Informatik I

Werbung
Informatik I
23. November 2010 — 8. Mathematische Exkursion: Binäre Relationen
8.1 Darstellung
Informatik I
8. Mathematische Exkursion: Binäre Relationen
8.2 Komposition
8.3 Wichtige Eigenschaften
Jan-Georg Smaus
Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
8.4 Die Relation ∼
23. November 2010
8.5 Ordnungen
8.6 Natürliche Zahlen
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
1 / 53
Relationen
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
2 / 53
Beispiele
1. ∅ ⊆ A × B, die leere Relation;
Definition
2. A × B, die volle Relation;
Eine binäre Relation R ist eine Teilmenge (⊆) von A × B, wobei A, B
Mengen sind.
Wir schreiben (a, b) ∈ R oder a R b.
3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A}, die Gleichheit;
4. ≤ ⊆ N × N;
5. < ⊆ N × N;
6. | ⊆ N × N mit m|n falls ein c ∈ N existiert mit c · m = n;
Zu einer binären Relation R ist R −1 ⊆ B × A die Umkehrrelation mit
R −1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R}.
7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R;
8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}), wobei
P({1, 2, 3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}};
Im Folgenden betrachten wir ausschließlich binäre Relationen.
9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0 .
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
2 / 53
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
3 / 53
Darstellung
Darstellung
8.1 Darstellung
Darstellung von Relationen
Matrix
⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}), wobei
P({1, 2, 3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}, lässt sich
gut als Matrix darstellen:
⊆
∅ {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3}
√ √ √ √ √
√
√
√
∅
√
√
√
√
{1}
√
√
√
√
{2}
√
√
√
√
{3}
√
√
{1, 2}
√
√
{1, 3}
√
√
{2, 3}
√
{1, 2, 3}
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
4 / 53
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Darstellung
Informatik I
23. November 2010
5 / 53
Darstellung
Darstellung von Relationen
Darstellung von Relationen
Pfeildiagramm
Graph
⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}), wobei
P({1, 2, 3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}, lässt sich
auch als Pfeildiagramm darstellen:
K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R ( 7 ) ist eine Kreisfläche und lässt sich
gut als Graph darstellen.
y
{}
{}
{1}
{1}
{2}
{2}
{3}
{3}
{1,2}
{1,2}
{1,3}
{1,3}
{2,3}
{2,3}
{1,2,3}
{1,2,3}
x
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
6 / 53
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
7 / 53
Komposition
Komposition
8.2 Komposition
Komposition
Definition
Seien R ⊆ A × B und S ⊆ B × C . Dann ist S ◦ R die Komposition von R
und S mit S ◦ R ⊆ A × C und
S ◦ R = {(a, c) | es gibt b ∈ B mit (a, b) ∈ R und (b, c) ∈ S}.
C
B
A
S
R
3
4
2
4
5
3
5
6
4
6
7
5
7
8
1
S oR
Beachte: Man findet in der Literatur auch die Notation R ◦ S.
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
8 / 53
Komposition
Informatik I
23. November 2010
9 / 53
Wichtige Eigenschaften
IA = R −1 ◦ R?
8.3 Wichtige Eigenschaften
I
Gilt im Allgemeinen IA = R −1 ◦ R?
Nein!
I
Gilt im Allgemeinen R −1 ◦ R ⊆ IA ?
Nein, nimm A = {0, 1, 2} und R = {(0, 1), (2, 1)}. Dann gilt
(0, 2) ∈ R −1 ◦ R, aber (0, 2) ∈
/ IA = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)}.
I
Gilt im Allgemeinen IA ⊆ R −1 ◦ R?
Nein, nimm A = {0, 1, 2} und R = ∅. Dann gilt (0, 0) ∈ IA , aber
(0, 0) ∈
/ R −1 ◦ R = ∅.
Oder nimm A = {0, 1, 2} und R = {(0, 1), (2, 1)}. Dann ist
R −1 ◦ R = {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2)} und somit (1, 1) ∈
/ R −1 ◦ R.
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
10 / 53
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
11 / 53
Wichtige Eigenschaften
Wichtige Eigenschaften
. . . eindeutigkeit
. . . eindeutigkeit
1. ∅ ⊆ A × B ist links- und rechtseindeutig;
2. A × B ist weder noch;
3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} ist links- und rechtseindeutig;
Definition
Sei R ⊆ A × B.
4. ≤ ⊆ N × N ist weder noch;
1. R ist linkseindeutig (injektiv) falls gilt: wenn a R b und
a = a0 .
a0
R b, dann
2. R ist rechtseindeutig falls gilt: wenn a R b und a R b 0 , dann b = b 0 .
Rechtseindeutige Relationen heißen partielle Funktionen.
5. < ⊆ N × N ist weder noch;
6. | ⊆ N × N, mit m|n falls ein c ∈ N existiert mit c · m = n, ist weder
noch;
7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R ist weder noch;
8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) ist weder noch;
9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0
ist weder noch.
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
12 / 53
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Wichtige Eigenschaften
Informatik I
23. November 2010
13 / 53
Wichtige Eigenschaften
Äquivalenzrelationen u.ä.
