Informatik I

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23. November 2010 — 8. Mathematische Exkursion: Binäre Relationen
8.1 Darstellung
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8. Mathematische Exkursion: Binäre Relationen
8.2 Komposition
8.3 Wichtige Eigenschaften
Jan-Georg Smaus
Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
8.4 Die Relation ∼
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8.5 Ordnungen
8.6 Natürliche Zahlen
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Relationen
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Beispiele
1. ∅ ⊆ A × B, die leere Relation;
Definition
2. A × B, die volle Relation;
Eine binäre Relation R ist eine Teilmenge (⊆) von A × B, wobei A, B
Mengen sind.
Wir schreiben (a, b) ∈ R oder a R b.
3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A}, die Gleichheit;
4. ≤ ⊆ N × N;
5. < ⊆ N × N;
6. | ⊆ N × N mit m|n falls ein c ∈ N existiert mit c · m = n;
Zu einer binären Relation R ist R −1 ⊆ B × A die Umkehrrelation mit
R −1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R}.
7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R;
8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}), wobei
P({1, 2, 3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}};
Im Folgenden betrachten wir ausschließlich binäre Relationen.
9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0 .
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Darstellung
Darstellung
8.1 Darstellung
Darstellung von Relationen
Matrix
⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}), wobei
P({1, 2, 3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}, lässt sich
gut als Matrix darstellen:
⊆
∅ {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3}
√ √ √ √ √
√
√
√
∅
√
√
√
√
{1}
√
√
√
√
{2}
√
√
√
√
{3}
√
√
{1, 2}
√
√
{1, 3}
√
√
{2, 3}
√
{1, 2, 3}
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Darstellung
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Darstellung
Darstellung von Relationen
Darstellung von Relationen
Pfeildiagramm
Graph
⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}), wobei
P({1, 2, 3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}, lässt sich
auch als Pfeildiagramm darstellen:
K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R ( 7 ) ist eine Kreisfläche und lässt sich
gut als Graph darstellen.
y
{}
{}
{1}
{1}
{2}
{2}
{3}
{3}
{1,2}
{1,2}
{1,3}
{1,3}
{2,3}
{2,3}
{1,2,3}
{1,2,3}
x
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Komposition
Komposition
8.2 Komposition
Komposition
Definition
Seien R ⊆ A × B und S ⊆ B × C . Dann ist S ◦ R die Komposition von R
und S mit S ◦ R ⊆ A × C und
S ◦ R = {(a, c) | es gibt b ∈ B mit (a, b) ∈ R und (b, c) ∈ S}.
C
B
A
S
R
3
4
2
4
5
3
5
6
4
6
7
5
7
8
1
S oR
Beachte: Man findet in der Literatur auch die Notation R ◦ S.
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Komposition
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Wichtige Eigenschaften
IA = R −1 ◦ R?
8.3 Wichtige Eigenschaften
I
Gilt im Allgemeinen IA = R −1 ◦ R?
Nein!
I
Gilt im Allgemeinen R −1 ◦ R ⊆ IA ?
Nein, nimm A = {0, 1, 2} und R = {(0, 1), (2, 1)}. Dann gilt
(0, 2) ∈ R −1 ◦ R, aber (0, 2) ∈
/ IA = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)}.
I
Gilt im Allgemeinen IA ⊆ R −1 ◦ R?
Nein, nimm A = {0, 1, 2} und R = ∅. Dann gilt (0, 0) ∈ IA , aber
(0, 0) ∈
/ R −1 ◦ R = ∅.
Oder nimm A = {0, 1, 2} und R = {(0, 1), (2, 1)}. Dann ist
R −1 ◦ R = {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2)} und somit (1, 1) ∈
/ R −1 ◦ R.
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Wichtige Eigenschaften
Wichtige Eigenschaften
. . . eindeutigkeit
. . . eindeutigkeit
1. ∅ ⊆ A × B ist links- und rechtseindeutig;
2. A × B ist weder noch;
3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} ist links- und rechtseindeutig;
Definition
Sei R ⊆ A × B.
