Analysis in einer Variable für LAK F. Hofbauer Mengen und

Analysis in einer Variable für LAK
F. Hofbauer
Mengen und Abbildungen
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Man beweise A ∪ (A ∩ B) = A und A ∩ (A ∪ B) = A.
Man beweise A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) und A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Man beweise (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A) = (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) ∩ (C ∪ A).
Man zeige (A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′ und (A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′ .
Man beweise A′ ∆B ′ = A∆B.
Man beweise A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).
Sei f : A → B eine Abbildung. Sei U ⊆ A und V ⊆ A. Man beweise f (U ∪ V ) = f (U ) ∪ f (V )
und f (U ∩ V ) ⊆ f (U ) ∩ f (V ). Hinweis: x ∈ f (C) ⇔ es gibt ein y ∈ C mit f (y) = x
Sei f : A → B eine Abbildung und U ⊆ A und V ⊆ B. Man zeige U ⊆ f −1 (f (U )) und
V ⊇ f (f −1 (V )). Hinweis: x ∈ f −1 (C) ⇔ f (x) ∈ C
Ist f in Beispiel 8 injektiv, dann gilt U = f −1 (f (U )). Ist f in Beispiel 8 surjektiv, dann gilt
V = f (f −1 (V )).
Sei f : A → B eine Abbildung und V ⊆ B. Man zeige f −1 (B \ V ) = A \ f −1 (V ).
Sei f : A → B eine Abbildung und U und V Teilmengen von B. Man zeige f −1 (U ∪ V ) =
f −1 (U ) ∪ f −1 (V ) und f −1 (U ∩ V ) = f −1 (U ) ∩ f −1 (V ).
Sei f : A → B eine Abbildung (A und B endliche Mengen). Man zeige
f ist injektiv ⇔ es gibt eine Abbildung g : B → A mit g ◦ f = id
f ist surjektiv ⇔ es gibt eine Abbildung g : B → A mit f ◦ g = id
f ist bijektiv ⇔ es gibt eine Abbildung g : B → A mit g ◦ f = id und f ◦ g = id
Zählen
13. Man zeige |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, wobei |C| die Anzahl der Elemente von C bezeichnet.
14. Man zeige, dass die Menge N × N abzählbar ist. Man folgere, dass die Menge Q der rationalen
Zahlen abzählber ist. Hinweis: Die Abbildung (m, n) 7→ 2m−1 (2n − 1) von N × N nach N ist
bijektiv.
15. Seien A und B Mengen mit |A| = a und |B| = b. Sei F die Menge aller Abbildungen von A
nach B. Man zeige |F| = ba .
16. Seien A und B Mengen mit |A| = a und |B| = b. Sei G die Menge aller injektiven Abbildungen
von A nach B. Man zeige |G| = b(b − 1)(b − 2) . . . (b − a + 1), wenn b ≥ a gilt. Für b < a ist
G leer.
Induktion
17. Man zeige n2 < 2n für n ∈ {5, 6, 7, . . . }.
∑n
18. Man zeige k=1 k 2 = n(n+1)(2n+1)
für n ∈ N.
6
∑n
(2n−1)2n(2n+1)
2
19. Man zeige k=1 (2k − 1) =
für n ∈ N.
6
20. Man zeige
21. Man zeige
22. Man zeige
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
∑n
n2 (n+1)2
3
für n ∈ N.
k=1 k =
4
∑n
k−1 2
k = (−1)n−1 n(n+1)
k=1 (−1)
2
∑n
1
1
k=1 k(k+1) = 1 − n+1 für n ∈ N.
∑n k
n+2
k=1 2k = 2 − 2n für n ∈ N.
n
für n ∈ N.
Man zeige
Man zeige (1 + x) ≥ 1 + nx für x ≥ −1 und n ∈ N.
1
Man zeige (1 − x)n < 1+nx
für 0 < x < 1 und n ∈ N.
Sei M eine Menge mit |M | = m. Für 0 ≤
( n) ≤ m sei Tn (M ) die Menge der n-elementigen
Teilmengen von M . Man zeige |Tn (M )| = m
n . Hinweis: Sei a ∈ M und K = M \ {a}. Dann
gilt Tn (M ) = Tn (K) ∪ {L ∪ {a} : L ∈ Tn−1 (K)}.
