Prof. Dr. Santens Skript zur Theophysik III

Prof. Dr. L. Santen:
Skript zur Vorlesung
Theoretische Physik III
Quantenmechanik
Satz in LATEX durch
Christoph Schiffmann,
Olaf Leidinger
ergänzt durch Elisabeth Eckle
29. April 2008
Inhaltsverzeichnis
1 Der Weg zur Quantenmechanik
1.1 Die Quantennatur des Lichts . .
1.1.1 Die Hohlraumstrahlung .
1.1.2 Photoelektrischer Effekt .
1.1.3 Compton-Effekt . . . . .
1.2 Welleneigenschaften von Teilchen
1.2.1 Doppelspaltexperiment . .
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2 Die Postulate der Quantenmechanik
2.1 Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Mathematischer Exkurs . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Dualräume und Dirac-Notation . . . . . .
2.2.2 Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Matrixelemente linearer Operatoren . . .
2.2.4 Spezielle Operatoren . . . . . . . . . . . .
2.3 Diskussion der Postulate . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Messungen in der Quantenmechanik . . .
2.3.2 Der quantenmechanische Erwartungswert
2.4 Die Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Aufstellen der Schrödingergleichung . . .
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3 Einfache Probleme in einer Dimension
3.1 Einige allgemeine Eigenschaften von Eigenfunktionen
3.2 Ein Teilchen im stückweise konstanten Potential . .
3.2.1 Der Potentialkasten . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Wahrscheinlichkeitserhaltung . . . . . . . . .
3.2.3 Streuzustände am Stufenpotential . . . . . .
3.2.4 Einige nützliche Theoreme . . . . . . . . . . .
3.2.5 Der klassische Limes . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Der harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 klassischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Quantisierung des Oszillators . . . . . . . . .
3.4 Die Heisenberg’sche Unschärferelation . . . . . . . .
3.4.1 Herleitung der Unschärferelation . . . . . . .
3.4.2 Das minimale Unschärfeprodukt . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
4 Systeme mit N Freiheitsgraden
4.1 Der Zweiteilchen-Hilbertraum . . . . . . . . . . .
4.1.1 Zeitentwicklung des Zustandsvektors . . .
4.2 Identische Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Zwei-Teilchen-Systeme . . . . . . . . . . .
4.2.2 Bosonen und Fermionen . . . . . . . . . .
4.2.3 Hilbertraum für Bosonen und Fermionen .
4.2.4 Systeme N identischer Teilchen . . . . . .
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5 Symmetrien und ihre Folgen
5.1 Translationsinvarianz in der Quantentheorie . . .
5.1.1 Endliche Translationen . . . . . . . . . . .
5.1.2 Der Paritätsoperator . . . . . . . . . . . .
5.2 Rotationsinvarianz und Drehimpuls . . . . . . . .
5.2.1 Translationen in höheren Dimensionen . .
5.2.2 Rotationen in 2 Dimensionen . . . . . . .
5.2.3 Physikalische Interpretation von L̂z . . . .
5.2.4 Vektor-Operatoren . . . . . . . . . . . . .
5.2.5 Das Eigenwertproblem von L̂z . . . . . .
5.2.6 Der Drehimpuls in 3D . . . . . . . . . . .
5.2.7 Das Eigenwertproblem von L̂2 und L̂z . .
5.2.8 Eigenfunktionen im Ortsraum . . . . . . .
5.2.9 Lösung rotationsinvarianter Systeme . . .
5.2.10 Allgemeine Eigenschaften von UEl . . . .
5.3 Das Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Energieniveaus . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Die Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Entartung des Wasserstoff-Atoms . . . . .
5.3.5 Größenordnungen . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6 Vergleich mit dem Experiment . . . . . .
5.4 Der Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Die Kinematik des Spins . . . . . . . . . .
5.4.2 Explizite Darstellung von Drehoperatoren
5.4.3 Spin-Dynamik . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Das magnetische Moment des Spins . . .
5.4.5 Spin- und Bahndrehimpuls . . . . . . . .
5.4.6 Addition von Drehimpulsen . . . . . . . .
5.5 Die Clebsch-Gordon (CG) -Koeffizienten . . . . .
5.6 Addition von Drehimpuls- und Spinoperator . . .
5.7 Erklärung einiger zufälliger Entartungen . . . . .
5.7.1 H-Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
Inhaltsverzeichnis
6 Die Variationsrechnung
6.1 Die zeitunabhängige Störungstheorie . .
6.1.1 Der Formalismus . . . . . . . . .
6.1.2 Entartete Störungsrechnung . . .
6.2 Die zeitabhängige Störungstheorie . . .
6.2.1 Die Störungstheorie 1. Ordnung .
6.2.2 Plötzliche Störung um t = 0 . . .
6.2.3 Adiabatische Störung . . . . . .
6.2.4 Die periodische Störung . . . . .
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107
7 Streutheorie
109
7.1 Erinnerung an das 1D-Streuproblem und Überblick . . . . . . . . . . . . . 109
7.2 Streuung in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.3 Die Bornsche Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8 Quantencomputer
8.1 Quanten-Bits (Qubits) . . . . . . .
8.2 Quantencomputer . . . . . . . . .
8.2.1 Gates für einzelne (Qu)Bits
8.2.2 Gates für mehrere Qubits .
8.3 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . .
8.4 Quanten-Schaltkreise . . . . . . . .
8.5 Kann man Qubits kopieren? . . . .
8.6 Quanten-Teleportation . . . . . . .
8.7 Quanten-Algorithmen . . . . . . .
8.8 Quanten-Simulation . . . . . . . .
4
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1 Der Weg zur Quantenmechanik
1.1 Die Quantennatur des Lichts
Nach der klassischen Theorie wissen wir, dass Licht Wellencharakter besitzt. Der Nachweis dessen erfolgt durch Interferenzphänomene wie Beugung am Spalt oder Gitter. Aber:
dieses Bild bereitet Probleme bei der Beschreibung von Absorption und Emission von
Licht.
1.1.1 Die Hohlraumstrahlung
Ein schwarzer Körper ist ein Objekt, welches alle auftreffende
elektromagnetische Strahlung absorbiert. Er lässt also weder
Strahlung hindurch, noch reflektiert er sie. Aufgrund seiner
Temperatur emittiert er aber wieder Strahlung.
Als Modell für die Absorption verwendet man einen Hohlraum, wie links gezeigt. Dies ist sinnvoll, da wegen der
kleinen Austrittsfläche die Strahlung im Hohlraum (nahezu) vollständig absorbiert wird. Es tritt auch wieder Strahlung aus dem Loch aus. Diese wird schwarze Strahlung genannt.
Der Hohlraum hat folgende Eigenschaften:
• Es herrscht ein thermisches Gleichgewicht. Wir können dem Innenraum also eine
konstante Temperatur T zuschreiben.
• Der Innenraum ist frei von Materie - er ist evakuiert.
• Die Energiedichte ist über den gesamten Raum konstant. Die sogenannte spektrale
Energiedichte charakterisiert das Emissionsspektrum des Körpers. Sie ist definiert
als ων = dW
dν , wobei ν die Frequenz bezeichnet.
• Die emittierte Strahlung umfasst das gesamte Frequenzband.
Klassischer Zugang
• Im Hohlraum bilden sich stehende Wellen (alle anderen löschen sich aus).
• Aus dem Gleichverteilungssatz folgt die Energie pro Freiheitsgrad: je 12 kB T entfallen auf das elektrische und das magnetische Feld. Daraus ergibt sich eine Energie
von kB T pro Welle.
5
1 Der Weg zur Quantenmechanik
Wir bestimmen nun die Energiedichte durch Bilanz über die
Anzahl der stehenden Wellen im Intervall [ν, ν + dν].
Damit sich stehende Wellen bilden, muss die Weglänge ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge sein. In unserem Beispiel betrachten wir einen Würfel der Seitenlänge a, welche ein ganzzahliges Vielfaches
x̄
, der Projektion auf die Koordinatenachsen, sein
von
2
muss.
x̄
2
=
⇒ n1 =
n21 + n22 + n23 = (
λ
−1
2 (cos α) ,
2a cos α
λ
ȳ
2
λ
−1
2 (cos β) ,
=
2a cos β
λ
n2 =
z̄
2
=
n3 =
λ
−1
2 (cos γ)
2a cos γ
λ
2a 2
2aν 2
) =(
) , mit cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1, c = λν
λ
c
p
c
Durch ν = 2a
n21 + n22 + n23 werden die möglichen Frequenzen festgelegt. Daraus ergibt sich die Dichte im Frequenzraum:
c
Frequenz im Einheitskubus mit Kantenlänge 2a
. Man erhält
die Anzahl der Wellen in [0, ν] gemäß:
N (ν) =
1
4π 3 2a 3
ν ( )
8
c }
|3{z } | {z
|{z}
1/8 Kugel Kugelvol. Freq.dichte
Die Anzahl der Wellen im Intervall [ν, ν + dν], die Änderungsrate, ist damit
dN (ν) = 4πa3
ν2
dν
c3
(1.1)
Die spektrale, räumliche Energiedichte ergibt sich mit (1.1) zu
dN (ν) = 4πa3
wν dν = 8π
ν2
dν
c3
ν2
kB T dν
c3
Rayleigh-Jeans Gesetz
(1.2)
Den Faktor 2 kommt dadurch zustande, dass für einen gegebenen Wellenvektor zwei orthogonale Polarisationsebenen existieren. Die Gesamtenergiedichte ist durch Integration
über alle Frequenzen berechenbar:
Z∞
w=
kB T
dν wν 8π 3 =
c
0
Z∞
0
6
dν ν 2 = ∞
1 Der Weg zur Quantenmechanik
Es stellt sich heraus, dass das Raileigh-Jeans Gesetz, Gleichung 1.2, nur für kleine Frequenzen gültig ist. Im Rahmen der klassischen Physik ist ein Herleiten der korrekten
Formel nicht möglich. Außer dieser Formel ist eine weitere Formel für die Gesamtenergiedichte bekannt - die Wien’sche Formel, Gleichung 1.3. Sie ist ein rein experimentelles
Produkt und klassisch nicht herleitbar. Dafür liefert sie eine gute Näherung für höhere
Frequenzen.
ν
wν = ν 3 ae−b T
(1.3)
Die Planck’sche Strahlungsformel
Um einen Ausweg aus den oben beschriebenen Problemen zu finden, versuchte Planck
einen andersartigen Ansatz, welcher nicht mit der klassischen Physik verträglich ist. Absorbierende und emittierende Atome beschreibt er als harmonische Oszillatoren, welche
eine besondere Eigenschaft besitzen. Diese formuliert er in der Planck’schen Hypothese:
Die Oszillatoren können sich nur in solchen Zuständen befinden, deren Ener”
gien ganzzahlige Vielfache eines elementaren Energiequants 0 sind.“, also
En = n0
Diese Hypothese steht im krassen Widerspruch zur klassischen Physik, in der ein kontinuierliches Energiespektrum der Oszillatoren angenommen wird. Die obige Herleitung
für die Wellen kann übernommen werden, was sich ändert, ist lediglich die Energie pro
stehender Welle.
Es sei N die Anzahl der Wandoszillatoren, N (n) die Anzahl der Oszillatoren mit
Energie En = n0 . Die mittlere Energie pro Oszillator beträgt
P∞
n=0 N (n)En
ˆ = P
∞
n=0 N (n)
Aus der statistischen Mechanik ist bekannt, dass
1
exp(−βn0 ), β =
kB T
P∞
n=0 N (n)En
P
→ ˆ =
∞
n=0 N (n)
∞
X
1
mit
[exp(−β0 )]n =
1 − exp(−β0 )
N (n)
∼
n=0
Daraus folgt eine mittlere Energie pro Oszillator von
ˆ =
0
exp(−β0 )
7
(1.4)
1 Der Weg zur Quantenmechanik
Die Energiedichte im Hohlraum
Die stehenden Wellen entstehen durch Abstrahlung der Oszillatoren. Im Vergleich zur
klassischen Herleitung wird also kB T durch ˆ ersetzt. Damit lautet die Strahlungsformel
wν =
8πν 2
0
3
c exp(β0 ) − 1
(1.5)
Den Anschluss an das Wien’sche Gesetz erhält man für
0 → hν
8π 3
h
wν =
ν
3
c
exp(βhν) − 1
Planck’sche Strahlungsformel“
”
(1.6)
Die Übereinstimmung der Planck’sche Strahlungsformel mit den experimentellen Beobachtungen rechtfertigt Plancks Ansatz und schließlich auch das Auftreten einer neuen
Naturkonstanten,
h = 6, 63 · 10−34 Js,
dem Planck’schen Wirkungsquantum.
1.1.2 Photoelektrischer Effekt
Abbildung 1.1: Photo-Effekt: Elektronen treten ab einer gewissen Lichtfrequenz aus dem
bestrahlten Metall aus
Es trifft Licht mit der Frequenz ν auf eine Metalloberfläche auf. Daraufhin treten
Elektronen aus dem Metall aus. Beobachtet wird, dass die Emission der Elektronen
8
1 Der Weg zur Quantenmechanik
spontan einsetzt. Ihre maximale kinetische Energie ergibt sich als
mve2
= hν − W
2
Ee =
(1.7)
wobei W für die materialabhängige Austrittsarbeit der Elektronen steht. Klassisch wäre
ein Emissionsverlauf zu erwarten, der erst beginnt, sobald genügend Energie“ übertra”
gen worden ist und eine Energiedichte der elektromagnetischen Welle, 8π(E 2 + H 2 ), die
unabhängig von der Frequenz des einfallenden Lichtes ist.
Einstein lieferte 1905 eine Erklärung für das Phänomen. Er beschreibt Licht als Teilchen,
Photonen, welche die Energie
hν = ~ω,
~=
h
≈ 1, 05457160 · 10−34 Js
2π
(1.8)
besitzen.
1.1.3 Compton-Effekt
In gewissen Situationen hat Licht Teilchencharakter. Daher liegt es nahe diesen Licht”
teilchen“ einen Impuls zuzuordnen. Hat man eine Hypothese darüber aufgestellt, so lässt
sich diese über den Compton-Effekt, den Stoß eines Photons mit einem Elektron, überprüfen. Der Versuch stammt von Arthur Holly Compton (1925).
Es sei die Ausbreitungsrichtung des Lichtes parallel zum Wellenvektor k. Aus der Relativitätstheorie ist bekannt:
E =
p
p2 c2 + m2 c4
E = c|p| = ~ω
ω
|p| = ~ = ~k und damit
c
p = ~k
Impuls des Photons
mit |k| =
2π
λ
wobei m für die Ruhemasse des Teilchens steht.
Aus der Energie- und Impulserhaltung des Systems Photon/Elektron folgen:
p
EE: ~ω + me c2 = ~ck + me c2 = ~ck 0 + p2e c2 + m2e c4
| {z }
{z
}
|
vor dem Stoß
IE:
nach dem Stoß
= ~k 0 + pe
~k + 0
Nach endlich langer Rechnung (siehe Übungsaufgabe) erhält man einen Zusammenhang zwischen der Änderung der Wellenlänge und dem Streuwinkel.
λ0 − λ = ∆λ =
λc =
4π~
θ
θ
sin2 = 2λc sin2 , wobei
me c
2
2
2π~
≈ 2, 42631022 · 10−12 m
me c
9
(1.9)
1 Der Weg zur Quantenmechanik
Abbildung 1.2: Compton-Effekt: elastischer Stoß eines Photons mit einem (ruhenden)
Elektron
Überraschend an dem Ergebnis ist die Tatsache, dass die Wellenlängenänderung nicht
etwa von der Anfangswellenlänge des Photons abhängt, sondern lediglich vom Streuwinkel.
Wir haben anhand der vorgestellten Experimente gelernt, dass Licht sowohl ein Teilchencharakter (Photoeffekt, Compton-Effekt) zuzuschreiben ist, als auch ein Wellencharakter (Beugung- und Interferenzphänomene). Es herrscht also ein Dualismus von Wellen
und Teilchen.
1.2 Welleneigenschaften von Teilchen
1.2.1 Doppelspaltexperiment
Zur Bestrahlung“ des Spalts werden Teilchen mikroskopischer Größe verwendet, z.B.
”
Neutronen, Photonen oder Elektronen. Dabei sind die relevanten Größen im Rahmen
von 1 Å = 10−10 m für die Atome bzw. 1 f m = 10−15 m für die Kerne.
Die klassische Betrachtung steht aber im Widerspruch zur Beobachtung. Man erhält
ein Interferenzbild, wie man es aus der Optik kennt. Dies lässt sich nur erklären, wenn
Teilchen Wellencharakter besitzen.
Ferner ist zu beobachten, dass einzelne Teilchen bei niedrigen Intensitäten nachweisbar
sind. So lassen sich einzelne Einschläge von Teilchen auf einer Photoplatte unter dem
Mikroskop erkennen. Läuft die Messung bei gleich geringer Intensität über einen längeren
Zeitraum, dann verteilen sich die einzelnen Einschläge gemäß des in Bild 1.4 dargestellten
Interferenzmuster auf der Photoplatte.
Wegen der großen Gitterkonstante, die zur Beugung von mikroskopischen Teilchen
benötigt wird, ist das Doppelspaltexperiment experimentell schwer zu realisieren. Daher
wurde die Wellenbeugung von Teilchen erstmals an Kristallen nachgewiesen (Davisson
& Garner, 1927)
10
1 Der Weg zur Quantenmechanik
Abbildung 1.3: Doppelspalt-Experiment
Abbildung 1.4: Interferenzbild beim Doppelspaltexperiment
Erweiterung des Doppelspaltexperimentes
Es stellt sich nun die Frage, welchen Weg das Teilchen durch den Doppelspalt nimmt,
also ob es sich durch den oberen Spalt oder durch den unteren bewegt. Um die Frage zu
beantworten, wird das Experiment, wie es in Bild 1.3 dargestellt ist, um eine Lichtquelle
erweitert. So könnte man durch Streuung von Photonen aus der Lichtquelle mit den
Teilchen bestimmen, welchen Weg sie genommen haben. Der erweiterte Aufbau sowie
das Messergebnis ist in Bild 1.5 dargestellt.
Die auffälligste Beobachtung dieses Experimentes ist sicherlich, dass das Interferenzmuster verschwindet. Dafür sind die Auftreffwahrscheinlichkeiten P10 und P20 denen des
Einzelspaltes ähnlich. Die genauere Messung des Weges führt also zum Verlust der Interferenz.
Die Ursache für ihr Verschwinden ist die Änderung des Impulses ∆px (in x-Richtung,
x
parallel zum Spalt). Daraus resultiert eine Ablenkung ∆x = ∆p
p L am Schirm, wobei L
den Abstand zwischen Schirm und Spalt und p den Impuls in y-Richtung (⊥ Schirm)
bezeichnet. Die Interferenz verschwindet genau dann, falls die Ablenkung des Teilchens
11
1 Der Weg zur Quantenmechanik
Abbildung 1.5: erweitertes Doppelspaltexperiment
größer als der Abstand der Intensitätsmaxima ist.
∆px
h
hL
⇒
≥
pd
p
pd
bzw. ∆px d ≥ h
(1.10)
Der Parameter d bezeichnet hier den Abstand der Mittelpunkte der beiden Spalte (vgl.
Bild 1.5) und durch die Messung bedingt gleichzeitig die Genauigkeit, mit der wir den
Ort des Teilchens festgelegt haben, so dass
∆px ∆x ≥ h
(Heisenberg’sche Unschärferelation)
(1.11)
Es existiert also eine prinzipielle Beschränkung in der Genauigkeit der Messung zur
gleichzeitigen Bestimmung von Ort und Impuls.
de Broglie Materiewellen
De Broglie postuliert
λ=
h
p
de Broglie-Wellenlänge
(1.12)
als die einem Teilchen mit dem Impulsbetrag p zugeordnete Wellenlänge, wobei p2 =
2mE. Bestätigt wird diese Behauptung durch experimentelle Beobachtungen. Aber weshalb blieb dieser Wellencharakter eines Teilchens so lange verborgen?
Die de Broglie Wellenlänge eines Teilchens der Masse 1 kg und der Geschwindigkeit
cm
1 s beträgt λ = hp ≈ 10−26 cm. Daher können wir für makroskopische Teilchen keine
Interferenz erwarten.
Fazit : Welle-Teilchen-Dualismus
Man ordnet einem Teilchen eine Wellenfunktion ψ(x, t) zu. Das Betragsquadrat
2
der Wellenfunktion, ψ(x, t) beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichte am Ort x
zur Zeit t.
12
2 Die Postulate der Quantenmechanik
Nachdem wir uns mit den grundlegenden Experimenten beschäftigt haben, wollen wir
uns nun der theoretischen Beschreibung dieser Phänomene zuwenden.
2.1 Postulate
Postulate bilden die Basis der nichtrelativistischen Quantenmechanik. Die Postulate werden im Vergleich mit der klassischen Mechanik, sowie für ein einzelnes Teilchen in einer
räumlichen Dimension eingeführt, um die Diskussion so einfach wie möglich zu gestalten.
1. Der Zustand eines Teilchens
KM: Der Zustand eines Teilchens zu einer gegebenen Zeit t wird durch die Variablen x(t), p(t) festgelegt (durch einen Punkt im zweidimensionalen Phasenraum).
QM: Der Zustand eines Teilchens wird durch einen Vektor |Ψ(t)i in einem Hilbertraum dargestellt.
2. Dynamische Variablen
KM: Jede dynamische Variable ist eine Funktion von x und p, also ω = ω(x, p).
QM: x̂ und p̂ sind hermitesche Operatoren mit den Matrixelementen
hx| x̂ |x0 i = xδ(x − x0 )
(2.1)
hx| p̂ |x0 i =
~ 0
i δ (x
− x0 )
in der Eigenbasis von x̂. Die dynamischen Variablen gehen zu entsprechenden
Funktionen der Operatoren x̂ und p̂ über.
3. Messungen
KM: Der Teilchenzustand wird durch x und p beschrieben. Eine Messung von
ω(x, p) beeinflusst den Wert von x und p nicht.
QM: Wenn sich das Teilchen im Zustand Ψ befindet, ergibt die Messung durch
den Operator Ω̂ (Ω̂ repräsentiert die Messgröße) den Eigenwert ω mit der
Wahrscheinlichkeit
p(ω) ∝ |hω|Ψi|2
Der Zustand des Systems geht dabei von |Ψi über zu |ωi.
13
2 Die Postulate der Quantenmechanik
4. Zeitentwicklung
KM: Die Änderung der Zustandsvariablen wird durch die Hamiltonschen Gleichungen
∂
ẋ = ∂p
H
∂
H
ṗ = − ∂x
beschrieben.
QM: Die Zeitentwicklung des Zustandsvektors |Ψ(t)i wird durch die Schrödingergleichung
∂
i~ |Ψ(t)i = Ĥ |Ψ(t)i
(2.2)
∂t
beschrieben, wobei sich der Hamiltonoperator Ĥ aus der klassischen Hamiltonfunktion durch die Ersetzung der Größen x und p durch die entsprechenden
Operatoren x̂ und p̂ ergibt.
2.2 Mathematischer Exkurs
In der Quantenmechanik wird starker Gebrauch von den Konzepten der linearen Algebra
gemacht. An dieser Stelle sollen einige Begriffe wiederholt werden, die für die weitere
Diskussion von Bedeutung sind.
2.2.1 Dualräume und Dirac-Notation
Vektoren eines linearen Vektorraumes werden wir durch so genannte kets darstellen: |vi.
In vielen Situationen können wir die Vektoren als die üblichen Pfeile darstellen. Dies
geht aber nicht allgemein, wie wir an einigen Beispielen sehen werden.
Zwischen zwei Elementen eines Vektorraumes |vi und |wi wird durch die Eigenschaften
1. hv|wi = hw|vi∗
2. hv|vi ≥ 0, hv|vi = 0 ⇔ |vi = 0 · |vi = |0i Null-Ket“
”
3. hv| a |wi + b |zi = a hv|wi + b hv|zi
das Skalarprodukt definiert. Einen Vektorraum mit einem Skalarprodukt nennt man
inneren Produktraum.
Wenn man das Skalarprodukt in Form einer Matrixmultiplikation auffassen will, muss
man einen der beiden Vektoren als Zeile darstellen. Genauso wie bei den Spaltenvektoren
kann man die Zeilenvektoren auch als Realisierung abstrakter bras auffassen.
• hv| ist der zum Vektor |vi adjungierte Vektor.
• Es existieren 2 Vektorräume, derjenige der bras und der der kets. Der Vektorraum
der bras ist der Dualraum des Vektorraums der kets.
14
2 Die Postulate der Quantenmechanik
• Das Skalarprodukt ist zwischen bras und kets definiert.
Frage: Was ist der bra zum ket a |vi = |avi?
Aus der Definition des Skalarproduktes leiten wir sofort ab, daß hav| = hv| a∗ ist, d.h.
hav| = a∗ hv| ist der zu |avi adjungierte Vektor.
2.2.2 Lineare Operatoren
Ein Operator Ω̂ gibt eine Vorschrift zur Transformation eines Vektors |vi in einen anderen
Vektor |v 0 i an, d.h.
Ω̂ |vi = v 0
Lineare Operatoren haben die folgenden Eigenschaften:
1. Ω̂α |vi i = αΩ̂ |vi i
2. Ω̂ (α |vi i + β |vj i) = αΩ̂ |vi i + β Ω̂ |vj i
3. hvi | αΩ̂ = hvi | Ω̂α
4. (hvi | α + hvj | β) Ω̂ = hvi | Ω̂α + hvj | Ω̂β
Beispiel: Identitätsoperator
Rotationsoperator: Rotation in V3 (R); R( 12 πi) =Rotation um
i
Einheitsvektoren:
i, j, k → |1i , |2i , |3i
R( π2 i) |1i = |1i , R( π2 i) |2i = |3i , R( π1 i) |3i = − |2i
π
2
um den Einheitsvektor
Das Produkt zweier linearer Operatoren kann sequentiell ausgeführt werden:
E
Λ̂Ω̂ |vi = Λ̂ Ω̂ |vi = Λ̂ Ω̂v
(2.3)
Achtung: Die Reihenfolge der Operatoren ist nicht beliebig, bzw. der so genannte Kommutator
h
i
Ω̂Λ̂ − Λ̂Ω̂ = Ω̂, Λ̂
(2.4)
ist im allgemeinen verschieden von 0.
Für Kommutatoren kann man folgende nützliche Beziehungen herleiten:
[Ω, ΛΘ] = Λ [Ω, Θ] + [Ω, Λ] Θ
[ΛΩ, Θ] = Λ [Ω, Θ] + [Λ, Θ] Ω
15
2 Die Postulate der Quantenmechanik
2.2.3 Matrixelemente linearer Operatoren
Vektoren sind n-Tupel in Basisdarstellung, ein Operator entspricht einer n × n-Matrix
in eben jener Basisdarstellung.
P
Die Wirkung von Ω̂ auf den Basisvektor |ii sei Ω̂ |ii = |i0 i. Des weiteren sei |vi = i vi |ii,
dann gilt:
X
X
X Ω̂ |vi = Ω̂
vi |ii =
vi Ω̂ |ii =
vi i0
i
i
i
|i0 i
Wir können
natürlich wieder durch die Basisvektoren ausdrücken. Die Matrixelemente von Ω̂ sind in der entsprechenden Basis gegeben durch:
0
j i = hj| Ω̂ |ii = Ω̂ji
(2.5)
Damit erhalten wir für eine Komponente des transformierten ket |v 0 i = Ω̂ |vi das folgende
Resultat:


X
X
X
0
iv = hi| Ω̂ |vi = hi| Ω̂ 
vj |ji =
vj hi| Ω̂ |ji =
vj Ω̂ji
(2.6)
j
j
j
2.2.4 Spezielle Operatoren
1. Identitätsoperator
Îij = hi| Î |ji = δij
(2.7)
2. Projektionsoperator
P
Darstellung von |vi in einer Basis: |vi = i |ii hi|vi.
P̂ = |ii hi|
(2.8)
nennt man den Projektionsoperator auf den ket |ii.
Der adjungierte Operator
Wir definieren den zu Ω̂ adjungierten Operator Ω̂+ durch
D Ω̂v = hv| Ω̂+
(2.9)
E
wobei Ω̂ |vi = Ω̂v ist. Die Matrixelemente von Ω̂+ sind gegeben durch:
Ω̂+
ij
D E D E∗
= hi| Ω̂+ |ji = Ω̂ij = j Ω̂i = Ω̂∗ji
(2.10)
Für Produkte von Operatoren gilt:
Λ̂Ω̂
+
= Ω̂+ Λ̂+
16
(2.11)
2 Die Postulate der Quantenmechanik
Definitionen
1. Ein Operator Ω̂ ist hermitesch, falls Ω̂ = Ω̂+ .
2. Ein Operator Ω̂ ist antihermitesch, falls Ω̂ = −Ω̂+ .
3. Ein Operator Ω̂ ist unitär, falls Ω̂Ω̂+ = Î.
Das Eigenwertproblem
Für jeden linearen Operator Ω̂ existieren bestimmte kets, die von Ω̂ bis auf Skalierung
nicht verändert werden, d.h.
Ω̂ |vi = ω |vi
(2.12)
Diese Gleichung nennt man Eigenwertgleichung. Um nun die Eigenvektoren von Ω̂ zu
bestimmen, formen wir (2.12) zunächst einmal um, in
Ω̂ − ω Î |vi = |0i
(2.13)
Damit sie nicht triviale Lösungen besitzt, muss gelten:
det Ω̂ − ω Î = 0
(2.14)
Die Bedingung für das Verschwinden der Determinante führt auf eine Gleichung der
Form
n
X
cm ω m = 0
m=0
mit dem charakteristischen Polynom
n
P (ω) =
n
X
cm ω m
(2.15)
m=0
Ein Polynom n-ten Grades hat genau n Wurzeln, die nicht notwendiger Weise reell
und nicht notwendiger Weise verschieden sind. Die Eigenvektoren sind Lösungen von
Gleichung 2.13, wobei für ω die oben berechneten Nullstellen des charakteristischen
Polynoms (2.15) eingesetzt werden.
Bemerkung:
1. Durch die Bedingung (2.14) hat das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung,
d.h. wir können mindestens eine Komponente frei bestimmen. Sinnvoll ist die Verwendung normierter Eigenvektoren.
2. Die Eigenwerte eines hermiteschen Operators sind reell.
3. Zu jedem hermiteschen Operator Ω̂ existiert mindestens eine Eigenbasis aus seinen
Eigenvektoren. In einer solchen Eigenbasis ist Ω̂ diagonal. Die Diagonalelemente
sind die Eigenwerte von Ω̂.
17
2 Die Postulate der Quantenmechanik
Degenerierte Eigenwerte
Wie bereits erwähnt, müssen nicht alle Eigenwerte verschieden voneinander sein. Falls ein
Eigenwert ωi mi -fach entartet ist, existiert ein Eigenraum Vωmi i aus dem wir mi beliebige
orthogonale Vektoren wählen können, die zur Eigenbasis von Ω̂ gehören.
Bemerkung: In der Quantenmechanik sind alle Operatoren diagonalisierbar. Allerdings
ist die Diagonalgestalt oft analytisch nicht zu berechnen.
Beispiel:


1 0 1
Ω̂ =  0 2 0  ⇒ Ω̂ − ω Î = ω (2 − ω)2 = 0
1 0 1
⇒ Eigenwerte ω = 0, 2, 2. Der Eigenvektor zu ω1 ist:


x1
ω1 = 0 : Ω̂ |ω1 i = 0, |ω1 i =  x2  ,
x
3

1
x2 = 0, x1 = −x3 ⇒ |ω1 i = √12  0 
−1
Und die Eigenvektoren zu ω2 = ω3 sind:
2 : x
ω2 = ω3 =
1 = x3 ,
1
|ω2 i = √13  1  , |ω3 i =
1

1
√1  −2 
6
1

Wir können natürlich für jedes beliebige Verhältnis von
Eigenvektoren konstruieren.
x2
x3
ein orthonormales Paar von
Eigenschaften von unitären Operatoren
1. Die Eigenwerte unitärer Operatoren sind komplexe Zahlen vom Betrag 1.
2. Die Eigenvektoren eines nicht-degenerierten unitären Operators stehen paarweise
senkrecht aufeinander.
Bemerkung:
Für degenerierte unitäre Operatoren geht man zur Konstruktion der Eigenbasis wie oben
bei den hermiteschen Operatoren gezeigt vor.
18
2 Die Postulate der Quantenmechanik
Diagonalisierung hermitescher Matrizen
1. Wenn Ω̂ eine hermitesche Matrix ist, existiert eine unitäre Matrix Û (zusammengesetzt aus den Eigenvektoren von Ω̂) so, daß Û + Ω̂Û diagonal ist.
2. Falls Ω̂ und Λ̂ zwei kommutierende hermitesche Operatoren sind, gibt es mindestens
eine Basis gemeinsamer Eigenvektoren, in der beide Operatoren Diagonalgestalt
haben.
Beweis:
Es sei Ω̂ ein nicht-degenerierter Operatoren und es sei Ω̂ |ωi i = ωi |ωi i, dann gilt:
Λ̂Ω̂ |ωi i = Λ̂ωi |ωi i = ωi Λ̂ |ωi i
Gleichzeitig gilt aber auch:
h
i
Λ̂, Ω̂ = 0
⇒ Ω̂Λ̂ |ωi i = ωi Λ̂ |ωi i
⇒ Λ̂ |ωi i = λi |ωi i
da der Operator Ω̂ nicht-degeneriert ist, d.h. der Eigenvektor |ωi i bis auf einen Zahlenfaktor eindeutig ist.
Bemerkung: Λ̂ |ωi i im 2. Schritt ist hier ein Eigenvektor von Ω̂!
Bei der Formulierung der Postulate der Quantenmechanik haben wir gesehen, daß die
Zeitentwicklung eines Zustandes durch die Schrödingergleichung
E
i~ Ψ̇ = Ĥ |Ψi
(2.16)
beschrieben wird. Es ist also die zentrale Aufgabenstellung der nicht-relativistischen
Quantenmechanik, die Schrödingergleichung zu lösen.
Die Zeitentwicklung eines Zustands wird durch einen Operator Û (t) beschrieben, sodass
|x(t)i = Û (t) |x(t = 0)i
(2.17)
der zeitabhängige Zustandsvektor ist. Der so genannte Propagator Û (t) hängt nicht mehr
von der Anfangsbedingung ab.
Schema zur Lösung der Schrödingergleichung
1. Lösung des Eigenwertproblems von Ĥ.
2. Darstellung von Û (t) durch die Eigenwerte und Eigenvektoren von Ĥ.
3. Der zeitabhängige Zustandsvektor ist dann gegeben durch:
|Ψ(t)i = Û (t) |Ψ(t = 0)i
19
2 Die Postulate der Quantenmechanik
Funktionen von Operatoren
Wir definieren die Funktion eines Operators Ω̂ über die Potenzreihe:
∞
X
f Ω̂ =
an Ω̂n
(2.18)
n=0
wobei die Koeffizienten an aus der Taylorentwicklung
f (x) =
∞
X
an xn
(2.19)
n=0
stammen. Damit diese Definition sinnvoll ist, muss die obige Summe konvergieren.
Beispiel:
Sei Ω̂ ein hermitescher Operator und
∞
X
1 n
Ω̂
e =
n!
Ω̂
n=0
In der Eigenbasis von Ω̂ gilt:
Ω̂
= diag (ω1 , ω2 , . . . , ωm )
⇒ Ω̂n = diag (ω1 n , ω2 n , . . . , ωm n )
⇒ eΩ̂
= diag (eω1 , . . . , eωm )
d.h. die Summe konvergiert.
Es sei Θ̂(λ) ein Operator, der von dem Parameter λ abhängt. Seine erste Ableitung wird
definiert durch:
dΘ̂ (λ)
Θ̂ (λ + ∆λ) − Θ̂ (λ)
= lim
(2.20)
∆λ→0
dλ
∆λ
Falls Θ̂(λ) in Basisdarstellung vorliegt, erhält man die Matrix
der einzelnen Matrixelemente.
dΘ̂(λ)
dλ
durch Differentiation
Beispiel:
1. Sei Ω̂ hermitesch und
Θ̂(λ) = eλΩ̂
Man erhält (z.B. durch Übergang zur Eigenbasis):
dΘ̂ (λ)
= Ω̂eλΩ̂ = Ω̂Θ̂(λ) = Θ̂(λ)Ω̂
dλ
Fazit: Die Ableitung ist völlig analog zur Ableitung reellwertiger Funktionen in R.
20
2 Die Postulate der Quantenmechanik
2. (Verallgemeinerung der Produktregel)
Vorsicht bei der Ableitung von Produkten von Operatoren!
d λΩ̂ λΘ̂
e e = Ω̂eλΩ̂ eλΘ̂ + eλΩ̂ eλΘ̂ Θ̂
dλ
Diesen Term können wir nicht auf die Form
eλΩ̂ eλΘ̂ Ω̂ + Θ̂
h
i
vereinfachen, falls Ω̂, Θ̂ 6= 0 gilt!
Verallgemeinerung für unendlich dimensionale Räume
Sei f (x) eine beliebige Funktion.
Diese Funktion können wir approximativ darstellen, indem wir sie an an n Stützstellen
auswerten. Der ket


f (x1 )


..
(2.21)
|fn i ↔ 

.
f (xn )
liefert uns eine Darstellung von f (x). Unsere Basisvektoren in diesem Raum sind die
kets
 
0
 .. 
 . 
 

|xi i ↔ 
(2.22)
 1  ← i-ter Platz
 .. 
 . 
0
21
2 Die Postulate der Quantenmechanik
Für die Basisvektoren gilt offensichtlich:
hxi |xj i = δij
(2.23)
n
P
|ji hj| = Î
j=1
In der Basisdarstellung erhalten wir
n
X
|fn i =
fn (xi ) |xi i
(2.24)
i=1
Das Skalarprodukt ist durch
hfn |gn i =
n
X
fn (xi )gn (xi )
(2.25)
i=1
definiert.
Wenn wir nun aber die Diskretisierung immer feiner wählen, dann wird das so definierte Skalarprodukt für fast alle Funktionen divergieren. Wir müssen daher zu folgender
Definition übergehen:
n
X
hfn |gn i =
fn (xi )gn (xi )∆
i=1
L
n+1 .
Wenn wir nun den Limes n → ∞ betrachten, erhalten wir die übliche
mit ∆ =
Definition des Integrals, d.h.
ZL
hf |gi =
f (x)g(x)dx
(2.26)
f ∗ (x)g(x)dx
(2.27)
0
Für komplexe Funktionen gilt:
ZL
hf |gi =
0
Basisvektoren
Nach der obigen Diskussion ist es ersichtlich, dass wir jedem Punkt x einen Basisvektor
|xi zuordnen. Ferner gilt: hx0 |xi = 0, falls x0 6= x ist. Aber welche Eigenschaften hat
hx|xi?
Dazu betrachten wir den Identitätsoperator Î:
Zb
|xi hx| dx = Î
a
22
(2.28)
2 Die Postulate der Quantenmechanik
und
Zb
f (x) = hx|f i =
0 0 0
xx x f dx =
a
Zb
g(x, x0 )f (x0 )dx0
a
Da das Skalarprodukt hx|x0 i nur für x = x0 nicht verschwindet, muss die gesuchte Funktion g(x, x0 ) die Eigenschaften der δ-Distribution besitzen, also
0
xx = δ(x − x0 )
(2.29)
Operatoren in unendlichen Dimensionen
Da wir die Elemente des unendlichen Funktionenraumes |f i genauso wie die Basisvektoren |xi kennen, wenden wir uns nun linearen
Operatoren zu. Ein Operator Ω̂ wandelt
E
˜
den Vektor |f i in einen anderen Vektor f um, also
E
Ω̂ |f i = f˜
Beispiel: Differentialoperator
d
D̂ |f i = f
dx
Was sind die Matrixelemente von D̂?
d
d
f (x)
hx| D̂ |f i = x f =
dx
dx
Wenn wir wieder den Identitätsoperator einführen, erhalten wir
Rb
a
hx| D̂ |x0 i hx0 |f i dx0 =
d
dx f (x)
=
Rb
g(x, x0 )f (x0 )dx0
a
d
⇒ hx| D̂ |x0 i = Dxx0 = δ 0 (x − x0 ) = δ(x − x0 ) dx
Bemerkung: Für geeignete Funktionen ist der Operator
k̂ = −iD̂
hermitesch.
23
(2.30)
2 Die Postulate der Quantenmechanik
Eigenwertproblem II
Wir betrachten die Eigenwertgleichung
k̂ |ki = k |ki
Ψk (x)
z }| {
⇒ hx| k̂ |ki = k hx|ki
0 0
hx| k̂ x0
x k dx = kΨk (x)
| {z } | {z }
R
⇒
d Ψ (x0 )
k
−iδ(x−x0 ) dx
0
d
⇒ −i dx
Ψk (x) = kΨk (x)
Wir erhalten eine Differentialgleichung 1. Ordnung mit der Lösung
Ψk (x) = Aeikx
Normierung:
A=
√1
2π
⇒ hk|k 0 i =
⇒ hx|ki =
R
√1 eikx
2π
hk|xi hx|k 0 i dx =
1
2π
R∞
0
e−i(k−k )x dx = δ(k − k 0 )
−∞
Bemerkung:
1. k wurde reell gewählt, aber die Eigenwertgleichung kann auch für
komplexes k gelöst werden. Problem: Fkt. nicht normierbar ⇒ kein Element des
Hilbertraums
2. Wir benutzen “physikalischen Hilbertraum”, d.h. Fkt., die entweder auf 1 oder die
δ-Distribution normierbar ist.
Da der Operator k̂ ein hermitescher Operator ist, muss er auch eine Darstellung in der
Eigenbasis besitzen. Dazu betrachten wir einen ket |f i und dessen Darstellung in der
k̂-Basis:
Z∞
f (k) = hk|f i =
1
hk|xi hx|f i dx = √
| {z } | {z }
2π
−∞ Ψ∗ (x) f (x)
k
Z∞
e−ikx f (x)dx
(2.31)
−∞
bzw. in der Eigenbasis von x̂:
Z∞
f (x) = hx|f i =
1
hx|ki hk|f i dk = √
| {z } | {z }
2π
−∞ Ψk (x) f (k)
Z∞
eikx f (k)dk
−∞
⇒ Basiswechsel zwischen x̂- und k̂-Raum durch Fouriertransformationen
Die Matrixelemente von k̂ in der Eigenbasis sind trivial:
hk| k̂ k 0 = k 0 k k 0 = k 0 δ(k − k 0 )
24
(2.32)
(2.33)
2 Die Postulate der Quantenmechanik
Im Ortsraum1 gilt:
x̂ |xi = x |xi
(2.34)
⇒ hx0 | x̂ |xi = xδ(x − x0 )
Die Wirkung von x̂ auf eine Funktion |f i des Hilbertraums sei gegeben durch
E
x̂ |f i = f˜
E
wobei wir f˜ in der Ortsdarstellung leicht bestimmen können:
D E
f˜(x) = xf˜ = hx| x̂ |f i = x hx|f i = xf (x)
⇒ x̂ |f (x)i = |xf (x)i
(2.35)
Für die Matrixelemente von x̂ im k̂-Raum ergibt sich:
hk| x̂ |k 0 i =
R∞
hk| x̂ |xi hx|k 0 i dx
=
−∞
=
R∞
−∞
=
d
i dk
R∞
x hk|xi hx|k 0 i dx
−∞
0
√x e−ikx √1 eik x dx
2π
2π
1
2π
R∞
1
2π
R∞
0
xei(k −k)x dx
−∞
!
i(k0 −k)x
e
dx
−∞
Damit erhalten wir:
=
d
= iδ 0 (k − k 0 ) = iδ(k − k 0 ) dk
d
x̂ |g(k)i = i g(k)
dk
(2.36)
Schließlich folgt die Darstellung von x̂ und k̂ in der Eigenbasis und der Eigenbasis des
anderen Operators:
x̂-Basis k̂-Basis
d
x̂f (x) = xf (x) x̂f (k) = i dk
f (k)
d
k̂f (x) = −i dx
f (x) k̂f (k) = kf (k)
Für den Kommutator zwischen x̂ und k̂ gilt in der x-Basis:
OR
d
x̂k̂ |f i −→ −ix dx
f (x)
OR
d
k̂x̂ |f i −→ −i dx
(xf (x))
1
In Gleichungen mit OR bezeichnet.
25
2 Die Postulate der Quantenmechanik
sodass
h
i
OR
d
d
x̂, k̂ |f i −→ −ix dx
f + ix dx
f + if = if
h
i
→ iÎ |f i ⇒ x̂, k̂ = iÎ
für beliebige Funktionen des Hilbertraumes.
2.3 Diskussion der Postulate
1. Postulat: Der Zustand eines Teilchens wird durch einen ket im Hilbertraum beschrieben, d.h. die Zustände müssen entweder auf eins oder die Deltadistribution normierbar sein. Dies wirft sofort die Frage auf, weshalb man zur Beschreibung eines Teilchens, welches klassisch zwei Freiheitsgrade besitzt, eine Wellenfunktion
(d.h. den Zustand im Ortsraum) heranzieht. Zunächst sei gesagt, dass der ket |Ψi
die Wahrscheinlichkeitsamplitude, wie sie im Doppelspaltexperiment auftritt, beschreibt. Nun wenden wir uns der Frage zu, welchen Wert eine Messgröße annimmt.
Im klassischen Referenzsystem sei die Messgröße gegeben durch ω(x, p). Damit können
wir gemäß den Postulaten II und III folgendermaßen vorgehen:
Schritt 1: Konstruiere den Operator Ω̂ gemäß
Ω̂ = ω(x → x̂, p → p̂)
Schritt 2: Bestimme die orthogonalen Eigenvektoren |ωi i und die zugehörigen Eigenwerte ωi von Ω̂
Schritt 3: Entwicklung von |Ψi in der Eigenbasis von Ω̂
X
|Ψi =
|ωk i hωk |Ψi
k
Schritt 4: Die Wahrscheinlichkeit P (ω) den Messwert zu erhalten ist gegeben durch
P (ω) ∝ |hω|Ψi|2 = hΨ|ωi hω|Ψi
D
E
=
Pˆω ΨPˆω Ψ
mit
Pˆω = |ωi hω| = P̂ω2
Aus diesem Rezept lassen sich bereits weitreichende physikalische Konsequenzen ableiten:
• Man kann nur Wahrscheinlichkeitsaussagen für das Ergebnis einer Messung machen; die einzig möglichen Messergebnisse sind Eigenwerte von Ω̂, die wegen der
Hermitezität von Ω̂ reell sind.
26
2 Die Postulate der Quantenmechanik
• Die absolute Wahrscheinlichkeit P (ωi ) ist gegeben durch
|hωi |Ψi|2
P (ωi ) = X
|hωj |Ψi|2
j
|
P
{z
=
|ωi i normiert
|hωj |Ψi|2
hΨ|Ψi
| {z }
hΨ|Î |Ψi
}
j hΨ|ωj ihωj |Ψi
• Falls |Ψi ein Eigenzustand |ωi i ist, erhält man mit Wahrscheinlichkeit 1 den Messwert ωi , da die Skalarprodukte mit sonstigen Termen ωj , j 6= i, ≡ 0 sind.
• Falls |Ψi eine Linearkombination von |ω1 i und |ω2 i ist, d.h:
α |ω1 i + β |ω2 i
1
· (α |ω1 i + β |ω2 i)
|Ψi = q
=
N
|α|2 + |β|2
erhalten wir das Resultat ω1 mit der Wahrscheinlichkeit
|β|2
,
N2
|α|2
N2
oder das Resultat ω2
wobei hωi |ωj i = δij gilt.
mit der Wahrscheinlichkeit
Ein solches Resultat ist aus der klassischen Physik nicht bekannt!
• Wenn wir an der Messgröße oder Observablen Λ̂ statt an Ω̂ interessiert sind, so
können wir auch weiterhin die Basis von Ω̂ verwenden. Für die Matrixelemente von
Λ̂ gilt dann
D E
Λ̂ij = ωi Λ̂ωj
Anschließend müssen die Eigenvektoren |λi i in der Eigenbasis von Ω̂ bestimmt und
hλi |Ψi errechnet werden.
Bei dem beschriebenen Weg sind folgende Komplikationen möglich:
1. Die Ersetzung x → x̂, p → p̂ ist nicht eindeutig. Betrachte z.B. ω(x, p) = xp = px,
so gibt es zwei Möglichkeiten, da die Operatoren nicht vertauschen. Für dieses
Problem bietet eine Symmetrisierung des Operators,
Ω̂ =
1
(x̂p̂ + p̂x̂)
2
(2.37)
eine Lösung. Dies funktioniert aber nur, so lange x und p linear in dem betrachteten Ausdruck vorkommen. Bleiben dennoch mehrere Alternativen zur Auswahl,
dann lässt sich der gültige Quantenoperator durch Vergleich mit Experimenten bestimmen.
2. Ω̂ ist entartet.
Sei ω = ω1 = ω2 ein entarteter Eigenwert. Wie sieht dann P (ω) aus?
27
2 Die Postulate der Quantenmechanik
Dazu konstruieren wir zwei orthogonale Eigenvektoren zum Eigenwert ω. Die Gesamtwahrscheinlichkeit den Wert ω zu messen beträgt dann
(1) 2 (2) 2
ω Ψ + ω Ψ P (ω) =
hΨ|Ψi
Dies lässt sich durch den Projektionsoperator
ED
ED
Pˆω = ω (1) ω (1) + ω (2) ω (2) in folgender Art und Weise ausdrücken:
D E
E
D
ΨPˆω Ψ
Pˆω ΨPˆω Ψ
P (ω) =
=
hΨ|Ψi
hΨ|Ψi
(2.38)
d.h. P (ω) wird durch den Anteil von |Ψi bestimmt, der im Eigenraum von ω liegt.
3. Das Eigenwertspektrum von Ω̂ ist kontinuierlich.
Wir können, wie im vorherigen Abschnitt erläutert, |Ψi in einer kontinuierlichen
Basis darstellen.
Z
|Ψi = |ωi hω|Ψi dω
(2.39)
Die Funktion Ψ(ω) = hω|Ψi beschreibt dann die Wahrscheinlichkeitsamplitude
ein Teilchen im Eigenzustand von Ω̂ mit Eigenwert ω zu finden. Entsprechend ist
P (ω) = |hω|Ψi|2 die Wahrscheinlichkeitsdichte bei ω, bzw. P (ω)dω die Wahrscheinlichkeit ein Resultat zwischen ω und ω + dω zu erhalten. Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation macht eine Normierung notwendig:
R
P (ω)dω =
=
R
R
|hω|Ψi|2 dω = hΨ|ωi hω|Ψi dω
D E
ΨÎ Ψ
= hΨ|Ψi = 1
(2.40)
Bemerkung:
Eine Deutung für Hilbertraumfunktionen, die auf die δ-Distribution normiert sind,
wird auf später verschoben.
Ein weiteres Beispiel für einen Operator mit kontinuierlichem Eigenspektrum ist
der Ortsoperator. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion |Ψ(x)|2 gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an, das Teilchen am Ort x zu finden.
Vergleich der Zustände in der klassischen Mechanik und der
Quantenmechanik
KM: Ein Teilchen hat zu einem festen Zeitpunkt eine feste Position x
28
2 Die Postulate der Quantenmechanik
QM: Wir müssen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten für alle möglichen Positionen
bercksichtigen.
KM: Wir müssen neben Ort auch Impuls bestimmen.
QM: Wir geben wieder die Wahrscheinlichkeiten für einen bestimmten Impuls p
an. Diese Wahrscheinlichkeit ist aber bereits durch |Ψi festgelegt!
4. Es existieren quantenmechanische Messgrößen, die keine klassische Entsprechung
haben. Ein Beispiel ist der Spin mikroskopischer Teilchen, ein Drehimpuls, der mit
den Translationsfreiheitsgraden des Teilchens verknüpft ist.
2.3.1 Messungen in der Quantenmechanik
Wie wir bereits diskutiert haben,Pwird durch den quantenmechanischen Messprozess der
Zustand eines Teilchens |Ψi = ω |ωi hω|Ψi auf einen Eigenzustand des Operators Ω̂
abgebildet.
Um dieses Phänomen zu veranschaulichen, betrachten wir ein Teilchen im Impulseigenzustand |pi. Den Impulseigenwert des Teilchens kann man experimentell z.B. durch
Comptonstreuung bestimmen, d.h. durch Streuung eines Photons an einem mikroskopischen Teilchen.
Abbildung 2.1: Compton-Streuung in einer Dimension mit Energie- und Impulserhaltung
Impuls- und Energieerhaltung
IE : cp0 = cp + ~(ω + ω 0 ) ⇔ p0 − ~k 0 = p
p+ ~k
0
0
EE : E = E + ~(ω − ω )
E=
p2 c2 + m2 c4
Für den Anfangs- und Endzustand erhalten wir das Ergebnis:
r
m2 c4 ~ω − ~ω 0 ~ω + ~ω 0
1+ 2 0
−
cp =
~ ωω
2
2
r
0
2
4
~ω + ~ω 0
m c ~ω − ~ω
cp0 =
+
1+ 2 0
~ ωω
2
2
Durch die obigen Gleichungen sind also ω 0 und p0 eindeutig bestimmt. Man sieht, dass
die Impulsänderung des Teilchens wie bei der klassischen Messung für ω → 0 beliebig verkleinert werden kann. Aber: Man kann dann den Ort des Teilchens nicht mehr
29
2 Die Postulate der Quantenmechanik
genau bestimmen (vgl. Mikroskopie mit langwelligem
Licht). Wenn wir nun OrtsmesR
sungen durchführen, dann wird der Zustand p = |xi hx|pi dx in einen Eigenzustand |xi
gezwungen und damit in jedem Fall geändert.
Um beispielsweise bei der Mikroskopie über die Grenzen eines Lichtmikroskopes hinweg
höher auflösende Bilder zu erhalten muss kurzwelligeres, energiereicheres Licht verwendet
werden, z.B. Röntgenstrahlung. Diese genauere Ortsmessung, erreicht durch eine höhere
Frequenz, wird durch eine größere Impulsdifferenz bestraft.
Vorhersagen der Quantenmechanik
Um die Vorhersagen der Quantenmechanik zu prüfen, müssen wir in der Lage sein,
1. Teilchen in einem wohldefinierten Zustand zu präparieren
2. die Wahrscheinlichkeitsaussagen zu jeder Zeit (experimentell) zu verifizieren.
Aus der Diskussion des Messprozesses geht bereits eine Möglichkeit zur Präparation
hervor. Wir wissen, dass nach der Messung des Eigenwertes ω der Zustand |ωi vorliegt,
d.h. während die Messung nur partiell Auskunft über den Zustand vor der Messung gibt,
legt sie den Zustand nach der Messung (bis auf Entartung) eindeutig fest.
Präpariere zuerst mit einem Operator Ω̂. Wenn wir nun die Messung einer Observablen
Λ̂ anschließen, so betrachte |ωi in der Eigenbasis von Λ̂, z.B.:
r
r
X
1
2
|λ1 i +
|λ2 i + 0 ·
|λi i
|ωi =
3
3
i
Die Quantenmechanik sagt voraus, dass wir den Eigenwert λ1 mit der Wahrscheinlichkeit 13 und den Eigenwert λ2 mit der Wahrscheinlichkeit 32 messen. Mögliche Ergebnisse
sind also λ1 und λ2 , während alle anderen Eigenwerte die Theorie verletzen würden.
Es ist gleichermaßen klar, dass der Zustand |ωi nicht durch eine einzige Messung charakterisiert werden kann. Wir brauchen also ein Ensemble von N Teilchen, die wir alle in
dem Zustand |ωi präparieren. Es werden etwa N3 Messungen den Wert λ1 und 2N
3 Messungen den Wert λ2 liefern. Die relative Abweichung wird mit wachsender Ensemblegröße
kleiner.
2.3.2 Der quantenmechanische Erwartungswert
Im Vergleich zur Bestimmung des Eigenwertspektrums ist es weitaus weniger ambitioniert, den Erwartungswert (Mittelwert) einer Messgröße für ein gegebenes Ensemble zu
berechnen:
D E
P
Ω̂
=
i P (ωi )ωi =
2
i |hΨ|ωi i| ωi
=
P
=
P
=
i hΨ|ωi i hωi |Ψi ωi
30
2 Die Postulate der Quantenmechanik
Mit Ω̂ |ωi i = ωi |ωi i erhalten wir:
D E
P
Ω̂
=
i hΨ| Ω̂ |ωi i hωi |Ψi = hΨ| Ω̂Î |Ψi
(2.41)
⇒
D E
Ω̂ = hΨ| Ω̂ |Ψi
als den Erwartungswert des Operators Ω̂ im Zustand |Ψi.
Bemerkung:
1. Um den Erwartungswert eines Operators zu berechnen, müssen wir also nur eine
Basisdarstellung von |Ψi und Ω̂ kennen. Es ist nicht notwendig, Ω̂ zu diagonalisieren.
2. WennDsich
E das Teilchen im Eigenzustand |ωi befindet, entspricht der Erwartungswert Ω̂ dem zugehörigen Eigenwert ω.
3. Der Begriff Erwartungswert entspricht der Mittelung über ein Ensemble. Die Ergebnisse der Einzelmessung sind die Eigenwerte des Operators.
Die Unsicherheit des Erwartungswertes ist gegeben durch:
2
D E 2
D E D E2
∆Ω̂ = hΨ| Ω̂ − Ω̂ Î |Ψi = Ω̂2 − Ω̂
(2.42)
Verträgliche und unverträgliche Variable
Bei der Diskussion des Messprozesses haben wir gesehen, dass das Resultat einer Messung jedem beliebigen Eigenwert ωi entsprechen kann, wenn das Skalarprodukt zwischen
Eigenvektor |ωi i und Zustand |Ψi nicht verschwindet.
Andererseits können wir durch den Messprozess den Zustand eines Teilchens in einer
eindeutigen Art und Weise festlegen.
Wir wollen nun sehen, wie sich dieses Konzept für mehr als eine quantenmechanische
Observable verallgemeinern lässt. Dazu betrachten wir zunächst 2 Operatoren Λ̂ und Ω̂,
wobei sich folgende Fragestellungen ergeben:
1. Gibt es eine Möglichkeit, einen Zustand so zu präparieren, dass die Messung von
Λ̂, Ω̂ eindeutig zu dem Ergebnis λ, ω führt?
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit können wir einen Zustand präparieren, wenn der
Ausgangszustand |Ψi ist?
Offensichtlich wird die Problemstellung, wenn man die Operatoren Ω̂ und Λ̂ hintereinander auswertet.Nach der Messung von ω ist das Teilchen im Zustand |ωi.Wir können
dann diejenigen herausgreifen, für die die Anwendung von Λ̂ den Wert λ ergibt.
Das Problem ist aber, dass die erneute Anwendung von Ω̂ nicht automatisch den
Eigenwert ω hervorbringt, da |λi nicht Eigenvektor von Ω̂ sein muss. Wir sehen also,
dass wir Bedingungen an die Operatoren Λ̂ und Ω̂ stellen müssen.
Wir unterscheiden die Fälle:
31
2 Die Postulate der Quantenmechanik
h
i
A: Verträgliche Observable Ω̂, Λ̂ = 0
h
i
B: Unverträgliche Observable Ω̂, Λ̂ = Operator mit Eigenwert 6= 0
Kategorie A: Falls die beiden Operatoren vertauschen, besitzen sie eine gemeinsame
Eigenbasis. Jedem Element dieser Eigenbasis |λωi ist für Λ̂, Ω̂ jeweils ein eindeutiger Eigenwert zugeordnet.
Für verträgliche Observable gilt dann:
1. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung die Werte ω, λ zu erhalten, ist
P (λ, ω) = |hλω|Ψi|2 = P (ω, λ)
wobei |λωi einen nicht-entarteten gemeinsamen Eigenvektor von Λ̂ und Ω̂
bezeichnet.
2. Entartete Eigenvektoren: Die Reihenfolge der Messung kann den Endzustand
verändern, aber es gilt
P (ωi , λj ) = P (λj , ωi )
3. Vollständiger Satz vertauschbarer Observablen: Durch sukzessive Anwendung
dieser Operatoren lässt sich ein eindeutiger Endzustand ohne Entartung präparieren.
Kategorie B: Wir können hier das berühmte Beispiel
~ ∂
~ ∂
~
−
x)f (x) = (xf 0 − f − xf 0 ) = ~i
i ∂x
i ∂x
i
anführen. Es ist offensichtlich, dass es keinen nicht-trivialen Zustandsvektor gibt,
für den i~ |Ψi = 0 · |Ψi gilt (man kann keinen Eigenzustand des Operators präparieren sodass das Teilchen bei 0 positioniert ist und gleichzeitig den Impuls scharf
messen).
Es ist also nicht möglich, auch nur einen Zustandsvektor anzugeben, für den beide
Operatoren auf ein eindeutiges Ergebnis führen. Jeder Versuch, x̂ eindeutig zu
präparieren, führt zu einer Unsicherheit bei der Messung von p̂.
[x̂, p̂] = i~ ⇒ (x
Systeme mit mehreren Freiheitsgraden
Bislang hatten wir die Postulate für eindimensionale Einteilchensysteme formuliert. Für
Systeme mit mehreren Freiheitsgraden reicht es, das Postulat II zu modifizieren. Es
lautet nun:
Postulat II: Entsprechend den N -Koordinaten des klassischen Systems x1 , . . . , xN
existieren in der Quantenmechanik N Operatoren x̂1 , . . . , x̂N , die miteinander vertauschen. Die simultanen Eigenvektoren |x1 , . . . , xN i sind auf die δ-Distribution
normiert, d.h.
N
0
Y
0
x1 , . . . , xN x 1 , . . . , x N =
δ(xk − x0 k )
(2.43)
k=1
32
2 Die Postulate der Quantenmechanik
Analog zum eindimensionalen Fall gilt:
|Ψi →
hx1 , . . . , xN |Ψi
= Ψ(x1 , . . . , xN )
x̂i |Ψi → hx1 , . . . , xN | x̂i |Ψi = xi Ψ(x1 , . . . , xN )
(2.44)
∂
p̂i |Ψi → hx1 , . . . , xN | p̂i |Ψi = −i~ ∂x
Ψ(x1 , . . . , xN )
i
Die Ersetzung von Orts- und Impulsoperator geschieht komponentenweise.
Bemerkung:
Der Übergang xi → x̂i , pi → p̂i kann nur in kartesischen Koordinaten in einfacher Weise
vollzogen werden. Nach der Ersetzung der klassischen Variablen durch quantenmechanische Operatoren, kann man natürlich durch Basistransformation auf ein zweckmäßigeres
Koordinatensystem übergehen.
Beispiel: Klassische dynamische Variable (harmonischer Oszillator)
ω=
p2
+ r2
2m
Der korrespondierende Quantenoperator Ω̂ ergibt sich dann aus der komponentenweisen
Ersetzung von r und p:
p̂2x + p̂2y + p̂2z
+ x̂2 + ŷ 2 + ẑ 2
2m
In der Ortsdarstellung erhalten wir:
2
~2
∂
∂2
∂2
2
2
2
+ x + y + z Ψω (x, y, z) = ωΨω (x, y, z)
−
+
+
2m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
Ω̂ =
bzw. in Kugelkoordinaten:
~2
−
2m
∂
∂r
∂
Ψω
r2 ∂r
+
r2
∂
∂Θ
!
∂2
∂
Ψ
Ψω
sin Θ ∂Θ
∂Φ2 ω
+ 2 2
+ r2 Ψω = ωΨω
r2 sin(Θ)
r sin Θ
Offensichtlich gibt es keine Vorschrift, die diesen Operator mit der klassischen Funktion
p2Θ
p2Φ
1
2
pr + 2 + 2 2
ω=
+ r2
2m
r
r sin Θ
verknüpft.
2.4 Die Schrödingergleichung
Nach dem 4. Postulat der Quantenmechanik wird die Zeitentwicklung eines Zustands
durch die Schrödingergleichung
∂
|Ψ(t)i = Ĥ |Ψ(t)i
∂t
beschrieben. Wir wollen diese Gleichung nun im Detail diskutieren.
i~
33
(2.45)
2 Die Postulate der Quantenmechanik
2.4.1 Aufstellen der Schrödingergleichung
Um die Schrödingergleichung aufzustellen, muss man in der Hamiltonfunktion die Ersetzung x → x̂, p → p̂ machen.
1. Harmonischer Oszillator
H(x, p) =
bzw. in 3D
m
p̂2
m
p2
+ ω 2 x2 → Ĥ =
+ ω 2 x̂2
2m
2
2m
2
p̂2x + p̂2y + p̂2z
m
+ ω 2 x̂2 + ŷ 2 + ẑ 2
Ĥ =
2m
2
2. Teilchen im elektromagnetischen Feld
2
1 H(x, p) = 2m
p − qc A(r, t) + qΦ(r, t)
Ĥ =
1
2m
p̂2 −
q
c
p̂Â + Âp̂ +
q2 2
Â
c2
+ q Φ̂(r, t)
Allgemeiner Lösungsansatz
1. Zeitunabhängiger Hamiltonoperator
i~
∂
|Ψi = Ĥ |Ψi
∂t
Diese Gleichung kann analog zum Problem gekoppelter Oszillatoren gelöst werden.
Diese Tatsache schließt mit ein, dass wir die Zeitentwicklung von |Ψi durch den
Zeitentwicklungsoperator Û(t) darstellen können:
|Ψ(t)i = Û(t) |Ψ(t = 0)i
(2.46)
Wir wollen nun Û explizit konstruieren. Dazu betrachten wir die Eigenzustände
|Ei von Ĥ mit
Ĥ |Ei = E |Ei
(2.47)
Diese Gleichung nennt man zeitunabhängige Schrödingergleichung. Wenn wir nun
annehmen, dass wir die Gleichung 2.47 gelöst haben, können wir den Zustand |Ψi
in der Eigenbasis von Ĥ darstellen:
X
X
|Ψ(t)i =
|Ei hE|Ψ(t)i =
aE (t) |Ei
| {z }
aE (t)
∂
Die Bestimmungsgleichung für aE (t) ergibt sich durch Anwendung von i~ ∂t
− Ĥ:
0=
X
(i~ȧE (t) − aE (t)E) |Ei
E
34
2 Die Postulate der Quantenmechanik
Obige Gleichung ist erfüllt, falls gilt:
i~ȧE (t) = EaE (t) ⇒ aE (t) = aE (0)e−i
Et
~
Dieses Ergebnis lässt sich überführen in
hE|Ψ(t)i = hE|Ψ(0)i e−i
⇒ Ψ(t) =
P
E
Et
~
|Ei hE|Ψ(0)i e−i
Et
~
Damit lautet der Zeitentwicklungsoperator
Û(t) =
X
|Ei hE| e−i
Et
~
(2.48)
E
Bemerkung:
Falls das Eigenwertspektrum von Ĥ entartet ist, verallgemeinert sich der Ausdruck
für den Zeitentwicklungsoperator
Û (A) =
X αmax
X(E)
E
|Eα i hEα | e−i ~ t
(2.49)
α=0
E
wobei der Index α die verschiedenen Eigenzustände zu einem gegebenen Eigenwert
E unterscheidet. Für einen kontinuierliches System müssen wir die Summe durch
Integrale ersetzen.
E
Die Normalmoden |E(t)i = |Ei e−i ~ t nennt man stationäre Zustände, da die Wahrscheinlichkeitsverteilung P (ω) für Eigenwerte von Ω̂ zeitlich invariant bleibt:
P (ω, t) = |hω|Ψ(t)i|2 = |hω|E(t)i|2
E 2
= hω|Ei e−i ~ t = |hω|Ei|2 = P (ω)
Häufig wird der Zeitentwicklungsoperator (bzw. Propagator) auch in der Form
t
Û(t) = e−i ~ Ĥ
(2.50)
angegeben. Für den Fall, dass die Exponentialreihe konvergiert, kann man aus
dieser Darstellung folgern, dass
a) Û(t) unitär ist, da Ĥ hermitesch ist,
b) die Norm von |Ψ(t)i zeitlich invariant ist,
35
2 Die Postulate der Quantenmechanik
c) die Zeitentwicklung einer Rotation des Zustandsvektors im Hilbertraum entspricht.
Aus dieser Interpretation lässt sich auch eine alternative Formulierung der
Quantenmechanik herleiten, denn es ist möglich, zu einer Basis überzugehen,
welche mit der Zeit so rotiert, dass die Zustandsvektoren zeitlich konstant
sind. Die Operatoren werden dadurch also zeitabhängig.
Heisenbergbild
zeitabhängig
zeitunabhängig
Operatoren
Zustände
Schrödingerbild
zeitunabhängig
zeitabhängig
Die Erwartungswerte beider Bilder stimmen also überein.
2. Betrachten wir nun den Fall explizit zeitabhängiger Operatoren (also auch im
Schrödingerbild zeitabhängige Operatoren). Für diese Art von Operatoren kann
man keinen allgemeingültigen Lösungsansatz angeben.
Eine Problemstellung, die häufig vorkommt und zu der man ein systematisches
Approximationsschema angeben kann, ist das folgende:
Ĥ(t) = Ĥ0 + Ĥ1 (t)
(2.51)
wobei Ĥ0 ein zeitunabhängiger Operator, und Ĥ1 (t) eine kleine zeitabhängige Störung ist. Man kann aber allgemeingültige Aussagen über den Zeitentwicklungsoperator treffen.
Zerlege ein Zeitintervall [0, t] in Abschnitte der Länge ∆ =
Ordnung von ∆ gilt dann
t
N,
(N 1). In erster
∂ |Ψ(t)i |Ψ(t)i = |Ψ(0)i + ∆
∂t
0
i∆
Ĥ(0) |Ψ(0)i
= |Ψ(0)i −
~ i∆
= 1−
Ĥ(0) |Ψ(0)i
~
mit Ĥ(t) = Ĥ(0) + ∆
∂ Ĥ
+ O(∆2 )
∂t
Damit ergibt sich als Lösung einer Differentialgleichung, die man in erster Ordnung
von ∆ aufstellen kann
i∆
(2.52)
|Ψ(∆)i = e[− ~ Ĥ(0)] |Ψ(0)i
Wenn wir nun die Zeitentwicklung über weitere Intervalle durchführen, ergibt sich
|Ψ(t)i =
N
−1
Y
i∆
e[− ~ Ĥ(n∆)] |Ψ(0)i
n=0
36
(2.53)
2 Die Postulate der Quantenmechanik
Bemerkung:
h
i
i) Im allgemeinen vertauschen Ĥ(t1 ) und Ĥ(t2 ) nicht (es gilt also Ĥ(t1 ), Ĥ(t2 ) 6=
0). Man kann also die Exponenten der e-Funktion nicht einfach summieren.
Formal: zeitgeordnetes Integral
Z
i t 0 0
Û(t) = T̂ exp −
dt Ψ(t )
~ 0
N
−1
Y
i
= lim
exp − Ĥ(n∆)∆
n→∞
~
n=0
Solche Integrale sind für konkrete Probleme nur schwer zu lösen.
ii) Auch für zeitabhängige Operatoren bleibt Û(t) unitär:
Û(t3 , t1 ) = Û(t3 , t2 )Û(t2 , t1 )
Û ∗ (t2 , t1 ) = Û −1 (t2 , t1 ) = Û(t1 , t2 )
37
3 Einfache Probleme in einer Dimension
Die stationäre Schrödingergleichung in der Ortsdarstellung lautet
~2 d 2
Ĥ |ΨE i = E |ΨE i →
−
+ V (x) ΨE (x) = EΨE (x)
2m dx2
p̂2
wobei Ĥ =
+ V (x̂)
2m
Damit ergibt sich die einfachste Form der Schrödingergleichung für ein freies Teilchen
(V (x̂) = const):
i~
∂ |Ψi
p̂2
= Ĥ |Ψi =
|Ψi
∂t
2m
Die stationären Zustände haben die Form |Ψ(t)i = |Ei e−
Schrödingergleichung die Form
Ĥ |Ei =
iE
t
~
(3.1)
, so dass die obige stationäre
p̂2
|Ei = E |Ei
2m
(3.2)
erhält. Da die Eigenzustände von p̂2 auch Eigenzustände von p̂ sind, gilt offenbar
p2
p̂2
|pi =
|pi = E |pi
2m
2m
√
p = ± 2mE
(3.3)
(3.4)
Wir erhalten also zwei orthogonale Eigenzustände zum Eigenwert E
E
E
√
√
|E, +i = p = 2mE
|E, −i = p = − 2mE
Die Eigenvektoren beschreiben in
√ völliger Analogie zur klassischen Mechanik ein Teilchen, das sich mit Impulsbetrag 2mE in positiver beziehungsweise negativer Richtung
bewegt.
Aber auch die Linearkombination
E
E
√
√
|Ψi = α p = 2mE + β p = − 2mE
ist Lösung der Schrödingergleichung und beschreibt ein Teilchen, welches in positiver
oder negativer Richtung bewegend detektiert werden kann.
38
3 Einfache Probleme in einer Dimension
Der Zeitentwicklungsoperator ist hier
Z
Û(t) =
p̂2
dp |pi hp| e−i 2m~ t
(3.5)
mit der Matrixdarstellung in der Ortsbasis
E
D Û(x, t, x ) =
x̂Û(t)x0
r
m im(x−x0 )2
=
e 2~t
2iπ~t
0
(3.6)
Die Zeitentwicklung für einen beliebigen Anfangszustand lautet dann
Z
Ψ(x, t) =
dx0 Û(x, t, x0 )Ψ(x0 , 0)
(3.7)
wobei mit Ψ(x0 , 0) = δ(x0 − x00 )
Ψ(x, t) = Û(x, t, x00 )
folgt.
(3.8)
3.1 Einige allgemeine Eigenschaften von Eigenfunktionen
Eigenfunktionen zu einer Energie E in einem beliebigen Potential V (x) erfüllen die Gleichung
2m(E − V )
Ψ00 = −
Ψ
(3.9)
~2
Falls V (x) stetig ist, so ist auch Ψ00 (x) stetig und daher auch Ψ0 (x) und Ψ(x) (ohne
Beweis). Sollte sich V (x) in einem kleinen Intervall unstetig ändern, bedeutet dies, dass
Ψ00 (x) in diesem Bereich eine Diskontinuität aufweist, nicht aber Ψ0 (x) und Ψ(x). Angenommen das Potential hat einen Sprung unendlicher Amplitude, so ist es möglich, dass
sowohl Ψ00 (x) als auch Ψ0 (x) nicht stetig sind. Aber selbst wenn dies für die Funktion
Ψ0 (x) der Fall ist, so bleibt ihr Integral über diese Stelle stetig.
3.2 Ein Teilchen im stückweise konstanten Potential
Wir betrachten Schrödingergleichungen der Form
d2
2m
Ψ(x) + 2 (E − V )Ψ(x) = 0
2
dx
~
Zur Lösung der Differentialgleichung betrachten wir folgende zwei Fälle:
(3.10)
1. Fall: (E − V ) < 0
Die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet
r
−κx
Ψ(x) = Ae
κx
+ Be , wobei κ =
39
2m(V − E)
~2
(3.11)
3 Einfache Probleme in einer Dimension
2. Fall: (E − V ) > 0
Für diesen Fall lautet die allgemeine Lösung des Problems
r
2m(E − V )
Ψ(x) = Aeiκx + Be−iκx , mit κ =
~2
(3.12)
Wir wollen nun einige spezielle Potentialformen untersuchen.
3.2.1 Der Potentialkasten
Betrachten wir nun also Potentiale der Form

