Institut für Geometrie und Topologie Universität Stuttgart Prof. W

Institut für Geometrie und Topologie
Prof. W. Kühnel/ E. Keil
Universität Stuttgart
Übungsblatt 4 vom 13. November 2009
Übungen zur Topologie
————————————– Wintersemester 09/10 ————————————–
Aufgabe 16:
Seien X und (Xi )i∈J topologische Räume, welche die T2 -Eigenschaft erfüllen, wobei
J eine beliebige Indexmenge ist.
(a) Man zeige: Jeder Teilraum
WeiQ A von X besitzt auch die T2 -Eigenschaft.
P
terhin gilt, dass das Produkt i∈J Xi und die topologische Summe
i∈J Xi die
T2 -Eigenschaft erfüllen.
(b) Überträgt sich die T2 -Eigenschaft im Allgemeinen auch auf einen Quotientenraum f : X → X/∼ ?
Aufgabe 17:
Seien X und Y topologische Räume, wobei Y die T2 -Eigenschaft besitzt. Weiterhin
seien f : X → Y und g : X → Y stetige Abbildungen und A eine Menge in X mit
der Eigenschaft A = X (man sagt: A liegt dicht in X). Man zeige:
Gilt f (a) = g(a) in jedem Punkt a von A, dann ist f ≡ g auf X.
Aufgabe 18: (schriftlich)
Sei (X, O) ein topologischer Raum. Zeigen Sie, dass folgende Bedingungen
äquivalent sind.
(i) (X, O) ist ein T2 -Raum,
(ii) Die Diagonale ∆ := {(x, x) | x ∈ X} ist eine abgeschlossene Teilmenge von
X × X mit der Produkttopologie,
T
(iii) Für jedes x ∈ X gilt
U = {x}.
x∈U ∈O
Aufgabe 19:
Sei X ein topologischer Raum und erfülle das erste Abzählbarkeitsaxiom. Zeigen
Sie, dass in diesem Fall die Stetigkeit zur Folgenstetigkeit äquivalent ist.
Zusatzaufgabe 4: (Sorgenfrey-Gerade)
Sei O die Topologie auf R, welche von dem Mengensystem
{ [a, b[ ⊂ R | a < b, a, b ∈ R}
erzeugt wird. Erfüllt die Topologie O das erste oder das zweite Abzählbarkeitsaxiom?
Bestimmen Sie alle zusammenhängenden Teilmengen von (R, O).