∑n ( )
Man zeige (1 + x)n = k=0 nk xk für x ∈ R und n ∈ N.
) (m+n+1)
∑n (
=
für m ∈ N0 und n ∈ N0 .
Man zeige k=0 m+k
∑n ( kk) ( n+1 )n
Man zeige k=m m = m+1 für n ≥ m.
( ) ( )
( )
Man berechne a und b so, dass k 2 = a k2 + b k1 für alle k ∈ N gilt. Man beachte, dass uv = 0
∑n
gilt, wenn u < v. Mit Hilfe von Beispiel 29 berechne man k=1 k 2 .
(k )
(k )
(k )
3
Man (berechne
a,
b
und
c
so,
dass
k
=
a
+
b
+
c
N gilt. Man beachte,
3
2
1 für alle k ∈ ∑
)
n
u
dass v = 0 gilt, wenn u < v. Mit Hilfe von Beispiel 29 berechne man k=1 k 3 .
√
∑n
√
Man zeige 2 n + 1 − 2 < k=1 √1k < 2 n für n ∈ N.
Indirekter Beweis
√
33. Man zeige, dass 2 keine rationale Zahl ist.
34. Man zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
35. Man zeige, dass die Menge [0, 1) nicht abzählbar ist.
Addition, Multiplikation
5
36. Man verwandle 0.11123123123 . . . in einen Bruch und 27
in eine Dezimalzahl.
37. Man berechne die Summe der beiden periodischen Dezimalzahlen 0.789789 . . . + 0.565656 . . .
und überprüfe das Ergebnis mittels Bruchrechnung.
38. Man berechne das Produkt von x = 0.111 . . . und y = 0.333 . . . .
39. Sei x = 0.0235721 . . . und y = 2.3496281 . . . . Wie groß muss man n wählen, damit das
Produkt der auf n Dezimalstellen gerundeten Zahlen die ersten 5 Dezimalstellen von xy richtig
wiedergibt?
40. Sei x = 23.235721 . . . . Wie groß muss man n wählen, damit die Inverse der auf n Dezimalstellen gerundeten Zahl die ersten 7 Dezimalstellen von x1 richtig wiedergibt?
Äquivalenzumformungen
√
√
a2 +b2
≤ ab ≤ a+b
≤
2
2 .
√
√
√
42. Man zeige für a, b, c, d > 0, dass (a + c)(b + d) ≥ ab + cd gilt.
√
√
√
43. Man zeige für a, b > 0, dass a + b ≤ a + b ≤ √ab + √ba gilt.
41. Für a und b in R+ zeige man
2ab
a+b
44. Man bestimme alle x ∈ R, für die |x| ≤ x2 + 1 gilt.
45. Für welche x ∈ R gilt 2x2 − 2 ≤ x2 − x?
46. Für welche x ∈ R gilt
47. Für welche x ∈ R gilt
48.
49.
50.
51.
52.
53.
2+x
x−2 < 3?
3x+3
x−1 < x +
1?
x+4
5
Man bestimme alle x ∈ R, für die x−1
> x+1
gilt.
Man löse ||x| − 2| < 1.
Man löse (x + 5)(x + 2)2 (x − 1)(x − 3) ≤ 0.
Man bestimme die Menge aller Punkte (x, y) ∈ R2 für die x − 3y > 2 und x + y ≤ 1 gilt.
Für welche (x, y) ∈ R2 gilt |x| + |y| ≤ 1?
Für welche (x, y) ∈ R2 gilt |x| − |y| ≤ 2?
Intervallschachtelung
54. Sei x > 0. Seien a1 und b1 so gewählt, dass 0 < a1 < b1 und a1 b21 = x gilt. Für n ≥ 1 sei
n +8bn
bn+1 = 31 an + 23 bn und an+1 = b2x . Man zeige, dass bn+1 − an+1 = a27b
(an − bn )2 gilt.
2
n+1
55.
56.
57.
58.
59.