 0 falls |x| ≤
V (x) =

∞ falls |x| >
L
2
L
2
Abbildung 3.1: Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden
Betrachten wir die Lösungen auf den Teilbereichen I-III (vgl. Bild 3.1)
I) Da auf diesem Teilbereich (E −V ) < 0 gilt, ist Gleichung 3.11 relevant. Die Wellenfunktion muss normierbar sein. Daher folgt, dass A ≡ 0 sein muss (der Exponent
der in (3.11) zu A gehörenden e-Funktion ist positiv und geht gegen ∞). Der Faktor
B hingegen kann beliebig gewählt werden, da die e-Funktion hier gegen Null geht.
Die Betrachtung für Bereich III läuft analog zum ersten Bereich.
II) q
Für einen gegebenen Wert E > 0 ist nun Gleichung 3.12 zuständig, wobei κ =
2mE
. Aus der Stetigkeit der Wellenfunktion folgen zwei Randbedingungen:
~2
ΨII (− L2 ) = ΨI (− L2 ) = 0
ΨII ( L2 ) = ΨIII ( L2 ) = 0
40
3 Einfache Probleme in einer Dimension
wobei die Indizes die Lösungen auf den verschiedenen Teilbereichen bezeichnen.
Die Randbedingungen liefern also zwei Gleichungen für die Koeffizienten A und B.
L
L
Ae−iκ 2 + Beiκ 2 = 0
L
L
Aeiκ 2 + Be−iκ 2 = 0
Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass das Gleichungssystem genau dann eine
nichttriviale Lösung besitzt, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix verschwindet, also
e−iκL − eiκL = −2i sin κL = 0
Dies ist nur der Fall, wenn κ =
π
nπ
L ,
n ∈ N. Die Eigenfunktionen ergeben sich aus
π
Ae−in 2 + Bein 2 = 0
A = −einπ · B = (−1)n+1 · B
Damit erhalten wir zwei Familien von Eigenfunktionen
 q
2
nπx

n = 2, 4, 6, . . .
L sin L
q
Ψn (x) =
2

cos nπx n = 1, 3, 5, . . .
L
(3.13)
L
Schließlich lassen sich die Energieeigenwerte bestimmen als
En =
~2 κ2n
(~πn)2
=
2m
2mL2
(3.14)
Sie sind also quantisiert. Dies ist allgemein für gebundene Zustände der Fall als Folge der Anpassung an die Randbedingungen. Eine weitere Eigenschaft des Problems
ist, dass die Energie des Grundzustandes (n = 1) verschieden von Null ist. Dies
ist eine Konsequenz der Unschärferelation: das Teilchen ist im Potentialtopf lokalisiert, so dass gilt |x| ≤ L2 . Damit können wir eine Abschätzung für das niedrigste
Energieniveau gewinnen:
Ĥ =
p̂2
2m
D E
Ĥ
=
=
2
p̂
=
2m
(∆p)2
2m
2 p̂ − Î hp̂i
2m
wobei der Erwartungswert des Impulses offenbar verschwindet. Wäre dies nicht der
Fall, so wäre das Teilchen nicht für alle Zeit im Potentialtopf gefangen.
41
3 Einfache Probleme in einer Dimension
Mit der Unschärferelation ∆p∆x ≥
~
2
gilt dann
D E
Ĥ ≥
~2
8m(∆x)2
Wegen der Lokalisierung im Potentialtopf gilt ∆x ≤
D E
Ĥ ≥
L
2,
so dass
~2
E1
= 2
2
2mL
π
Wenn wir Ψn (x) durch den ket |ni ausdrücken, so erhalten wir für den Zeitentwicklungsoperator
Û(t) =
∞
X
i
|ni hn| e− 2m~ (
~πn 2
L
)
(3.15)
n=1
mit der Matrixdarstellung
∞
E
D X
i ~2 π 2 n2
0
0
∗ 0
t
xÛ(t)x = Û(x, t; x ) =
Ψn (x)Ψn (x ) exp −
~ 2mL2
(3.16)
n=1
3.2.2 Wahrscheinlichkeitserhaltung
Die Wahrscheinlichkeitserhaltung kann in Form einer Kontinuitätsgleichung formuliert
werden. Da wir das Konzept auch im Folgenden gebrauchen werden, wird es direkt in 3
Dimensionen diskutiert. Die Erhaltungsgröße in der Quantenmechanik ist die Gesamtwahrscheinlichkeit, ein Teilchen an einem beliebigen Ort zu finden:
ZZZ
1 = hΨ(t)|Ψ(t)i =
hΨ(t)|x, y, zi hx, y, z|Ψ(t)i d3 r
V
ZZZ
∗
3
ZZZ
Ψ (r, t)Ψ(r, t)d r =
=
P (r, t)d3 r
V
V
Die Funktion Ψ erfüllt die Schrödingergleichung, so dass
∂
~2 2
Ψ = −
∇ Ψ+VΨ
∂t
2m
∂
~2 2 ∗
− i~ Ψ∗ = −
∇ Ψ + V Ψ∗
∂t
2m
i~
bzw.
(3.17)
(3.18)
Wenn wir (3.17) mit Ψ∗ und (3.18) mit Ψ multiplizieren und die Differenz der beiden
Gleichungen bilden, erhalten wir
42
3 Einfache Probleme in einer Dimension
2
∂ ∗
~
i~ ∂t
Ψ Ψ = − 2m
Ψ∗ ∇2 Ψ − Ψ∇2 Ψ∗
⇒
∂
∂t P (r, t)
~
= − 2mi
∇(Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ) = −∇j
wobei
j=
~
(Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ )
2mi
(3.19)
die Wahrscheinlichkeitsstromdichte bezeichnet. Das Erhaltungsgesetz lautet damit
Z
Z
d
3
P (r, t)d r = −
jds
(3.20)
dt
R3
S∞
Bemerkung: Typischerweise gilt für Wellenfunktionen, dass
3
lim r 2 Ψ = 0
r→∞
so dass das Integral
Z
Ψ∗ Ψr2 drdΩ
beschränkt ist und das Oberflächenintegral von j auf S∞ verschwindet.
3.2.3 Streuzustände am Stufenpotential
Wir betrachten ein Potential der Form
43
3 Einfache Probleme in einer Dimension
( 0,
x<0
I
V (x) =
V0 , x ≥ 0 II
Klassisch würde ein Teilchen mit der Energie E < V0 an der Potentialstufe reflektiert
werden, während ein Teilchen mit E > V0 die Potentialstufe mit verringerter Geschwindigkeit passiert. Zur Analyse der quantenmechanischen Potentialstreuung betrachten
wir ein Gaußpaket. Das Paket sei zur Zeit t = 0 um die Position x = −a lokalisiert, d.h
hxi = −a. Der mittlere Impuls des Teilchens sei p0 = ~k0 . Es gilt also:
ΨI (x, 0) = ∆2 π
− 1
4
eik0 (x+a) e−
(x+a)2
2∆2
Die Impuls- und Ortsunschärfe für das Paket lautet
∆
~
∆x = √ , ∆p = √
2
2∆
Wir betrachten den Fall, dass ∆ sehr groß ist, sodass das Teilchen einen wohldefinierten
~2 k 2
Impuls ~k0 und eine wohldefinierte Energie E0 = 2m0 besitzt.
Wir betrachten den Fall E0 > V0 :
Das Paket zerfällt an der Stufe in 2 Anteile, einen transmittierten und einen reflektierten
Anteil. Die beiden Anteile werden durch die Koeffizienten
R
R = |ΨR |2 d3 r t → ∞
(reflektierter Anteil)
T =
R
|ΨT |2 d3 r t → ∞ (transmittierter Anteil)
R+T =1
charakterisiert. Bei der Bestimmung von R und T gehen wir folgendermaßen vor:
(i) Bestimmung der normierten Eigenfunktionen ΨE (x) für den Hamiltonoperator
(ii) Bestimmung der Projektion a(E) = hΨE |ΨI i
E
(iii) Zeitentwicklung durch Multiplikation mit e−i ~ t
(iv) Identifikation ΨR , ΨT im Limes t → ∞, Berechnung von R und T
Schritt 1: In I lautet die Wellenfunktion:
r
ik1 x
ΨE (x) = Ae
−ik1 x
+ Be
, k1 =
In II:
r
ek2 x
ΨE (x) = Ce
−ik2 x
+ De
44
, k2 =
2mE
~2
2m(E − V0 )
~2
3 Einfache Probleme in einer Dimension
In II betrachten wir nur die transmittierte Welle, sodass D = 0 ist. Damit
erhalten wir bei x = 0:
← Stetigkeit von ΨE (x)
A+B =C
ik1 (A − B) = ik2 C ← Stetigkeit von Ψ0E (x)
⇒
B=
k1 −k2
k1 +k2 A
,
C=
2k1
k1 +k2 A
Bemerkung: Falls V0 = 0 ist, gilt k1 = k2 ⇒ B = 0 wie zu erwarten ist.
Die Lösung zur Energie, bzw. zur Wellenzahl k1 ist dann:
B −ik1 x
C ik2 x
Ψk1 (x) = A
e
+ e
Θ(−x) + e
Θ(x)
A
A

 1, x ≥ 0
mit Θ(x) =

0, x < 0
r
V0
k12 − 2m 2
und k2 =
~
ik1 x
Die Normierungskonstante lautet A =
√1 .
2π
Schritt 2: Wir müssen den Überlapp von Ψk1 und Ψk2 bestimmen:
a(k1 ) = hΨk1 |ΨI i =
=
√1
2π
+ √12π
R∞ e−ik1 x +
−∞
R∞
−∞
B ∗ ik1 x
e
A
Θ(−x)ΨI (x)dx+
C ∗ −ik2 x
e
Θ(x)ΨI (x)dx
A
Das 2. Integral verschwindet für die gewählten Anfangsbedingungen, da die
Amplitude für ΨI (x) für x > 0 zu vernachlässigen ist, weil die Amplitude
der Gaußfunktion an der Potentialstufe verschwindet. Weiterhin kann der 2.
Summand des 1. Integrals vernachlässigt werden, da wir den Anfangsimpuls
als scharf um ~k0 > 0 gewählt haben und somit die Anteile von Ψk1 , die sich
in negativer Richtung bewegen, orthogonal auf ΨI stehen.
1
a(k1 ) ≈ √
2π
Z∞
−ik1 x
e
ΨI (x)dx =
∆2
π
14
e−i
(k1 −k0 )2 ∆2
2
−∞
d.h. a(k1 ) ist einfach die Fouriertransformierte von ΨI (x).
45
eik1 a
3 Einfache Probleme in einer Dimension
Bemerkung: Für ∆ >> 1 ist a(k1 ) um k0 sehr stark gepeakt“.
”
Schritt 3:
Ψ(x, t) =
R∞
dk1 a(k1 )e−i
E(k1 )
t
~
−∞
=
∆2
4π 3
1 R∞
4
dk1 e−i
Ψk1 (x) =
2t
~k1
2m
e−(k1 −k0 )
2 ∆2
2
eik1 a ·
−∞


r
·
 ik x
e 1 Θ(−x) +

B −ik1 x
Θ(−x)
Ae
+
C
A
exp(i

2mV0
k12 −
x)Θ(x)