4. ≤ ⊆ N × N ist weder noch;
1. R ist linkseindeutig (injektiv) falls gilt: wenn a R b und
a = a0 .
a0
R b, dann
2. R ist rechtseindeutig falls gilt: wenn a R b und a R b 0 , dann b = b 0 .
Rechtseindeutige Relationen heißen partielle Funktionen.
5. < ⊆ N × N ist weder noch;
6. | ⊆ N × N, mit m|n falls ein c ∈ N existiert mit c · m = n, ist weder
noch;
7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R ist weder noch;
8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) ist weder noch;
9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0
ist weder noch.
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Wichtige Eigenschaften
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Wichtige Eigenschaften
Äquivalenzrelationen u.ä.
Reflexiv?
R heißt reflexiv, falls (∀a ∈ A) a R a.
Definition
1. ∅ ⊆ A × A nein
Sei R ⊆ A × A eine Relation über A.
1. R heißt reflexiv, falls (∀a ∈ A) a R a;
2. A × A ja;
2. R heißt irreflexiv, falls (∀a ∈ A) ¬(a R a);
3. IA ⊆ A × A ja;
3. R heißt symmetrisch, falls (∀x, y ∈ A): wenn x R y dann auch y R x;
4. ≤ ⊆ N × N ja;
4. R heißt antisymmetrisch, falls (∀x, y ∈ A): wenn x R y und y R x
dann x = y ;
5. < ⊆ N × N nein;
5. R heißt transitiv, falls (∀x, y , z ∈ A): wenn x R y und y R z dann
x R z;
7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein;
6. R heißt Äquivalenzrelation, falls R reflexiv, transitiv und symmetrisch
ist.
9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0
ja.
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6. | ⊆ N × N ja;
8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) ja;
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Wichtige Eigenschaften
Wichtige Eigenschaften
Irreflexiv?
Symmetrisch?
R heißt irreflexiv, falls (∀a ∈ A) ¬(a R a).
R heißt symmetrisch, falls (∀x, y ∈ A): wenn x R y dann auch y R x.
1. ∅ ⊆ A × A ja
1. ∅ ⊆ A × A ja;
2. A × A nein
2. A × A ja;
3. IA ⊆ A × A nein
3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} ja;
4. ≤ ⊆ N × N nein
4. ≤ ⊆ N × N nein;
5. < ⊆ N × N ja
5. < ⊆ N × N nein;
6. | ⊆ N × N nein
6. | ⊆ N × N nein;
7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein
7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R ja;
8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) nein;
8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) nein;
9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼
nein.
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(m0 , n0 )
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gdw. m +
n0
=n+
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m0
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9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0
ja.
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Wichtige Eigenschaften
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Wichtige Eigenschaften
Antisymmetrisch?
Transitiv?
R heißt antisymmetrisch, falls (∀x, y ∈ A): wenn x R y und y R x dann
x = y.
R heißt transitiv, falls (∀x, y , z ∈ A): wenn x R y und y R z dann x R z.
1. ∅ ⊆ A × A ja;
1. ∅ ⊆ A × A ja;
2. A × A ja;
2. A × A nein;
3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} ja;
3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} ja;
4. ≤ ⊆ N × N ja;
4. ≤ ⊆ N × N ja;
5. < ⊆ N × N ja;
5. < ⊆ N × N ja;
6. | ⊆ N × N ja;
6. | ⊆ N × N ja;
7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein;
7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein;
8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) ja;
8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) ja;
9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0
nein.
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9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0
ja.
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Die Relation ∼
Wichtige Eigenschaften
8.4 Die Relation ∼
Äquivalenzrelation?
R heißt Äquivalenzrelation, falls R reflexiv, transitiv und symmetrisch ist.
1. ∅ ⊆ A × A nein;
2. A × A ja;
3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} ja;
4. ≤ ⊆ N × N nein;
5. < ⊆ N × N nein;
6. | ⊆ N × N nein;
7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein;
8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) nein;
9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0
ja.