60.
n+1
Man folgere, dass die Intervalle [an , bn ] eine Intervallschachtelung bilden. Es gibt genau einen
Punkt y, der in allen Intervallen enthalten
ist. Wegen an b2n = x für alle n folgt y 3 = x. Wir
√
3
haben also ein Intervallschachtelung für x gefunden.
cn
Seien c1 = 1, a1 = 2 und b1 = 3. Für n ≥ 1 sei cn+1 = n+1
, an+1 = an + cn+1 und bn+1 =
cn+1
n+1
an+1 + cn+1
. Man zeige, dass bn+1 = bn − n(n+1)
gilt. Daher bilden die Intervalle [an , bn ]
eine Intervallschachtelung. Es gibt genau einen Punkt, der in allen Intervallen enthalten ist.
1
1
1
+ 3!
+ · · · + n!
ist das die Eulersche Zahl e.
Wegen an = 2 + 2!
cn x
Sei x > 0. Seien c1 = x, a1 = 1 + x und b1 = 1 + 2x. Für n ≥ 1 sei cn+1 = n+1
,
n+1
an+1 = an + cn+1 und bn+1 = an+1 + cn+1 . Man zeige, dass bn+1 = bn − cn+1 ( x − 2) gilt.
Daher bilden die Intervalle [an , bn ] für n ≥ 2x − 1 eine Intervallschachtelung. Es gibt genau
2
3
n
einen Punkt, der in allen Intervallen enthalten ist. Wegen an = 1 + x + x2! + x3! + · · · + xn! ist
das die Zahl ex .
Sei x > 1. Wir suchen eine Intervallschachtelung für die Fläche Fx unter dem Graph der
Funktion f (y) = y1 in den Grenzen von 1 bis x. Sei k ≥ 1. Für 1 ≤ m ≤ k sind
√
√
√
k
die Rechtecke ( xm−1 , k xm ] × [0, 1/ k xm ] disjunkt und liegen unterhalb des Funktions1
graphen. Ihre Gesamtfläche ist rk = k(1 − √
). Ebenso für 1 ≤ m ≤ k sind die Rechtecke
k
x
√
√
√
k
k
( xm−1 , k xm ] × [0, 1/ √
xm−1 ] disjunkt und ragen über den Funktionsgraphen hinaus. Ihre
Gesamtfläche ist sk = k( k x − 1). Daher gilt rk ≤ Fx ≤ sk für alle k ≥ 1.
Für n ≥ 0 sei an = r2n und bn = s2n , wobei rk und sk wie im
letzten Beispiel sind.
Es gilt
√
√
2bn an
2an √
bn
1
a0 = 1 − x und b0 = x − 1. Für n ≥ 0 zeige man an+1 = √a + b und bn+1 = √a +√b . Aus
n
n
n
n
dem letzten Beispiel folgt an < bn für alle n. Damit zeige man an < an+1 und bn > bn+1 .
Weiters zeige man, dass bn+1 − an+1 < 12 (bn − an ) gilt. Die Intervalle [an , bn ] bilden daher
eine Intervallschachtelung für Fx , wobei das nächstfolgende Intervall jeweils höchstens halb
so lang ist wie das vorhergehende.
1
Man zeige (1 + n1 )n < (1 + n+1
)n+1 für n ∈ N. Hinweis: Beide Seiten nach Beispiel 27
entwickeln und die Summanden vergleichen.
1
1
)n+2 für n ∈ N. Hinweis: Ist äquivalent zu (1 + n2 +2n
)n+1 >
Man zeige (1 + n1 )n+1 > (1 + n+1
1
1 + n+1
. Jetzt Beispiel 24.
61. Sei an = (1 + n1 )n und bn = (1 + n1 )n+1 für n ∈ N. Es gilt a1 < a2 < a3 < . . . und
b1 > b2 > b3 > . . . wegen der beiden letzten Beispiele, und außerdem an < bn für alle n ≥ 1.
Man zeige bn − an < bn1 für n ∈ N. Die Intervalle [an , bn ] bilden eine Intervallschachtelung
mit einem eindeutig bestimmten inneren Punkt.
Grenzwerte von Folgen
62. Man bestimme den Grenzwert der Folgen (falls er existiert)
3
3
3
3n2 −n+2 (n−2)(2n+1)(3n+3) (n+1) −n
+4
, 2n
2n2 −1 ,
(4n2 +1)(2n−1) ,
3n2
n2 +1
63. Man bestimme den Grenzwert der Folgen (falls er existiert)
√
√ √ √
√
n + 1 − n, n( n + 1 − n),
√
64. Sei a1 = 2 und an+1 = 3 3an − 1 für n ≥ 1. Man zeige, dass diese Folge monoton fallend ist
und an ≥ 1 für alle n gilt. Daher existiert limn→∞ an .