2
|
{z ~ }
k2
Bemerkung: Diese Lösung erfüllt die Konsistenzbedingung Ψ(x, 0) = ΨI (x)!
Schritt 4: Der 1. Summand des obigen Ausdrucks beschreibt die Zeitentwicklung des
ursprünglichen Gaußpakets
t 2
)
(x+a−~k0 m
− 14
i~t 2
Θ(−x)π
∆ + m exp − 2∆2 (1+ i~t ) ·
m∆2
· exp ik0 x + a −
~k0 t
2m
= Θ(−x)G(−a, k0 , t)
Das Gaußpaket ist für t >> 1 um x = −a + ~km0 t ' ~km0 t zentriert. Damit
verschwindet das Gaußpaket für große Zeiten, da Θ(−x) = 0 für x > 0. Es
verbleiben also der transmittierte und reflektierte Anteil. Hier ersetzen wir B
A
durch B
A 0 , d.h. durch den Wert, den der Quotient für k1 = k0 einnimmt.
Dies ist legitim, da a(k1 ) ein scharfes Maximum für k0 = k1 annimmt. Der
mittlere Term beschreibt die freie Bewegung eines normierten Gaußpakets,
das sich mit dem mittleren Impuls −~k0 nach links bewegt.
B
ΨR = Θ(−x)G(−a, k0 , t)
A 0
Für große Zeiten können wir Θ(−x) = 1 setzen, da die Amplitude des Gaußpakets für x > 0 verschwindet. Wir erhalten also:
2 √
√
Z
B E0 − E0 − V 0 2
2
√
R = |ΨR | dx = = √
(3.21)
A 0
E0 + E0 − V 0 mit E0 =
~2 k02
2m .
Bemerkung: Diese Formel gilt nur dann exakt, wenn das Paket scharf um k0
gepeakt ist. Solange das Paket eng um k0 verteilt ist, ist die obige Formel eine
gute Approximation.
46
3 Einfache Probleme in einer Dimension
Den transmittierten Anteil können wir einfach aus der Wahrscheinlichkeitserhaltung bestimmen. Es gilt offensichtlich
R+T =1
sodass
p
4 E0 (E0 − V0 )
T =1−R= √
2
√
E0 + E0 − V 0
(3.22)
Gibt es eine alternative Herleitung?
Dazu betrachten wir die unnormierten Eigenzustände
q
mV
i k02 −2 20 x
ik0 x
−ik0 x
~
Ψk0 (x) = A0 e
+ B0 e
Θ(−x) + C0 e
Θ(x)
Mit der einfallenden Welle A0 eik0 x ist eine Wahrscheinlichkeitsstromdichte
jE = |A0 |2
~
~k0
,j=
(Ψ∗ Ψ − ΨΨ∗ )
m
2mi
Entsprechend gilt für den reflektierten und transmittierten Anteil
p
~2 k02 − 2mV0
2 ~k0
2
jR = |B0 |
, jT = |C0 |
m
m
Diese stationären Ströme sind natürlich proportional zum transmittierten und reflektierten Anteil, sodass
2
2 √
B0 C0 jR
jT
E0 − V 0
√
= ,T =
= R=
(3.23)
jE
A0
jE
A0
E0
Bemerkung:
(1) Die Äquivalenz dieser beiden Aussagen gilt dann, wenn wir den Impuls des einfallenden Wellenpakets als scharf annehmen. Damit wird es aufgrund der schwachen
Lokalisierung des Teilchens schwierig, von einem Auftreffen des Wellenpakets an
der Potentialstufe zu sprechen. Somit nähern sich stationäres und dynamisches Bild
mit zunehmender Schärfe des Impulses an und zwar unabhängig von der Form des
gewählten Potentials.
(2) Praktische Verwendung bei Streuexperimenten:
Man verwendet einen Strahl monoenergetischer Teilchen mit hp̂i = ~k0 ⇒ Man muss
keine Details der Wellenfunktion kennen, da R und T nur vom mittleren Impuls
abhängen. Ansatz für die asymptotische Form der Wellenfunktion
( x → −∞ → Aeik0 x + Be−ik0 x
Ψk0 (x) =
x → +∞ → Ceik0 x
⇒
2
, T = C 2
R = B
A
A
47
3 Einfache Probleme in einer Dimension
Diese asymptotische Form der Funktion Ψk0 (x) ist dann gültig, wenn für das Potential gilt limx→∞ |xV (x)| = 0. Es bleibt also die Aufgabe, für die jeweilige Potentialform
die Koeffizienten B und C zu bestimmen.
Rein quantenmechanische Effekte
i) Teilchen mit E > V0 werden an der Potentialstufe reflektiert, auch dann, wenn sie von rechts einfallen!
ii) Für ein Teilchen mit E < V0 lautet im 2. Abschnitt die stationäre Lösung
r
κx
ΨII (x) = Ce , mit
κ=
2m(V0 − E)
~2
(3.24)
Es gibt also eine endliche Amplitude innerhalb des klassisch verbotenen Bereiches.
Der Wahrscheinlichkeitsfluss in diesem Gebiet verschwindet aber, da die Wellenfunktion dort reell ist.
Aber: Bei einer endlich ausgedehnten Barriere ist ein Durchdringen der selbigen
möglich (Abbildung 3.2)
Abbildung 3.2: Tunneln eines von links kommenden Wellenpaketes durch eine Potentialbarriere: Im Bereich I und II findet man sowohl transmittierte als auch
reflektierte Wellen vor, im Bereich III nur transmittierte
3.2.4 Einige nützliche Theoreme
Behauptung:
Gebundene Zustände in einer Dimension sind nicht entartet.
48
3 Einfache Probleme in einer Dimension
Beweis:
Seien Ψ1 und Ψ2 zwei verschiedene gebundene Zustände zum gleichen Eigenwert.
~2 00
Ψ + V Ψ1 = EΨ1
2m 1
~2 00
Ψ + V Ψ2 = EΨ2
−
2m 2
d
dΨ2
dΨ1
00
00
Ψ1 Ψ2 − Ψ2 Ψ1 = 0 bzw.:
Ψ1
− Ψ2
=0
dx
dx
dx
−
⇒ Ψ1 Ψ02 − Ψ2 Ψ01 = const =: c
(3.25)
Um die Konstante c zu bestimmen, betrachten wir die Asymptotik der Wellenfunktion
für |x| → ∞, wo Ψ1 und Ψ2 verschwinden. Damit gilt c = 0 und
dΨ2
dΨ1
=
Ψ1
Ψ2
Ψ1
ln Ψ1 = ln Ψ2 + const
=
econst Ψ2
Somit unterscheiden sie sich nur um einen konstanten Faktor und repräsentieren den
gleichen Zustand. Aber dies gilt nicht für freie Teilchen, da für sie die Eigenfunktion im
Unendlichen nicht verschwindet.
Behauptung:
Die Eigenfunktion von Ĥ kann man in der Ortsdarstellung immer reell wählen.
Beweis:
~2 d2
− 2m
+
V
(x)
Ψ(x) = EΨ(x)
2 dx2
~ d
− 2m
Ψ∗ (x) = EΨ∗ (x)
dx + V (x)
Wenn Ψ und Ψ∗ Lösungen der Schrödingergleichung sind, dann sind auch deren Realteil
und Imaginärteil Lösungen:
Ψr =
Ψ − Ψ∗
Ψ + Ψ∗
, Ψi =
2
2i
Dieses Ergebnis gilt unabhängig von der Dimension für alle Hamiltonoperatoren.
3.2.5 Der klassische Limes
In diesem Zusammenhang wollen wir den Übergang von Quantenmechanik zur klassischen Mechanik untersuchen. Dazu betrachten wir zunächst die Zeitentwicklung der
Erwartungswerte von Operatoren. Es gilt
d D E
d D E D E D ˙ E D E
Ω̂ =
ΨΩ̂Ψ = Ψ̇Ω̂Ψ + ΨΩ̂Ψ + ΨΩ̂Ψ̇
dt
dt
49
(3.26)
3 Einfache Probleme in einer Dimension
Wenn wir uns auf zeitunabhängige Operatoren beschränken, fällt der mittlere Term
weg. Die Zeitableitung der Zustände ergibt sich aus der Schrödingergleichung
E
D i
i
(3.27)
Ψ̇ = − Ĥ |Ψi bzw. Ψ̇ = hΨ| Ĥ
~
~
Mit diesem Zusammenhang ergibt sich aus (3.26) das Theorem von Ehrenfest:
i E
iE
i Dh
i D h
d D E
Ω̂ = −
Ψ Ω̂, Ĥ Ψ = −
Ω̂, Ĥ
dt
~
~
(3.28)
Die obige Gleichung hat eine formale Ähnlichkeit mit der Zeitentwicklung von klassischen dynamischen Variablen, die durch die Poissonklammer beschrieben werden kann.
X ∂ω ∂H
∂ω ∂H
dω
= {ω, H} =
−
(3.29)
dt
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
i
wobei ω = ω(p, q) und H = H(p, q). In der weiteren Diskussion beschränken wir uns auf
eine Dimension und betrachten Ω̂ = x̂
D E
x̂˙
=
für Ĥ =
D E
x̂˙
=
iE
1 Dh
x̂, Ĥ ,
i~
p̂2
+ V (x̂)
ergibt sich
2m *
+
1
hp̂i
x̂, p̂2
=
2im~ | {z }
m
(3.30)
(3.31)
(3.32)
2i~p̂
Damit ergibt sich für die Mittelwerte die gleiche Beziehung wie in der klassischen Mechanik. Wir wollen nun verstehen, wie sich die quantenmechanischen Gleichungen auf
die Hamilton-Gleichungen zurückführen lassen.
Betrachten wir nun Zustände |x0 p0 ∆i, die näherungsweise Eigenzustände zu x̂ und p̂
sind. In diesem Zustand gilt dann:
hp̂i = p0 ; hx̂i = x0 ; ∆x̂ = ∆; ∆p̂ =
~
∆
Eine konkrete Realisierung eines solchen Zustandes ist
|x0 p0 ∆i
Ψx0 ,p0 ,∆ =
1
π∆2
1
4
e
ip0 x
~
e−
(x−x0 )2
2∆2
(3.33)
Mit ∆ = 10−15 m, der Ausdehnung eines Protons, ergibt sich als Impulsunschärfe
∆p ' 10−14 g
cm
sek
cm
Somit hat ein Teilchen der Masse 1 g eine Geschwindigkeitsunschärfe von ∆v ' 10−16 sek
.
Ort und Geschwindigkeit für ein solches Teilchen sind auf jeder klassischen Skala als
50
3 Einfache Probleme in einer Dimension
scharf anzusehen. Die quantenmechanische Zeitentwicklung kann dann als scharf angesehen werden, wenn wir den Hamiltonoperator durch eine Hamiltonfunktion ersetzen
können, die von den Mittelwerten x0 , p0 abhängig ist, also
D E
x˙0 = x̂˙ =
*
∂ Ĥ
∂ p̂
+
∂ Ĥ '
∂ p̂ =
x̂=x0 ,p̂=p0
∂H(x0 , p0 )
∂p0
(3.34)
bzw.
D E
p˙0 = p̂˙ = −
*
∂ Ĥ
∂ x̂
+
∂ Ĥ =−
∂ x̂ =−
p̂=p0 ,x̂=x0
∂H(x0 , p0 )
∂x0
(3.35)
Die obigen Gleichungen (3.34), (3.35) sind dann gültig, wenn die Varianz des Mittelwertes klein ist. (3.34) gilt wegen
*
∂ Ĥ
∂ p̂
+
=
p̂
m
sogar exakt. Die Gültigkeit von (3.35) können wir durch eine Taylorentwicklung von
V 0 (x) verifizieren.
h
i
1
V 0 (x) = V 0 (x0 ) + (x̂ − x0 ) V 00 (x0 ) + (x̂ − x0 )2 V (3) (x0 ) + O (x̂ − x0 )3
| {z } | {z }
|2 {z
}
(i)
(ii)
(3.36)
(iii)
(i) entspricht der lokalen Newton’schen Kraft
(ii) h(x̂ − x0 ) V 00 (x0 )i = V 00 (x0 ) hx̂ − x0 i = 0
(iii) Korrektur zum klassischen Potential. V (3) (x) sollte für die Ausdehnung des Paketes
verschwinden. Dies ist für unser Beispiel und ein sich makroskopisch veränderndes
Potential der Fall.
Bemerkung:
1. Zerfließen des Wellenpaketes
Für unser Beispiel würde es 300.000 Jahre dauern, bis ∆ auf 1 mm angewachsen
ist.
2. Lokalisierung
In der makroskopischen Welt kann man Ortsmessungen mit einer Präzision durchführen, die weit unterhalb dessen liegt, was hier als Ortsunschärfe angenommen
wurde (bei sichtbarem Licht ist ∆x ≈ 10−7 m).
51
3 Einfache Probleme in einer Dimension
3.3 Der harmonische Oszillator
Der harmonische Oszillator ist eines der wichtigsten Modellsysteme der Physik. Es beschreibt Systeme, die eine kleine Schwingung um eine Gleichgewichtslage durchführen.
Oft ist das Modell daher eine gute Näherung für das tatsächliche Oszillatorpotential.
Experimentell ist ein harmonischer Oszillator realisierbar durch die Kopplung einer
Masse m an eine Feder der Konstanten k
r
1
k
p2
2 2
+ mω x mit ω =
(3.37)
H =T +V =
2m 2
m
Das betrachtete Teilchen bewegt sich in einem Potential V (x), welches ein Minimum bei
x0 hat. Dieses Potential kann man um eben diese Stelle Taylor-entwickeln wie folgt
1
(3.38)
V (x) = V (x0 ) + (x − x0 )V 0 (x0 ) + (x − x0 )2 V 00 (x0 ) + O[(x − x0 )3 ]
2
Dabei ist der tatsächliche Wert von V (x0 ) für die Sache irrelevant und kann 0 gewählt
werden. Ferner ist die erste Ableitung des Potentials an x0 0, da es dort nach Voraussetzung (Oszillatorpotential) ein Minimum hat. So folgt
V 00 (x0 ) = k = mω 2
(3.39)
Durch Verschiebung des Minimums auf die y-Achse erhält man die Hamiltonfunktion
wie oben angegeben.
Bemerkung:
1. Für ein System von n gekoppelten Oszillatoren kann man durch den Übergang zu
Normalkoordinaten zu einer Hamiltonfunktion der Form (3.37) gelangen.
2. Beispiele für physikalische Systeme, die man als gekoppelte Oszillatoren betrachten
kann:
• N-atomiger Kristall:
Atome schwingen um die Gleichgewichtslage
• Normalmoden:
Ebene Wellen, die sich entlang des Kristalls ausbreiten (→ theoretische Festkörperphysik)
• quantisiertes elektromagnetisches Feld (→ Quantenmechanik II)
3.3.1 klassischer Oszillator
1. Bewegungsgleichungen
∂H
p
∂H
= , ṗ = −
= −mω 2 x
∂p
m
∂x
x(t) = x0 cos(ωt + Φ), x0 Amplitude, Φ Phase
ẋ =
ẍ = −ω 2 x
52
3 Einfache Probleme in einer Dimension
2. Die (erhaltene) Energie des Systems ist
1
1
1
E = T + V = mẋ2 + mω 2 x2 = mω 2 x0
2
2
2
Sie kann durch Wahl von x0 kontinuierlich eingestellt werden.
3.3.2 Quantisierung des Oszillators
Die Schrödingergleichung des quantenmechanischen Oszillators
i~
d
|Ψi = Ĥ |Ψi
dt
erhalten wir durch die üblichen Ersetzungen
Ĥ = H (x → x̂, p → p̂) =
p̂2
1
+ mω 2 x̂2
2m 2
in Ortsdarstellung
ĤΨ =
1
~2 d 2
2 2
+ mω x Ψ(x) = EΨ(x)
−
2m dx2 2
Durch Einführung der dimensionslosen Variablen
y =
mit
b =
x
b
q
~
mω
(3.40)
und
dy =
p mω
d
dx
p mω
=
~
dx
d
~ dy
erhalten wir
d2 Ψ
+ 2 − y 2 Ψ = 0
2
dy
mb2
E
wobei = 2 E =
~
~ω
(3.41)
(3.42)
Bemerkung:
Durch
Übergang zu dimensionslosen Variablen haben wir eine natürliche Längenskala
q
~
mω
und Energieskala ~ω eingeführt.
53
3 Einfache Probleme in einer Dimension
Lösung im Limes y → ∞
Die Eigenwertgleichung kann in in die Gleichung Ψ00 − y 2 Ψ = 0 überführt werden, so
dass für y → ∞
Ψ(y) = Ay m e±
y2
2
Ψ00 = Ay m+2 e±
⇒ lim Ψ00 (y) ' Ay m+2 e±
,
y2
2
y2
2
y→∞
da
2m + 1 m(m − 1)
1±
+
y2
y4
(3.43)
= y 2 Ψ(y)
(3.45)
(3.44)
Die physikalisch sinnvollen Lösungen (Normierbarkeit) haben die asymptotische Form
Ψ(y) = Ay m e−
y2
2
(3.46)
Limes y → 0
In diesem Fall lautet die Eigenwertgleichung nun
√
√
Ψ00 + 2Ψ = 0
Ψ(y) = A cos( 2 y) + B sin( 2 y)
(3.47)
Um eine konsistente Näherung (beim Limes y → ∞ wurden auch die Terme zweiter
Ordnung vernachlässigt) für das Eigenwertproblem und dessen Lösung für kleine y zu
realisieren, können wir die beiden trigonometrischen Funktionen entwickeln und die Terme der O(y 2 ) vernachlässigen. Dies führt dann zu
Ψ(y) ' A + cy + O(y 2 ),
mit c =
√
2 B
(3.48)
Die Ergebnisse (3.46) und (3.48) legen folgende Form der Lösung nahe:
Ψ(y) = u(y)e−
y2
2
(3.49)
wobei für die Funktion u(y) folgende Form hat:
u(y) =
A + Cy
Dy m
y→0
y→∞
(3.50)
Wenn wir diesen Ansatz in die Eigenwertgleichung (3.41) einsetzen, so erhalten wir
u00 − 2yu0 + (2 − 1)u = 0
(3.51)
Diese Gleichung lässt sich durch Reihenentwicklung lösen:
u(y) =
∞
X
n=0
54
cn y n
(3.52)
3 Einfache Probleme in einer Dimension
Setzten wir obige Gleichung in (3.51) ein, so können wir verschiedene Potenzen von y n
ausklammern. Aus der Bedingung, dass die jeweiligen Vorfaktoren Null sein müssen,
erhalten wir eine rekursive Beziehung für die cn :
cn+2 = cn
2n + 1 − 2
(n + 2)(n + 1)
Damit erhalten wir:
u(y) = c0 (1 +
c2 2 c4 4
c3
c5
y + y + ...) + c1 (y + y 3 + y 5 + ...)
c0
c0
c0
c0
Die Analyse der Lösungsfunktion zeigt, dass die korrekte Asymptotik ( ≥ 0, Normierbarkeit) nur dann erreicht wird, wenn die Werte n = n + 12 mit n = 0, 1, . . . bzw. die
Energie die Werte En = (n + 12 )~ω mit n = 0, 1, . . . annimmt.
Für gerade n wählen wir c1 = 0.
⇒ u(y) = c0 + c2 y 2 + c4 y 4 + ... + cn y n
Analog für n ungerade c1 = 0.
Für die Eigenfunktionen gilt:
1
mω 12
x
Hn
~
(3.53)
H0 (y) = 1, H1 (y) = 2y, Hn+1 = 2yHn − 2nHn−1
(3.54)
ΨE (x) =
mω
2n
2 ~π(n!)2
4
2
mω
− x 2~
e
mit den Hermite-Polynomen Hn , definiert durch
Bemerkung:
1. Die Energien sind quantisiert; der Abstand zwischen den Energieniveaus spielt auf
einer klassischen Skala keine Rolle.
Beispiel:
E
m = 2 g, ω = 1 rad
n = ~ω
= 1027 , d.h. die Energie des Oszillators
sek , x0 = 1 cm
beträgt das 1027 -fache des Abstands zwischen zwei Energieniveaus.
2. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Energieniveaus ist konstant (En−1 −En =
~ω)
3. Das Unschärfeprodukt ∆p =
~
2
ist minimal für den Grundzustand des Oszillators.
4. Die Eigenfunktionen sind gerade für gerade n und ungerade für ungerade n.
55
3 Einfache Probleme in einer Dimension
Der Oszillator in der Energiebasis
Die Eigenwertgleichung lautet
p2
1
2 2
+ mω x |Ei = E |Ei
2m 2
(3.55)
Zur Lösung der Gleichung führen wir die Operatoren
r
r
r
r
mω
1
mω
1
+
â =
x̂ + i
p̂, â =
x̂ − i
p̂
2~
2mω~
2~
2mω~
ein. Diese Operatoren erfüllen die Vertauschungsrelation [â, â+ ] = 1 und sind in einfacher
Art und Weise mit dem Hamiltonoperator verknüpft.
â+ â =
=
ˆ =
H̃
mω 2
1
1
x̂ +
p̂2 +
[x̂, p̂]
2~
2mω~
2i~
1
Ĥ
−
~ω 2
1
Ĥ
= (â+ â + )
~ω
2
(3.56)
Durch Definition von (3.56) erhalten wir mit der dimensionslosen Eigenwertgleichung
nun
ˆ |i = |i
H̃
h
i
ˆ (â |i) =
ˆ − â, H̃
ˆ |i
H̃
âH̃
ˆ − â |i
=
âH̃
= ( − 1)â |i
(3.57)
(3.58)
Dann ist also â|i ein Eigenvektor zum Eigenwert − 1 Ähnlich:
ˆ + |i) = ( + 1)(â+ |i
H̃(â
â+ |i = C+1 | + 1i
Daher nennt man â bzw. â+ Ab- bzw. Aufsteiger.
Hamiltonoperator hat nur positive Eigenzustände
den a|0 i=0 gilt.
Dann gilt aber auch
Es muss einen Zustand geben, für
ˆ − 1 ) | i ⇒ H̃
ˆ | i = 1 | i
â+ â |0 i = 0 = (H̃
0
0
0
2
2
Anwendung von â+ :
1
n = n + , n = 0, 1, 2, ...
2
56
(3.59)
(3.60)
3 Einfache Probleme in einer Dimension
Wir wollen die Koeffizienten c bzw. c+1 bestimmen. Dazu betrachten wir
+ n̂ |n − 1i bzw. hn| â+ = hn − 1| c∗n
nâ ân = hn − 1|n − 1i cn c∗n
|
{z
}
normiert
ˆ 1
hn| H̃ − n
= |cn |2
2
|
{z
}
|ni
hn|ni = |cn |2 = n
cn =
√
(3.61)
(3.62)
neiΦ(3.63)
Für die übliche Wahl Φ = 0 ergibt sich also
â |ni =
√
n |n − 1i
â+ |ni =
analog:
√
(3.64)
n + 1 |n + 1i
â+ â |ni = n |ni
so dass
(3.65)
(3.66)
Aus (3.64) und (3.65) können wir die Matrixwerte in Energiedarstellung konstruieren.
0 + √
n â n = n0 δn0 ,n+1
â+

0




↔ 



1
0
0
√
2
0
..
.
0 ...
x̂
=
q
~
2mω
...
..
.
..
.
...
0
..
.
..
.
(3.67)