Reflexiv?
R heißt reflexiv, falls (∀a ∈ A) a R a.
Definition
1. ∅ ⊆ A × A nein
Sei R ⊆ A × A eine Relation über A.
1. R heißt reflexiv, falls (∀a ∈ A) a R a;
2. A × A ja;
2. R heißt irreflexiv, falls (∀a ∈ A) ¬(a R a);
3. IA ⊆ A × A ja;
3. R heißt symmetrisch, falls (∀x, y ∈ A): wenn x R y dann auch y R x;
4. ≤ ⊆ N × N ja;
4. R heißt antisymmetrisch, falls (∀x, y ∈ A): wenn x R y und y R x
dann x = y ;
5. < ⊆ N × N nein;
5. R heißt transitiv, falls (∀x, y , z ∈ A): wenn x R y und y R z dann
x R z;
7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein;
6. R heißt Äquivalenzrelation, falls R reflexiv, transitiv und symmetrisch
ist.
9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0
ja.
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
6. | ⊆ N × N ja;
8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) ja;
14 / 53
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
15 / 53
Wichtige Eigenschaften
Wichtige Eigenschaften
Irreflexiv?
Symmetrisch?
R heißt irreflexiv, falls (∀a ∈ A) ¬(a R a).
R heißt symmetrisch, falls (∀x, y ∈ A): wenn x R y dann auch y R x.
1. ∅ ⊆ A × A ja
1. ∅ ⊆ A × A ja;
2. A × A nein
2. A × A ja;
3. IA ⊆ A × A nein
3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} ja;
4. ≤ ⊆ N × N nein
4. ≤ ⊆ N × N nein;
5. < ⊆ N × N ja
5. < ⊆ N × N nein;
6. | ⊆ N × N nein
6. | ⊆ N × N nein;
7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein
7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R ja;
8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) nein;
8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) nein;
9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼
nein.
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
(m0 , n0 )
Informatik I
gdw. m +
n0
=n+
23. November 2010
m0
16 / 53
9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0
ja.
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Wichtige Eigenschaften
Informatik I
23. November 2010
17 / 53
Wichtige Eigenschaften
Antisymmetrisch?
Transitiv?
R heißt antisymmetrisch, falls (∀x, y ∈ A): wenn x R y und y R x dann
x = y.
R heißt transitiv, falls (∀x, y , z ∈ A): wenn x R y und y R z dann x R z.
1. ∅ ⊆ A × A ja;
1. ∅ ⊆ A × A ja;
2. A × A ja;
2. A × A nein;
3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} ja;
3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} ja;
4. ≤ ⊆ N × N ja;
4. ≤ ⊆ N × N ja;
5. < ⊆ N × N ja;
5. < ⊆ N × N ja;
6. | ⊆ N × N ja;
6. | ⊆ N × N ja;
7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein;
7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein;
8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) ja;
8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) ja;
9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0
nein.
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
18 / 53
9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0
ja.
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
19 / 53
Die Relation ∼
Wichtige Eigenschaften
8.4 Die Relation ∼
Äquivalenzrelation?
R heißt Äquivalenzrelation, falls R reflexiv, transitiv und symmetrisch ist.
1. ∅ ⊆ A × A nein;
2. A × A ja;
3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} ja;
4. ≤ ⊆ N × N nein;
5. < ⊆ N × N nein;
6. | ⊆ N × N nein;
7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein;
8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) nein;
9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0
ja.
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
20 / 53
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Die Relation ∼
23. November 2010
21 / 53
Die Relation ∼
Die Relation ∼
Die Addition und Subtraktion auf den ganzen Zahlen
Die Relation ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 )
gdw. m + n0 = n + m0 , kann man benutzen, um aus den natürlichen
Zahlen die ganzen Zahlen zu konstruieren.
Idee: stelle jede ganze Zahl als Differenz von zwei natürlichen Zahlen dar.
23. November 2010
denn (n − m) + (n0 − m0 ) = (n + n0 ) − (m + m0 ).
Wir dürfen − offiziell“ nicht benutzen.
”
Nebenrechnung: (n − m) − (n0 − m0 ) = (n + m0 ) − (m + n0 ).
Es gilt z.B. 2 + 1 = 3 + 0 oder 0 + 3 = 2 + 1.
Trick: man verwendet − in der Definition nicht, denn + ist auf den
natürlichen Zahlen total definiert, − aber nicht.
Informatik I
(n, m) ⊕ (n0 , m0 ) = (n + n0 , m + m0 )
(n, m) (n0 , m0 ) = (n + m0 , m + n0 )
0 =
ˆ (0, 0) ∼ (1, 1) ∼ (150000, 150000)
2 =
ˆ (2, 0) ∼ (3, 1) ∼ (150002, 150000)
−2 =
ˆ (0, 2) ∼ (1, 3) ∼ (150000, 150002)
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
Übung: definiere , die Multiplikation auf den ganzen Zahlen.