65. Sei a1 = 1 und an+1 = 16 (a4n + a2n + 1) für n ≥ 1. Diese Folge ist monoton fallend und durch 0
nach unten beschränkt. Der Grenzwert existiert und ist eine Lösung von x4 + x2 − 6x + 1 = 0.
Fibonaccizahlen
66. Sei a0 = a1 = 1 und an = an−1 + an−2 für n ≥ 1. Die Zahlen a0 , a1 , a2 , . . . nennt man Fian
bonaccizahlen. Für n ≥ 1 sei wn = an−1
. Das sind die Wachstumsraten der Fibonaccizahlen.
1
Man zeige w1 = 1 und wn = 1 + wn−1 für n ≥ 2.
67. Für die Zahlen wn aus Beispiel 66 zeige man 32 ≤ wn ≤ 2 für n ≥ 2 durch Induktion.
68. Man zeige w1 < w3 < w5 < . . . und w2 > w4 > w6 > . . . indem man zuerst wn < wn+2 ⇒
wn+1 > wn+3 und wn > wn+2 ⇒ wn+1 < wn+3 beweist.
69. Aus Beispiel 67 und Beispiel 68 folgt, dass u = limk→∞ w2k−1 und v = limk→∞ w2k existieren.
Mit Hilfe von Beispiel 67 zeige man |wn+1 − wn+2 | ≤ 94 |wn − wn+1 | für n ≥ 2 und folgere
u = v. Somit existiert auch limn→∞ wn und ist gleich u.
70. Man zeige, dass u = 1 + u1 für den Grenzwert u aus Beispiel 69 gilt und berechne u.
Funktionen
71. Man bestimme den größtmöglichen Definitionsbereich der folgenden Funktionen:
√
1
2x
f (x) = 4−x2 , f (x) = 9−x
2
72. Sei f : R → R durch f (x) = x2 definiert. Man bestimme f (R), f ([0, 2]), f ([−2, 1]),
f −1 ({0, 1, 2}), f −1 ([0, 1])
73. Seien f und g auf R durch f (x) = x2 + 1 und g(x) = 2x + 1 definiert. Man bestimme f ◦ g
und g ◦ f .
74. Man berechne Nullstellen, horizontale, vertikale und andere Asymptoten der folgenden Funk1−x x2 −3x+5
tionen und skizziere aus diesen Informationen deren Graphen: 4+2x
, x−3 .
75. Ebenso:
1
1
x − 1−x
x+1
x3 −4x
=
1−2x
x(1−x)
76. Ebenso:
77. Sei f : R → R eine Funktion. Wie ist der Graph der folgenden Funktionen gegenüber dem
Graph von f verändert: x 7→ 3f (x) − 1, x 7→ f (x + 2), x 7→ f (5x)
78. Man zeige, dass folgende Funktion eine Umkehrfunktion besitzt und bestimme diese. Man
skizziere den Graphen: f (x) = 2−x
x mit Definitionsbereich D = (0, ∞)
√
79. Ebenso: f (x) = 1 − x2 mit Definitionsbereich D = (0, 1)
2+x
.
80. Man bestimme Definitionsbereich und Umkehrfunktion von f (x) = 12 log 2−x
Zwischenwertsatz
81. Man zeige, dass f (x) = x4 − x − 1 im Intervall [1, 2] mindestens eine Nullstelle besitzt.
82. Man zeige, dass jedes Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten mindestens eine
reelle Nullstelle hat.
83. Man zeige, dass jede stetige Abbildung g eines Intervalls [a, b] in sich einen Fixpunkt hat,
indem man den Zwischenwertsatz auf die Funktion x 7→ g(x) − x anwendet.
Grenzwerte von Funktionen
−1
−1
84. Man berechne die Limiten (falls sie existieren): limx→1 xx−1
, limx→1 xx−1
, limx→1 xx3 −1
−1
√
√
85. Die Funktion f (y) = y1 ( 1 + y − 1 − y) ist auf D = (−1, 1) \ {0} definiert. Man berechne
limy→0 f (y).