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Die Relation ∼
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Die Relation ∼
Die Relation ∼
Die Addition und Subtraktion auf den ganzen Zahlen
Die Relation ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 )
gdw. m + n0 = n + m0 , kann man benutzen, um aus den natürlichen
Zahlen die ganzen Zahlen zu konstruieren.
Idee: stelle jede ganze Zahl als Differenz von zwei natürlichen Zahlen dar.
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denn (n − m) + (n0 − m0 ) = (n + n0 ) − (m + m0 ).
Wir dürfen − offiziell“ nicht benutzen.
”
Nebenrechnung: (n − m) − (n0 − m0 ) = (n + m0 ) − (m + n0 ).
Es gilt z.B. 2 + 1 = 3 + 0 oder 0 + 3 = 2 + 1.
Trick: man verwendet − in der Definition nicht, denn + ist auf den
natürlichen Zahlen total definiert, − aber nicht.
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(n, m) ⊕ (n0 , m0 ) = (n + n0 , m + m0 )
(n, m) (n0 , m0 ) = (n + m0 , m + n0 )
0 =
ˆ (0, 0) ∼ (1, 1) ∼ (150000, 150000)
2 =
ˆ (2, 0) ∼ (3, 1) ∼ (150002, 150000)
−2 =
ˆ (0, 2) ∼ (1, 3) ∼ (150000, 150002)
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Übung: definiere , die Multiplikation auf den ganzen Zahlen.
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Die Relation ∼
Ordnungen
Die Relation ./
8.5 Ordnungen
Definiere ./ ⊆ (N × (Z \ {0})) × (N × (Z \ {0})) mit (m, n) ./ (m0 , n0 )
gdw. m · n0 = n · m0 .
Was ist das und wozu könnte es gut sein?
Definitionen
Minimale, kleinste, maximale, größte Elemente
Wohlfundiertheit
Induktion
Wohlordnungen
Die Relation ./ kann man benutzen, um aus den natürlichen und ganzen
Zahlen die rationalen Zahlen zu konstruieren.
n
Das nennen wir Bruch und schreiben normalerweise m
. Dass eine Zahl sich
auf verschiedene Arten als Bruch schreiben lässt, ist bekannt.
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Ordnungen
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Definitionen
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Ordnungen
Ordnungen
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Definitionen
Ordnungen?
I
I
I
Quasiordnung: reflexiv und transitiv
Halbordnung: reflexiv, transitiv und antisymmetrisch
Totale Ordnung: Halbordnung und a R b oder b R a.
Definition
Sei R eine Relation über A.
I
R ist eine Quasiordnung, falls R reflexiv und transitiv ist.
I
R ist eine Halbordnung, falls R reflexiv, transitiv und antisymmetrisch
ist.
I
R ist eine totale Ordnung, falls R eine Halbordnung ist und
(∀a, b ∈ R) gilt a R b oder b R a.
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1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
∅ ⊆ A × A nein;
A × A Quasiordnung;
IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} Halbordnung;
≤ ⊆ N × N totale Ordnung;
< ⊆ N × N nein;
| ⊆ N × N Halbordnung;
K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein;
⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) Halbordnung;
∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0
Quasiordnung.
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Ordnungen
Definitionen
Ordnungen
Strikte (strenge) Ordnungen
Strikte Ordnungen?
I
I
Die Definitionen von Halbordnung und totale Ordnung lassen sich
abwandeln, indem wir Irreflexivität statt Reflexivität annehmen:
Definition
Sei R eine Relation über A.
I
R ist eine strikte (strenge) Ordnung, falls R irreflexiv, transitiv (und
antisymmetrisch) ist.
I
R ist eine strikte (strenge) totale Ordnung, falls R eine strikte
Ordnung ist und (∀a, b ∈ R) gilt a R b oder b R a oder a = b.
Was ist mit Quasiordnungen? Es bleibt nur Transitivität übrig; hierfür
führen wir keinen neuen Namen ein.