22 / 53
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
23 / 53
Die Relation ∼
Ordnungen
Die Relation ./
8.5 Ordnungen
Definiere ./ ⊆ (N × (Z \ {0})) × (N × (Z \ {0})) mit (m, n) ./ (m0 , n0 )
gdw. m · n0 = n · m0 .
Was ist das und wozu könnte es gut sein?
Definitionen
Minimale, kleinste, maximale, größte Elemente
Wohlfundiertheit
Induktion
Wohlordnungen
Die Relation ./ kann man benutzen, um aus den natürlichen und ganzen
Zahlen die rationalen Zahlen zu konstruieren.
n
Das nennen wir Bruch und schreiben normalerweise m
. Dass eine Zahl sich
auf verschiedene Arten als Bruch schreiben lässt, ist bekannt.
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
Ordnungen
23. November 2010
24 / 53
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Definitionen
Informatik I
Ordnungen
Ordnungen
23. November 2010
25 / 53
Definitionen
Ordnungen?
I
I
I
Quasiordnung: reflexiv und transitiv
Halbordnung: reflexiv, transitiv und antisymmetrisch
Totale Ordnung: Halbordnung und a R b oder b R a.
Definition
Sei R eine Relation über A.
I
R ist eine Quasiordnung, falls R reflexiv und transitiv ist.
I
R ist eine Halbordnung, falls R reflexiv, transitiv und antisymmetrisch
ist.
I
R ist eine totale Ordnung, falls R eine Halbordnung ist und
(∀a, b ∈ R) gilt a R b oder b R a.
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
26 / 53
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
∅ ⊆ A × A nein;
A × A Quasiordnung;
IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} Halbordnung;
≤ ⊆ N × N totale Ordnung;
< ⊆ N × N nein;
| ⊆ N × N Halbordnung;
K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein;
⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) Halbordnung;
∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0
Quasiordnung.
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
27 / 53
Ordnungen
Definitionen
Ordnungen
Strikte (strenge) Ordnungen
Strikte Ordnungen?
I
I
Die Definitionen von Halbordnung und totale Ordnung lassen sich
abwandeln, indem wir Irreflexivität statt Reflexivität annehmen:
Definition
Sei R eine Relation über A.
I
R ist eine strikte (strenge) Ordnung, falls R irreflexiv, transitiv (und
antisymmetrisch) ist.
I
R ist eine strikte (strenge) totale Ordnung, falls R eine strikte
Ordnung ist und (∀a, b ∈ R) gilt a R b oder b R a oder a = b.
Was ist mit Quasiordnungen? Es bleibt nur Transitivität übrig; hierfür
führen wir keinen neuen Namen ein.
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
Ordnungen
23. November 2010
28 / 53
I
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
29 / 53
Minimale, kleinste, maximale, größte Elemente
Minimale und kleinste Elemente
Beispiele
Definition
I
∅ ⊆ A × A strikte Ordnung;
A × A nein;
IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} nein;
≤ ⊆ N × N nein;
< ⊆ N × N strikte totale Ordnung;
| ⊆ N × N nein, aber man kann die strikte Ordnung teilt echt“
”
definieren;
7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein;
8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) nein, aber ⊂ ist eine strikte Ordnung;
9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0
nein.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ordnungen
Sei R ⊆ A × A eine Relation und sei B ⊆ A (es hilft, sich R als ≤
vorzustellen).
I
Strikte Ordnung: irreflexiv, transitiv (und antisymmetrisch)
Strikte totale Ordnung: strikte Ordnung und a R b oder b R a oder
a = b.
Minimale, kleinste, maximale, größte Elemente
Minimale und kleinste Elemente
I
Definitionen
A = B = N mit R = ≤: 0 ist sowohl ein minimales als auch das kleinste
Element.
Ein Element z ∈ B heißt minimales Element von B bzgl. R falls
(∀y ∈ B) gilt: y R z impliziert y = z.
Es existieren kein maximales oder größtes Element.
Ein Element z ∈ B heißt kleinstes Element von B bzgl. R falls
(∀y ∈ B) gilt: z R y .
Betrachten wir wieder ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) und
B = {{1}, {2}, {1, 2, 3}}.
Ein Element z ∈ B heißt maximales Element von B bzgl. R falls
(∀y ∈ B) gilt: z R y impliziert y = z.
{1} und {2} sind beide minimal, aber keines der beiden ist das kleinste
Element. Es gibt kein kleinstes.
Ein Element z ∈ B heißt größtes Element von B bzgl. R falls
(∀y ∈ B) gilt: y R z.
{1, 2, 3} ist das einzige maximale, und zugleich das größte Element.
Wenn R aus dem Zusammenhang klar ist, kann man den Zusatz bzgl. R“
”
auch weglassen.
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
30 / 53
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
31 / 53
Ordnungen
Wohlfundiertheit
Ordnungen
Wohlfundiertheit
Wohlfundiertheit
Beweistechniken
Definition
Eine Relation R ⊆ A × A heißt wohlfundiert, falls R irreflexiv ist und jedes
nichtleere B ⊆ A mindestens ein minimales Element bzgl. R besitzt.