3
n
2
Ableitung
√ √
86. Man differenziere: x2 x, 3 x(1 + x2 )
87. Man differenziere: (x − 1)3 (2x + 3)4 (x + 1)2
88. Man differenziere:
89. Man differenziere:
90. Man differenziere:
91. Man differenziere:
x2
ax+b
2x4 −1 , cx+d
7
x2 +ax+b (x+5)
, (x−7)5
xn
√
√
3
x− x
√
√ 3+x
x2 + x + 2, x2 1
√
√
+ 3x2
4+x
92. Man differenziere: (3 + 2 x)2 , 1−x
√
√
√
93. Man differenziere: x + x + x.
√
94. Man bestimme die Gleichung der Tangente an die Kurve f (x) = 1 − x2 im Punkt x = 35 .
95. Man bestimme den Schnittpunkt der Tangente an den Graphen von (x + 2)(x − 1)2 im Punkt
(−2, 0) mit der y-Achse.
96. Man bestimme die Gleichung der Normalen an den Graph der Funktion 2x + x42 im Punkt
x = 1.
Monotonieverhalten von Funktionen
97. In welchen Bereichen ist die Funktion
98. Wo ist die Funktion
2
3x
1−x2
x
4+x2
monoton wachsend bzw. fallend?
definiert? Wo ist monoton wachsend? Wo monoton fallend?
x n+1
99. Für x ∈ R und n ∈ N mit n > −x zeige man (1 + nx )n ≤ (1 + n+1
)
, indem man das
x n
x n+1
/(1 + n ) auf (−n, ∞) untersucht.
Monotonieverhalten der Funktion f (x) = (1 + n+1 )
x n+2
100. Für x ∈ [0, 1] und n ∈ N zeige man (1 + nx )n+1 ≥ (1 + n+1
)
, indem man das Monotonievx n+2
x n+1
erhalten der Funktion f (x) = (1 + n+1 )
/(1 + n )
auf [0, 1] untersucht.
101. Sei f : R → R definiert durch f (x) = (1 + x2 )α . Für welche α ∈ R ist f konvex?
Extremwertaufgaben
102. Man bestimme das Rechteck mit maximalen Flächeninhalt, das dem Einheitskreis eingeschrieben werden kann.
103. Einem Halbkreis ist ein gleichseitiges Trapez mit maximalem Flächeninhalt einzuschreiben.
104. Der Ellipse
x2
a2
2
+ yb2 = 1 ist ein achsenparalleles Rechteck von maximalem Umfang einzuschrei-
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
ben.
Einem gleichseitigen Dreieck mit Höhenfußpunkt H ist das flächengrößte gleichschenkelige
Dreieck mit Spitze in H einzuschreiben.
Welcher Punkt der Hyperbel y 2 − x2 = 1 hat die kleinste Entfernung vom Punkt (1, 0)?
∑n
Seien a1 , a2 , . . . , an ∈ R. Für welches x ist k=1 (x − ak )2 minimal?
Lichtreflexion: Seien P1 und P2 zwei Punkte in der Halbebene {(x, y) : y > 0}. Gesucht ist
der kürzeste Weg von P1 nach P2 , der einen Punkt der x–Achse enthält.
Einer Kugel mit Radius r ist ein Zylinder mit maximalem Volumen einzuschreiben.
Einer Kugel mit Radius r ist ein Kegel mit maximalem Volumen einzuschreiben.
Einer Kugel mit Radius r ist eine quadratische Pyramide mit maximalem Volumen einzuschreiben.
Bienenzelle: Eine regelmäßige sechsseitige Säule ist durch ein aus drei kongruenten Rhomben
bestehendes Dach so abzuschließen, dass die Oberfläche des entstehenden Körpers bei vorgegebener Grundfläche und vorgeschriebenem Rauminhalt möglichst klein wird.
