 Definitionen Ordnungen? I I I Quasiordnung: reflexiv und transitiv Halbordnung: reflexiv, transitiv und antisymmetrisch Totale Ordnung: Halbordnung und a R b oder b R a. Definition Sei R eine Relation über A. I R ist eine Quasiordnung, falls R reflexiv und transitiv ist. I R ist eine Halbordnung, falls R reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. I R ist eine totale Ordnung, falls R eine Halbordnung ist und (∀a, b ∈ R) gilt a R b oder b R a. Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 26 / 53 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. ∅ ⊆ A × A nein; A × A Quasiordnung; IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} Halbordnung; ≤ ⊆ N × N totale Ordnung; < ⊆ N × N nein; | ⊆ N × N Halbordnung; K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein; ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) Halbordnung; ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0 Quasiordnung. Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 27 / 53 Ordnungen Definitionen Ordnungen Strikte (strenge) Ordnungen Strikte Ordnungen? I I Die Definitionen von Halbordnung und totale Ordnung lassen sich abwandeln, indem wir Irreflexivität statt Reflexivität annehmen: Definition Sei R eine Relation über A. I R ist eine strikte (strenge) Ordnung, falls R irreflexiv, transitiv (und antisymmetrisch) ist. I R ist eine strikte (strenge) totale Ordnung, falls R eine strikte Ordnung ist und (∀a, b ∈ R) gilt a R b oder b R a oder a = b. Was ist mit Quasiordnungen? Es bleibt nur Transitivität übrig; hierfür führen wir keinen neuen Namen ein. Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I Ordnungen 23. November 2010 28 / 53 I Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 29 / 53 Minimale, kleinste, maximale, größte Elemente Minimale und kleinste Elemente Beispiele Definition I ∅ ⊆ A × A strikte Ordnung; A × A nein; IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} nein; ≤ ⊆ N × N nein; < ⊆ N × N strikte totale Ordnung; | ⊆ N × N nein, aber man kann die strikte Ordnung teilt echt“ ” definieren; 7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein; 8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) nein, aber ⊂ ist eine strikte Ordnung; 9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0 nein. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Ordnungen Sei R ⊆ A × A eine Relation und sei B ⊆ A (es hilft, sich R als ≤ vorzustellen). I Strikte Ordnung: irreflexiv, transitiv (und antisymmetrisch) Strikte totale Ordnung: strikte Ordnung und a R b oder b R a oder a = b. Minimale, kleinste, maximale, größte Elemente Minimale und kleinste Elemente I Definitionen A = B = N mit R = ≤: 0 ist sowohl ein minimales als auch das kleinste Element. Ein Element z ∈ B heißt minimales Element von B bzgl. R falls (∀y ∈ B) gilt: y R z impliziert y = z. Es existieren kein maximales oder größtes Element. Ein Element z ∈ B heißt kleinstes Element von B bzgl. R falls (∀y ∈ B) gilt: z R y . Betrachten wir wieder ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) und B = {{1}, {2}, {1, 2, 3}}. Ein Element z ∈ B heißt maximales Element von B bzgl. R falls (∀y ∈ B) gilt: z R y impliziert y = z. {1} und {2} sind beide minimal, aber keines der beiden ist das kleinste Element. Es gibt kein kleinstes. Ein Element z ∈ B heißt größtes Element von B bzgl. R falls (∀y ∈ B) gilt: y R z. {1, 2, 3} ist das einzige maximale, und zugleich das größte Element. Wenn R aus dem Zusammenhang klar ist, kann man den Zusatz bzgl. R“ ” auch weglassen. Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 30 / 53 Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 31 / 53 Ordnungen Wohlfundiertheit Ordnungen Wohlfundiertheit Wohlfundiertheit Beweistechniken Definition Eine Relation R ⊆ A × A heißt wohlfundiert, falls R irreflexiv ist und jedes nichtleere B ⊆ A mindestens ein minimales Element bzgl. R besitzt. I Einen Beweis einer Aussage der Form A gdw. B“ führt man ” normalerweise, indem man im ersten Teil A annimmt und B folgert und im zweiten Teil B annimmt und A folgert. I Einen Beweis einer Aussage der Form aus A folgt B“ wird häufig als ” Widerspruchsbeweis geführt: A ist die Voraussetzung; nun macht man die Annahme“ ¬B und leitet einen Widerspruch her. Da A und ¬B ” einen Widerspruch implizieren, folgt B aus A. Definition Sei R ⊆ A × A ein Relation. Eine unendliche absteigende Kette bzgl. R ist eine unendliche Folge a1 , a2 , . . . , mit ai+1 R ai . Beispiel: < auf Z. Dann ist 0, −1, −2, . . . eine unendliche absteigende Kette, denn . . . − 2 < −1 < 0. Satz Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche absteigende Kette bzgl. R existiert. Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I Ordnungen 23. November 2010 32 / 53 Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Wohlfundiertheit Informatik I Ordnungen 23. November 2010 33 / 53 Wohlfundiertheit Beweis, Teil 1 ( Hinrichtung“) ” Beweis, Teil 2 ( Rückrichtung“) ” Satz Satz Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche absteigende Kette bzgl. R existiert. Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche absteigende Kette bzgl. R existiert. Beweis. Beweis. ⇒“: Sei R wohlfundiert. Um einen Widerspruch herzuleiten, nehmen wir ” nun an, es existiere eine unendliche absteigende Kette a1 , a2 , . . . ,. Definiere B := {ai | i ∈ N}. Da R wohlfundiert und B nichtleer ist, hat B ein minimales Element ai , d.h. (∀y ∈ B) gilt: y R ai impliziert y = ai . Da R wohlfundiert und somit irreflexiv ist, muss gelten: (6 ∃y ) mit y R ai . Da laut Annahme a1 , a2 , . . . , eine unendliche absteigende Kette ist, gilt aber ai+1 R ai . Somit haben wir einen Widerspruch. ⇐“: Voraussetzung: es existiert keine unendliche absteigende Kette ” a1 , a2 , . . . , bzgl. R. Um einen Widerspruch herzuleiten, nehmen wir nun an, R sei nicht wohlfundiert, d.h. eine der beiden folgenden Aussagen gelte: Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 34 / 53 1. R ist nicht irreflexiv, d.h., es existiert ein a ∈ A mit (a, a) ∈ R. 2. Es existiert ein nichtleeres B ⊆ A, das kein minimales Element besitzt, d.h, ein B ⊆ A derart, dass (∀z ∈ B) (∃y ∈ B) (y R z) ∧ y 6= z. ... Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 35 / 53 Ordnungen Wohlfundiertheit Ordnungen Beweis, Teil 2a Beweis, Teil 2b Satz Satz Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche absteigende Kette bzgl. R existiert. Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche absteigende Kette bzgl. R existiert. Beweis. Beweis. ⇐“: Voraussetzung: es existiert keine unendliche absteigende Kette ” a1 , a2 , . . . , bzgl. R. Um einen Widerspruch herzuleiten, nehmen wir nun an, R sei nicht wohlfundiert, d.h. eine der beiden folgenden Aussagen gelte: 1. R ist nicht irreflexiv, d.h., es existiert ein a ∈ A mit (a, a) ∈ R. Im ersten Fall ist a, a, a, . . . eine unendliche absteigende Kette und wir haben einen Widerspruch. Informatik I Ordnungen 23. November 2010 ⇐“: Vorauss.: es existiert keine unendliche absteigende Kette a1 , a2 , . . . , ” bzgl. R. Nimm an, R sei nicht wohlfundiert, d.h.: 2. Es existiert ein nichtleeres B ⊆ A, das kein minimales Element besitzt, d.h, ein B ⊆ A derart, dass (∀z ∈ B) (∃y ∈ B) (y R z) ∧ y 6= z. Im zweiten Fall wähle ein beliebiges Element aus B aus und nenne es a1 . Dann existiert laut obiger Formel ein y ∈ B sodass (y R a1 ) ∧ y 6= a1 . Nenne dieses y fortan a2 . Dann existiert laut obiger Formel ein (i.A. anderes!) y ∈ B sodass (y R a2 ) ∧ y 6= a2 . Nenne dieses y fortan a3 ... 2. . . . Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Wohlfundiertheit 36 / 53 Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Wohlfundiertheit Informatik I Ordnungen Beweis, Teil 2b’ 23. November 2010 37 / 53 Wohlfundiertheit Warum so kompliziert? • Satz ? • Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche absteigende Kette bzgl. R existiert. Beweis. ⇐“: Vorauss.: es existiert keine unendliche absteigende Kette a1 , a2 , . . . , ” bzgl. R. Nimm an, R sei nicht wohlfundiert, d.h.: 2. Es existiert ein B ⊆ A, das kein minimales Element besitzt, d.h, ein B ⊆ A derart, dass (∀z ∈ B) (∃y ∈ B) (y R z) ∧ y 6= z. ... a1 , a2 , . . . ist eine unendliche absteigende Kette, also haben wir einen Widerspruch. Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 Warum heißt es in der Definition von Wohlfundiertheit jedes nichtleere B ⊆ A mindestens ein ” minimales Element bzgl. R besitzt“ statt einfach A mindestens ein minimales Element bzgl. R ” besitzt“? ? • • @ R @ • ? • Die Bedingung über Teilmengen erzwingt, dass jede Kette endlich ist. Die Existenz eines minimalen Elements in A reicht nicht aus. ? • ? • .. . 38 / 53 Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 39 / 53 Ordnungen Wohlfundiertheit Ordnungen Wohlfundiert? Induktion Wozu Wohlfundiertheit? Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche absteigende Kette bzgl. R existiert. 1. ∅ ⊆ A × A ja; 2. A × A nein; 3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} nein; Wenn eine Menge mit einer wohlfundierten Relation ausgestattet ist, kann man Induktion benutzen, um Eigenschaften aller Elemente der Menge zu beweisen. 4. ≤ ⊆ N × N nein; 5. < ⊆ N × N ja; 6. | ⊆ N × N nein; 7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein; 8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) nein; 9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0 nein. ⊂ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) ja; Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I Ordnungen 23. November 2010 40 / 53 Induktion Informatik I Ordnungen Induktion: Illustration 00 11 00 11 0000 1111 1 0 00111 11 000 00 11 0000 1111 0 1 00 11 00 11 000 111 00 11 0000 1111 0 1 00 11 00111 000 00 11 0000 1111 0 11 1 00 11 00 11 000 111 00 11 0000 1111 0 1 0011 11 00 000 111 00 0000 1111 0 11 1 00 11 00111 11 000 00 11 0000 1111 0 1 00 11 00 11 000 111 00 11 0000 1111 0 11 1 00 11 00 000 111 00 11 0000 1111 0 11 1 0011 11 00111 000 00 0000 1111 00 11 0000 1 0 1 1111 0 1 0 0 1 0000 1111 00 11 000 1 0 1 0 1 0 0 1 00000 11111 00000 11111 0000 1111 00 111 11 000 111 0 1 00000 11111 00000 11111 0000 1111 00 11 000 0 1 00000 11111 00000 11111 0000 1111 00 111 11 000 111 0 1 00000 11111 00000 11111 0000 1111 00 11 000 111 0 1 00000 11111 00000 11111 0000 1111 00 111 11 000 0 000001 11111 00000 11111 0000 1111 00 111 11 000 0 1 0 1 00000 11111 00000 11111 0 1 0 1 0 1 0 1 00000 11111 0000 1111 000 111 011111 1 00000 11111 0 1 0 1 0 1 0 1 000 111 0000 1111 000 111 0 1 00000 0 1 0 1 000 0000 1111 000111 111 0 1 00000 11111 0 1 0 1 000 111 0000 1111 000 111 0 1 00000 11111 0 1 0 1 000 111 0000 1111 000111 111 011111 1 00000 11111 0 1 0 1 000 0000 1111 000 111 0 1 00000 0 1 0 1 0000 1111 0 1 00000 11111 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 000 111 000 111 0000 1111 00 