I
Einen Beweis einer Aussage der Form A gdw. B“ führt man
”
normalerweise, indem man im ersten Teil A annimmt und B folgert
und im zweiten Teil B annimmt und A folgert.
I
Einen Beweis einer Aussage der Form aus A folgt B“ wird häufig als
”
Widerspruchsbeweis geführt: A ist die Voraussetzung; nun macht man
die Annahme“ ¬B und leitet einen Widerspruch her. Da A und ¬B
”
einen Widerspruch implizieren, folgt B aus A.
Definition
Sei R ⊆ A × A ein Relation. Eine unendliche absteigende Kette bzgl. R ist
eine unendliche Folge a1 , a2 , . . . , mit ai+1 R ai .
Beispiel: < auf Z. Dann ist 0, −1, −2, . . . eine unendliche absteigende
Kette, denn . . . − 2 < −1 < 0.
Satz
Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche
absteigende Kette bzgl. R existiert.
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
Ordnungen
23. November 2010
32 / 53
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Wohlfundiertheit
Informatik I
Ordnungen
23. November 2010
33 / 53
Wohlfundiertheit
Beweis, Teil 1 ( Hinrichtung“)
”
Beweis, Teil 2 ( Rückrichtung“)
”
Satz
Satz
Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche
absteigende Kette bzgl. R existiert.
Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche
absteigende Kette bzgl. R existiert.
Beweis.
Beweis.
⇒“: Sei R wohlfundiert. Um einen Widerspruch herzuleiten, nehmen wir
”
nun an, es existiere eine unendliche absteigende Kette a1 , a2 , . . . ,.
Definiere B := {ai | i ∈ N}. Da R wohlfundiert und B nichtleer ist, hat B
ein minimales Element ai , d.h. (∀y ∈ B) gilt: y R ai impliziert y = ai . Da
R wohlfundiert und somit irreflexiv ist, muss gelten: (6 ∃y ) mit y R ai . Da
laut Annahme a1 , a2 , . . . , eine unendliche absteigende Kette ist, gilt aber
ai+1 R ai . Somit haben wir einen Widerspruch.
⇐“: Voraussetzung: es existiert keine unendliche absteigende Kette
”
a1 , a2 , . . . , bzgl. R. Um einen Widerspruch herzuleiten, nehmen wir nun an,
R sei nicht wohlfundiert, d.h. eine der beiden folgenden Aussagen gelte:
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
34 / 53
1. R ist nicht irreflexiv, d.h., es existiert ein a ∈ A mit (a, a) ∈ R.
2. Es existiert ein nichtleeres B ⊆ A, das kein minimales Element besitzt,
d.h, ein B ⊆ A derart, dass (∀z ∈ B) (∃y ∈ B) (y R z) ∧ y 6= z.
...
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
35 / 53
Ordnungen
Wohlfundiertheit
Ordnungen
Beweis, Teil 2a
Beweis, Teil 2b
Satz
Satz
Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche
absteigende Kette bzgl. R existiert.
Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche
absteigende Kette bzgl. R existiert.
Beweis.
Beweis.
⇐“: Voraussetzung: es existiert keine unendliche absteigende Kette
”
a1 , a2 , . . . , bzgl. R. Um einen Widerspruch herzuleiten, nehmen wir nun an,
R sei nicht wohlfundiert, d.h. eine der beiden folgenden Aussagen gelte:
1. R ist nicht irreflexiv, d.h., es existiert ein a ∈ A mit (a, a) ∈ R.
Im ersten Fall ist a, a, a, . . . eine unendliche absteigende Kette und wir
haben einen Widerspruch.
Informatik I
Ordnungen
23. November 2010
⇐“: Vorauss.: es existiert keine unendliche absteigende Kette a1 , a2 , . . . ,
”
bzgl. R. Nimm an, R sei nicht wohlfundiert, d.h.:
2. Es existiert ein nichtleeres B ⊆ A, das kein minimales Element besitzt,
d.h, ein B ⊆ A derart, dass (∀z ∈ B) (∃y ∈ B) (y R z) ∧ y 6= z.
Im zweiten Fall wähle ein beliebiges Element aus B aus und nenne es a1 .
Dann existiert laut obiger Formel ein y ∈ B sodass (y R a1 ) ∧ y 6= a1 .
Nenne dieses y fortan a2 . Dann existiert laut obiger Formel ein
(i.A. anderes!) y ∈ B sodass (y R a2 ) ∧ y 6= a2 . Nenne dieses y fortan a3
...
2. . . .
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Wohlfundiertheit
36 / 53
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Wohlfundiertheit
Informatik I
Ordnungen
Beweis, Teil 2b’
23. November 2010
37 / 53
Wohlfundiertheit
Warum so kompliziert?
•
Satz
?
•
Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche
absteigende Kette bzgl. R existiert.
Beweis.
⇐“: Vorauss.: es existiert keine unendliche absteigende Kette a1 , a2 , . . . ,
”
bzgl. R. Nimm an, R sei nicht wohlfundiert, d.h.:
2. Es existiert ein B ⊆ A, das kein minimales Element besitzt, d.h, ein
B ⊆ A derart, dass (∀z ∈ B) (∃y ∈ B) (y R z) ∧ y 6= z.