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Ordnungen
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Minimale, kleinste, maximale, größte Elemente
Minimale und kleinste Elemente
Beispiele
Definition
I
∅ ⊆ A × A strikte Ordnung;
A × A nein;
IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} nein;
≤ ⊆ N × N nein;
< ⊆ N × N strikte totale Ordnung;
| ⊆ N × N nein, aber man kann die strikte Ordnung teilt echt“
”
definieren;
7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein;
8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) nein, aber ⊂ ist eine strikte Ordnung;
9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0
nein.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ordnungen
Sei R ⊆ A × A eine Relation und sei B ⊆ A (es hilft, sich R als ≤
vorzustellen).
I
Strikte Ordnung: irreflexiv, transitiv (und antisymmetrisch)
Strikte totale Ordnung: strikte Ordnung und a R b oder b R a oder
a = b.
Minimale, kleinste, maximale, größte Elemente
Minimale und kleinste Elemente
I
Definitionen
A = B = N mit R = ≤: 0 ist sowohl ein minimales als auch das kleinste
Element.
Ein Element z ∈ B heißt minimales Element von B bzgl. R falls
(∀y ∈ B) gilt: y R z impliziert y = z.
Es existieren kein maximales oder größtes Element.
Ein Element z ∈ B heißt kleinstes Element von B bzgl. R falls
(∀y ∈ B) gilt: z R y .
Betrachten wir wieder ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) und
B = {{1}, {2}, {1, 2, 3}}.
Ein Element z ∈ B heißt maximales Element von B bzgl. R falls
(∀y ∈ B) gilt: z R y impliziert y = z.
{1} und {2} sind beide minimal, aber keines der beiden ist das kleinste
Element. Es gibt kein kleinstes.
Ein Element z ∈ B heißt größtes Element von B bzgl. R falls
(∀y ∈ B) gilt: y R z.
{1, 2, 3} ist das einzige maximale, und zugleich das größte Element.
Wenn R aus dem Zusammenhang klar ist, kann man den Zusatz bzgl. R“
”
auch weglassen.
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Ordnungen
Wohlfundiertheit
Ordnungen
Wohlfundiertheit
Wohlfundiertheit
Beweistechniken
Definition
Eine Relation R ⊆ A × A heißt wohlfundiert, falls R irreflexiv ist und jedes
nichtleere B ⊆ A mindestens ein minimales Element bzgl. R besitzt.
I
Einen Beweis einer Aussage der Form A gdw. B“ führt man
”
normalerweise, indem man im ersten Teil A annimmt und B folgert
und im zweiten Teil B annimmt und A folgert.
I
Einen Beweis einer Aussage der Form aus A folgt B“ wird häufig als
”
Widerspruchsbeweis geführt: A ist die Voraussetzung; nun macht man
die Annahme“ ¬B und leitet einen Widerspruch her. Da A und ¬B
”
einen Widerspruch implizieren, folgt B aus A.
Definition
Sei R ⊆ A × A ein Relation. Eine unendliche absteigende Kette bzgl. R ist
eine unendliche Folge a1 , a2 , . . . , mit ai+1 R ai .
Beispiel: < auf Z. Dann ist 0, −1, −2, . . . eine unendliche absteigende
Kette, denn . . . − 2 < −1 < 0.
Satz
Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche
absteigende Kette bzgl. R existiert.
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Wohlfundiertheit
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Wohlfundiertheit
Beweis, Teil 1 ( Hinrichtung“)
”
Beweis, Teil 2 ( Rückrichtung“)
”
Satz
Satz
Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche
absteigende Kette bzgl. R existiert.
Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche
absteigende Kette bzgl. R existiert.
Beweis.
Beweis.
⇒“: Sei R wohlfundiert. Um einen Widerspruch herzuleiten, nehmen wir
”
nun an, es existiere eine unendliche absteigende Kette a1 , a2 , . . . ,.
Definiere B := {ai | i ∈ N}. Da R wohlfundiert und B nichtleer ist, hat B
ein minimales Element ai , d.h. (∀y ∈ B) gilt: y R ai impliziert y = ai . Da
R wohlfundiert und somit irreflexiv ist, muss gelten: (6 ∃y ) mit y R ai . Da
laut Annahme a1 , a2 , . . . , eine unendliche absteigende Kette ist, gilt aber
ai+1 R ai . Somit haben wir einen Widerspruch.