Exponentialfunktion, Logarithmus, trigonometrische Funktionen
113. Man differenziere: x log x, x2 sin x
3
sin x
114. Man differenziere: cot x, cos
2x
115. Man differenziere: log(1 + x2 ), ex−log x
116. Man differenziere: sin2 (x3 + 1)
√
√
117. Man differenziere: x2 + cos3 x
1
, e−2 log x
118. Man berechne log(xex ), elog x+log y , log e2x
√
119. Man zeige x − √1x − log x > 0 für x > 1, indem man das Monotonieverhalten dieser Funktion
untersucht. Sei a ̸= b und a, b > 0. Setzt man x =
b
dann erhält man die Ungleichung log a−log
< √1ab .
a−b
a
b,
wenn a > b, und x =
b
a,
wenn a < b,
120. Man zeige, dass arctan x+arctan x1 = π2 für alle x > 0 gilt, indem man das Monotonieverhalten
der Funktion f (x) = arctan x + arctan x1 auf dem Intervall (0, ∞) untersucht.
121. Man zeige, dass x − x2 ≤ log(1 + x) ≤ x für x ∈ (− 12 , ∞) gilt, indem man das Monotonieverhalten der Funktionen f (x) = x − log(1 + x) und g(x) = log(1 + x) − x + x2 auf dem Intervall
(− 12 , ∞) untersucht. Man schließe daraus, dass 1 − x ≤ x1 log(1 + x) ≤ 1 für x ∈ (0, ∞)
und 1 − x ≥ x1 log(1 + x) ≥ 1 für x ∈ (− 12 , 0), also 1 − |x| ≤ x1 log(1 + x) ≤ 1 + |x| für
x ∈ (− 21 , ∞) \ {0} gilt. Daraus folgt limx→0 x1 log(1 + x) = 1 und limx→0 (1 + x)1/x = e.
122. Aus dem letzten Beispiel folgere man limx→0 x1 log(1 + ax) = a und limx→0 (1 + ax)1/x = ea .
123. Sei α > 0. Für 0 < x < 1 zeige man − log x ≤ α1 x−α , indem man das Monotonieverhalten der
Funktion f (x) = α1 x−α + log x untersucht. Es folgt limx→0 xc log x = 0 für alle c > 0.
124. Sei α > 0. Man Zeige log x ≤ α1 xα für x ≥ 1, indem man das Monotonieverhelten der Funktion
f (x) = α1 xα − log x auf dem Intervall [1, ∞) untersucht.
n
125. Für c > 0 zeige man limn→∞ log
nc = 0 mit Hilfe von Beispiel 124.
126. Sei f : (0, ∞) → R definiert durch f (x) = x log x. Man zeige, dass f konvex ist.
127. Die Funktion cos : (0, π2 ) → (0, 1) ist streng monoton fallend und hat daher eine Umkehrfunktion arccos : (0, 1) → (0, π2 ). Man berechne die Ableitung von arccos.
Eine Reihe
128. Man zeige
1
sin2 x
= 14 ( sin12
129. Man zeige
1
4n
k=1 sin2
∑2n
in Beispiel 128.
∑2n−1
130. Man zeige 42n k=1
x
2
+
1
cos2
1
(2k−1)π
2n+1
1
sin2
(2k−1)π
2n+1
x
2
) = 14 ( sin12
x
2
+
1
sin2
π+x
2
) für x ∈ R.
= 1 für n ≥ 1 durch Induktion nach n. Hinweis: x =
(2k−1)π
2n+1
= 1 für n ≥ 1. Hinweis: Wegen sin(π − x) = sin x gilt für die
Summe in Beispiel 129: erster Summand = letzter Summand, zweiter Summand = vorletzter
Summand, dritter Summand = drittletzter Summand, . . .
131. Man zeige sin12 x > x12 > sin12 x − 1 für 0 < x < π2 . Hinweis: sin x < x < tan x.
∑2n−1
(2k−1)π
1
1
132. Man zeige 1 > π82 k=1 (2k−1)
in
2 > 1 − 2n für n ≥ 1. Hinweis: Man setze x =
2n+1
Beispiel 131 und summiere über k von 1 bis 2n−1 . Dann Beispiel 130.