...
a1 , a2 , . . . ist eine unendliche absteigende Kette, also haben wir einen
Widerspruch.
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
Warum heißt es in der Definition von Wohlfundiertheit jedes nichtleere B ⊆ A mindestens ein
”
minimales Element bzgl. R besitzt“ statt einfach
A mindestens ein minimales Element bzgl. R
”
besitzt“?
?
•
•
@
R
@
•
?
•
Die Bedingung über Teilmengen erzwingt, dass
jede Kette endlich ist. Die Existenz eines minimalen Elements in A reicht nicht aus.
?
•
?
•
..
.
38 / 53
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
39 / 53
Ordnungen
Wohlfundiertheit
Ordnungen
Wohlfundiert?
Induktion
Wozu Wohlfundiertheit?
Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche
absteigende Kette bzgl. R existiert.
1. ∅ ⊆ A × A ja;
2. A × A nein;
3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} nein;
Wenn eine Menge mit einer wohlfundierten Relation ausgestattet ist, kann
man Induktion benutzen, um Eigenschaften aller Elemente der Menge zu
beweisen.
4. ≤ ⊆ N × N nein;
5. < ⊆ N × N ja;
6. | ⊆ N × N nein;
7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein;
8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) nein;
9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0
nein.
⊂ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) ja;
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
Ordnungen
23. November 2010
40 / 53
Induktion
Informatik I
Ordnungen
Induktion: Illustration
00
11
00
11
0000
1111
1
0
00111
11
000
00
11
0000
1111
0
1
00
11
00
11
000
111
00
11
0000
1111
0
1
00
11
00111
000
00
11
0000
1111
0 11
1
00
11
00
11
000
111
00
11
0000
1111
0
1
0011
11
00
000
111
00
0000
1111
0 11
1
00
11
00111
11
000
00
11
0000
1111
0
1
00
11
00
11
000
111
00
11
0000
1111
0 11
1
00
11
00
000
111
00
11
0000
1111
0 11
1
0011
11
00111
000
00
0000
1111
00
11
0000
1
0
1 1111
0
1
0
0
1
0000
1111
00
11
000
1
0
1
0
1
0
0
1
00000
11111
00000
11111
0000
1111
00 111
11
000
111
0
1
00000
11111
00000
11111
0000
1111
00
11
000
0
1
00000
11111
00000
11111
0000
1111
00 111
11
000
111
0
1
00000
11111
00000
11111
0000
1111
00
11
000
111
0
1
00000
11111
00000
11111
0000
1111
00 111
11
000
0
000001
11111
00000
11111
0000
1111
00 111
11
000
0
1
0
1
00000
11111
00000
11111
0
1
0
1
0
1
0
1
00000
11111
0000
1111
000
111
011111
1
00000
11111
0
1
0
1
0
1
0
1
000
111
0000
1111
000
111
0
1
00000
0
1
0
1
000
0000
1111
000111
111
0
1
00000
11111
0
1
0
1
000
111
0000
1111
000
111
0
1
00000
11111
0
1
0
1
000
111
0000
1111
000111
111
011111
1
00000
11111
0
1
0
1
000
0000
1111
000
111
0
1
00000
0
1
0
1
0000
1111
0
1
00000
11111
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
000
111
000
111
0000
1111
00
11
0111
1
011
1
0
1
0
1
00000
11111
000
111
000
000
111
0000
1111
00
0
1
00000
11111
000111
111
000
000
111
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000
111
000111
111
000
111
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000
111
000
111
000
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000111
111
000
000
111
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000
111
000
000
111
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000111
111
000
111
000
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000
111
000111
111
000
111
0000
1111
00
11
0
1
00000
000111
111
000
000
111
0000
1111
00
11
0 11111
1
00000
11111
0
1
0
1
0
1
0
1
0000
1111
0
1
0
1
0
1
0
1
0000
1111
0000
1111
00
11
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
111
00
11
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
111
00
11
0000
1111
1111
0000
0000
1111
0000
1111
000
111
00
11
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
00
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000111
1111
00011
111
00
11
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
111
00
11
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
00
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000111
1111
00011
111
00
11
0000
1111
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
23. November 2010
41 / 53
Induktion
Induktion mit der leeren Menge
00
11
00
11
0000
1111
1
0
00111
11
000
00
11
0000
1111
0
1
00
11
00
11
000
111
00
11
0000
1111
0
1
00
11
00111
000
00
11
0000
1111
0 11
1
00
11
00
11
000
111
00
11
0000
1111
0
1
0011
11
00
000
111
00
0000
1111
0 11
1
00
11
00111
11
000
00
11
0000
1111
0
1
00
11
00
11
000
111
00
11
0000
1111
0 11
1
00
11
00
000
111
00
11
0000
1111
0 11
1
0011
11
00111
000
00
0000
1111
00
11
0000
1
0
1 1111
0
1
0
0
1
0000
1111
00
11
000
1
0