11 0111 1 011 1 0 1 0 1 00000 11111 000 111 000 000 111 0000 1111 00 0 1 00000 11111 000111 111 000 000 111 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000 111 000111 111 000 111 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000 111 000 111 000 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000111 111 000 000 111 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000 111 000 000 111 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000111 111 000 111 000 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000 111 000111 111 000 111 0000 1111 00 11 0 1 00000 000111 111 000 000 111 0000 1111 00 11 0 11111 1 00000 11111 0 1 0 1 0 1 0 1 0000 1111 0 1 0 1 0 1 0 1 0000 1111 0000 1111 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 111 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 111 00 11 0000 1111 1111 0000 0000 1111 0000 1111 000 111 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 00 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000111 1111 00011 111 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 111 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 00 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000111 1111 00011 111 00 11 0000 1111 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) 23. November 2010 41 / 53 Induktion Induktion mit der leeren Menge 00 11 00 11 0000 1111 1 0 00111 11 000 00 11 0000 1111 0 1 00 11 00 11 000 111 00 11 0000 1111 0 1 00 11 00111 000 00 11 0000 1111 0 11 1 00 11 00 11 000 111 00 11 0000 1111 0 1 0011 11 00 000 111 00 0000 1111 0 11 1 00 11 00111 11 000 00 11 0000 1111 0 1 00 11 00 11 000 111 00 11 0000 1111 0 11 1 00 11 00 000 111 00 11 0000 1111 0 11 1 0011 11 00111 000 00 0000 1111 00 11 0000 1 0 1 1111 0 1 0 0 1 0000 1111 00 11 000 1 0 1 0 1 0 0 1 00000 11111 00000 11111 0000 1111 00 111 11 000 111 0 1 00000 11111 00000 11111 0000 1111 00 11 000 0 1 00000 11111 00000 11111 0000 1111 00 111 11 000 111 0 1 00000 11111 00000 11111 0000 1111 00 11 000 111 0 1 00000 11111 00000 11111 0000 1111 00 111 11 000 0 000001 11111 00000 11111 0000 1111 00 111 11 000 0 1 0 1 00000 11111 00000 11111 0 1 0 1 0 1 0 1 00000 11111 0000 1111 000 111 011111 1 00000 11111 0 1 0 1 0 1 0 1 000 111 0000 1111 000 111 0 1 00000 0 1 0 1 000 0000 1111 000111 111 0 1 00000 11111 0 1 0 1 000 111 0000 1111 000 111 0 1 00000 11111 0 1 0 1 000 111 0000 1111 000111 111 011111 1 00000 11111 0 1 0 1 000 0000 1111 000 111 0 1 00000 0 1 0 1 0000 1111 0 1 00000 11111 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 000 111 000 111 0000 1111 00 11 0111 1 011 1 0 1 0 1 00000 11111 000 111 000 000 111 0000 1111 00 0 1 00000 11111 000111 111 000 000 111 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000 111 000111 111 000 111 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000 111 000 111 000 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000111 111 000 000 111 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000 111 000 000 111 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000111 111 000 111 000 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000 111 000111 111 000 111 0000 1111 00 11 0 1 00000 000111 111 000 000 111 0000 1111 00 11 0 11111 1 00000 11111 0 1 0 1 0 1 0 1 0000 1111 0 1 0 1 0 1 0 1 0000 1111 0000 1111 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 111 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 111 00 11 0000 1111 1111 0000 0000 1111 0000 1111 000 111 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 00 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000111 1111 00011 111 