∑2n 1
∑2n−1 1
∑2n−1
1
133. Für n ≥ 1 sei An =
k=1 k2 , Bn =
k=1 (2k)2 und Cn =
k=1 (2k−1)2 . Man zeige
2
2
An = Bn +Cn und Bn+1 = 41 An . Nach Beispiel 132 gilt Bn ≤ Cn ≤ π8 und daher An ≤ π4 für
alle n, sodass A = limn→∞ An , B = limn→∞ Bn und C = limn→∞ Cn wegen der Monotonie
2
der Folgen existieren. Es folgt A = B + C und B = 14 A. Aus Beispiel 132 folgt C = π8 und
∑∞
2
2
damit A = π6 . (Wir haben k=1 k12 = π6 gezeigt.)
Regel von de l’Hospital
2x
x
log(1−x)
und limx→0 e tan−ex
sin x
x
+e−x −2
limx→0 e 1−cos
x
√
1+x2 −cos x
limx→0
sin2 x
x
−x
limx→0 2 cos x+ex4+e −4
134. Man berechne limx→0
135. Man berechne
136. Man berechne
137. Man berechne
Mittelungleichungen
138. Man zeige log x < x − 1 für alle x ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞).
∑n
V
V
139. Seien v1 , v2 , . . . , vn ∈ (0, ∞) und V = j=1 vj . Es gilt log nv
= nv
− 1, wenn vi = Vn , und
i
i
V
V
log nv
< nv
− 1, wenn vi ̸= Vn , wegen Beispiel 138. Sind die Zahlen v1 , v2 , . . . , vn nicht alle
i
i
∑n
∑n
V
V
gleich, dann folgt j=1 vVi log nv
< j=1 vVi ( nv
− 1). Man forme um, und zeige so, dass
i
i
∑
n
1
log V − V
j=1 vj log vj < log n gilt.
∑n
√
1
140. Sei a1 , a2 , . . . , an ∈ (0, ∞). Sei f (x) = ( n1 j=1 axj ) x für x ∈ R \ {0} und f (0) = n a1 a2 . . . an .
Sei g(x) = log f (x). Man zeige, dass g und damit f im Punkt 0 stetig ist (de l’Hospital).
141. Sind die Zahlen a1 , a2 , . . . , an alle gleich c > 0, dann zeige man, dass die Funktion f in
Beispiel 140 konstant gleich c ist.
142. Seien f und g wie in Beispiel 140. Die Zahlen a1 , a2 , . . . , an seien nicht alle gleich. Mit Hilfe von
Beispiel 139 zeige man x2 g ′ (x) > 0 für x ̸= 0, sodass g und damit f streng monoton wachsend
ist. Bemerkung: f (1) = arithmetisches, f (0) = geometrisches, f (−1) = harmonisches Mittel.
∑n
1
143. Sei 0 < a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an . Man zeige, dass limk→∞ ( n1 j=1 akj ) k = an gilt. Hinweis:
∑n
∑n
1
akn ≤ j=1 akj ≤ nakn . Ebenso limk→−∞ ( n1 j=1 akj ) k = a1 .
Integration
∫
∫
∫
144. Partielle Integration: xex dx, log x dx (ergänze 1 · log x dx).
∫
∫ 1
∫ √
∫ x
∫ √
145. Substitution: x log(x2 ) dx, ax−b
dx, 1+x
x 3 1 − 5x dx, x2 1 + x3 dx,
2 dx,
∫
1
1
dx−c
dx−c
1
db−c
dx ( x22−1 = x−1
− x+1
), (x−a)(x−b)
dx ( (x−a)(x−b)
= b−a
( c−ad
x−a + x−b )).
∫
∫
∫
∫
2
Substitution: √ex1 +1 dx, (logxx) dx, sin x cos3 x dx, esin x cos x dx.
∫
∫
∫
Partielle Integration: x sin x dx, arctan x dx (ergänze 1 · arctan x dx).
∫
∫
Eulerformel: sin3 x dx, sin2 x cos2 x dx.
∫
∫
a2
Trigonometrische Substitution: √a21−x2 dx, (a2 −x
(tan′ = ?, tan = √ sin 2 )
2 )3/2 dx
146. Berechne:
147.
148.
149.
150.
∫
2
x2 −1
1−sin
Fläche, Volumen, Drehkörper, Bogenlänge, Schwerpunkt
151. Man berechne die von den beiden Parabeln y 2 = x4 und y 2 = 5 − x eingeschlossene Fläche.
√
152. Man berechne die Fläche, die von der Parabel y = x, der x-Achse und der Geraden y = x−2
eingeschlossen wird.