0 
√
n
(â + â+ )
Durch Anwendung von â+ können wir jeden beliebigen normierten Eigenvektor wie folgt
konstruieren:
n
(â+ )
|ni = √
|0i
(3.68)
n!
Übergang von der Energiebasis zur Ortsdarstellung
Wir benutzen die Tatsache, dass der Grundzustand |0i die Eigenschaft â |0i = |0i besitzt.
In der Ortsdarstellung ergibt sich somit
|0i → hx|0i = Ψ0 (x)
r
r
mω
~
d
â →
x+
2~
2mω dx
57
(3.69)
(3.70)
3 Einfache Probleme in einer Dimension
Führen wir zusätzlich dimensionslose Variablen ein, erhalten wir
y+
d
dy
Ψ0 (y) = 0
dΨ0 (y)
Ψ0 (y)
Ψ0 (y) = A0 e−
mit y =
mω 1
2
x
(3.71)
~
= −ydy
(3.72)
y2
2
(3.73)
Damit erhalten wir also für die Grundzustandsfunktion
Ψ0 (x) = A0 e−
mωx2
2~
mω 1
4
(3.74)
π~
Die weiteren Eigenfunktionen erhält man gemäß (3.68) durch die Anwendung von â+ ,
also
Ψn (x) =
=
A0 =
n
1
√
â+ Ψ0 (x)
n!
n d
1
mω 14 − y2
1
√
√
y−
e 2
dy
π~
2
n!
Wichtig:
â, â+ = Î
Ĥ
1
ˆe
H
=
= (â+ â + Î)
~ω
2
1
En = (n + )~ω, n = 0, 1, ...
2
p
√
+
â |ni = (n) |n − 1i ˆ( a) |ni = n + 1 |n + 1i
3.4 Die Heisenberg’sche Unschärferelation
In beliebigen Quantenzuständen kann man nur Wahrscheinlichkeiten für das Ergebnis
einer Messung angeben. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung P (ω) für einen Messwert ω
kann durch den Erwartungswert
D E D E
Ω̂ = ΨΩ̂Ψ
und die Unschärfe
s D E2 Ψ
Ψ Ω̂ − Ω̂
∆Ω̂ =
charakterisiert werden. Falls |Ψi ein Eigenzustand von Ω̂ ist, ergibt sich für die Messung
mit absoluter Sicherheit der zugeordnete Eigenwert von Ω̂, so dass die Varianz ∆Ω̂ = 0
58
3 Einfache Probleme in einer Dimension
ist. Das Beispiel zeigt, dass die Unschärfe von dem gewählten Zustand abhängt. Wir
beschäftigen uns daher mit Unschärfeprodukten“ zweier Operatoren, die eine untere
”
Schranke besitzen, welche nicht von der Wahl der Zustände abhängt.
3.4.1 Herleitung der Unschärferelation
Es seien Ω̂, Λ̂ zwei hermitesche Operatoren mit
h
i
Ω̂, Λ̂ = iΓ,
ˆ
Ω̂Λ̂
+
ˆ
= Λ̂Ω̂
so dass auch Γ hermitesch ist.
Wir betrachten nun das Unschärfeprodukt im normierten Zustand |Ψi.
D E 2 D E 2 Ψ Λ̂ − Λ̂ Î Ψ
∆Ω̂
∆Λ̂
=
Ψ Ω̂ − Ω̂ Î Ψ
D E
D E
ˆ = Ω̂ − Ω̂ Î, Λ̃
ˆ = Λ̂ − Λ̂ Î
mit Ω̃
D
2 2
ED E
ˆ Ω̃Ψ
ˆ Λ̃Ψ
ˆ
ˆ
=
Ω̃Ψ
∆Ω̂
∆Λ̂
Λ̃Ψ
2 2
ˆ 2 = Ω̃
ˆ + Ω̃
ˆ
da Ω̃
ˆ
und analog für Λ̃
2 2
2
Mit der Schwarz’schen Ungleichung v1 v2 ≥ v1 v2 , wobei =“ angenommen
”
wird,
falls
v
und
v
linear
abhängig
sind,
erhalten
wir
angewandt
auf die Zustände
1
2
E
E
Ω̂Ψ und Λ̂Ψ :
∆Ω̂
2 ∆Λ̂
2
D
E
D E
ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2
≥ Ω̃Ψ
Λ̃Ψ = ΨΩ̃Λ̃Ψ (3.75)
ˆ Λ̃
ˆ gilt
Für das Produkt Ω̃
ˆ Λ̃
ˆ =
Ω̃
=
1 ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ Λ̃
ˆ − Λ̃
ˆ Ω̃
ˆ
Ω̃Λ̃ + Λ̃Ω̃ + Ω̃
2
h
i
1 hˆ ˆi
ˆ
ˆ
Ω̃, Λ̃ + Ω̃, Λ̃
2
+
mit dem Antikommutator [., .]+ . Damit können wir (3.75) umformen in
2 2 1 h
i
1 h ˆ ˆ i
ˆ
ˆ
∆Ω̂
∆Λ̂ ≥ Ψ Ω̃, Λ̃ +
Ω̃, Λ̃ Ψ (3.76)
2
2
+
h
i
ˆ Λ̃
ˆ = iΓ und Γ = Γ+ , so ist der Erwartungswert von
Nutzen wir nun aus, dass Ω̃,
D h
i E
h
i
ˆ ˆ ˆ Λ̃
ˆ ein hermitescher Operator und somit
Λ̃ Ψ rein imaginär. Weiterhin ist Ω̃,
Ψ Ω̃,
+
ist sein Erwartungswert reell.
59
3 Einfache Probleme in einer Dimension
Mit |a + ib|2 = a2 + b2 erhalten wir also
h
h
i 2
2 2
ˆ ˆi
1 ˆ
ˆ
Ψ Ω̃, Λ̃ + Ω̃, Λ̃ Ψ ∆Ω̂
∆Λ̂
≥
4
+
#
" 2 D h
i E2
h
i
ˆ ˆ 1
ˆ ˆ ≥
Λ̃ Ψ
Ψ Ω̃, Λ̃ Ψ + Ψ Ω̃,
4
+
Wenn wir nun kanonisch
Operatoren betrachten, für die Γ = ~ gilt, erhal konjugierte
h
2
ˆ ˆi ten wir mit Ψ Ω̃, Λ̃ Ψ ≥ 0 die bekannte Unschärferelation.
+
∆Ω̂∆Λ̂ ≥
~
2
(3.77)
ˆ |Ψi = cΛ̃
ˆ |Ψi und
Die Gleichheit gilt nur dann, wenn Ω̃
h
ˆ ˆi
Λ̃
Ψ Ω̃,
Ψ = 0 erfüllt ist.
+
3.4.2 Das minimale Unschärfeprodukt
Wir wollen nun denjenigen Zustand identifizieren, für den die untere Grenze der Unschärfe für die Operatoren x̂ und p̂ erreicht wird.
(p̂ − hp̂i) |Ψi = c (x̂ − hx̂i) |Ψi
(3.78)
in Ortsdarstellung:
d
− hp̂i Ψ(x) = c (x − hx̂i) Ψ(x)
−i~
dx
i
dΨ(x)
=
[hpi + c (x − hxi)] dx
bzw.
Ψ
~
Wir wählen nun ein Koordinatensystem so, dass hxi = 0. Damit ergibt sich
Ψ(x) = Ψ(0)ei
hpix
~
cx2
ei 2~
Aus der zweiten Zwangsbedingung ergibt sich für hxi = 0
hΨ| (p̂ − hp̂i) x + x (p̂ − hp̂i) |Ψi = 0,
so dass wir mit (3.78) folgenden Zusammenhang erhalten.
(c + c∗ ) Ψx̂2 Ψ = 0
Damit muss c im nicht trivialen Fall eine rein imaginäre Zahl sein. Setzen wir nun
|c| = ∆~2 , erhalten wir
Ψ(x) = Ψ(0)ei
wobei ∆ beliebig gewählt werden kann.
60
hpix
~
x2
e− 2∆2
(3.79)
3 Einfache Probleme in einer Dimension
Bemerkung:
Für hxi =
6 0 ergibt sich
Ψ(x) = Ψ(hxi)eihpi
x−hxi
~
e−
(x−hxi)2
2∆2
Damit ist die Wellenfunktion mit minimaler Unschärfe eine Gaußfunktion.
61
4 Systeme mit N Freiheitsgraden
4.1 Der Zweiteilchen-Hilbertraum
Wir betrachten zwei Teilchen, die durch die klassischen dynamischen Variablen (x1 , p1 )
und (x2 , p2 ) beschrieben werden.
Nach dem zweiten Postulat der Quantenmechanik gilt dann
[x̂i , pˆj ] = i~ {xi , pj } = i~δij
(4.1)
[x̂i , xˆj ] = [pˆi , pˆj ] = 0
(4.2)
Bei der Behandlung der meisten Quantensysteme geht man zur Koordinatendarstellung
über. Die Basis wird dann durch Kets |x1 x2 i gebildet, die simultane Eigenvektoren von
xˆ1 und xˆ2 sind, also
xˆ1 |x1 x2 i = x1 |x1 x2 i
xˆ2 |x1 x2 i = x2 |x1 x2 i
(4.3)
mit der Norm
x01 x02 x1 x2 = δ(x01 − x1 )δ(x02 − x2 )
(4.4)
In dieser Basis gilt
|Ψi → hx1 x2 |Ψi = Ψ(x1 , x2 )
x̂i → xi
pˆi →
~ ∂
i ∂xi
Die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass wir die Teilchen bei (x1 , x2 ) finden, ist
P (x1 , x2 ) = |hx1 x2 |Ψi|2
(4.5)
wobei
Z
1 = |hΨ|Ψi| =
P (x1 , x2 )dx1 dx2
(4.6)
Bemerkung:
1. Ähnlich wie bei Systemen mit einem Freiheitsgrad können wir auch bei Systemen
mit mehreren Freiheitsgraden verschiedene Basen wählen, z.B. die gemeinsamen
Eigenvektoren |ω1 ω2 i der Operatoren Ω̂1 (xˆ1 xˆ2 ) und Ω̂2 (xˆ1 xˆ2 ).
62
4 Systeme mit N Freiheitsgraden
2. Den Vektorraum, der von diesen Basisvektoren aufgespannt wird, bezeichnen wir
mit V1⊗2 .
3. Man kann diesen Vektorraum V1⊗2 auch als direkten Produktraum von V1 und V2
auffassen.
4.1.1 Zeitentwicklung des Zustandsvektors
Der Zustand |Ψi ist ein Element von V1⊗2 . Die Zeitentwicklung von |Ψi wird durch
2
pˆ2 2
pˆ1
+
+ V (xˆ1 , xˆ2 ) |Ψi = Ĥ |Ψi
(4.7)
i~ |Ψi =
2m1 2m2
beschrieben. Wir unterscheiden nun zwei Fälle:
1. Ĥ ist separabel, d.h. V (xˆ1 , xˆ2 ) = V1 (xˆ1 ) + V2 (xˆ2 )
2. Ĥ ist nicht separabel.
1. Für separable Hamilton-Operatoren können wir die Schrödingergleichung (in Ortsdarstellung) mittels Trennung der Variablen“
”
ΨE (x1 , x2 ) = ΨE1 (x1 )ΨE2 (x2 )
(4.8)
lösen. Wegen der Unabhängigkeit der Variablen erhalten wir dann die Gleichungen
~2 ∂ 2
+ V1 (x1 ) ΨE1 (x1 ) = E1 ΨE1 (x1 )
−
2m1 ∂x21
(4.9)
und analog für x2 . Für die Eigenwerte gilt E = E1 + E2 . Damit lautet die zeitabhängige Lösung des Zwei-Teilchen-Problems
ΨE (x1 , x2 , t) = ΨE1 (x1 )e−i
E1 t
~
ΨE2 (x2 )e−i
E2 t
~
(4.10)
2. Wechselwirkende Teilchen
Für wechselwirkende Teilchen kann man kein allgemeines Lösungsschema angeben.
Wenn die Wechselwirkung aber abstandsabhängig ist, dann ist es möglich, wie bei
einem klassischen System durch Einführung von Schwerpunkts- und Relativkoordinaten die Freiheitsgrade des Systems zu entkoppeln.
Schwerpunkt
Relativkoordinate
2 xˆ2
xˆs = m1mxˆ11 +m
+m2
x̂rel = xˆ1 − xˆ2
Damit lautet der Hamiltonoperator
Ĥ =
p̂2
pˆs 2
+ rel + V (x̂rel )
2M
2µ
63
(4.11)
4 Systeme mit N Freiheitsgraden
wobei
m1 m2
m1 + m2
= m1 + m2
d
= M x̂s = m1 xˆ˙1 + m2 xˆ˙2
dt
d
= µ x̂rel
dt
µ =
M
p̂s
p̂rel
Die Eigenfunktionen von Ĥ faktorisieren, so dass
ΨE (xs , xrel ) =
E =
eips xs
√
Ψrel (x)
2π~
pˆs 2
+ Erel
2M
(4.12)
(4.13)
Der nicht triviale Anteil der Dynamik entfällt also genau wie im klassischen System
auf die Relativbewegung der Teilchen.
Bemerkung:
Die Ergebnisse lassen sich in trivialer Art und Weise auf N-Teilchensysteme mit N >
2 übertragen. In diesem Fall sind nur abstandsabhängige Wechselwirkungspotentiale
analytisch lösbar, die quadratisch von x̂i und pˆi abhängen.
Höherdimensionale Systeme sind mathematisch äquivalent zu N-Teilchensystemen in einer Dimension.
4.2 Identische Teilchen
In der klassischen Mechanik sind Teilchen auch dann unterscheidbar, wenn sie experimentell die gleichen Eigenschaften besitzen, da man in der Lage ist, ihre Trajektorien in
eindeutiger Weise festzulegen. In der Quantenmechanik hingegen existiert keine physikalisch sinnvolle Basis, die zwischen identischen Teilchen unterscheidet.
4.2.1 Zwei-Teilchen-Systeme
Der Zustand unterscheidbarer Teilchen nach der Messung sei
|Ψi = |x1 = a, x2 = bi = |a, bi
(4.14)
Da die Teilchen unterscheidbar sind, ist der Zustand |Ψi (4.14) verschieden vom Zustand |Ψi = |b, ai. Bei identischen Teilchen muss der Zustand |Ψ(a, b)i (also der Zustand
64
4 Systeme mit N Freiheitsgraden
Teilchen 1 bei a, Teilchen 2 bei b“) äquivalent zum Zustand |Ψ(b, a)i sein, der dem Ver”
tauschen beider Teilchen entspricht. Daher müssen die Zustandsvektoren die Bedingung
|Ψ(a, b)i = α |Ψ(b, a)i ,
α = eiϕ , ϕ ∈ [0, 2π)
(4.15)
erfüllen, was für unterscheidbare Teilchen nicht der Fall ist. Der Zustandsvektor des
Systems identischer Teilchen muss Eigenzustand zum Operator x̂1 + x̂2 mit den Eigenwerten a,b sein. Es gibt genau zwei unabhängige Vektoren im Produktraum der beiden
Teilchen, die diese Bedingung erfüllen, d.h. der Zustand bei dieser Messung muss eine
Linearkombination der beiden Vektoren sein, so dass mit der obigen Zwangsbedingung
gelten muss.
β |a, bi + γ |b, ai = α [β |b, ai + γ |a, bi]
(4.16)
Damit folgt für die Koeffizienten
αγ = β ,
αβ = γ
(4.17)
so dass α = ±1. Die unnormierten Zustandsvektoren lauten also
symmetrischer Zustand
|ΨS i = |a, bi + |b, ai
(4.18)
antisymmetrischer Zustand
|ΨA i = |a, bi − |b, ai
(4.19)
Damit ist der Zustandsvektor identischer Teilchen entweder symmetrisch oder antisymmetrisch.
4.2.2 Bosonen und Fermionen
Teilchen, denen für für alle Zeiten antisymmetrische Zustände zugeordnet werden, nennt
man Fermionen, solche mit symmetrischen Vielteilchenzuständen nennt man Bosonen.
Für Fermionen folgt aus der Tatsache, dass der Zustand antisymmetrisch ist, direkt
das berühmte Pauli-Verbot. Es sei der Zwei-Teilchen-Zustand
|ΦA i = |ω1 , ω2 i − |ω2 , ω1 i
(4.20)
gegeben. Wenn wir nun annehmen, dass ω1 = ω2 = ω gilt, also dass sich beide Teilchen
im selben Zustand befinden, folgt sofort, dass
|ΦA i = |ω, ωi − |ω, ωi = |0i
(4.21)
Zwei identische Fermionen können sich also nicht im selben Zustand befinden!
Die Tatsache, ob ein Teilchen ein Fermion oder ein Boson ist, hängt vom Wert seines
Eigendrehimpulses (seines Spins) ab.
Bosonen:
Spin = 0, ~, 2~, . . .
5~
Fermionen: Spin = ~2 , 3~
2 , 2 ,...
65
4 Systeme mit N Freiheitsgraden
In höheren Dimensionen wird der Eigenvektor des Operators durch eine entsprechende Anzahl von verschiedenen Eigenschaften, die den Zustand eines Teilchens eindeutig
beschreiben, festgelegt.
Beispiel:
Spinlose Bosonen in 3D:
Der Zustand wird festgelegt durch die Koordinaten x, y, z
Fermionen mit Spin 12 :
Raumkoordinaten und Spineinstellung +“ oder -“. Die antisymmetrischen Zu”
”
stände verschwinden, wenn alle Quantenzahlen übereinstimmen.
4.2.3 Hilbertraum für Bosonen und Fermionen
Bosonen
←→ Hilbertraum: VS
Fermionen ←→ Hilbertraum: VA
Die Beziehung zwischen VS und VA und dem direkten Produktraum V1⊗2 , der alle
Vektoren der Form |ω1 , ω2 i = |ω1 i ⊗ |ω2 i beinhaltet, ist folgendermaßen.
Für jedes Paar von Vektoren |ω1 = a, ω2 = bi und |ω1 = b, ω2 = ai existiert genau ein
bosonischer Zustandsvektor |a, bi + |b, ai und ein fermionischer Zustandsvektor |a, bi −
|b, ai. Falls gilt a = b, dann ist |a, ai automatisch symmetrisch und somit ein bosonischer
Zustandsvektor. Dann gilt
Bezeichnungen:
V1⊗2 = VA ⊕ VS
(4.22)
Bemerkung:
Die Symmetrie des Zustands wird durch die Zeitentwicklung des Systems nicht geändert.
Wir nehmen nun an, dass die Zustände |ω1 , ω2 i und |ω2 , ω1 i orthonormiert sind. Damit
gilt für den Normierungsfaktor bei bosonischen Zuständen
1
√ (|ω1 , ω2 i + |ω2 , ω1 i)
2
|ω, ω, Si = |ω, ωi
falls ω1 = ω2 =: ω
|ω1 , ω2 , Si =
(4.23)
Jeder beliebige Zustandsvektor ist ein Zwei-Teilchen-System identischer Bosonen, die in
der obigen Basis dargestellt werden. Wie üblich ist die Wahrscheinlichkeit, die Eigenwerte
ω1 , ω2 des Operators Ω̂ = Ω̂1 + Ω̂2 im Zustand Ψ zu messen, gegeben durch
PS (ω1 , ω2 ) = |hω1 , ω2 , S|Ψi|2 .
(4.24)
Für die Norm der Wahrscheinlichkeitsdichte (4.24) gilt
1 = hΨS |ΨS i =
X
|hω1 , ω2 , S|Ψi|2 =
versch. Zust.
X
versch. Zust.
66
PS (ω1 , ω2 )
(4.25)
4 Systeme mit N Freiheitsgraden
P
wobei mit
die Summe über physikalisch verschiedene Zustände gemeint ist,
versch. Zust.
also
X
versch. Zust.
=
ωX
max
ω2
X
(4.26)
ω2 =ωmin ω1 =ωmin
Für kontinuierliche Zustände gilt entsprechend
ZZ
PS (x1 , x2 )
dx1 dx2
1=
2
(4.27)
Die normierten Basisvektoren fermionischer Zustände lassen sich analog zu den bosonischer Zuständen schreiben als
1
|ω1 , ω2 , Ai = √ (|ω1 , ω2 i − |ω2 , ω1 i) .
2
(4.28)
Die Ergebnisse für die Wahrscheinlichkeitsdichten lassen sich in ähnlicher Weise hinschreiben, wie wir es für die bosonischen Zustände durchgeführt haben.
Bemerkung:
1. Es ist nützlich, die Ortsraumwellenfunktion als
1
ΨS (x1 , x2 ) = √ hx1 , x2 , S|ΨS i
2
1
ΨA (x1 , x2 ) = √ hx1 , x2 , A|ΨA i
2
(4.29)
(4.30)
darzustellen, so dass
ZZ
ΨA/S (x1 , x2 )2 dx1 dx2 = 1
(4.31)
2. Man kann die antisymmetrische Wellenfunktion auch als Determinante darstellen
1 Ψω1 (x1 ) Ψω2 (x1 )
ΨA (x1 , x2 ) = √ 2 Ψω1 (x2 ) Ψω2 (x2 )
(4.32)
wobei wir auf den Zustand |ω1 , ω2 , Ai projiziert haben.
Bestimmung der Teilchenstatistik
Die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, identische Teilchen in einer Dimension bei x1 , x2 zu
finden, ist gegeben durch
2
PS/A (x1 , x2 ) = 2 ΨS/A (x1 , x2 )
67
(4.33)
4 Systeme mit N Freiheitsgraden
Beispiel:
Zwei Teilchen im Kasten, die sich in den Eigenzuständen n=3, n=4 befinden.
PS/A (x1 , x2 ) = |Ψ3 (x1 )|2 |Ψ4 (x2 )|2 + |Ψ4 (x1 )|2 |Ψ3 (x2 )|2
±(Ψ∗3 (x1 )Ψ∗4 (x1 )Ψ∗4 (x2 )Ψ3 (x2 ) + kompl.konj.)
(4.34)
Diskussion
Die Unterschiede zwischen den Zuständen werden besonders deutlich, wenn man den
Fall x1 = x2 = x betrachtet.
Fermionen PA (x, x) = 0 ⇒ repulsive Wechselwirkung zwischen den Teilchen.
Bosonen PS (x, x) = 4 |Ψ3 (x)|2 |Ψ4 (x)|2 ⇒ die Wahrscheinlichkeitsdichte ist doppelt so
hoch wie im unkorrelierten Fall.
4.2.4 Systeme N identischer Teilchen
Die Basiszustände für N identische Teilchen müssen ebenfalls die Eigenschaft besitzen,
dass sich der Zustand bei Austausch zweier Teilchen nur um einen Phasenfaktor ändert.
Für bosonische Zustände sind für N=3 die Basisvektoren gegeben durch
|n1 , n2 , n3 , Si =
1 √ |n1 , n2 , n3 i + |n1 , n3 , n2 i + |n2 , n1 , n3 i
3!
+ |n2 , n3 , n1 i + |n3 , n1 , n2 i + |n3 , n2 , n1 i
(4.35)
1 √ |n1 , n2 , n3 i − |n1 , n3 , n2 i + |n2 , n3 , n1 i
3!
− |n2 , n1 , n3 i + |n3 , n1 , n2 i − |n3 , n2 , n1 i
(4.36)
und im fermionischen System
|n1 , n2 , n3 , Ai =
Die fermionische Zustandswellenfunktion in Ortsdarstellung lautet:
Ψ (x ) Ψn2 (x1 ) Ψn3 (x1 )
1 n1 1
Ψn1 ,n2 ,n3 (x1 , x2 , x3 , A) = √ Ψn1 (x2 ) Ψn2 (x2 ) Ψn3 (x2 )
3! Ψ (x ) Ψ (x ) Ψ (x )
n1 3
n2 3
n3 3
68
(4.37)
5 Symmetrien und ihre Folgen
5.1 Translationsinvarianz in der Quantentheorie
In der Quantenmechanik kann man keine wohldefinierten Aussagen über die Position
eines Teilchens treffen. Deshalb scheint es auf den ersten Blick schwierig, das Konzept der
Translationsinvarianz in der Quantenmechanik umzusetzen. Dies ist nur dann sinnvoll,
wenn man die Erwartungswerte der Orts- bzw. Impulsoperatoren betrachtet.
hxi → hxi + (5.1)
hpi → hpi
(5.2)
Es gibt zwei Interpretationen der Transformation.
aktiv:
passiv:
Man verschiebt das Teilchen um Man verschiebt die Umgebung des Teilchens um −
Physikalisch sind beide Interpretationen äquivalent. Eine solche Verschiebung wird durch
den Translationsoperator T () generiert. Die Wirkung des Operators auf einen beliebigen
Basisvektor |xi sei
T () |xi = exp
ig(x)
~
|x + i
(5.3)
was zur Erfüllung der Bedingung (5.1) führt. Für den Erwartungswert des Impulses gilt
aber
hpi = hx + | exp(
= hx + | (
−ig(x) ~ ∂
ig(x)
)(
) exp(
) |x + i)
~
i ∂x
~
~ ∂
) |x + i + hx + | g 0 (x) |x + i
i ∂x
= hpi + g 0 (x)
Bedingung (5.2) ist aber nur dann erfüllt, wenn g 0 (x) = 0, also g(x) = const. gilt. Damit
folgern wir
T () |xi = |x + i
69
(5.4)
5 Symmetrien und ihre Folgen
Anwendung auf einen Zustand
Z∞
|Ψ i = T () |Ψi = T ()
Z∞
|xi hx|Ψi dx =
−∞
|x + i hx|Ψi dx =
−∞
Z∞
hx|Ψ i =
Z∞
0 0
x x − Ψ dx0
−∞
0 0
xx x − Ψ dx0 = Ψ(x − )
| {z }
∞ δ(x−x0 )
Dann fordern wir im zweiten Schritt die Translationsinvarianz eines Systems. Sie ist
durch die Bedingung
D E D E
(5.5)
ΨĤΨ = Ψ ĤΨ
wobei |Ψ i den Zustand in der verschobenen Basis bezeichnet. Für infinitesimale Translationen lautet T () in führender Ordnung von .
i
Ĝ + O(2 ).
(5.6)
~
(Der Vorfaktor von Ĝ ist so gewählt, dass Ĝ nachher schöner“ aussieht.) Wir nennen
”
Ĝ den Erzeuger von Translationen. Er ist ein hermitescher Operator. Um ihn näher zu
bestimmen, betrachten wir
T () = Î −
hx|T ()|Ψi = Ψ(x − )
(5.7)
Wenn wir nun beide Seiten bis zur Ordnung betrachten, gilt
D E i D E
dΨ(x)
xÎ Ψ −
xĜΨ
= Ψ(x) − ~
dx
D E
~ dΨ
→ xĜΨ
=
i dx
→ Ĝ = P̂
(5.8)
(5.9)
(5.10)
Damit ist also der Impulsoperator Erzeuger infinitesimaler Translationen. Aus der Translationsinvarianz folgt direkt die Impulserhaltung, denn
D E
D E D
E
!
ΨĤΨ
=
Ψ ĤΨ = T ΨĤT Ψ
E D i
i
+
=
ΨT̂ ĤT̂ Ψ = Ψ Î + P̂ Ĥ Î − P̂ Ψ
~
~
D E i D h
i E
=
ΨĤΨ +
Ψ P̂ , Ĥ Ψ + O(2 )
~
i E
D E
D h
˙
⇒ Ψ P̂ , Ĥ Ψ
= 0 und damit P̂ = 0 vgl. Theorem von Ehrenfest
70
5 Symmetrien und ihre Folgen
5.1.1 Endliche Translationen
Zur Bestimmung des Translationsoperators endlicher Translationen zerlegen wir das Intervall A in N Teilintervalle der Länge |A|
N . Für N → ∞ werden diese Abschnitte infinitesimal klein, d.h. durch
|A|
i |A|
T(
) = Î −
P̂
N
~N
wird eine solche infinitesimale Translation generiert. Die Translation über das gesamte
Intervall ergibt sich dann als
|A| N
)
= e−i|A|P̂ /~
T (|A|) = lim T (
N →∞
N
|A| x N
mit e−|A|x = lim (1 −
)
N →∞
N
(5.11)
(5.12)
Zeitliche Translationsinvarianz
Der Zustand eines Systems zur Zeit t1 sei gegeben durch |Ψ0 i. Dann ergibt sich für den
Zustand zur Zeit t1 + i
|Ψ(t1 + )i = Î − Ĥ(t1 ) |Ψ0 i
~
(5.13)
Wenn wir das gleiche System zur Zeit t2 wieder im Zustand |Ψ0 i präparieren, ergibt sich
für die zeitliche Entwicklung
i
|Ψ(t2 + )i = Î − Ĥ(t2 ) |Ψ0 i
~
(5.14)
Die Ergebnisse von Messungen in beiden Systemen stimmen dann überein, wenn gilt
|0i = |Ψ(t1 + )i − |Ψ(t2 + )i
i
i h
= −
Ĥ(t1 ) − Ĥ(t2 ) |Ψ0 i
~
Da |Ψ0 i einen beliebig gewählten Anfangszustand darstellt und auch t1 , t2 beliebig ist,
folgt
dĤ
Ehrenf est
= 0̂
dt
D E
˙
Ĥ = 0
71
Energieerhaltung
(5.15)
5 Symmetrien und ihre Folgen
5.1.2 Der Paritätsoperator
Die Wirkung des Paritätsoperators ist definiert durch
Π̂ |xi = |−xi
Der Paritätsoperator stellt damit eine diskrete Transformation dar. Seine Wirkung auf
einen vollständigen Satz von Basisfunktionen ist gegeben durch
Z∞
Π̂ |Ψi = Π̂
Z∞
|xi hx|Ψi dx =
−∞
Z∞
|−xi hx|Ψi dx =
−∞
0 0 0
x −x Ψ dx
−∞
mit
hx|Ψi = Ψ(x) ⇒ hx| Π̂ |Ψi = Ψ(−x)
Analog gilt:
Π̂ |pi = |−pi
Der Paritätsoperator hat die folgenden Eigenschaften:
1. Π̂−1 = Π̂
2. Die Eigenwerte von Π̂ sind ±1
3. Π̂ ist hermitesch und unitär, also Π̂−1 = Π̂+ = Π̂
h
i
Falls ein Hamiltonoperator paritätsinvariant ist (falls Π̂+ ĤΠ̂ = Ĥ
Ĥ, Π̂ = 0), sind
seine Eigenfunktionen entweder gerade hoder ungerade.
Die hParität
i
i des Zustandes bleibt
unter der Zeitentwicklung erhalten, da Û (t), Π̂ = 0, falls Ĥ, Π̂ = 0.
Bemerkung: Es gibt physikalische Wechselwirkungen, die nicht paritätserhaltend sind.
Ein Beispiel ist die elektroschwache Wechselwirkung (β-Zerfall).
5.2 Rotationsinvarianz und Drehimpuls
5.2.1 Translationen in höheren Dimensionen
In höheren Dimensionen verallgemeinert sich der Impuls zu einem Vektoroperator
P = Px ex + Py ey
(wobei ex und ey Einheitsvektoren in x, y-Richtung bezeichnen).
Der Erzeuger infinitesimaler Translationen in Richtung n (mit |n| = 1) ist Pn = n · P
und eine Verschiebung um den Vektor a wird generiert durch
i
T̂ (a) = e− ~ aP
72
(5.16)
5 Symmetrien und ihre Folgen
5.2.2 Rotationen in 2 Dimensionen
In Analogie zum klassischen System soll für die Erwartungswerte von Ort und Impuls
im rotierenden System gelten:
hxiR = hxi cos(φ0 ) − hyi sin(φ0 )
(5.17)
hyiR = hxi sin(φ0 ) − hyi cos(φ0 )
und analog für hPx i, hPy i. Wie bei den Translationen führen wir einen Operator Û [R]
ein, der durch seine Wirkung auf die Eigenvektoren definiert ist.
Û [R] |x, yi = |x cos(φ0 ) − y sin(φ0 ), x sin(φ0 ) + y cos(φ0 )i
(5.18)
Zur Konstruktion des Operators betrachten wir eine infinitesimale Rotation um die zAchse z k. Der Rotationsoperator lautet dann:
iz
Û [R(z k)] = Î −
L̂z
(5.19)
~
wobei L̂z der Erzeuger infinitesimaler Rotationen um die z-Achse ist. Wenn wir die
Gleichung 5.18 in erster Ordnung von z entwickeln, ergibt sich
(5.20)
Û [R] |x, yi = |x − yz , xz + yi
iz
hx, y| Î −
(5.21)
L̂z |Ψi = Ψ(x + yz , y − xz )
~
Wenn wir wie beim Translationsoperator beide Seiten in führender Ordnung von z
entwickeln, ergibt sich
L̂z = X̂ P̂y − Ŷ P̂x
(5.22)
für den Erzeuger infinitesimaler Rotation in 2D in basisfreier Darstellung. Für den Operator endlicher Rotationen Û [R(ϕ0 )k)] erhalten wir
N
ϕ
iϕ0
0
Û [R(ϕ0 k)] = lim Î −
(5.23)
L̂z
= exp −i L̂z
N →∞
~N
~
5.2.3 Physikalische Interpretation von L̂z
Der Operator L̂z stellt die z-Komponente des Drehimpulsoperators dar, da er aus lz =
xpy − ypx durch die üblichen Ersetzungsregeln hervorgeht undhErzeuger
i infinitesimaler
Rotationen ist. Der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße, falls L̂z , Ĥ = 0.
5.2.4 Vektor-Operatoren
Ein Operator V̂ = V̂x ex + V̂y ey wird Vektor-Operator genannt, falls sich V̂x , V̂y wie
Vektoren unter einer passiven Transformation verhalten, also
X
Û + [R]Vi Û [R] =
Rij Vj
j
wobei Rij eine 2 × 2-Drehmatrix ist (Beispiel x̂, p̂).
73
5 Symmetrien und ihre Folgen
5.2.5 Das Eigenwertproblem von L̂z
Für rotationsinvariante Systeme müssen Ĥ und L̂z eine gemeinsame Eigenbasis besitzen.
Es ist daher von Interesse, das Eigenwertproblem von L̂z zu lösen:
L̂z |lz i = lz |lz i
In Polarkoordinaten lautet die obige Gleichung
− i~
∂
Ψl (ρ, ϕ) = lz Ψlz (ρ, ϕ)
∂ϕ z
(5.24)
Die Lösung dieser Gleichung lautet
ϕ
Ψlz (ρ, ϕ) = R(ρ) exp ilz
(5.25)
~
R∞
wobei R(ρ) eine quadratintegrable Funktion sein muss ( |R(ρ)|2 ρ dρ < ∞)1 . Die Glei0
chung suggeriert, dass lz frei gewählt werden kann, da die ϕ-Integration auf das Intervall
[0, 2π] beschränkt ist. Wir müssen aber die Hermitizität von L̂z berücksichtigen. Die
Bedingung
hΨ1 | L̂z |Ψ2 i = hΨ2 | L̂z |Ψ1 i∗
führt auf
Z∞ Z2π
0
Ψ∗1 i~
∂
∂ϕ