⇐“: Voraussetzung: es existiert keine unendliche absteigende Kette
”
a1 , a2 , . . . , bzgl. R. Um einen Widerspruch herzuleiten, nehmen wir nun an,
R sei nicht wohlfundiert, d.h. eine der beiden folgenden Aussagen gelte:
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1. R ist nicht irreflexiv, d.h., es existiert ein a ∈ A mit (a, a) ∈ R.
2. Es existiert ein nichtleeres B ⊆ A, das kein minimales Element besitzt,
d.h, ein B ⊆ A derart, dass (∀z ∈ B) (∃y ∈ B) (y R z) ∧ y 6= z.
...
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Ordnungen
Wohlfundiertheit
Ordnungen
Beweis, Teil 2a
Beweis, Teil 2b
Satz
Satz
Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche
absteigende Kette bzgl. R existiert.
Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche
absteigende Kette bzgl. R existiert.
Beweis.
Beweis.
⇐“: Voraussetzung: es existiert keine unendliche absteigende Kette
”
a1 , a2 , . . . , bzgl. R. Um einen Widerspruch herzuleiten, nehmen wir nun an,
R sei nicht wohlfundiert, d.h. eine der beiden folgenden Aussagen gelte:
1. R ist nicht irreflexiv, d.h., es existiert ein a ∈ A mit (a, a) ∈ R.
Im ersten Fall ist a, a, a, . . . eine unendliche absteigende Kette und wir
haben einen Widerspruch.
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Ordnungen
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⇐“: Vorauss.: es existiert keine unendliche absteigende Kette a1 , a2 , . . . ,
”
bzgl. R. Nimm an, R sei nicht wohlfundiert, d.h.:
2. Es existiert ein nichtleeres B ⊆ A, das kein minimales Element besitzt,
d.h, ein B ⊆ A derart, dass (∀z ∈ B) (∃y ∈ B) (y R z) ∧ y 6= z.
Im zweiten Fall wähle ein beliebiges Element aus B aus und nenne es a1 .
Dann existiert laut obiger Formel ein y ∈ B sodass (y R a1 ) ∧ y 6= a1 .
Nenne dieses y fortan a2 . Dann existiert laut obiger Formel ein
(i.A. anderes!) y ∈ B sodass (y R a2 ) ∧ y 6= a2 . Nenne dieses y fortan a3
...
2. . . .
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Ordnungen
Beweis, Teil 2b’
23. November 2010
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Wohlfundiertheit
Warum so kompliziert?
•
Satz
?
•
Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche
absteigende Kette bzgl. R existiert.
Beweis.
⇐“: Vorauss.: es existiert keine unendliche absteigende Kette a1 , a2 , . . . ,
”
bzgl. R. Nimm an, R sei nicht wohlfundiert, d.h.:
2. Es existiert ein B ⊆ A, das kein minimales Element besitzt, d.h, ein
B ⊆ A derart, dass (∀z ∈ B) (∃y ∈ B) (y R z) ∧ y 6= z.
...
a1 , a2 , . . . ist eine unendliche absteigende Kette, also haben wir einen
Widerspruch.
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
Informatik I
23. November 2010
Warum heißt es in der Definition von Wohlfundiertheit jedes nichtleere B ⊆ A mindestens ein
”
minimales Element bzgl. R besitzt“ statt einfach
A mindestens ein minimales Element bzgl. R
”
besitzt“?
?
•
•
@
R
@
•
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Die Bedingung über Teilmengen erzwingt, dass
jede Kette endlich ist. Die Existenz eines minimalen Elements in A reicht nicht aus.
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•
..
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Informatik I
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Ordnungen
Wohlfundiertheit
Ordnungen
Wohlfundiert?
Induktion
Wozu Wohlfundiertheit?
Eine Relation R ⊆ A × A ist wohlfundiert gdw. keine unendliche
absteigende Kette bzgl. R existiert.