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 111 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 00 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000111 1111 00011 111 00 11 0000 1111 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 00 11 00 11 0000 1111 1 0 00111 11 000 00 11 0000 1111 0 1 00 11 00 11 000 111 00 11 0000 1111 0 1 00 11 00111 000 00 11 0000 1111 0 11 1 00 11 00 11 000 111 00 11 0000 1111 1 0 0011 11 00 111 000 00 0000 1111 0 11 1 00 11 00111 11 000 00 11 0000 1111 0 1 00 11 00 11 000 111 00 11 0000 1111 0 11 1 00 11 00 000 111 00 11 0000 1111 0 11 1 0011 11 00111 000 00 0000 1111 00 11 0000 1 0 1 1111 0 1 0 0 1 0000 1111 00 11 000 1 0 1 0 1 0 0 1 00000 11111 00000 11111 0000 1111 00 111 11 000 111 0 1 00000 11111 00000 11111 0000 1111 00 11 000 0 1 00000 11111 00000 11111 0000 1111 00 111 11 000 111 0 1 00000 11111 00000 11111 0000 1111 00 11 000 111 0 1 00000 11111 00000 11111 0000 1111 00 111 11 000 0 000001 11111 00000 11111 0000 1111 00 111 11 000 0 1 0 1 00000 11111 00000 11111 0 1 0 1 0 1 0 1 00000 11111 0000 1111 000 111 011111 1 00000 11111 0 1 0 1 0 1 0 1 000 111 0000 1111 000 111 0 1 00000 0 1 0 1 000 0000 1111 000111 111 0 1 00000 11111 0 1 0 1 000 111 0000 1111 000 111 0 1 00000 11111 0 1 0 1 000 111 0000 1111 000111 111 011111 1 00000 11111 0 1 0 1 000 0000 1111 000 111 0 1 00000 0 1 0 1 0000 1111 0 1 00000 11111 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 000 111 000 111 0000 1111 00 11 0111 1 011 1 0 1 0 1 00000 11111 000 111 000 000 111 0000 1111 00 0 1 00000 11111 000111 111 000 000 111 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000 111 000111 111 000 111 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000 111 000 111 000 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000111 111 000 000 111 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000 111 000 000 111 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000111 111 000 111 000 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000 111 000111 111 000 111 0000 1111 00 11 0 1 00000 000111 111 000 000 111 0000 1111 00 11 0 11111 1 00000 11111 0 1 0 1 0 1 0 1 0000 1111 0 1 0 1 0 1 0 1 0000 1111 0000 1111 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 111 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 111 00 11 0000 1111 1111 0000 0000 1111 0000 1111 000 111 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 00 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000111 1111 00011 111 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 111 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 00 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000111 1111 00011 111 00 11 0000 1111 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 Die Menge mit wohlfundierter Relation Induktionsbasis (Teil des Beweises) Induktionsschritt (Teil des Beweises) Eigenschaft gilt für alle Elemente (folgt automatisch) Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 42 / 53 00 11 00 11 0000 1111 1 0 00111 11 000 00 11 0000 1111 0 1 00 11 00 11 000 111 00 11 0000 1111 0 1 00 11 00111 000 00 11 0000 1111 0 11 1 00 11 00 11 000 111 00 11 0000 1111 1 0 0011 11 00 111 000 00 0000 1111 0 11 1 00 11 00111 11 000 00 11 0000 1111 0 1 00 11 00 11 000 111 00 11 0000 1111 0 11 1 00 11 00 000 111 00 11 0000 1111 0 11 1 0011 11 00111 0 11 1 000 00 0000 1111 0 1 00 0 1 0000 0 1 1 0 1 1111 0 1 0 0 1 0000 1111 00 11 000 1 0 1 0 1 0 0 1 00000 11111 00000 11111 0000 1111 00 111 11 000 111 0 1 00000 11111 00000 11111 0000 1111 00 11 000 0 1 00000 11111 00000 11111 0000 1111 00 111 11 000 111 0 1 00000 11111 00000 