Z∞ Z2π
Ψ2 ρ dρ dϕ = 
0
0
Ψ∗2 i~
∂
∂ϕ
∗
Ψ1 ρ dρ dϕ
0
Durch partielle Integration kann man zeigen, dass die obige Identität erfüllt ist, wenn
die Bedingung
Ψ(ρ, 0) = Ψ(ρ, 2π)
erfüllt ist, also falls
2π
1 = ei ~ lz
Damit muss lz reell und ein ganzzahliges Vielfaches von ~ sein, also:
lz = m~ m = 0, ±1, ±2, . . .
Man nennt m die magnetische Quantenzahl .
Es ist an dieser Stelle nützlich, die Funktionen
1
Φm (ϕ) = √ eimϕ
2π
einzuführen, die der Orthonormalitätsrelation
Z2π
Φ∗m (ϕ)Φn (ϕ)dϕ = δnm
0
genügen.
1
Die Betrachtung ist an dieser Stelle nur zweidimensional, deswegen hier nur ρ statt ρ2 .
74
(5.26)
5 Symmetrien und ihre Folgen
Bemerkung: Für rotationsinvariante Potentiale V (ρ, ϕ) = V (ρ) kann man die stationäre
Schrödingergleichung durch den Ansatz
ΨEm (ρ, ϕ) = REm (ρ)Φm (ϕ)
lösen. REm genügt dann der sogenannten Radialgleichung
2
~2
d
1 d
m2
−
+
− 2 + V (ρ) REm = EREm (ρ)
2M dρ2 ρ dρ
ρ
(5.27)
M steht hier für die Masse, m für die magnetische Quantenzahl.
5.2.6 Der Drehimpuls in 3D
Der Drehimpulsoperator ist offensichtlich definiert durch
L̂ = R̂ × P̂
(5.28)
L̂ ist Erzeuger infinitesimaler Rotationen um eine beliebige Achse. Für die Vertauschungsrelationen der Komponenten ergibt sich
h
3
i
X
L̂j , L̂k = i~
jkl L̂l
l=1
bzw. in Vektornotation
L̂ × L̂ = i~L̂
Das obige Vektorprodukt ist i.a. nicht 0̂, da die Komponenten i.A. nicht vertauschen,
wie es für Skalare der Fall ist.
Der Operator L̂2 wird definiert durch
L̂2 = L̂2x + L̂2y + L̂2z
Man kann leicht zeigen, dass L̂2 mit allen Komponenten von L̂ vertauscht, also
i
h
L̂2 , L̂j = 0, j = 1, 2, 3
Die Operatoren L̂2 und L̂j besitzen somit eine gemeinsame Eigenbasis.
Bemerkung:
1. Rotationen um den Vektor θ werden generiert durch
i
Û [R(θ)] = exp − θ · L̂
~
(5.29)
2. Bei rotationsinvarianten Systemen vertauscht Ĥ mit jeder Komponente von L̂ und
damit auch mit L̂2 . Damit lässt Ĥ die Eigenzustände von jeder Komponente von L̂
invariant. Zur Lösung des Eigenwertproblems sollten wir daher zunächst die Eigenwertgleichungen von L̂z und L̂2 lösen, bevor wir die simultanen Eigenfunktionen
von Ĥ, L̂2 , L̂z bestimmen.
75
5 Symmetrien und ihre Folgen
5.2.7 Das Eigenwertproblem von L̂2 und L̂z
Das Eigenwertproblem von L̂2 und L̂z kann analog zum harmonischen Oszillator in Energiedarstellung gelöst werden. Es sei |αβi ein Basisvektor aus der gemeinsamen Eigenbasis
von L̂2 , L̂z mit
L̂2 |αβi = α |αβi und L̂z |αβi = β |αβi
(5.30)
Analog zur Vorgehensweise beim harmonischen Oszillator können wir zusätzlich die Aufund Absteigeoperatoren
L̂± = L̂x ± iL̂y
(5.31)
definieren, die den folgenden Kommutatorrelationen genügen:
h
i
L̂z , L̂± = ±~L̂±
h
i
L̂2 , L̂± = 0
(5.32)
(5.33)
Wir betrachten nun die Wirkung von L̂+ auf die Basiszustände |αβi
L̂z L̂+ |αβi
=
L̂+ L̂z + ~L̂+ |αβi = (β + ~) L̂+ |αβi
L̂+ |αβi = C+ (α, β) |α, β + ~i
(5.34)
(5.35)
mit der Proportionalitätskonstante C+ (α, β), wobei gilt
α0 β 0 αβ = δα0 ,α δβ 0 ,β
L̂z |αβi = β |αβi ; L̂z |α, β + ~i = (β + ~) |α, β + ~i
Analog ergibt sich L̂− |αβi = C− (α, β) |α, β − ~i.
Das Ergebnis suggeriert, dass man durch Anwendung von L̂± beliebige Eigenwerte
von L̂z erzeugen kann. Andererseits gilt aber auch
E D E
D αβ L̂2 − L̂2z αβ = αβ L̂2x + L̂2y αβ ≥ 0
α − β2 ≥ 0
(5.36)
Da nun offensichtlich β durch den Wert von α beschränkt ist, muss ein Zustand |αβmax i
existieren, so dass
L̂+ |αβmax i = 0
(bzw. L̂− |αβmin i = 0)
(5.37)
Damit gilt aber auch
L̂− L̂+ |αβmax i = L̂2 − L̂2z − ~L̂z |αβmax i = 0
2
α − βmax
− ~βmax |αβmax i = 0
76
(5.38)
(5.39)
5 Symmetrien und ihre Folgen
2
Wir erhalten also α = βmax
+ ~βmax . Analog ergibt sich aus L̂− |αβmin i = 0
βmin = −βmax
Da wir |αβmin i aus |αβmax i durch k-fache Anwendung von L̂− erhalten gilt
βmax − βmin = 2βmax = ~k
~k
βmax =
k = 0, 1, . . .
2 k
2k
und α = ~
+1
2 2
(5.40)
(5.41)
(5.42)
Damit erhalten wir für allgemeine Drehimpulsoperatoren
1
3
j = 0, , 1, , . . .
2
2
m = −j, −j + 1, . . . , 0, . . . , j − 1, j
Jˆ2 |jmi = j(j + 1)~2 |jmi
(5.43)
Jˆz |jmi = m~ |jmi
(5.44)
Für Bahndrehimpulse ergeben sich ganzzahlige j (Anm. Autor: hier nicht direkt ersichtlich, aber wenn man berücksichtigt, dass sie Erzeuger infinitesimaler Rotationen
sind, kommt man scheinbar darauf).
Nachdem wir das Eigenwertspektrum bestimmt haben, verbleibt die Berechnung der
Proportionalitätskonstanten C± (stellt sicher, dass wir durch Anwenden von L̂− auf
|α, βmax i alle weiteren normierten Eigenzustände generieren können. D.h. wür müssen
für gegebenes α nur eine Differentialgleichung lösen und können uns im Weiteren auf
Ableiten beschränken). Dazu betrachten wir den Erwartungswert
D
E
jmJˆ− Jˆ+ jm = |C+ (j, m)|2 hj, m + 1|j, m + 1i = |C+ (j, m)|2
+
(Jˆ+
= Jˆ− )
(5.45)
Gleichzeitig gilt
D
E D E
jmJˆ− Jˆ+ jm = jmJˆ2 − Jˆz2 − ~Jˆz jm = ~2 j(j + 1) − m2 − m ,
(5.46)
so dass
C+ (j, m) = ~
p
(j − m)(j + m + 1)
und analog C− (j, m) = ~
p
(j + m)(j − m + 1)
Damit gilt also
Jˆ± |jmi = ~
p
(j ∓ m)(j ± m + 1) |j, m ± 1i
Mit Jˆ± können wir auch die Matrixelemente von Jˆx,y bestimmen, z.B.:
77
(5.47)
5 Symmetrien und ihre Folgen
D
+
ˆ + Jˆ −
jm
jm
2
h
i
p
~
0
0
=
δjj δm ,m+1 (j − m)(j + m + 1)
2
p
+δm0 ,m−1 (j + m)(j − m + 1)
E
j , m Jˆx jm
=
0
0
*
0
0 J+
5.2.8 Eigenfunktionen im Ortsraum
Wir wollen Eigenfunktionen von L̂2 , L̂z in der Koordinatendarstellung bestimmen. Dazu
betrachten wir die Gleichung
L̂+ |lli = 0
In Kugelkoordinaten lauten die Operatoren L̂±
∂
∂
±iϕ
± i cot(θ)
L̂± (θ, ϕ) = ±~e
∂θ
∂ϕ
(5.48)
(5.49)
(l)
Es sei nun Ψl (r, θ, ϕ) die zum Eigenzustand |lli gehörige Eigenfunktion, so dass
∂
∂
(l)
Ψl (r, θ, ϕ) = 0
(5.50)
+ i cot(θ)
∂θ
∂ϕ
(l)
Da Ψl auch Eigenfunktion von L̂z ist, muss gelten:
(l)
(l)
Ψl (r, θ, ϕ) = Ûl (r, θ) eilϕ
Wenn wir obiges Ergebnis in (5.50) einsetzen, erhalten wir
∂
(l)
(l)
− l cot(θ) Ûl = 0
Ûl = R(r) sinl (θ)
∂θ
(5.51)
(5.52)
Damit haben wir den winkelabhängigen Teil der stationären Schrödingergleichung für
rotationssymmetrische Hamiltonoperatoren bestimmt. Die normierten Eigenfunktionen
von L̂z und L̂2 lauten in der Koordinatendarstellung für m > 0:
s
r
(2l
+
1)!
1
(l + m)!
dl−m
imϕ
−m
sin2l (Θ)
Ylm (Θ, ϕ) = (−1)l
e
sin
(Θ)
4π
2l l! (2l)!(l − m)!
(cosl−m Θ)
(5.53)
Die Kugelflächenfunktionen für m < 0 ergeben sich aus
Yl−m = (−1)m (Ylm )∗
Sie erfüllen die Normierungsbedingungen
Z
0
(Ylm (Θ, ϕ))∗ Ylm
0 (Θ, ϕ)dΩ = δll0 δmm0
78
(5.54)
(5.55)
5 Symmetrien und ihre Folgen
5.2.9 Lösung rotationsinvarianter Systeme
Wir betrachten Systeme, für die das Potential rein abstandsabhängig ist, für die also
V (r, ϕ, Θ) = V (r). Die Schrödingergleichung für ein solches System lautet:
2
~ 1 ∂ 2∂
1
2
L̂ + V (r) ΨE (r, Θ, ϕ) = EΨE (r, Θ, ϕ)
(5.56)
−
(r
)+
2µ r2 ∂r
∂r
2µr2
(wobei
h µihier die Masse bezeichnet)
Da Ĥ, L̂ = 0 für ein solches Potential gilt, machen wir den Ansatz:
ΨElm (r, ϕ, Θ) = RElm (r)Ylm (Θ, ϕ)
(5.57)
Wenn wir diesen Ansatz in die obige Schrödingergleichung einsetzen, ergibt sich die so
genannte Radialgleichung
2
~
1 ∂ 2∂
l(l + 1)
+ V (r) REl (r) = EREl (r)
(5.58)
−
r
−
2µ r2 ∂r ∂r
r2
Bemerkung: Den Index m haben wir vernachlässigt, da die Eigenwerte E des Operators
Ĥ 2l + 1 fach entartet sind.
Zur Lösung des Problems führen wir die Hilfsfunktion UEl (r) ein (für die gilt: REl (r) =
UEl (r)
r ), die die Differentialgleichung
d2
2µ
+ 2
dr2
~
l(l + 1)~2
E − V (r) −
2µr2
UEl (r) = 0
(5.59)
erfüllen.
Bemerkung:
Die Gleichung entspricht der eindimensionalen Schrödingergleichung, allerdings mit folgenden Unterschieden:
1. Für die unabhängige Variable r gilt: r ∈ [0, ∞[.
2. Zum Potential V (r) wird der repulsive Term
~2 l(l+1)
2µr 2
addiert (Zentrifugalbarriere).
3. Die Randbedingungen für U (r) unterscheiden sich vom eindimensionalen Fall.
Wenn wir die Differentialgleichung für UEl (r) als Eigenwertgleichung auffassen, kommt
man auf die Form
2 2
~ d
l(l + 1)~2
−
+
V
(r)
+
UEl (r) = D̂l (r)UEl (r) = EUEl (r)
(5.60)
2µ dr2
2µr2
Wir fordern nun, dass D̂l (r) bei der Anwendung auf die Eigenfunktionen U1 , U2 hermitesch ist, also hU1 | D̂ |U2 i = hU2 | D̂ |U1 i∗ .
79
5 Symmetrien und ihre Folgen
Z∞
U1∗ D̂1 U2
∗
∞
Z∞ Z
∗
D̂1 U1 U2 dr
dr =  U2∗ D̂1 U1 dr =
0
0
0
(5.61)
was man auf die Bedingung
dU2
U1∗
dr
−
∞
=0
dr 0
dU1
U2∗
(5.62)
zurückführen kann (D̂l einsetzen und partiell integrieren).
Weiterhin muss gelten, dass die Wellenfunktion quadratintegrabel sein muss, dass also
Z∞
Z∞
2 2
|REl | r dr =
|UEl |2 dr
0
0
auf 1 oder die δ-Funktion normierbar sein muss. Für den oberen Rand muss gelten
UEl → 0 bzw. UEl → eikr . In beiden Fällen ist die Bedingung 5.62 am oberen Rand
r→∞
r→∞
für r → 0 erfüllt. Damit UEl auf die Lösung der Schrödingergleichung führt, muss gelten
UEl (r) → 0.
r→0
5.2.10 Allgemeine Eigenschaften von UEl
Wir wollen einige allgemeine Eigenschaften von UEl (r) durch Grenzwertbetrachtungen
ermitteln. Dazu betrachten wir zunächst den unteren Rand für ein Potential V (r), das
für r → 0 weniger stark singulär ist als r12 . Dann dominiert für r → 0 der Zentrifugalterm,
so dass
l(l + 1)
Ul00 '
Ul
(5.63)
r2
für r → 0 gilt. Wenn wir nun U (r) ∼ rα ansetzen, erhalten wir α(α − 1) = l(l + 1) und
damit α = l + 1 (da U (0) 6= 0 für α = −l).
Bemerkung: Diese Aussage zur Asymptotik von U (r) gilt i.A. natürlich nur für l 6= 0.
Falls V (r) nicht für r → ∞ verschwindet (Bsp. Oszillatorpotential), dominiert das Potential in diesem Limes die Schrödingergleichung, sodass wir keine allgemeine Aussage
für U (r) treffen können. Falls aber rV (r) → 0 für r → ∞ gilt, erhalten wir in diesem
Limes
2µE
d2 UE (r)
=−
UE (r)
(5.64)
dr2
~
1. E > 0: Klassisch ist das Teilchen ungebunden. UE sollte für r → ∞ oszillieren.
2. E < 0: Das Teilchen ist gebunden. UE sollte exponentiell abfallen.
80
5 Symmetrien und ihre Folgen
Fall 1) In diesem Fall hat UE asymptotisch die Form
UE = Aeikr + Be−ikr
mit k =
q
2µE
.
~2
(5.65)
Für das Potential hatten wir angenommen, dass sogar rV (r) →
r→∞
0 gilt und nicht nur V (r) → 0. Den Grund hierfür sehen wir, wenn wir den
r→∞
Ansatz UE (r) = f (r)e±ikr in die Radialgleichung einsetzen. Dann erhalten wir
f 00 ± (2k)f 0 −
2µV (r)
f =0
~2
(5.66)
Da wir davon ausgehen können, dass sich f (r) für r → ∞ nur langsam ändert,
gilt f 00 = 0 und wir erhalten:
df
f
= ∓
i µ
V (r)dr
k ~2

f (r) = f (r0 ) exp ∓
(5.67)
iµ
k~2
Zr

V (r0 )dr0 
(5.68)
r0
Damit wird der Einfluss des Potentials nur dann vernachlässigbar, falls rV (r) →
0.
5.3 Das Wasserstoffatom
5.3.1 Eigenwertproblem
Das Wasserstoffatom ist ein Zweiteilchensystem bestehend aus einem Elektron der Masse
m und der Ladung −e, sowie einem Proton der Masse M und der Ladung +e.
Wie beim klassischen System führen wir Relativ- und Schwerpunktskoordinaten ein.
mM
m
1
Die reduzierte Masse ist µ = m+M
≈ m (da M
≈ 2000
). Die Wechselwirkung zwischen
Proton und Elektron wird durch das Coulombpotential beschrieben, so dass
2
e2 l(l + 1)~2
2m
d
+ 2 E+
−
UEl (r) = 0
(5.69)
dr2
~
r
2mr2
p
Für r → ∞ gilt: UEl ∼ exp(−r 2mW/~2 ), wobei durch W = −E die Bindungsenergie
l+1
des Elektrons bezeichnet wird. Im Limes
p r → 0 gilt gleichzeitig UEl ∼ r . Wenn wir
nun die dimensionslose Variable ρ = r 2mW/~2 einführen, vereinfacht sich die radiale
Schrödingergleichung zu
2
dv
d2 v
e λ l(l + 1)
−2 +
−
v=0,
(5.70)
dρ2
dρ
ρ
ρ2
q
UEl = exp(−ρ)v und λ = ~2m
2W .
81
5 Symmetrien und ihre Folgen
Wenn wir für vEl den Ansatz
vEl = ρl+1
∞
X
ck ρk
(5.71)
k=0
machen, erhalten wir folgende Rekursionsbeziehung für die Koeffizienten:
ck+1
−e2 λ + 2(k + l + 1)
=
ck
(k + l + 2)(k + l + 1) − l(l + 1)
(5.72)
5.3.2 Energieniveaus
c
2
k
l+1 exp(ρ) für ρ → ∞.
Da limk→∞ k+1
ck = k+1 gilt (also ck ∼ 2 /k!), divergiert U ∼ ρ
Daher muss die Rekursion für die Koeffizienten ck für einen bestimmten Wert von k
abbrechen, damit die Wellenfunktion normierbar bleibt. Für diesen Wert von k gilt also
e2 λ = 2(k + l + 1)
(5.73)
Damit erhalten wir für die Bindungsenergie W :
E = −W = −
me4
2~2 (k + l + 1)2
mit k, l = 0, 1, . . .
(5.74)
Wenn wir nun die Hauptquantenzahl n einführen, erhalten wir
En = −
me4
,
2~2 n2
mit n = 1, 2, 3, . . .
n := l + k + 1
(5.75)
Für die Quantenzahl l gilt demnach l = 0, 1, . . . , n − 1.
n−1
n−1
n−1
P
P
P
Die Eigenwerte sind
(2l + 1) = 2
l+
1 = n(n − 1) + n = n2 -fach entartet.
l=0
l=0
l=0
Bemerkung:
1. Spektroskopische Notation:
l= 0 1 2 3 4
→ s p d f g Zustände
Damit entspricht der Zustand 1s den Quantenzahlen n = 1, l = 0. Die Quantenzahl
m wird nicht spezifiziert.
Zustand 2p: n = 2, l = 1
2. Natürliche Energieeinheit:
Es ist üblich die Energien verschiedener Niveaus als Vielfache von 1 Ry =
13, 6eV anzugeben, so dass En = −Ry/n2 .
82
me4
2~
=
5 Symmetrien und ihre Folgen
5.3.3 Die Wellenfunktion
Die Wellenfunktionen ergeben sich aus den Rekursionsrelationen. Für die nicht normierten Radialteile der Wellenfunktion ergibt sich
r
− na
Rnl (r) ∼ e
0
r
na0
l
L2l+1
n−l−1
2r
na0
(5.76)
~
wobei a0 = me
2 ≈ 0.55Å den Bohrschen Radius, also die natürliche Längenskala des
Wasserstoffatoms beschreibt. Mit
Lkp (x) = (−1)k
mit L0p = ex
dk 0
L
dxk p+k
dp −x p
(e x )
dxp
(5.77)
(5.78)
werden die zugeordneten Laguerre-Polynome bezeichnet.
Wie wir bereits im vergangenen Abschnitt vorweggenommen haben, gilt
−r
Rnl (r) ∼ rn−1 e a0 n
r→∞
(unabhängig von l)
(5.79)
im Limes großer Abstände. Insgesamt lauten die ersten normierten Wellenfunktionen
s
−r
1
a0
e
πa30
s
−r
1
r
=
2−
e 2a0
3
a0
32πa0
s
−r
1
r 2a
=
e 0 cos(θ)
3
32πa0 a0
s
1
r −r/2a0
= ∓
e
sin(θ) e±iϕ
64πa30 a0
Ψ1,0,0 =
(5.80)
Ψ2,0,0
(5.81)
Ψ2,1,0
Ψ2,1,±1
(5.82)
(5.83)
Bemerkung:
1. a0 stellt die natürliche Längenskala dar. In einem Zustand mit l = n − 1 liegt das
Maximum der Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei r = n2 a0 .
2. Für l 6= n − 1 kann man die relevante Längenskala durch
hrin,l,m =
a0 2
3n − l(l + 1)
2
charakterisieren.
83
(5.84)
5 Symmetrien und ihre Folgen
5.3.4 Entartung des Wasserstoff-Atoms
Der so genannte Lenz-Runge-Vektor
n=
p × l e2
− r
m
r
(5.85)
ist eine Erhaltungsgröße im klassischen 1r -Potential. Der korrespondierende Quantenoperator ist
N̂ =
i
e2 r̂
1 h
p̂ × L̂ − L̂ × p̂ − p
2m
x2 + y 2 + z 2
(5.86)
h Beim
i ersten Term haben die die Symmetrisierungsregel angewendet. Wie erwartet gilt
N̂ , Ĥ = 0. Wir können daher aus N̂ Auf- und Absteigeoperatoren konstruieren, die l
h
i
verändern, aber n invariant lassen. ( N̂ , L̂2 6= 0).
5.3.5 Größenordnungen
Energieskalen : mc2 ≈ 0, 5M eV
M c2 ≈ 1000M eV
1
m
≈ 2000
→ M
(genauer: 0, 511 M eV )
(genauer: 938, 3 M eV )
1
(genauer: 1836
)
Weitere nützliche Skalen
~c ≈ 2000 eV Å und die Feinstrukturkonstante
e2
1
α =
≈
~c
137
Damit können wir dann den Bohr-Radius durch
~2
~c ~c
=
= 0, 55 Å
2
me
mc2 e2
abschätzen. Der Wert von 1 Ry ergibt sich aus
a0 =
me4
mc2
Ry =
=
2~2
2
e2
~c
2
≈ 13, 3 eV
genauer 13,6 eV
5.3.6 Vergleich mit dem Experiment
Die Energieniveaus des Wasserstoff-Atoms lassen sich experimentell durch die Bestimmung des bei Übergängen zwischen verschiedenen Niveaus emittierten Lichts messen. Es
gilt
En − En0
Ry
1
1
wnn0 =
=
−
(5.87)
~
~ n0 2 n2
84
5 Symmetrien und ihre Folgen
Übergänge nach: n = 1 nennt man Lyman-Serie
n = 2 nennt man Balmer-Serie
n = 3 nennt man Paschen-Serie
5.4 Der Spin
Im Gegensatz zu den bisher vorgestellten Variablen hat der so genannte Spin“ keine klas”
sische Entsprechung. Der Spinoperator hat die Eigenschaft eines Drehimpulsoperators,
ist aber nicht mit dem Bahndrehimpuls gleichzusetzen.
5.4.1 Die Kinematik des Spins
Falls eine Wellenfunktion n-Komponenten besitzt (Ψ ∈ H1 ⊗ H2 ⊗ · · · ⊗ Hn ), ist der
Erzeuger infinitesimaler Drehungen ein Operator, der verschieden vom Bahndrehimpuls
L̂ ist. Der Grund hierfür ist, dass zwei Dinge bei der Rotation einer Vektorfunktion
geschehen:
1. Die Werte der Funktion an einem gegebenen Punkt r werden dem entsprechenden
Punkt r’ nach der Rotation zugeordnet.
2. Die Komponenten der Funktionen werden zu Linearkombinationen der ursprünglichen Komponenten.
Wir wissen aus der vorangegangenen Diskussion, dass die Werte des rotierten Punktes
von L̂ generiert wird. Für den zweiten Teil der Rotation sei eine n × n-Matrix verantwortlich.
Eine solche infinitesimale Rotation um die z-Achse hat die Form
 

∂
−i~ ∂ϕ
Ψ01
 ..   (n) i 
 .  = Id − 
~
Ψ0n


..
.
∂
−i~ ∂ϕ


Ψ1
 i   .. 
 − Sz   . 
~
Ψn
(5.88)
wobei Id(n) die n-dimensionale Einheitsmatrix und Sz eine n×n-Matrix ist. In abstrakter
Form lautet die Gleichung
0
Ψ = Î − i (L̂z + Ŝz ) |Ψi = (Î − i Jˆz ) |Ψi
(5.89)
~
~
Der Erzeuger infinitesimaler Rotationen n-komponentiger Vektoren um die z-Achse ist
also Jˆz = L̂z + Ŝz und für beliebige Achsen
Jˆ = L̂ + Ŝ
(5.90)
Da Jˆ Erzeuger infinitesimaler Rotationen ist, müssen die Komponenten von Jˆ die Drehimpulsalgebra
85
5 Symmetrien und ihre Folgen
h
i
X
Jˆi , Jˆj = i~
ijk Jˆk
(5.91)
k
erfüllen. Da L̂ auf die Koordinaten und Ŝ auf die Komponenten von |Ψi wirken, vertauschen L̂ und Ŝ, und man erhält aus obiger Beziehung
h
Jˆi , Jˆj
i
→ Ŝi , Ŝj
i
h
=
i h
i
h
i
X
L̂i , L̂j + Ŝi , Ŝj = i~
ijk L̂k + Ŝk
k
h
= i~
X
ijk Ŝk
k
so dass Ŝ ein Drehimpulsoperator ist.
Wir haben bei der Einführung des Drehimpulsoperators die Matrixelemente für Operatoren bestimmt, die die obige Gleichung erfüllen. Die unendlich dimensionale Matrix, die einen allgemeinen Drehimpulsoperator repräsentiert, ist zusammengesetzt aus
(2j + 1) × (2j + 1)-dimensionalen Blöcken. Der relevante Block dieser Matrix lässt sich
experimentell bestimmen, wobei sich für das Elektron ergibt, dass Ŝz nur die Eigenwerte
± ~2 hat. Damit erhalten wir für die Komponenten von Ŝ
Ŝx =
~
2
0 1
1 0
;
Ŝy =
~
2
0 −i
i 0
;
Ŝz =
~
2
1 0
0 −1
(5.92)
So wird die Wellenfunktion des Elektrons durch einen zweikomponentigen Spinor (Vektor
einer 2-dimensionalen komplexen Darstellung der Spin-Gruppe)
Ψ=
Ψ+ (x, y, z)
Ψ− (x, y, z)
≡ Ψ+
1
0
+ Ψ−
0
1
(5.93)
beschrieben. Falls Ψ− = 0 und Ψ+ 6= 0 gilt, liegt ein Eigenzustand von Ŝz mit Eigenwert
~
2 vor.
Bemerkung:
1. Ein Eigenzustand des Impulsoperators p̂ mit Eigenwert 0 besitzt im gesamten
Raumbereich eine konstante Amplitude. Damit besitzt er einen verschwindenden
Bahndrehimpuls, d.h. l = m = 0. Andererseits gibt es eine endliche Wahrscheinlichkeit die Eigenwerte ± ~2 des Spinoperators zu messen.
2. Man kann den Betrag des Spins im Gegensatz zum Bahndrehimpuls nicht ändern.
2
3. Der Ŝ -Operator lautet
2
Ŝ = ~
2
1 1
2(2
+ 1)
0
0
1 1
(
2 2 + 1)
86
3
= ~2
4
1 0
0 1
(5.94)
5 Symmetrien und ihre Folgen
Wir betrachten nun Hamilton-Operatoren, die die Form Ĥ = Ĥ0 + Ĥs besitzen, d.h.
solche Ĥ für die die Eigenfunktion faktorisieren.
|Ψ(t)i = |Ψ0 (t)i ⊗ |Ψs (t)i
(5.95)
wobei |Ψ0 (t)i den räumlichen und |Ψs (t)i den Spinanteil der Wellenfunktion beschreibt.
Es gilt:


ac
 ad 
a
c

=
⊗
 bc 
b
d
bd
Es sind nun |s, sz i = |s, m~i = |s, mi Basisvektoren im zweidimensionalen Hilbertraum von Ŝ. Die Basisvektoren sind dann
1 1
1
|s, mi = ,
→
2 2 Ŝz −Basis 0
1 1
0
|s, mi = , −
→
1
2 2
(5.96)
(5.97)
Ŝz −Basis
Jeder Ket |χi ∈ Vs (zweidimensionaler Hilbertraum) kann in dieser Basis entwickelt
werden.:
1 1
1 1
α
+ β , −
→
(5.98)
|χi = α ,
2 2
2 2 Ŝz −Basis β
Die Norm DvonE |χi in Ŝ z -Basis ist daher gegeben durch die Bedingung |a|2 + |β|2 = 1.
Wenn wir Ŝ in den Eigenzuständen von Ŝz bestimmen, erhalten wir
1 1 1 1
~
= ± ez
, ± Ŝ , ±
2 2
2 2
2
(1, 0)Ŝx (1, 0)T
(5.99)
= (1, 0)(0, 1)T = 0
~
2 σ̂
(5.100)
Der Spinoperator lässt sich durch die sog. Pauli-Matrizen Ŝ =
ausdrücken, so dass
0 1
0 −i
1 0
σ̂x =
, σ̂y =
, σ̂z =
(5.101)
1 0
i 0
0 −1
Die Pauli-Matrizen besitzen die Eigenschaft, dass
1. sie antikommutieren
[σ̂i , σ̂j ]+ = 0 σ̂i σ̂j = −σ̂j σ̂i (i 6= j)
2. sie zyklisch sind: σ̂x σ̂y = iσ̂z
3. sie spurfrei sind, also tr(σ̂i ) = 0
4. σ̂i2 = Î und allgemeiner (e · σ̂)2 = Î
mit |e| = 1
87
5 Symmetrien und ihre Folgen
5.4.2 Explizite Darstellung von Drehoperatoren
Durch die Beziehung σ̂i2 = Î können wir eine einfache, geschlossene Form des Drehoperators angeben.
i
i
θ · S = exp − θ · σ̂
exp
~
2
θ
exp −i eθ σ̂
2
∞
X −iθ n
(eθ σ̂)n
2
n=0
1
iθ 2
θ
eθ σ̂ +
−
Î + . . .
Î + −i
2
2
2
Û [R(θ)] =
=
=
=
Wenn man gerade und ungerade Terme zusammenfasst, so erhält man
θ
θ
U [R(θ)] = cos( )Î − i sin( )eθ σ̂
2
2
(5.102)
1
Zur Anwendung von U [R(θ)] betrachten wir ein Teilchen im Eigenzustand
von
0
Ŝz . Dieses Teilchen wollen wir in einen Zustand |ni überführen. Wir müssen also eine
Drehung um eine Achse senkrecht zu n und der z-Achse durchführen, also um
θ = θeθ = θ
Da