1
0
1
0
0
1
00000
11111
00000
11111
0000
1111
00 111
11
000
111
0
1
00000
11111
00000
11111
0000
1111
00
11
000
0
1
00000
11111
00000
11111
0000
1111
00 111
11
000
111
0
1
00000
11111
00000
11111
0000
1111
00
11
000
111
0
1
00000
11111
00000
11111
0000
1111
00 111
11
000
0
000001
11111
00000
11111
0000
1111
00 111
11
000
0
1
0
1
00000
11111
00000
11111
0
1
0
1
0
1
0
1
00000
11111
0000
1111
000
111
011111
1
00000
11111
0
1
0
1
0
1
0
1
000
111
0000
1111
000
111
0
1
00000
0
1
0
1
000
0000
1111
000111
111
0
1
00000
11111
0
1
0
1
000
111
0000
1111
000
111
0
1
00000
11111
0
1
0
1
000
111
0000
1111
000111
111
011111
1
00000
11111
0
1
0
1
000
0000
1111
000
111
0
1
00000
0
1
0
1
0000
1111
0
1
00000
11111
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
000
111
000
111
0000
1111
00
11
0111
1
011
1
0
1
0
1
00000
11111
000
111
000
000
111
0000
1111
00
0
1
00000
11111
000111
111
000
000
111
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000
111
000111
111
000
111
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000
111
000
111
000
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000111
111
000
000
111
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000
111
000
000
111
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000111
111
000
111
000
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000
111
000111
111
000
111
0000
1111
00
11
0
1
00000
000111
111
000
000
111
0000
1111
00
11
0 11111
1
00000
11111
0
1
0
1
0
1
0
1
0000
1111
0
1
0
1
0
1
0
1
0000
1111
0000
1111
00
11
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
111
00
11
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
111
00
11
0000
1111
1111
0000
0000
1111
0000
1111
000
111
00
11
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
00
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000111
1111
00011
111
00
11
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
111
00
11
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
00
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000111
1111
00011
111
00
11
0000
1111
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
00
11
00
11
0000
1111
1
0
00111
11
000
00
11
0000
1111
0
1
00
11
00
11
000
111
00
11
0000
1111
0
1
00
11
00111
000
00
11
0000
1111
0 11
1
00
11
00
11
000
111
00
11
0000
1111
1
0
0011
11
00
111
000
00
0000
1111
0 11
1
00
11
00111
11
000
00
11
0000
1111
0
1
00
11
00
11
000
111
00
11
0000
1111
0 11
1
00
11
00
000
111
00
11
0000
1111
0 11
1
0011
11
00111
000
00
0000
1111
00
11
0000
1
0
1 1111
0
1
0
0
1
0000
1111
00
11
000
1
0
1
0
1
0
0
1
00000
11111
00000
11111
0000
1111
00 111
11
000
111
0
1
00000
11111
00000
11111
0000
1111
00
11
000
0
1
00000
11111
00000
11111
0000
1111
00 111
11
000
111
0
1
00000
11111
00000
11111
0000
1111
00
11
000
111
0
1
00000
11111
00000
11111
0000
1111
00 111
11
000
0
000001
11111
00000
11111
0000
1111
00 111
11
000
0
1
0
1
00000
11111
00000
11111
0
1
0
1
0
1
0
1
00000
11111
0000
1111
000
111
011111
1
00000
11111
0
1
0
1
0
1
0
1
000
111
0000
1111
000
111
0
1
00000
0
1
0
1
000
0000
1111
000111
111
0
1
00000
11111
0
1
0
1
000
111
0000
1111
000
111
0
1
00000
11111
0
1
0
1
000
111
0000
1111
000111
111
011111
1
00000
11111
0
1
0
1
000
0000
1111
000
111
0
1
00000
0
1
0
1
0000
1111
0
1
00000
11111
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
000
111
000
111
0000
1111
00
11
0111
1
011
1
0
1
0
1
00000
11111
000
111
000
000
111
0000
1111
00
0
1
00000
11111
000111
111
000
000
111
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000
111
000111
111
000
111
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000
111
000
111
000
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000111
111
000
000
111
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000
111
000
000
111
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000111
111
000
111
000
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000
111
000111
111
000
111
0000
1111
00
11
0
1
00000
000111
111
000
000
111
0000
1111
00
11
0 11111
1
00000
11111
0
1
0
1
0
1
0
1
0000
1111
0
1
0
1
0
1
0
1
0000
1111
0000
1111
00
11
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
111
00
11
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
111
00
11
0000
1111
1111
0000
0000
1111
0000
1111
000
111
00
11
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
00
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000111
1111
00011
111
00
11
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
111
00
11
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