1. ∅ ⊆ A × A ja;
2. A × A nein;
3. IA ⊆ A × A mit IA = {(a, a) | a ∈ A} nein;
Wenn eine Menge mit einer wohlfundierten Relation ausgestattet ist, kann
man Induktion benutzen, um Eigenschaften aller Elemente der Menge zu
beweisen.
4. ≤ ⊆ N × N nein;
5. < ⊆ N × N ja;
6. | ⊆ N × N nein;
7. K = {(x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} ⊆ R × R nein;
8. ⊆ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) nein;
9. ∼ ⊆ (N × N) × (N × N) mit (m, n) ∼ (m0 , n0 ) gdw. m + n0 = n + m0
nein.
⊂ ⊆ P({1, 2, 3}) × P({1, 2, 3}) ja;
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Informatik I
Ordnungen
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Induktion
Informatik I
Ordnungen
Induktion: Illustration
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Induktion
Induktion mit der leeren Menge
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Die Menge mit wohlfundierter Relation Induktionsbasis (Teil des Beweises)
Induktionsschritt (Teil des Beweises) Eigenschaft gilt für alle Elemente (folgt
automatisch)
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Das Prinzip der Induktion gilt auch für die leere Relation als wohlfundierte
Relation, nur nützt es einem nichts!
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Informatik I
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Ordnungen
Induktion
Ordnungen
Induktion formal
Wohlordnung
Sei R ⊆ A × A eine wohlfundierte Relation und P(x) eine zu beweisende
Eigenschaft für x ∈ A.
Definition
Eine Wohlordnung ist eine wohlfundierte strikte totale Ordnung.
1. Induktionsbasis: (∀x ∈ A) ((6 ∃y ∈ A) y R x) ⇒ P(x)
Beispiele
2. Induktionsschritt: (∀x ∈ A) ((∀y ∈ A) y R x ⇒ P(y )) ⇒ P(x)
Hinweis: 1 folgt aus 2 und damit bei dieser Formulierung eigentlich
überflüssig: Sei in 2 ein x ∈ A sodass (6 ∃y ∈ A) y R x gilt. Was passiert
dann mit (∀y ∈ A) y R x ⇒ P(y )? Es gilt trivialerweise, und wir müssen
ohne Hilfe irgendeines P(y )“ P(x) zeigen, genau wie in 1 .
”
Wir verwenden trotzdem die Formulierung mit 1 und 2 , weil Beweise
häufig aus zwei Teilen bestehen, die 1 und 2 entsprechen.
Es gibt verschiedene Formulierungen von Induktion, wie wir noch sehen
werden.
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Informatik I
Ordnungen
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I
< ∈ N × N ist eine Wohlordnung.
Man sagt auch: (N, <) ist wohlgeordnet.
I
R = {(n, n + 1) | n ∈ N} ist keine Wohlordnung, da nicht transitiv:
(1, 2) ∈ R, (2, 3) ∈ R, aber (1, 3) ∈
/ R.
Aber R ist eine wohlfundierte Relation.
I
P(M) mit M 6= ∅ und Relation ⊂ (echte Teilmenge) ist keine
Wohlordnung, da nicht total.
Aber ⊂ ist eine wohlfundierte Relation.
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Wohlordnungen
Informatik I
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Natürliche Zahlen
Striktheit
8.6 Natürliche Zahlen
I
Die Frage strikt oder nicht strikt“ (d.h., reflexiv oder irreflexiv“)
”
”
wird manchmal etwas vage behandelt, siehe etwa den
Wikipedia-Artikel zu Wohlordnung, wo die Beispiele offensichtlich
irreflexiv sind, obwohl eine Wohlordnung eine totale Ordnung, also
reflexiv sein soll. Dies ist vielleicht verwirrend.
I
Entscheidend ist folgendes: zu jeder reflexiven Relation gibt es eine
korrespondierende irreflexive (Wegnahme aller Paare (a, a)). Letztere
ist die, die man bei Wohlfundiertheit wirklich meint, etwa wenn man
sagt: Diese Kette ist absteigend und somit endlich“.