sin θ cos ϕ
en =  sin θ sin ϕ 
cos θ

ez × n
|ez × n|

− sin ϕ
eθ =  cos ϕ 
0

Dann ist
U [R(θ)] =
cos(θ/2) − sin(θ/2)e−iϕ
sin(θ/2)eiϕ
cos(θ/2)
Die erste Spalte stellt einen Eigenzustand zum Operator en Ŝ mit Eigenwert
wir erwartet haben.
(5.103)
~
2
dar, wie
5.4.3 Spin-Dynamik
Die Wechselwirkung zwischen einem klassischen Dipolmoment µ und einem äußeren
Feld B ist gegeben durch −µB, d.h. die parallele Ausrichtung des Dipols zum Feld ist
energetisch bevorzugt.
Wir betrachten nun ein Teilchen mit Masse m und Ladung q, das sich mit der Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit Radius r bewegt.
88
5 Symmetrien und ihre Folgen
Abbildung 5.1: Strom durch ein Flächenelement
Damit ist der Strom gegeben durch
I=
qv
2πr
(5.104)
Durch diesen Strom wird ein magnetisches Moment des Betrags
µ=
IA
qv r2 π
qvr
q
q
=
·
=
=
mvr =
l
c
2πr
c
2c
2mc
2mc
(5.105)
induziert. Das Verhältnis γ zwischen µ und l wird gyromagnetischer Faktor genannt
q
. Durch das Drehmoment
(wobei µ und l parallel sind). Für dieses Beispiel ist γ = 2mc
M =µ×B =
dl
= γ(l × B)
dt
wird eine Präzessionsbewegung des Dipolmoments induziert.
Abbildung 5.2: Drehimpulsvektor-Skizze
89
(5.106)
5 Symmetrien und ihre Folgen
Für kleine Zeiten erhalten wir
∆l = γ(l × B)∆t
∆l = γlB sin θ∆t
(5.107)
Da ∆l senkrecht auf l steht, gilt
∆l
= −γB∆t
∆φ = −
l sin θ
d.h. die Frequenz der Präzessionsbewegung ist ω 0 = −γB
(5.108)
Nach dieser klassischen Betrachtung analysieren wir nun die quantenmechanische Beschreibung geladener Teilchen im Magnetfeld B. Der Hamiltonoperator eines Teilchens
der Masse m und Ladung q ist
q 2 Â2
p̂2
q −
p̂Â + Âp̂ +
Ĥ =
2m 2mc
2mc
Wir betrachten nun ein Vektorpotential A, für das gilt
(5.109)
B
(5.110)
−yex + xey
B = ∇ × A = Bez
2
Angenommen, dieses Magnetfeld ist klein, dann können wir den Term ∼ B 2 vernachlässigen. Es bleibt
Â =
p̂Â |Ψi → −i~∇ ÂΨ̂
h
i
= −i~ ∇ÂΨ + Â∇Ψ
Durch Coulombeichung verschwindet der erste Term, so dass die Wechselwirkung mit
einem äußeren Magnetfeld durch
qB
q
(2Âp̂) = −
(−y p̂x + xp̂y )
2mc
2mc
q
(L̂B̂) = −µ̂B̂
= −
2mc
gegeben ist. Das magnetische Moment lautet also wie im klassischen Fall
Ĥint = −
q
L̂
2mc
Damit erhalten wir für die z-Komponente von µ̂
µ̂ =
q
q~
L̂z =
(0, ±1, ±2, . . . )
2mc
2mc
wird Bohrsches Magneton genannt
µ̂z =
Die Größe
q~
2mc
Elektron :
Proton :
e~
2mc
e~
2M c
= 0, 8 · 10−8 eV /G
= 0, 3 · 10−11 eV /G
90
(5.111)
(5.112)
5 Symmetrien und ihre Folgen
5.4.4 Das magnetische Moment des Spins
Wir nehmen an, dass auch mit dem Spin ein magnetische Moment verbunden ist, und
setzen an
e
)Ŝ
2mc
ge~
= −µ̂B̂ =
σ̂ · B̂
4mc
µ̂ = −g(
Ĥint
(5.113)
(5.114)
Dabei betrachten wir hier Elektronen, daher setzen wir q = e. Wir haben nun die gleiche
Form verwendet, wie wir sie auch für den Bahndrehimpuls angesetzt haben, allerdings
mit einer noch zu bestimmenden Konstante g.
Im Rahmen der relativistischen Beschreibung eines Elektrons durch die so genannte
Dirac-Gleichung (siehe QM-II) erhält man g = 2. Mittels Quantenelektrodynamik kann
man aber zeigen, dass noch Korrekturen auftreten, die sich in Potenzen der Feinstrukturkonstanten entwickeln lassen.
1
(5.115)
α + O(α2 )
g =2 1+
2π
Der beste, theoretisch ermittelte Wert ist g ≈ 2 · 1, 001159652140(±28) und stimmt sehr
genau mit dem experimentell ermittelten Wert überein. Für Kernteilchen kann man eine
solche Reihenentwicklung nicht durchführen.
Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld B̂ wird durch
Ĥ = −µ̂ · B̂ = γ Ŝ · B̂ =
e
Ŝ · B̂
mc
(5.116)
bestimmt. Die Zeitentwicklung der Wellenfunktion eines Elektrons im Magnetfeld wird
entsprechend durch
|Ψ(t)i = Û (t) |Ψ(0)i
(5.117)
beschrieben, wobei |Ψ(0)i den Anfangszustand des Elektrons und
Û (t) = exp(−i
γtŜ · B̂
Ĥt
) = exp(−i
)
~
~
(5.118)
der Zustandsoperator
D Eist. Û (t) rotiert den Zustand |Ψ(0)i um den Winkel θ(t) = −γBt.
Damit präzediert Ŝ um B mit einer Frequenz ω 0 = −γB
5.4.5 Spin- und Bahndrehimpuls
Der einfachste Fall, für den Spin- und Bahndrehimpuls gleichzeitig berücksichtigt werden,
ist derjenige, für den Ĥ separabel ist, d.h. Ĥ = Ĥ0 + ĤS . Dies hat zur Folge, dass
die Eigenfunktionen faktorisieren, d.h. |Ψi = |Ψ0 i ⊗ |χS i. Ein Beispiel für ein solches
91
5 Symmetrien und ihre Folgen
System ist das Wasserstoffatom, da die Coulombwechselwirkung unabhängig von der
Spineinstellung ist. Die vollständigen Eigenzustände lauten dann
0
nlmmS = ± 1 → Ψnlm (r, θ, ϕ)χ± , χ+ = 1
,
χ
=
(5.119)
−
0
1
2
Wenn man nun ein schwaches Magnetfeld B = Bez anlegt, kann man die Wechselwirkung
des Kerns vernachlässigen. Damit lautet der Hamiltonoperator
eB
eB
L̂z − −
Ŝz
(5.120)
Ĥ = ĤCoulomb − −
2mc
mc
Da die zusätzlichen Terme mit dem ursprünglichen Hamiltonoperator vertauschen, werden lediglich die Eigenwerte modifiziert.
Ry
eB~
(m + 2mS ) |nlmmS i
(5.121)
Ĥ |nlmmS i = − 2 +
n
2mc
Damit wird die Entartung der Eigenzustände aufgehoben. Experimentell beobachtet man
weitere Spektrallinien. Diese Aufspaltung des Wasserstoffspektrums nennt man ZeemanEffekt.
Anmerkung: Problem: Bei Kopplung von L̂ und Ŝ ist der Hamiltonoperator nicht mehr
separabel.
5.4.6 Addition von Drehimpulsen
Ein einfaches Beispiel
Wir betrachten ein System von 2 Spin- 21 -Teilchen (Spinoperatoren Ŝ 1 , Ŝ 2 ). Der ZweiteilchenHilbertraum V1 ⊗ V2 wird durch die Basisvektoren |s1 m1 i ⊗ |s2 m2 i = |s1 m1 , s2 m2 i
aufgespannt, die den Gleichungen
Ŝi2 |s1 m1 , s2 m2 i = ~2 si (si + 1) |s1 m1 , s2 m2 i
(5.122)
Ŝiz |s1 m1 , s2 m2 i = ~mi |s1 m1 , s2 m2 i
genügen.
In kompakter Notation kann man die Basisvektoren durch das Vorzeichen der z-Komponente
charakterisieren, also |++i, |+−i, |−+i, |−−i, wobei z.B.
1
1
1
1
|+−i = s1 = m1 = , s2 = m2 = −
2
2
2
2
Wenn man den Spinoperator des Gesamtsystems (Gesamtdrehimpuls)
Ŝ = Ŝ 1 + Ŝ 2
betrachtet, kann man zeigen, dass Ŝ ein Drehimpulsoperator ist, d.h. es gilt
92
(5.123)
5 Symmetrien und ihre Folgen
h
i
X
Ŝi , Ŝj = i~
ijk Ŝk
(5.124)
k
Wir müssen nun die Eigenwerte und Eigenzustände des Gesamtdrehimpulses bestimmen.
Dazu betrachten wir zunächst Ŝz = Ŝ1z + Ŝ2z .
Wenn wir Ŝz auf die Basiszustände des Zwei-Spinsystems anwenden, ergibt sich
Ŝz |++i =
Ŝ1z + Ŝ2z |++i = ~2 + ~2 |++i = ~ |++i
(5.125)
Ŝz |−−i = −~ |−−i
Ŝz |+−i = Ŝz |−+i = 0
In der Matrixdarstellung hat Ŝz die Form

1
 0
Ŝz → ~ 
 0
0
0
0
0
0

0 0
0 0 

0 0 
0 −1
(5.126)
Wir betrachten nun den Operator
2
2
Ŝ 2 = Ŝ 1 + Ŝ 2 Ŝ 1 + Ŝ 2 = Ŝ 1 + Ŝ 2 + 2 Ŝ 1 · Ŝ 2
(5.127)
Es gilt
h
Ŝ 2 , Ŝ12
i
= 0 =
h
Ŝ 2 , Ŝ22
i
(5.128)
aber
h
2
Ŝ 2 , Ŝiz
i
6= 0
Die explizite Matrixdarstellung von Ŝ 2 lautet

2 0

0 1
Ŝ 2 → ~2 
 0 1
0 0
0
1
1
0

0
0 

0 
2
(5.129)
Damit sind offensichtlich |++i und |−−i Eigenzustände von Ŝ 2 [s(s + 1) = 2], die
Zustände |+−i und |−+i dagegen nicht. Die weiteren Eigenzustände lauten

|+−i+|−+i
√

(s
=
1)

2
Eigenzustände von Ŝ 2
(5.130)

|+−i−|−+i

√
(s = 0)
2
93
5 Symmetrien und ihre Folgen
Bemerkung:
1. Da Spin- 12 -Teilchen total antisymmetrische Wellenfunktionen besitzen, muss der
räumliche Anteil zum Spintriplett (s = 1) (Zustände |++i, |−−i, √12 (|+−i+|−+i) )
total antisymmetrisch und beim Singlett (s = 0) (Zustand √12 (|+−i − |−+i) ) total
symmetrisch gegenüber dem Austausch von Teilchen sein.
2. Die Wahl der geeigneten Basis (Gesamtspin oder Produktzustände) hängt naturgemäß von der Problemstellung ab:
Wechselwirkung mit einem äußeren Feld (B = B0 ez )
Ĥ = − γ Ŝ 1 + γ Ŝ 2 · B = −B0 γ Ŝ1z + γ Ŝ2z
⇒ Die Produktbasis ist die geeignete Wahl.
Wechselwirkende Spins:
1 Ĥ = AŜ 1 · Ŝ 2 = A Ŝ 2 − Ŝ12 − Ŝ22
2
(5.131)
(5.132)
⇒ Die Basis des Gesamtspins diagonalisiert Ĥ.
Das allgemeine Problem
Wir betrachten nun die Addition zweier beliebiger Drehimpulsoperatoren Jˆ1 und Jˆ2 und
2
suchen die Eigenzustände von Jˆ und Jˆz , wobei Jˆ = Jˆ1 + Jˆ2 ist. Es ist klar, dass Jˆz
diagonal in der Produktbasis ist, also
Jˆz |j1 m1 , j2 m2 i = ~(m1 + m2 ) |j1 m1 , j2 m2 i
(5.133)
Die Eigenwerte von Jˆz sind i.A. entartet, da mehrere Kombinationen von m1 , m2 auf
die gleiche Summe führen.
Im nächsten Schritt müssen wir das Spektrum von Jˆ bestimmen. Intuitiv erwarten
wir für j1 ≥ j2 , dass die Eigenwerte von Jˆ2 durch j1 + j2 , j1 + j2 − 1, . . . , j1 − j2 gegeben
sind.
Eine erste Konsistenzprüfung kann man anhand einer Dimensionsanalyse durchführen.
Für die Anzahl der Zustände ergibt sich
jX
1 +j2
j=j1 −j2
(2j + 1) =
jX
1 +j2
(2j + 1) −
j=0
j1 −j
2 −1
X
(2j + 1)
j=0
(j1 + j2 )(j1 + j2 + 1)
+ (j1 + j2 + 1)
= 2
2
(j1 − j2 − 1)(j1 − j2 )
−2
− (j1 − j2 )
2
= (2j1 + 1)(2j2 + 1)
94
5 Symmetrien und ihre Folgen
Damit ist das Spektrum von Jˆ2 kompatibel mit der Dimension des Produktraumes.
Um die allgemeine Konstruktionsvorschrift zu erläutern, wenden wir uns wieder zwei
Spin- 21 -Teilchen zu. Die Zustände sind in 5.1 aufgelistet.
m j
1
0
-1
1
|1, 1i
|1, 0i
|1, −1i
0
|0, 0i
Tabelle 5.1: Zustände von Spin- 21 -Teichen
Wir können den Zustand |1, 0i durch Anwendung des Absteigeoperators erhalten
√
(5.134)
Ŝ− |1, 1i = 2 ~ |1, 0i
In der Produktbasis gilt:
√
√ √
1
Ŝ− |+, +i =
1 2 ~(Ŝ1− + Ŝ2− ) |+, +i
2~
1
= √
(~ |−, +i + ~ |+, −i)
2~
1
→ |1, 0i = √ (|+, −i + |−+i)
2
(5.135)
(5.136)
(5.137)
Man kann den Zustand |1, −1i durch erneutes Anwenden von Ŝ− erhalten, so dass sich
wie erwartet |1, −1i = |−, −i ergibt. Der Zustand |0, 0i ist eine Linearkombination der
Produktzustände |+, −i und |−, +i, also |0, 0i = α |+, −i + β |−, +i. Die Koeffizienten
ergeben sich aus den Bedingungen
1. α + β = 0
2. α2 + β 2 = 1
h0, 0|1, 0i = 0
(Norm)
Damit erhalten wir also
1
|0, 0i = √ (|+, −i − |−, +i)
2
Dieses Vorgehen lässt sich für beliebige Jˆ verallgemeinern.
(5.138)
1. Alle Eigenzustände zu |j1 + j2 , mi (Gesamtdrehimpulszustände) erhält man durch
Anwendung von Jˆ− auf den Zustand |j1 + j2 , j1 + j2 i = |j1 , m1 = j1 ; j2 , m2 = j2 i
2. Der Zustand |j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1i ergibt sich aus den Orthogonalität zu dem
Zustand |j1 + j2 , mmax − 1 = j1 + j2 − 1i. Für mmax −1 gibt es zwei Möglichkeiten,
j1 − 1 + j2 und j1 + j2 − 1
| {z } |{z}
|{z} | {z }
m1
m2
m1
m2
95
5 Symmetrien und ihre Folgen
Beispiel:
Spin-1/2-Teilchen.
|3/2, 3/2i = |1, 1; 1/2, 1/2i
Absteigeoperatoren verwenden
|3/2, 1/2i = α |1, 1; 1/2 − 1/2i + β |1, 0; 1/2, 1/2i
|3/2, −1/2i = α |1, 0; 1/2 − 1/2i + β |1, −1; 1/2, 1/2i
|3/2, −3/2i = |1, −1; 1/2, −1/2i
5.5 Die Clebsch-Gordon (CG) -Koeffizienten
Da die Produktzustände der einzelnen Drehimpulse eine vollständige Basis des Hilbertraumes den Gesamtdrehimpuls darstellen, können wir die Eigenzustände in dieser Basis
entwickeln:
|jm; j1 j2 i =
XX
|j1 m1 , j2 m2 i hj1 m1 ; j2 m2 |jm; j1 j2 i
(5.139)
m1 m2
Die Koeffizienten dieser Entwicklung nennt man Clebsch-Gordon-Koeffizienten. Einige
Eigenschaften der CG-Koeffizienten:
1. hj1 m1 ; j2 m2 |jm; j1 j2 i =
6 0 gilt nur, falls j1 − j2 ≤ j ≤ j1 + j2
(j1 ≥ j2 )
2. hj1 m1 ; j2 m1 |jm; j1 j2 i =
6 0 nur, falls m1 + m2 = m
3. Die Koeffizienten sind reell (Konvention).
4. hj1 m1 ; j2 m2 |jm; j1 j2 i = (−1)j1 +j2 −j hj1 (−m1 ); j2 (−m2 )|j(−m); j1 + j2 i. Wir müssen nur die Koeffizienten für m ≥ 0 bestimmen.
5.6 Addition von Drehimpuls- und Spinoperator
Wir betrachten ein im Coulombpotential gebundenes Elektron mit dem Gesamtdrehimpuls
1
Jˆ = L̂ + Ŝ sodass j = l ±
2
Die Eigenzustände lauten
j = l + 1 , m = α l, m − 1 ; 1 , 1 + β l, m + 1 ; 1 , − 1
2
2 2 2
2 2 2
j = l − 1 , m = α0 l, m − 1 ; 1 , 1 + β 0 l, m + 1 ; 1 , − 1
2
2 2 2
2 2 2
96
5 Symmetrien und ihre Folgen
Aus der Orthonomalität der Zustände folgt
α2 + β 2 = 1
α02 + β 02 = 1
αα0 + ββ 0 = 0
Die fehlende Gleichung erhalten wir aus
1
1
1
3 2
2
ˆ
j = l + ,m
l+
J j = l + , m = ~ l +
2
2
2 2
Mit der Beziehung
2
2
2
Jˆ = L̂ + Ŝ + 2L̂z Ŝz + L̂− Ŝ+ + L̂+ Ŝ−
erhalten wir
β
=
α
l+
l+
sodass wir insgesamt finden
r
1
1
1
j = l ± , m = √
± l+ ±m
2
2
2l + 1
1
2
1
2
−m
+m
!1
2
r
1
1
1
1
l, m − ; ,
+ l+ ∓m
2 2 2
2
!
1
1
1
l, m + ; , −
2 2 2
Bemerkung: Die Basis des Gesamtdrehimpulses ist dann adäquat, wenn man die Kopp2
2
2
lung von Spin- und Bahndrehimpuls betrachtet, also wenn L̂ · Ŝ = 21 (Jˆ − L̂ − Ŝ ) im
Hamilton-Operator auftritt.
5.7 Erklärung einiger zufälliger Entartungen
Der Hamilton-Operator des isotropen Oszillators und des H-Atoms weist eine zufällige
Entartung auf, beispielsweise die (2l + 1)-fache Entartung des Energieeigenwertes.
Im Sinne der Rotationsinvarianz können wir das Phänomen folgendermaßen erklären:
h i
1. Zu jeder Rotation R̂(Θ) in V3 (R̂) existiert ein unitärer Operator Û R̂ , der Vektoroperatoren rotiert
X
Û + v̂i Û =
R̂ij v̂j
j
Wenn der Hamiltonoperator aber nur von den Beträgen von Vektoroperatoren
abhängt, gilt
Û +ˆHÛ = Ĥ
2. In infinitesimaler Form gilt
h
i
Ĥ, L̂i = 0 i = 1, 2, 3
L̂i sind die Erzeuger der Rotationen.
97
5 Symmetrien und ihre Folgen
3. Aus den drei Erzeugern infinitesimaler Rotationen kann man den Absteiger
L̂− = L̂x − iL̂y
konstruieren, sodass
L̂− |l, mi = c |l, m − 1i
h
i
Wegen Li , Ĥ = 0 ändert der Absteiger den Energieeigenwert nicht.
5.7.1 H-Atom
Für das H-Atom gibt es, wie in den Übungen gesehen, eine weitere Erhaltungsgröße, den
sogenannten Lenz-Runge-Vektor N̂ . Ĥ vertauscht mit N̂ , außerdem kann man Auf- und
Absteiger in l erzeugen.
98
6 Die Variationsrechnung
Grundidee: Für den Erwartungswert eines Hamiltonians im Zustand |ψi gilt offenbar
E [ψ] =
hψ| Ĥ |ψi
≥ E0
hψ|ψi
wenn wir mit E0 den Erwartungswert im Grundzustand bezeichnen.
Die Ungleichung gilt offensichtlich, da wir den Zustand |ψi in der Eigenbasis |En i von
Ĥ entwickeln können, sodass
P
P
En | hEn |ψi |2
E0 | hEn |ψi |2
E [ψ] = nP
≥ Pn
=E
| hEn |ψi |2
hEn |ψi |2
n
n
Damit erhalten wir also durch die Berechnung des Erwartungswertes E [ψ] eine exakte
obere Schranke für den Erwartungswert des Grundzustands.
Das Problem bei der Rechnung besteht darin, dass man über die Qualität der Abschätzung keine Aussage treffen kann. Der Wahl der Testfunktion |ψi kommt daher eine
wichtige Bedeutung zu, weil sie die Qualität der Abschätzung bestimmt.
In der Praxis wählt man Testfunktionen so, dass sie der Symmetrie des Problems angepasst sind. Die Testfunktionen hängen in der Regel von einem Satz von Parametern ab,
der optimal gewählt werden muss.
Wir erhalten also ein Ergebnis E [ψ] = E(α, β, γ, ...), für das die Parameter α, β, ... variiert werden. Die Werte, die E [ψ] minimieren, bezeichnen wir mit α0 , β0 , ... . E(α0 , β0 , ...)
stellt dann eine minimale obere Schranke für E0 und einen gewählten Satz von Testfunktionen dar.
Wir wollen nun dieses Verfahren für das Potential V (x) = λx4 (λ ∈ R, λ > 0) erläutern, für das wir eine Abschätzung für den Grundzustand bestimmen wollen.
Symmetriebedungungen:
• keine Knoten, gerade Funktionen
• Maximum bei x = 0 (dem Potentialminimum)
• gebundender Zustand → Funktion verschwindet bei x = ±∞
Eine Funktion, die die Voraussetzungen erfüllt, ist die Gaußfunktion
ψ(x, α) = e−
99
αx2
2
6 Die Variationsrechnung
Für die Funktion gilt
R∞
E(α) =
e−
αx2
2
−∞
2
~2 d2
4 e− −αx
2
+
λx
− 2m
dx
dx2
R∞
=
e−αx2 dx
3λ
~α
+
4m 4α2
−∞
mit
Z∞
−αx2
e
I(α) =
r
dx =
2π
α
nd
(−1)
nI
dαn
Z
=
2
x2n e−αx dx
−∞
Das Minimum wird erreicht für
1
1
6mλ 3
3 6~4 λ 3
α0 =
mit E(α0 ) =
~2
8 m2
Bemerkung: Über die Güte der Abschätzung kann man aus der obigen Rechnung keine
Aussage treffen. Man kann aber den Parameterraum erweitern und das Ergebnis vergleichen. Falls nur noch eine minimale Verbesserung der Schranke erreicht wird, ist dies ein
Hinweis darauf, dass die Rechnung ein gutes Ergebnis geliefert hat.
6.1 Die zeitunabhängige Störungstheorie
6.1.1 Der Formalismus
Wir betrachten eine Hamiltonian der Form
Ĥ = Ĥ0 + Ĥ1
wobei die Lösung von Ĥ0 bekannt ist. Ĥ1 stellt die Abweichung des Hamiltonians dar,
die in einem noch zu definierendem Sinne klein sein sollte.
Es sei nun
• En0 ≡ n0 Eigenket von Ĥ0 zum Eigenwert En0
• |En i ≡ |ni Eigenket von Ĥ zum Eigenwert En
Wir nehmen im Folgenden an, dass die Eigenwerte und Eigenzustände in einer Störungsentwicklung gegeben sind, also
|ni = n0 + n1 + n2 + ...
En = En0 + En1 + En2 + ...
Zu diesem Zeitpunkt nehmen wir weiterhin an, dass n0 nicht entartet ist.
Um die Reihenentwicklung explizit durchführen zu können, betrachten wir
Ĥ |ni = En |ni
100
6 Die Variationsrechnung
⇒ Ĥ0 + Ĥ1 n0 + n1 + ... = En0 + En1 + ... n0 + n1 + ...
Nun muss man die Terme der verschiedenen Ordnungen isolieren und iterieren.
0. Ordnung: Ungestörtes System, Lösung ist bekannt
Ĥ0 n0 = En0 n0
(6.1)
1. Ordnung: Eigenwerte
Ĥ0 n1 + Ĥ1 n0 = En0 n1 + En1 n0
0
n ·
⇒ n0 Ĥ0 n1 + n0 Ĥ1 n0 = En0 n0 n1 + En1 n0 n0
{z
}
| {z }
|
=1
0 hn0 |n1 i
En
⇒ En1 = n0 Ĥ1 n0
(6.2)
Zustände
Multiplikation mit m0 6= n0 m0 Ĥ0 n1 + m0 Ĥ1 n0 = m0 En0 n1 + m0 En1 n0
|
{z
}
|
{z
} |
{z
}
0 hm0 |n0 i
Em
En hm0 |n1 i
=0
0 1 0
m Ĥ n
⇒ m0 n 1 =
0
En0 − Em
1
Damit sind alle Komponenten von n in der Basis des ungestörten
Hamiltonians
bestimmt mit Ausnahme der Komponenten parallel zu n0 .
Dazu betrachten wir die Norm
D E
1 = hn|ni = n0 + n1⊥ + n1|| n0 + n1⊥ + n1||
E
wobei mit n1⊥(||) der Anteil von n1 senkrecht (parallel) zu n0 bezeichnet wird.
Damit erhalten wir
D E D E
1 = n0 n0 + n1|| n0 + n0 n1|| + Terme höherer Ordnung
| {z }
=1
E D E
⇒ n1|| n0 + n0 n1|| = 0
D
⇒
D
E
n0 n1|| = iα (α ∈ R)
Für kleine Werte von α gilt
1 + iα + O(α2 ) = eiα
101
6 Die Variationsrechnung
und damit
E |ni = n0 + n1|| + n1⊥
X
X
X
⇒ n0 = n0 + iα n0 +
... = (1 + iα) n0 +
... ≈ eiα n0 +
...
0 iα X m0 m0 Ĥ1 n0
⇒ |ni = n e +
0
En0 − Em
m6=n
Wenn wir nun n0 mit einem Phasenfaktor e−iα multiplizieren, erhalten wir das
gleiche Resultat, sodass insgesamt
P |m0 ihm0 |Ĥ1 |n0 i 0 1 |ni = n0 +
≡ n + n
E 0 −E 0
n
m6=n
m
(6.3)
2. Ordnung: Eigenwerte
Wir betrachten die Gleichung
0
n ·
Ĥ0 n2 + Ĥ1 n1 = En0 n2 + En1 n1 + En2 n0
⇒ n0 Ĥ0 n2 + n0 Ĥ1 n1 = En0 n0 n2 +En1 n0 n1 +En2
{z
}
| {z }
| {z }
|
=0
=0
=0
P |hn0 |Ĥ1 |m0 i|2
⇒ En2 = n0 Ĥ1 n1 =
E 0 −E 0
m6=n
n
m
Beispiel: Harmonischer Oszillator im elektrostatischen Potential
Ĥ =
p̂2
1
+ mω 2 x̂2
2m
2
|
{z
}
Ĥ0
−qf x̂
| {z }
konstantes Feld in x-Richtung =
b Ĥ1
E 1 = n0 Ĥ1 n0 = −qf n0 x̂ n0
q
~
mit x̂ = 2mω
(â + â+ ) ergibt sich sofort n0 x̂ n0 = 0
gleiches Ergebnis auch aus Symmetrieüberlegung:
En1
Z
= −qf
|
ψn0
|{z}
gerade
102
| xdx = 0
2
(6.4)
6 Die Variationsrechnung
Eigenzustand
Ĥ1
z
X
|ni = n0 +
0 0
m
m −qf
m
= n0 + qf
1
“
”1
1
2m~ω 3
|
{z
~
2mω(~ω)2
2
√
}|
1
{
2
~
(â + â+ ) n0
2mω
0
En0 − Em
√ n + 1 (n + 1)0 − n (n − 1)0
}
2
⇒ Die Störung mischt die benachbarten Level ein.
2. Ordnung
Eigenwerte
X | m0 Ĥ1 n0 |2
n+1
n
q2f 2
2
0 1 1
2 2 ~
En = n Ĥ n =
=
−q
f
+
=
−
0
En0 − Em
2mω −~ω
~ω
2mω 2
m
Exakte Lösung für das System:
1
qf 2 1 q 2 f
p̂2
2
+ mω x̂ −
−
Ĥ =
2m 2
mω 2
2 mω 2
⇒ Die Störungsrechnung zweiter Ordnung liefert das exakte Ergebnis für den Energieeigenwert.
Bemerkung: Auswahlregeln • Auswahlregeln vereinfachen die Berechnung der Störungsrechnung,
h
ida viele Matrixelemente verschwinden müssen.
1
Beispiel: Ω, Ĥ = 0
hαω1 | Ĥ |αω2 i = 0, falls ω1 6= ω2
• weitere Auswahlregeln aus Paritätseigenschaften
6.1.2 Entartete Störungsrechnung
0 = E 0 gilt, ist die Bedingung
Falls Em
n
n0 Ĥ1 m0 2
1
0
En0 − Em
verletzt.
Wir müssen daher den Ansatz modifizieren, sodass die Singularität für das Paar n, m
aufgehoben wird.
Dazu betrachten wir die Situation, dass Ĥ0 entartet ist und Ĥ = Ĥ0 + Ĥ1 nicht. Wenn wir
103
6 Die Variationsrechnung
nun mit der Eigenbasis
0 von Ĥ 0starten (|ni) und die Störung langsam abschalten, erhalten
wir Basiszustände n von Ĥ . Diese Operation ist reversibel, sodass wir ausgehend von
der Basis n0 eine Störungsrechnung für Ĥ durchführen können.
Das Problem ist nun, ohne Kenntnis von |ni eine geeignete Basis zu finden. Eine solche
geeignete Basis von Eigenzuständen von Ĥ0 ist eine Basis, die Ĥ1 in dem entarteten
Unterraum diagonalisiert. Damit stellen wir sicher, dass
0 1 0
0 1
m Ĥ n
m n =
0
En0 − Em
endlich bleibt, da bereits
m0 Ĥ1 n0 = α m0 n0 = 0
gilt.
Beispiel: Stark-Effekt beim H-Atom
Beim Stark-Effekt legt man ein konstantes E-Feld E = k an das H-Atom an. Damit
ergibt sich klassisch
Ĥ1 = −eφ(r1 ) + eφ(r2 ) = e [φ(r2 ) − φ(r1 )] = e(r1 − r2 ) · E = er · E
| {z } | {z }
Proton
Elektron
sodass Ĥ1 = −µe · E mit µe = er elektrisches Dipolmoment.
Damit ergibt sich für E||ez
Ĥ = ez
Wir betrachten nun die Matrixelemente h2, l, m| ez |2, l, mi.
Für die Matrixelemente ergibt sich
n, l, m
2,0,0
2,1,0
2,1,1
2,1,-1
2,0,0
0
∆
0
0
2,1,0
∆
0
0
0
2,1,1
0
0
0
0
2,1,-1
0
0
0
0
mit ∆ = −3ea0 (a0 Bohrscher Radius)
In dem Unterraum für m = 0 gilt Ĥ1 = ∆σx , sodass die Eigenzustände durch
1
√ [|2, 0, 0i ± |2, 1, 0i]
2
gegeben sind.
Für m = ±1 sind weiterhin die Eigenzustände |2, 1, ±1i relevant, da Ĥ1 diagonal ist in
dieser Basis.
Wir halten nun fest, dass
104
6 Die Variationsrechnung
1. die Störungsentwicklung in der Basis |2, 1, ±1i und
√1 [|2, 0, 0i ± |2, 1, 0i]
2
stabil ist.
2. sich für die ersten beiden Zustände keine Verschiebung des Energieniveaus durch
das Feld ergibt. Für die beiden übrigen ergibt sich eine Verschiebung um ±∆.
6.2 Die zeitabhängige Störungstheorie
Form des Hamiltionians sei
Ĥ(t) = Ĥ0 + Ĥ1 (t)
Ĥ0 ist exakt lösbar (z.B. H-Atom).
Ĥ1 kleine zeitabhängige Störung (z.B. schwaches elektromagnetisches Feld)
0
i in den ZuWas
ist
die
Amplitude
für
einen
Übergang
vom
Zustand
Fragestellung:
0
stand f mit f 6= i?
6.2.1 Die Störungstheorie 1. Ordnung
Zustand:
|ψ(t)i =
X
cn (t) n0
n
Zeitentwicklung ohne Störung:
cn (t) = cn (0)e−i
0t
En
~
Wenn wir obige Form der Koeffizienten ausnutzen, erhalten wir
|ψ(t)i =
P
dn (t)e−i
0t
En
~
n
0
n
(6.5)
wobei die Änderung von dn durch Ĥ1 bewirkt wird.
Wir nehmen nun an, dass wir die Zeitentwicklung von dn durch eine Reihenentwicklung
in Ĥ1 darstellen können.
∂
Wenn man nun beide Seiten der Gleichung 6.5 mit (i~ ∂t
− Ĥ0 − Ĥ1 ) multipliziert, erhält
man