00
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000111
1111
00011
111
00
11
0000
1111
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
Die Menge mit wohlfundierter Relation Induktionsbasis (Teil des Beweises)
Induktionsschritt (Teil des Beweises) Eigenschaft gilt für alle Elemente (folgt
automatisch)
Jan-Georg
Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
42 / 53
00
11
00
11
0000
1111
1
0
00111
11
000
00
11
0000
1111
0
1
00
11
00
11
000
111
00
11
0000
1111
0
1
00
11
00111
000
00
11
0000
1111
0 11
1
00
11
00
11
000
111
00
11
0000
1111
1
0
0011
11
00
111
000
00
0000
1111
0 11
1
00
11
00111
11
000
00
11
0000
1111
0
1
00
11
00
11
000
111
00
11
0000
1111
0 11
1
00
11
00
000
111
00
11
0000
1111
0 11
1
0011
11
00111
0 11
1
000
00
0000
1111
0
1
00
0
1
0000
0
1
1
0
1 1111
0
1
0
0
1
0000
1111
00
11
000
1
0
1
0
1
0
0
1
00000
11111
00000
11111
0000
1111
00 111
11
000
111
0
1
00000
11111
00000
11111
0000
1111
00
11
000
0
1
00000
11111
00000
11111
0000
1111
00 111
11
000
111
0
1
00000
11111
00000
11111
0000
1111
00
11
000
111
0
0
1
00000
11111
00000
11111
0000
1111
001
11
000 1
111
0
0
000001
11111
00000
11111
0000
1111
000
11
000 1
0
1
0
1
0
1
0 111
1
00000
11111
00000
11111
0
1
0
1
0
1
0
1
00000
11111
0000
1111
000
111
011111
1
00000
11111
0
1
0
1
0
1
0
1
000
111
0000
1111
000
111
0
1
00000
0
1
0
1
000
0000
1111
000111
111
0
1
00000
11111
0
1
0
1
000
111
0000
1111
000
111
0
1
00000
0
1
0
1
000
0000
1111
000111
111
011111
1
00000
11111
0
1
0
1
0
0
0
1
000
111
0000
1111
000
111
0
00000
01
1
01
1
0
1
0 1
1
0
0000
1111
011111
1
00000
11111
0
1
0 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
000
111
000
111
0000
1111
00
11
0111
1
011
1
0
1
0
1
00000
11111
000
111
000
000
111
0000
1111
00
0
1
00000
11111
000111
111
000
000
111
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000
111
000111
111
000
111
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000
111
000
000
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000111
111
000
111
000
111
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000
111
000
000
111
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000111
111
000
111
000
111
0000
1111
00
11
0
1
00000
11111
000
111
000111
111
000
111
0000
1111
00
11
1 1
0
0
1
0
1
0
00000
000111
111
000
000
0000
1111
00
11
1
0
0
1
0
1
0 11111
1
00000
11111
0
1
0
1
0
1
0
1
0000
1111
0
1
0
1
0
1
0
1
0000
1111
0000
1111
00
11
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
111
00
11
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
111
00
11
0000
1111
1111
0000
0000
1111
0000
1111
000
111
00
11
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
00
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000111
1111
00011
111
00
11
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
111
00
11
0000 1
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
111
0
1
0
00
11
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000111
1111
000
011
1
0
1
00
0000
1111
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
Das Prinzip der Induktion gilt auch für die leere Relation als wohlfundierte
Relation, nur nützt es einem nichts!
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
43 / 53
Ordnungen
Induktion
Ordnungen
Induktion formal
Wohlordnung
Sei R ⊆ A × A eine wohlfundierte Relation und P(x) eine zu beweisende
Eigenschaft für x ∈ A.
Definition
Eine Wohlordnung ist eine wohlfundierte strikte totale Ordnung.
1. Induktionsbasis: (∀x ∈ A) ((6 ∃y ∈ A) y R x) ⇒ P(x)
Beispiele
2. Induktionsschritt: (∀x ∈ A) ((∀y ∈ A) y R x ⇒ P(y )) ⇒ P(x)
Hinweis: 1 folgt aus 2 und damit bei dieser Formulierung eigentlich
überflüssig: Sei in 2 ein x ∈ A sodass (6 ∃y ∈ A) y R x gilt. Was passiert
dann mit (∀y ∈ A) y R x ⇒ P(y )? Es gilt trivialerweise, und wir müssen
ohne Hilfe irgendeines P(y )“ P(x) zeigen, genau wie in 1 .
”
Wir verwenden trotzdem die Formulierung mit 1 und 2 , weil Beweise
häufig aus zwei Teilen bestehen, die 1 und 2 entsprechen.
Es gibt verschiedene Formulierungen von Induktion, wie wir noch sehen
werden.
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
Ordnungen
23. November 2010
44 / 53
I
< ∈ N × N ist eine Wohlordnung.
Man sagt auch: (N, <) ist wohlgeordnet.
I
R = {(n, n + 1) | n ∈ N} ist keine Wohlordnung, da nicht transitiv:
(1, 2) ∈ R, (2, 3) ∈ R, aber (1, 3) ∈
/ R.
Aber R ist eine wohlfundierte Relation.
I
P(M) mit M 6= ∅ und Relation ⊂ (echte Teilmenge) ist keine
Wohlordnung, da nicht total.
Aber ⊂ ist eine wohlfundierte Relation.