”
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Wohlordnungen
Informatik I
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Informatik I
Natürliche Zahlen
Natürliche Zahlen
Natürliche Zahlen
Peano-Axiome
Definition (Meschkowski)
Definition (Peano-Axiome)
Die Menge N der natürlichen Zahlen ist eine total geordnete Menge mit
1. (N, <) besitzt kein größtes Element;
Die Menge N der natürlichen Zahlen ist definiert durch:
P1 0 ∈ N (Null)
P2 (∀n ∈ N) n0 ∈ N (Nachfolger)
2. (N, <) ist wohlgeordnet;
P3 (∀n ∈ N) n0 6= 0 (Nachfolger ist nicht Null)
3. Jedes n ∈ N \ {0} besitzt genau einen Vorgänger.
P4 (∀m, n ∈ N) m 6= n ⇒ m0 6= n0 (Nachfolger ist injektiv)
P5 Für jede Menge M ⊆ N mit 0 ∈ M und (∀n) n ∈ M ⇒ n0 ∈ M gilt
M = N (Induktionsaxiom)
Beispiel für eine nicht-konstruktive Definition. Nicht offensichtlich, dass
I
es überhaupt eine solche Menge N gibt und
I
sie durch
1
bis
3
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bis auf Umbenennungen eindeutig definiert ist.
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P5 schließt aus, dass man zu den natürlichen Zahlen ein größtes
”
Element“ hinzunimmt o.Ä.
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Informatik I
Natürliche Zahlen
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Natürliche Zahlen
Das Beweisschema der vollständigen Induktion
Beispiel I
Behauptung: für alle n ∈ N gilt
n
X
Sei P(n) eine Eigenschaft einer Zahl n ∈ N (Prädikat).
Zeige (∀n ∈ N) P(n).
Definiere M := {n ∈ N | P(n) gilt} ⊆ N.
Induktionsaxiom: Falls 0 ∈ M und (∀n) n ∈ M ⇒ n0 ∈ M dann M = N.
i=0
0
X
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i =0=
i=0
Falls P(0) (Induktionsbasis, -anfang)
und
(∀n) P(n) ⇒ P(n0 ) (Induktionsschritt)
dann
(∀n ∈ N) P(n). (P(n) Induktionshypothese, -behauptung)
n · (n + 1)
≡ P(n)
2
Induktionsbasis (P(0)):
Induktionsschema
Jan-Georg Smaus (Universität Freiburg)
i=
0 · (0 + 1)
2
Induktionsschritt (P(n) ⇒ P(n + 1) für alle n ∈ N):
n+1
X
i =n+1+
i=0
n
X
IH
i=
i=0
n · (n + 1)
2n + 2 + n · (n + 1)
n2 + 3n + 2
n+1+
=
=
=
2
2
2
(n + 1) · (n + 2)
(n + 1) · ((n + 1) + 1)
=
2
2
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Natürliche Zahlen
Natürliche Zahlen
Beispiel II
Zusammenfassung
Behauptung: für alle n ∈ N gilt
n
X
2i = 2n+1 − 1 ≡ P(n)
i=0
I
Binäre Relationen und ihre Eigenschaften: Links- und
Rechtseindeutigkeit, Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie,
Antisymmetrie, Transitivität, Äquivalenzrelation, Quasiordnung,
(strikte) Halbordnung, (strikte) totale Ordnung.
I
Minimale, kleinste, maximale, größte Elemente
I
Wohlfundiertheit und Induktion im Allgemeinen
I
Natürliche Zahlen und Beweise darauf
Induktionsbasis (P(0)):
0
X
2i = 20 = 1 = 20+1 − 1
i=0
Induktionsschritt (P(n) ⇒ P(n + 1) für alle n ∈ N):
n+1
X
2i = 2n+1 +
i=0
n
X
. . . und hoffentlich ein verbessertes Gespür für Mathematik und Beweisen.
IH
2i =
i=0
2n+1 + 2n+1 − 1 = 2 · 2n+1 − 1 = 2n+2 − 1 = 2(n+1)+1 − 1
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