X
E0 t ∂
i~d˙n + En0 dn (t) − Ĥ0 dn (t) −Ĥ1 (t)d0n (t) e−i ~n n0
i~ − Ĥ(t) |ψ(t)i = 0 =
|
{z
}
∂t
n
⇒0=
=0
Xh
i
0t En
i~d˙n − Ĥ1 (t)dn e−i ~ n0
n
E0 t
Wenn wir obiges Ergebnis mit f 0 exp(i ~f ) multiplizieren, erhalten wir
X
i~d˙f =
f 0 Ĥ1 (t) n0 eiωf n t dn (t)
ω
105
6 Die Variationsrechnung
mit ωf n =
Ef0 − En0
und
~
X
f 0 n0 = 1
| {z }
n
δf n
Für t = 0 erhalten wir Ĥ(t) = 0 und damit d˙f = 0. Wenn wir nun weiter annehmen,
dass das System im Anfangszustand mit dn (0) = δni präpariert wird, erhalten wir in 1.
Ordnung
i
d˙f (t) = − f 0 Ĥ0 (t) i0 eiωf i t
~
⇒ df (t) = δf i −
i
~
Rt 0
f 0 Ĥ1 (t) i0 eiωf i t dt0
(6.6)
0
Beispiel:
t2
Harmonischer Oszillator + Störung Ĥ1 (t) = −ex̂e− τ 2 , Störung sei “angeschaltet” zwischen t = −∞ und
t = ∞.
Anfangszustand i0 = |0i (Eigenzustand des ungestörten Oszillators)
i
dn (∞) = −
~
Z∞
t2
(−e) hn| x̂ |0i e− τ 2 eiωnt dt
−∞
mit
r
x̂ =
ie
d1 (∞) =
~
~
2mω
1 Z∞
2
~
(â + â+ )
2mω
2
− t 2 iωt
τ
e
e
−∞
ie
dt =
~
~
2mω
1
2
πτ 2
1
2
e−ω
2 τ2
4
Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit des Übergangs
P0→1 = |d1 |2 =
e2 2 πτ 2 −ω2 τ 2
2
e
2mω~
6.2.2 Plötzliche Störung um t = 0
kleines Zeitintervall
Integration der Schrödingergleichung
Z2
E E
i
− ψ −
= |ψafter i − |ψbefore i = −
Ĥ(t) |ψ(t)i dt
ψ
2
2
~
− 2
Im Limes → 0 erhält man wegen der Beschränktheit des Integranden keine Änderung
des Zustandes! Das Resultat ist relevant für sehr schnelle Änderungen, wie z. B. den
β-Zerfall und den Einfluss der neuen Kernladung auf den Zustand des Elektrons.
106
6 Die Variationsrechnung
6.2.3 Adiabatische Störung
Der Hamiltonian verändert sich sehr langsam von Ĥ(0) nach Ĥ(τ ).
⇒ Wenn die Änderung langsam genug erfolgt, geht das System in den Eigenzustand
|n(τ )i von Ĥ(τ ) über.
Beispiel:
Teilchen in einer Box der Länge L(0) zur Zeit t = 0 und zur Zeit t = τ sei die Länge L(τ ).
Die Längenänderung wird so durchgeführt, dass ein Übergang |n(0)i → |n(τ )i induziert
wird.
Semiklassische Betrachtung:
mL2
p ' L~ → Zeit für eine volle Oszillation: T = Lv ' mL
p ' ~
Langsame Änderung, falls
mL2
| dL
|∆L|pro Zyklus
mL dL dt | ~
'
=
1
L
L
~ dt
bzw.
ωWände
1
ωTeilchen
6.2.4 Die periodische Störung
Form der Störung:
Ĥ1 (t) = Ĥ1 eiωt
i
df (t) =
~
Zt
0
i 0 1 0 ei(ωf s −ω)t − 1
0
f 0 Ĥ1 s0 ei(ωf s −ω)t dt0 =
f Ĥ s
~
i(ωf s − ω)
Ps→f = |df |2 =
2
f 0 Ĥ1 s0 |
{z
}
1 ~2 sin((ωf s −ω ) 2t )
(ωf s −ω) 2t
2
t2
(6.7)
Ĥ1f s
Da
sin2 (x)
x2
um 0 gepeakt ist mit der Breite ∆x ' π, ergibt sich
t (ωf s − ω) . π
2
bzw.
Ej0 t = (Es0 t + ~ωt) ± 2~π
oder
Ej0 − Es0 = ~ω ±
2~π
t
= ~ω(1 ±
2π
ωt )
(6.8)
Diskussion: Nur für ω 2π wird der Zustand Ej0 = Es0 + ~ω präferiert. Das System
muss erst einige Perioden “warten”, bevor es den Übergang vollzieht.
Große Zeiten:
T
df = lim −
T →∞
i
~
Z2
0
Ĥ1f i ei(ωf s −ω)t dt0 = −
− T2
107
2πi 1
Ĥ δ(ωf s − ω)
~ fs
6 Die Variationsrechnung
Pf s =
4π 2 1 2
|Ĥf s | δ(ωf s − ω)δ(ωf s − ω)
~2
Mit
T
δ(...)δ(...) = lim δ(ωf s − ω)
T →∞
1
2π
Z2
ei(ωf s −ω)t dt
− T2
mit ωf s = ω wegen der ersten δ-Distribution
δ(...)δ(...) = δ(ωf s − ω) lim
T →∞
T
2π
⇒ Mittlere Übergangsrate
Rs→f =
Pf s
T
=
2π ~ 2
f 0 Ĥ1 s0 δ(Ef0 − Es0 − ~ω)
Fermis Goldene Regel
108
(6.9)
7 Streutheorie
Überall da, wo man mit optischen oder anderen mikroskopischen Methoden die Struktur der Materie nicht mehr aufklären kann, werden Streumethoden eingesetzt. Dabei
werden, wenn man die Wechselwirkung zwischen Objekt und gestreutem Teilchen gut
charakterisieren kann, aus dem Streusignal Rückschlüsse auf die Struktur des Objekts
getroffen.
Streuergebnisse haben die Form
a(α) + b(β) + ... → f (γ) + g(δ) + ...
wobei mit a, b, c, ... Teilchennamen und α, β, γ, ... kinematische Variablen bezeichnet werden.
Wir konzentrieren uns hier auf Streuereignisse am Potential V (r) (äquivalent zur Zweiteilchenstreuung).
7.1 Erinnerung an das 1D-Streuproblem und Überblick
Problemstellung: Falls monoenergetische Teilchen mit Impuls hP i = ~k0 auf ein Potential V (x), das bei ±∞ verschwindet, treffen, wie groß ist dann Transmissions- und
Reflexionswahrscheinlichkeit?
Rezept in 1D
1. Wir starten mit einem Wellenpaket mit hP i = ~k0 und hxi = −∞.
2. Entwicklung in ebenen Wellen. Für jede ebene Welle gilt
x→−∞
ψk −→
x→∞
−→
ikx
Ae
| {z }
+
einlaufende Welle
ikx
−ikx
Be
| {z }
reflektierte Welle
Ce
| {z }
transmittierter Anteil
3. Zeitentwicklung der Entwicklungskoeffizienten (Wellenpaket) und Identifizierung
der transmittierten und reflektierten Anteile
4. Falls das Paket scharf um ~k0 gepeakt ist, hängen R, T nur von k0 ab.
⇒ Man kann direkt mit einer ebenen Welle rechnen.
109
7 Streutheorie
Detektor
ρmax>>r0
dθ
<p>
r0
θ
k0
x
Abbildung 7.1: Streuung
7.2 Streuung in 3D
• Teilchen mit mittlerem Impuls hP i = ~k0
• Ausdehnung des Wellenpakets ρ(r)
• Ausdehnung des Potentials r0 , für r > r0 verschwindet das Potential
r2
Beispiel: V (r) = e− a2
r0 ' a
Aufgabenstellung: Wieviele Teilchen gelangen in den Detektor?
Differentieller Streuquerschnitt
dσ(θ, φ)
# Teilchen, die pro Sekunde in dΩ detektiert wird
dΩ =
dΩ
# einfallende Teilchen pro Fläche und Zeit in der Ebene ⊥ ρ
110
7 Streutheorie
Rezept zur Berechnung von
dσ
dΩ
1. Wellenpaket mit hP i = ~k0 und ρ
2. Entwicklung des Wellenpakets in Eigenfunktionen ψk von H = T + V mit
ψk =
+
ψinc
|{z}
einfallende Welle 'eikr
3. Zeitentwicklung der Amplitude a(k) durch e−i
ψsc
|{z}
gestreute Welle
Et
~
4. Bestimmung des gestreuten Anteils für t → ∞ und des assoziierten Wahrscheinlichkeitsstroms. Dann bestimmt man den in dΩ(θ, φ) gestreuten
Anteil. Für scharf
gepeakte Pakete hängt das Ergebnis nur von ~k 0 und ρ ab.
Wir nennen die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen in dΩ gestreut wird,
P (ρ, k 0 → dΩ).
5. Man betrachtet nun einen einfallenden Teilchenstrahl mit η(ρ) Teilchen pro Sekunde und Fläche in der ρ-Ebene
Z
= P (ρ, k 0 → dΩ)η(ρ)
η(dΩ)
d2 ρ
| {z }
|{z}
in den Detektor einfallende Teilchen
Integration über die Fläche des Detektors
Typischerweise ist η(ρ) = η = const.
dσ
η(dΩ)
dΩ =
=
dΩ
η
Z
P (ρ, k 0 → dΩ)d2 ρ
6. Man kann wieder mit der statischen Lösung arbeiten und ψsc in Abhängigkeit von
eik0 r darstellen. Für ebene Wellen ist die einfallende Welle konstant in ρ.
dσ
Bestimmung von dΩ
aus ψk0 :
ψk = eikz + ψsc (r, θ, φ)
z-Achse || zu k 0
große Entfernung vom Potential
freie Teilchen und damit (∇2 + k 2 )ψsc = 0.
Die gestreute Welle bewegt sich ausschließlich vom Target weg, sodass die Lösung
die Form
eikr
r→∞
ψk −→ eikz + f (θ, φ)
r
hat.
Durch f (θ, φ) wird auch der differentielle Streuquerschnitt festgelegt:
dσ
= |f (θ, φ)|2
dΩ
(7.1)
Begründung für 7.1:
Um den Streuquerschnitt zu bestimmen, brauchen wir das Verhältnis jsc (gestreuter Anteil) und jinc (Stromdichte des einfallenden Teilchens).
Für r → ∞ erhalten wir
~ ~k
|j inc | = e−ikz ∇eikz − eikz ∇e−ikz =
(7.2)
2µi
µ
111
7 Streutheorie
da wegen des Faktors
1
r
für θ = 0 die ebene Welle dominiert (µ: Masse).
Bemerkung: Da j quadratisch in ψk ist, können wir sonst wegen der gemischten
Terme jinc und jsc nicht isolieren.
Für Winkel θ 6= 0 werden wir keine Anteile der einfallenden Welle haben, sodass
j sc =
~
∗
(ψ ∗ ∇ψsc − ψsc ∇ψsc
)
2µi sc
⇒ j sc =
er 2 ~k
|f |
r2
µ
Damit ergibt sich für den Wahrscheinlichkeitsfluss in dΩ
R(dΩ) = j sc er r2 dΩ = |f |2
und mit 7.2 erhalten wir
~k
dΩ
µ
dσ
= |f (θ, φ)|2
dΩ
7.3 Die Bornsche Näherung
Betrachte einfallende ebene Wellen. Mit
lim U (ti , tf )
ti →−∞
tf →∞
wird die Streumatrix bezeichnet. Teilchen am Detektor, falls pf in dΩ liegt,
X D E2
pf ρ pi P (pi → dΩ) =
pf in dΩ
1. Ordnung Störungstheorie in V , Anwendung von Fermis Goldener Regel:
Ri→dΩ =
dP (pi → dΩ)
dt
=
2π D E2
pf V pi µpi dΩ
~
Es gilt nun |pf | = |pi | = ~k = p. Insgesamt erhalten wir
D E2
dσ
Ri→dΩ
4 2 2
dΩ =
= (2π) µ ~ pf V pi dΩ
dΩ
jinc
dσ
dΩ
2
µ R −iqr0
= 2π~
e
V (r0 )d3 r0 112
(7.3)
7 Streutheorie
mit ~q = pf − pi Impulsübertrag auf das Teilchen und
~k
1 3
jinc =
µ 2π~
Man kann zeigen, dass
θ
|q| = |kf − ki | = 2k (1 − cos(θ)) = 4k sin
2
2
2
2
2
2
Damit erhalten wir aber auch
µ
f (θ, φ) = −
2π~
Z
0
e−iqr V (r0 )d3 r0
Damit ist f (θ, φ) offenbar die Fouriertransformierte des Potentials für einen bestimmten
Impulsübertrag q (Bornsche Näherung, führende Ordnung in V ).
Wir spezifizieren hier für abstandabhängige Potentiale V (r) = V (r) und wählen z 0 parallel zu q bei der Integration über das Volumen d3 r0 . Damit erhalten wir
µ
f (θ, φ) = −
2π~2
= −
µ
2π~2
Z1 Z2π Zr
−1 0
Z∞
e−iqr
0
cos(θ0 )
V (r0 )d(cos(θ0 ))dφ0 r02 dr0
0
−2i
sin(qr0 )2πV (r0 )r02 dr0
−iqr0
0
= −
2µ
~2
Z∞
sin(qr0 )
V (r0 )r0 dr0 = f (θ)
q
0
⇒ Wie erwartet gibt es keine Abhängigkeit von φ!
Beispiel: Yukawa-Potential
V (r) =
ge−µ0 r
r
Mit dem obigen Ergebnis erhalten wir
2µg
f (θ) = − 2
~ q
µg
= − 2
~ qi
Z∞
0
eiqr − e−iqr −µ0 r0 0
e
dr
2i
0
Z∞
0
0
e(iq−µ0 )r − e−(iq+µ0 )r dr0
0
µg
−1
1
−
~2 qi iq − µ0 iq + µ0
µg iq + µ0 + iq − µ0
2µg
=−
= − 2
2
2
2
~ qi
q + µ0
~(q + µ20 )
= −
113
7 Streutheorie
⇒
4µ2 g 2
dσ
= |f (θ)|2 =
dΩ
~4 µ0 + 4k 2 sin2
θ
2
2
Wenn man nun g = Ze2 und µ0 → 0 setzt, erhält man z.B. das Ergebnis für die
Rutherford-Streuung am geladenen Kern, wenn man zusätzlich den Limes µ0 → 0 durchführt:
µ(Ze2 )2
dσ
=
⇒
dΩ
4p4 sin4 ( 2θ )
Bemerkung: Dieses Ergebnis ist sowohl klassisch als auch quantenmechanisch exakt,
obwohl die Bedingung, dass V (r) schneller als 1r abfällt, im Limes µ0 → 0 nicht erfüllt
ist.
114
8 Quantencomputer
8.1 Quanten-Bits (Qubits)
Ein Qubit ist ein Zustand wie |0i oder |1i, aber auch |ψi = α |0i + β |1i mit α, β ∈ C.
Die Zustände |0i , |1i sind orthonormale Basiszustände. Wenn man Messungen an einem
System im Zustand |ψi durchführt, erhält man mit Wahrscheinlichkeit |α|2 (|β|2 ) den
Zustand |0i (|1i).
Qubits können manipuliert werden (z.B. durch Messung). Es ist nützlich, den Zustand
eines Qubits in der sogenannten Bloch-Sphäre zu visualisieren:
θ
θ
iφ
iγ
|0i + e sin
|1i
|ψi = e
cos
2
2
(in Kugelkoordinaten)
Der Phasenfaktor eiγ ist irrelevant.
Die Bloch-Sphäre ist nicht verallgemeinerbar auf multiple Qubits.
Abbildung 8.1: Bloch-Sphäre
Multiple Qubits
• Kombination zweier Qubits, allgemeiner Zustand
|ψi = α00 |00i + α01 |01i + α10 |10i + α11 |11i
115
8 Quantencomputer
• mögliche Messergebnisse x(= |00i , |01i , |10i , |11i) mit Wahrscheinlichkeit |αx |2 .
P
|αx |2 = 1, wobei {0, 1} die Menge aller Strings mit Länge 2
• Normierung
x∈{0,1}2
und Elementen 0, 1 ist
• sequentielles Auslesen: Erstes Qubit |0i ⇒ Zustand
0 α00 |00i + α01 |01i
ψ = p
|α00 |2 + |α01 |2
wieder normiert
• Bell- oder EPR-Zustand
|00i + |11i
√
2
Beim sequentiellen Auslesen misst man mit Wahrscheinlichkeit 12 den Zustand |0i
für das erste Bit. Damit ist aber auch das zweite Bit festgelegt!
⇒ Die Messungen sind korreliert, stärker als für jedes klassische System!
|ψiB =
• Wenn man das System auf n Qubits erweitert, wird der Zustand durch 2n Amplituden festgelegt.
(n = 500 ⇒ 2500 Amplituden können gespeichert werden und damit mehr Informationen als auf jedem klassischen Computer)
8.2 Quantencomputer
Die Quantengates nehmen die Rolle von Gates in klassischen Systemen ein.
8.2.1 Gates für einzelne (Qu)Bits
Die NOT-Operation ist die einzige Operation, die für einzelne klassische Bits nicht trivial
ist. Sie überführt 0 → 1 und 1 → 0.
Analoge Operation für Qubits?
|ψi = α |0i + β |1i → β |0i + α |1i = |ψ 0 i
Offenbar ist dies eine lineare Operation. Die Wirkung des NOT-Gates entspricht der
Operation
x̂ |ψi = ψ 0
mit
0 1
1 0
β
α
x̂ =
d.h.
x̂
α
β
=
Damit sind Operationen auf Qubits als 2 × 2-Matrizen zu beschreiben. Anforderungen
an die jeweilige Matrix werden durch die Forderung der Normiertheit von |ψ 0 i gestellt.
Daher muss die Matrix Û unitär sein, d.h. Û + U = Î.
116
8 Quantencomputer
Weitere Operationen
Z-Gate
Z=
1 0
0 −1
Hadamard-Gate
1
H=√
2
1 1
1 −1
Bemerkung: Jedes Gate für einzelne Qubits kann als Produkt von Rotationen dargestellt
werden.
8.2.2 Gates für mehrere Qubits
Man kann zeigen, dass man jede Funktion, die man auf klassische Bits anwendet, durch
Kombination von NAND-Gates erzeugen kann.
(Für XOR gilt das nicht, da XOR die Parität des Zustands erhält.)
Wichtiges Gate für Qubits: CNOT-Gate (controlled NOT-Gate)
Wirkung: |00i → |00i , |01i → |01i , |10i → |11i , |11i → |10i
(Bei “1” für das erste Bit wird das zweite invertiert.) Matrixdarstellung

ÛCN
1
 0
=
 0
0
0
1
0
0
0
0
0
1

0
0 

1 
0
⇒
+
ÛCN
ÛCN = Î
Das CNOT-Gate kann man als generalisiertes XOR verstehen, da sich das zweite Bit
wie XOR verhält.
Eine exakte Analogie zu den klassischen Gates ist nicht möglich, da die Operationen
nicht reversibel sind. Es ist nicht, vom Ergebnis der Operation auf die Ausgangsbits zu
schließen!
8.3 Basiswechsel
Wir haben bislang immer die Basis |0i , |1i betrachtet. Alternativ dazu können wir die
Zustände
1
1
|+i = √ (|0i + |1i) und |−i = √ (|0i − |1i)
2
2
betrachten.
In der neuen Basis lautet dann der Zustand |ψi = α |0i + β |1i
|ψi = α
|+i + |−i
|+i − |−i
α+β
α−β
√
√
+β
= √
|+i + √
|−i
2
2
2
2
117
8 Quantencomputer
Messungen in der neuen Basis ergeben natürlich den Zustand |+i mit der Wahrschein2
2
lichkeit |α+β|
und |−i mit der Wahrscheinlichkeit |α−β|
. Wie wir bereits wissen, kann
2
2
man jeden beliebigen Zustand in einer orthonormalen Basis als Linearkombination der
Basisvektoren darstellen.
8.4 Quanten-Schaltkreise
Wir stellen das CNOT-Gate durch das Symbol
|A〉
|A〉
|B〉
|B⊕A〉
Abbildung 8.2: CNOT-Gate
dar.
Dann wird durch
Abbildung 8.3: Quanten-Schaltkreis
ein Quanten-Schaltkreis realisiert.
118
8 Quantencomputer
Die Linien repräsentieren “Drähte” in den Schaltkreisen. Dieser Ausdruck ist allerdings
nur im Übertragenen zu verstehen. Ein solcher “Draht” kann stellvertretend für eine
Zeitentwicklung, ein Photon, das sich von einem Ort zum andern bewegt o.Ä. darstellen.
Die Wirkung des obigen Schaltkreises ist die folgende:
|a, bi → |a, a ⊕ bi
→ |a ⊕ (a ⊕ b), a ⊕ bi = |b, a ⊕ bi
→ |b, (a ⊕ b) ⊕ bi = |b, ai
Der Schaltkreis tauscht also die Qubits aus!
Unterschiede zu klassischen Schaltkreisen
• Quanten-Schaltkreise sind azyklisch, Rückkopplungsschleifen können nicht realisiert werden.
• Verzweigungen der Quantendrähte sind nicht möglich (d.h. das Zusammenführen
oder Kopieren von Bits), wie wir bei der Diskussion im Anschluss sehen werden.
Quanten-Gates, die auf n-Qubits wirken, werden einfach durch unitäre Operationen realisiert. Man kann beispielsweise das kontrollierte U-Gate definieren, das ein Kontrollbit
hat und eine unitäre Operation auf n-Targetbits realisiert.
Das Symbol einer solchen Operation lautet
Kontrollbit
n-Targetbits
U
Abbildung 8.4: kontrolliertes U-Gate
Wenn das Kontrollbit im Zustand “1” ist, wird das Gate aktiviert, d.h. die Operation
durchgeführt.
Neben der Manipulation von Qubits müssen wir in der Lage sein, Qubits auszulesen,
119
8 Quantencomputer
d.h. wir messen. Dies wird durch das Symbol
|ψ〉
Abbildung 8.5: Messung von Qubits
dargestellt.
Die Messung überführt ein Qubit in zwei klassische Bits, die mit Wahrscheinlichkeit |α|2
“0” und |β|2 “1” ergeben.
8.5 Kann man Qubits kopieren?
Durch das klassische CNOT-Gate kann man in klassischen Schaltkreisen Bits kopieren:
x
x
x
x
0
y
x⊕y
x
Abbildung 8.6: Kopieren von Qubits
Was passiert nun mit einem Qubit im Zustand |ψi = α |0i + β |1i?
Der Eingangszustand des CNOT-Gates lautet offenbar
(α |0i + β |1i) |0i = α |00i + β |10i
120
8 Quantencomputer
Der generierte Zustand lautet einfach α |00i+β |10i. Offensichtlich ist dies für allgemeine
Zustände nicht die Kopie des Zustands |ψi, denn
|ψi |ψi = α2 |00i + αβ |01i + αβ |10i + β 2 |11i
Damit ist die Kopie nur dann möglich, wenn das Qubit nur klassische Informationen
enthält, also für |0i oder |1i.
Beispiel: Bell-Zustände
Wir betrachten nun einen Schaltkreis, der das Hadamard-Gate und das CNOT-Gate
kombiniert:
x
H
|βxy〉
y
Abbildung 8.7: kombiniertes Hadamard- und CNOT-Gate
Die Output-Zustände dieses Gates sind die Bell-Zustände
|β00 i =
|00i + |11i
√
2
|β10 i =
|00i − |11i
√
2
|β01 i =
|01i + |10i
√
2
|β11 i =
|01i − |10i
√
2
oder zusammengefasst
|βxy i =
|0, yi + (−1)x |yi
√
2
Durch diesen Schaltkreis können also die Bell-Zustände, d.h. verschränkte Zustände (dies
sind wiederum Zustände, die nicht Produktzustände von Single-Qubits-Zuständen sind),
dargestellt werden.
8.6 Quanten-Teleportation
Man kann mit dieses Methode Quantenzustände transportieren, ohne dass eine explizite
Verbindung zwischen den Quantenzuständen von Sender und Empfänger besteht.
121
8 Quantencomputer
Hier kommen die inzwischen berühmten Alice und Bob ins Spiel. Beide haben zusammen
ein EPR-Paar generiert, ein Bit mitgenommen und sich getrennt. Nun soll sie ein Qubit
|ψi zu Bob schicken, wobei sie |ψi nicht kennt und nur klassische Informationen senden
darf.
Probleme
• Sie kann den Zustand nicht bestimmen, da sie nur eine Kopie hat (nur eine Projektion durch Messung).
• Das zweite Problem ist die Beschreibung des Zustands, da man kontinuierliche
Einstellungen hat.
Lösung
• Alice lässt den Zustand |ψi mit ihrem Teil vom EPR-Zustand wechselwirken.
• Sie misst dann ihre zwei Qubits, sodass sie eines der 4 Resultate |00i , |01i , |10i , |11i
erhält. Das Resultat wird zu Bob gesandt.
Je nach Ausgang der Messung von Alice führt Bob eine bestimmte Operation aus und
kann so wieder |ψi rekonstruieren!
Konkret führen die beiden die folgenden Schritte aus:
Zustand |ψi = α |0i + β |1i
Schaltkreis
ψ〉
H
β00〉
Xµ2
ψ0〉
ψ1〉
ψ2〉
ψ3〉
Abbildung 8.8: Quanten-Teleportation
122
Zµ1
ψk〉
8 Quantencomputer
Eingangszustand:
1
|ψ0 i = |ψi |β00 i = √ (α |0i (|00i + |11i) + β |1i (|00i + |11i))
2
Die ersten zwei Qubits gehören Alice, das dritte Bob.
Alice benutzt ein CNOT-Gate:
1
|ψ1 i = √ (α |0i (|00i + |11i) + β |1i (|10i + |01i))
2
Erstes Qubit durch ein Hadamard-Gate:
1
√ (α(|0i + |1i)(|00i + |11i) + β(|0i − |1i)(|10i + |01i))
2
1
= √ (|00i (α |0i + β |1i) + |01i (α |1i + β |0i)
2
+ |10i (α |0i − β |1i) + |11i (α |1i − β |0i))
|ψ2 i =
Damit können wir also durch das Resultat der Messung von Alice das Qubit von Bob
festlegen. Nun muss Bob je nach Ausgang der Messung von Alice nur noch die Gates
X µ2 und Z µ1 (µ1 , µ2 ∈ {0, 1}) anwenden, um den Zustand zu rekonstruieren.
Diskussion
• Information kann nur durch klassische Kommunikation übertragen werden.
⇒ keine Übertragung von Informationen schneller als mit Lichtgeschwindigkeit
• Wir klonen auch keinen Quantenzustand, da der Originalzustand auf |0i bzw. |1i
projiziert wurde, also nur Bob den Zustand |ψi besitzt.
Bemerkung: Quanten-Teleportation kann zur Unterdrückung von Rauschen und Fehlerkorrektur eingesetzt werden.
8.7 Quanten-Algorithmen
• Quanten-Algorithmen reduzieren exponentiell die Rechenzeit von Fouriertransformationen!
• Suchalgorithmen: Falls wir ein bestimmtes Element aus N Möglichkeiten suchen,
brauchen wir
√ klassisch O(N ) Operationen, Quanten-Algorithmen können das Problem in O( N ) Schritten lösen.
8.8 Quanten-Simulation
Die Simulation von Quantensystemen braucht im allgemeinen Fall exponentielle Laufzeiten und Speicherkapazitäten. Beide Größen wachsen für Quanten-Simulationen linear
mit den Systemgrößen!
123