11111 0000 1111 00 11 000 111 0 0 1 00000 11111 00000 11111 0000 1111 001 11 000 1 111 0 0 000001 11111 00000 11111 0000 1111 000 11 000 1 0 1 0 1 0 1 0 111 1 00000 11111 00000 11111 0 1 0 1 0 1 0 1 00000 11111 0000 1111 000 111 011111 1 00000 11111 0 1 0 1 0 1 0 1 000 111 0000 1111 000 111 0 1 00000 0 1 0 1 000 0000 1111 000111 111 0 1 00000 11111 0 1 0 1 000 111 0000 1111 000 111 0 1 00000 0 1 0 1 000 0000 1111 000111 111 011111 1 00000 11111 0 1 0 1 0 0 0 1 000 111 0000 1111 000 111 0 00000 01 1 01 1 0 1 0 1 1 0 0000 1111 011111 1 00000 11111 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 000 111 000 111 0000 1111 00 11 0111 1 011 1 0 1 0 1 00000 11111 000 111 000 000 111 0000 1111 00 0 1 00000 11111 000111 111 000 000 111 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000 111 000111 111 000 111 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000 111 000 000 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000111 111 000 111 000 111 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000 111 000 000 111 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000111 111 000 111 000 111 0000 1111 00 11 0 1 00000 11111 000 111 000111 111 000 111 0000 1111 00 11 1 1 0 0 1 0 1 0 00000 000111 111 000 000 0000 1111 00 11 1 0 0 1 0 1 0 11111 1 00000 11111 0 1 0 1 0 1 0 1 0000 1111 0 1 0 1 0 1 0 1 0000 1111 0000 1111 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 111 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 111 00 11 0000 1111 1111 0000 0000 1111 0000 1111 000 111 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 00 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000111 1111 00011 111 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 111 00 11 0000 1 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 111 0 1 0 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000111 1111 000 011 1 0 1 00 0000 1111 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 Das Prinzip der Induktion gilt auch für die leere Relation als wohlfundierte Relation, nur nützt es einem nichts! Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 43 / 53 Ordnungen Induktion Ordnungen Induktion formal Wohlordnung Sei R ⊆ A × A eine wohlfundierte Relation und P(x) eine zu beweisende Eigenschaft für x ∈ A. Definition Eine Wohlordnung ist eine wohlfundierte strikte totale Ordnung. 1. Induktionsbasis: (∀x ∈ A) ((6 ∃y ∈ A) y R x) ⇒ P(x) Beispiele 2. Induktionsschritt: (∀x ∈ A) ((∀y ∈ A) y R x ⇒ P(y )) ⇒ P(x) Hinweis: 1 folgt aus 2 und damit bei dieser Formulierung eigentlich überflüssig: Sei in 2 ein x ∈ A sodass (6 ∃y ∈ A) y R x gilt. Was passiert dann mit (∀y ∈ A) y R x ⇒ P(y )? Es gilt trivialerweise, und wir müssen ohne Hilfe irgendeines P(y )“ P(x) zeigen, genau wie in 1 . ” Wir verwenden trotzdem die Formulierung mit 1 und 2 , weil Beweise häufig aus zwei Teilen bestehen, die 1 und 2 entsprechen. Es gibt verschiedene Formulierungen von Induktion, wie wir noch sehen werden. Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I Ordnungen 23. November 2010 44 / 53 I < ∈ N × N ist eine Wohlordnung. Man sagt auch: (N, <) ist wohlgeordnet. I R = {(n, n + 1) | n ∈ N} ist keine Wohlordnung, da nicht transitiv: (1, 2) ∈ R, (2, 3) ∈ R, aber (1, 3) ∈ / R. Aber R ist eine wohlfundierte Relation. I P(M) mit M 6= ∅ und Relation ⊂ (echte Teilmenge) ist keine Wohlordnung, da nicht total. Aber ⊂ ist eine wohlfundierte Relation. Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Wohlordnungen Informatik I 23. November 2010 45 / 53 23. November 2010 47 / 53 Natürliche Zahlen Striktheit 8.6 Natürliche Zahlen I Die Frage strikt oder nicht strikt“ (d.h., reflexiv oder irreflexiv“) ” ” wird manchmal etwas vage behandelt, siehe etwa den Wikipedia-Artikel zu Wohlordnung, wo die Beispiele offensichtlich irreflexiv sind, obwohl eine Wohlordnung eine totale Ordnung, also reflexiv sein soll. Dies ist vielleicht verwirrend. I Entscheidend ist folgendes: zu jeder reflexiven Relation gibt es eine korrespondierende irreflexive (Wegnahme aller Paare (a, a)). Letztere ist die, die man bei Wohlfundiertheit wirklich meint, etwa wenn man sagt: Diese Kette ist absteigend und somit endlich“. ” Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Wohlordnungen Informatik I 23. November 2010 46 / 53 Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I Natürliche Zahlen Natürliche Zahlen Natürliche Zahlen Peano-Axiome Definition (Meschkowski) Definition (Peano-Axiome) Die Menge N der natürlichen Zahlen ist eine total geordnete Menge mit 1. (N, <) besitzt kein größtes Element; Die Menge N der natürlichen Zahlen ist definiert durch: P1 0 ∈ N (Null) P2 (∀n ∈ N) n0 ∈ N (Nachfolger) 2. (N, <) ist wohlgeordnet; P3 (∀n ∈ N) n0 6= 0 (Nachfolger ist nicht Null) 3. Jedes n ∈ N \ {0} besitzt genau einen Vorgänger. P4 (∀m, n ∈ N) m 6= n ⇒ m0 6= n0 (Nachfolger ist injektiv) P5 Für jede Menge M ⊆ N mit 0 ∈ M und (∀n) n ∈ M ⇒ n0 ∈ M gilt M = N (Induktionsaxiom) Beispiel für eine nicht-konstruktive Definition. Nicht offensichtlich, dass I es überhaupt eine solche Menge N gibt und I sie durch 1 bis 3 Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) bis auf Umbenennungen eindeutig definiert ist. Informatik I 23. November 2010 P5 schließt aus, dass man zu den natürlichen Zahlen ein größtes ” Element“ hinzunimmt o.Ä. 48 / 53 Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I Natürliche Zahlen 23. November 2010 49 / 53 Natürliche Zahlen Das Beweisschema der vollständigen Induktion Beispiel I Behauptung: für alle n ∈ N gilt n X Sei P(n) eine Eigenschaft einer Zahl n ∈ N (Prädikat). Zeige (∀n ∈ N) P(n). Definiere M := {n ∈ N | P(n) gilt} ⊆ N. Induktionsaxiom: Falls 0 ∈ M und (∀n) n ∈ M ⇒ n0 ∈ M dann M = N. i=0 0 X Informatik I 23. November 2010 i =0= i=0 Falls P(0) (Induktionsbasis, -anfang) und (∀n) P(n) ⇒ P(n0 ) (Induktionsschritt) dann (∀n ∈ N) P(n). (P(n) Induktionshypothese, -behauptung) n · (n + 1) ≡ P(n) 2 Induktionsbasis (P(0)): Induktionsschema Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) i= 0 · (0 + 1) 2 Induktionsschritt (P(n) ⇒ P(n + 1) für alle n ∈ N): n+1 X i =n+1+ i=0 n X IH i= i=0 n · (n + 1) 2n + 2 + n · (n + 1) n2 + 3n + 2 n+1+ = = = 2 2 2 (n + 1) · (n + 2) (n + 1) · ((n + 1) + 1) = 2 2 50 / 53 Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 51 / 53 Natürliche Zahlen Natürliche Zahlen Beispiel II Zusammenfassung Behauptung: für alle n ∈ N gilt n X 2i = 2n+1 − 1 ≡ P(n) i=0 I Binäre Relationen und ihre Eigenschaften: Links- und Rechtseindeutigkeit, Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie, Transitivität, Äquivalenzrelation, Quasiordnung, (strikte) Halbordnung, (strikte) totale Ordnung. I Minimale, kleinste, maximale, größte Elemente I Wohlfundiertheit und Induktion im Allgemeinen I Natürliche Zahlen und Beweise darauf Induktionsbasis (P(0)): 0 X 2i = 20 = 1 = 20+1 − 1 i=0 Induktionsschritt (P(n) ⇒ P(n + 1) für alle n ∈ N): n+1 X 2i = 2n+1 + i=0 n X . . . und hoffentlich ein verbessertes Gespür für Mathematik und Beweisen. IH 2i = i=0 2n+1 + 2n+1 − 1 = 2 · 2n+1 − 1 = 2n+2 − 1 = 2(n+1)+1 − 1 Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 52 / 53 Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg) Informatik I 23. November 2010 53 / 53