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Wohlordnungen
Informatik I
23. November 2010
45 / 53
23. November 2010
47 / 53
Natürliche Zahlen
Striktheit
8.6 Natürliche Zahlen
I
Die Frage strikt oder nicht strikt“ (d.h., reflexiv oder irreflexiv“)
”
”
wird manchmal etwas vage behandelt, siehe etwa den
Wikipedia-Artikel zu Wohlordnung, wo die Beispiele offensichtlich
irreflexiv sind, obwohl eine Wohlordnung eine totale Ordnung, also
reflexiv sein soll. Dies ist vielleicht verwirrend.
I
Entscheidend ist folgendes: zu jeder reflexiven Relation gibt es eine
korrespondierende irreflexive (Wegnahme aller Paare (a, a)). Letztere
ist die, die man bei Wohlfundiertheit wirklich meint, etwa wenn man
sagt: Diese Kette ist absteigend und somit endlich“.
”
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Wohlordnungen
Informatik I
23. November 2010
46 / 53
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
Natürliche Zahlen
Natürliche Zahlen
Natürliche Zahlen
Peano-Axiome
Definition (Meschkowski)
Definition (Peano-Axiome)
Die Menge N der natürlichen Zahlen ist eine total geordnete Menge mit
1. (N, <) besitzt kein größtes Element;
Die Menge N der natürlichen Zahlen ist definiert durch:
P1 0 ∈ N (Null)
P2 (∀n ∈ N) n0 ∈ N (Nachfolger)
2. (N, <) ist wohlgeordnet;
P3 (∀n ∈ N) n0 6= 0 (Nachfolger ist nicht Null)
3. Jedes n ∈ N \ {0} besitzt genau einen Vorgänger.
P4 (∀m, n ∈ N) m 6= n ⇒ m0 6= n0 (Nachfolger ist injektiv)
P5 Für jede Menge M ⊆ N mit 0 ∈ M und (∀n) n ∈ M ⇒ n0 ∈ M gilt
M = N (Induktionsaxiom)
Beispiel für eine nicht-konstruktive Definition. Nicht offensichtlich, dass
I
es überhaupt eine solche Menge N gibt und
I
sie durch
1
bis
3
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
bis auf Umbenennungen eindeutig definiert ist.
Informatik I
23. November 2010
P5 schließt aus, dass man zu den natürlichen Zahlen ein größtes
”
Element“ hinzunimmt o.Ä.
48 / 53
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
Natürliche Zahlen
23. November 2010
49 / 53
Natürliche Zahlen
Das Beweisschema der vollständigen Induktion
Beispiel I
Behauptung: für alle n ∈ N gilt
n
X
Sei P(n) eine Eigenschaft einer Zahl n ∈ N (Prädikat).
Zeige (∀n ∈ N) P(n).
Definiere M := {n ∈ N | P(n) gilt} ⊆ N.
Induktionsaxiom: Falls 0 ∈ M und (∀n) n ∈ M ⇒ n0 ∈ M dann M = N.
i=0
0
X
Informatik I
23. November 2010
i =0=
i=0
Falls P(0) (Induktionsbasis, -anfang)
und
(∀n) P(n) ⇒ P(n0 ) (Induktionsschritt)
dann
(∀n ∈ N) P(n). (P(n) Induktionshypothese, -behauptung)
n · (n + 1)
≡ P(n)
2
Induktionsbasis (P(0)):
Induktionsschema
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
i=
0 · (0 + 1)
2
Induktionsschritt (P(n) ⇒ P(n + 1) für alle n ∈ N):
n+1
X
i =n+1+
i=0
n
X
IH
i=
i=0
n · (n + 1)
2n + 2 + n · (n + 1)
n2 + 3n + 2
n+1+
=
=
=
2
2
2
(n + 1) · (n + 2)
(n + 1) · ((n + 1) + 1)
=
2
2
50 / 53
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
51 / 53
Natürliche Zahlen
Natürliche Zahlen
Beispiel II
Zusammenfassung
Behauptung: für alle n ∈ N gilt
n
X
2i = 2n+1 − 1 ≡ P(n)
i=0
I
Binäre Relationen und ihre Eigenschaften: Links- und
Rechtseindeutigkeit, Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie,
Antisymmetrie, Transitivität, Äquivalenzrelation, Quasiordnung,
(strikte) Halbordnung, (strikte) totale Ordnung.
I
Minimale, kleinste, maximale, größte Elemente
I
Wohlfundiertheit und Induktion im Allgemeinen
I
Natürliche Zahlen und Beweise darauf
Induktionsbasis (P(0)):
0
X
2i = 20 = 1 = 20+1 − 1
i=0
Induktionsschritt (P(n) ⇒ P(n + 1) für alle n ∈ N):
n+1
X
2i = 2n+1 +
i=0
n
X
. . . und hoffentlich ein verbessertes Gespür für Mathematik und Beweisen.
IH
2i =
i=0
2n+1 + 2n+1 − 1 = 2 · 2n+1 − 1 = 2n+2 − 1 = 2(n+1)+1 − 1
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
52 / 53
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
53 / 53
Herunterladen