153. Man berechne√
das Volumen √
des Körpers, der durch Rotation des Flächenstücks zwischen den
Parabeln y = x und y = 45 x − 9 um die x-Achse entsteht.
154. Die durch die Gleichung x2/3 + y 2/3 = 1 auf dem Intervall [−1, 1] definierte Funktion rotiert
um die x-Achse. Man berechne das Volumen des Drehkörpers.
√
155. Man berechne die Länge des Graphen von y = (x + 1)3 zwischen x = 3 und x = 8.
156. Man berechne die Länge des Graphen von y =
x4
8
1
4x2 zwischen x = 1
ex +e−x
mit x ∈ [0, 1].
2
+
und x = 2.
157. Man berechne die Länge des Graphen von f (x) =
158. Sei a > r. Man berechne die Oberfläche des Ringes (Torus), der durch die Rotation des
Kreises x2 + (y − a)2 = r2 um die x-Achse entsteht.
159. Der Graph von x2/3 + y 2/3 = 1 mit 0 ≤ x ≤ 1 rotiert um die x-Achse. Man berechne die
Oberfläche des dadurch entstehenden Drehkörpers.
160. Man berechne den Schwerpunkt eines Halbkreises mit Radius r.
161. Man berechne den Schwerpunkt einer Halbkugel mit Radius r.
162. Der Graph von x2/3 + y 2/3 = 1 mit 0 ≤ x ≤ 1 rotiert um die x-Achse. Man berechne den
Schwerpunkt des dadurch entstehenden Drehkörpers.
Uneigentliches Integral
∫1
163. Partielle Integration: 0 − log x dx.
Hinweis: Beispiel 123
∫ π2
∫ ∞ e− √ x
164. Substitution: 0 cot x dx, 0 √x dx
∫∞ 1
∫∞
1
165. Substitution: 2 x log
x dx und 2 x(log x)2 dx
Das Wallissche Produkt
∫π
∫π
∫π
166. Für n ≥ 2 zeige man, dass 02 sinn x dx = (n − 1) 02 sinn−2 x dx − (n − 1) 02 sinn x dx gilt.
∫π
∫π
Hinweis: 02 sinn x dx = 02 sinn−1 x sin x dx und partielle Integration.
∫π
∫ π2
2k+1
2k−3
31π
42
2k 2k−2
167. Man zeige 02 sin2k x dx = 2k−1
x dx = 2k+1
2k 2k−2 . . . 4 2 2 und 0 sin
2k−1 . . . 5 3 mit Hilfe
π
∫ π2
∫
2
der Formel 0 sinn x dx = n−1
sinn−2 x dx aus Beispiel 166
n
0
22 42 ...(2k)2
22 42 ...(2k)2
π 2k+1
π
32 52 ...(2k−1)2 2k ≤ 2 2k für k ≥ 2 und folgere limk→∞ 32 52 ...(2k−1)2 2k = 2 .
Hinweis: Für 0 ≤ x ≤ π2 gilt sin2k x ≤ sin2k−1 x und sin2k+1 x ≤ sin2k x und dann Beispiel 167.
√ ( )
( ) 1·3·5···(2k−1)
k 2k
und
folgere
lim
Man zeige 212k 2k
=
= √1π mit Hilfe von Beispiel 168.
k→∞
2·4···(2k)
k
22k k
168. Man zeige
169.
π
2
≤
Taylorformel
170. Man entwickle cos x nach der Taylorformel.
171. Sei α ∈ R. Man entwickle (1 + x)α nach der Taylorformel.
172. Man entwickle arcsin x mit Hilfe von Beispiel 171. Hinweis: arcsin′ x = (1 − x2 )− 2
1
Reihen
173. Konvergent oder divergent:
174. Konvergent oder divergent:
175. Konvergent oder divergent:
∑∞
∑∞ k+1
k+1
k=1 k2 ,
k=1 k3 .
∑∞
∑
∞
k
(Beispiel
(−1)k , k=1 log
k2
∑k=0
∑
∞
∞
1
1
k=2 k log k ,
k=2 k(log k)2 .
123 mit x = k1 ).
176. Alternierende Reihe:
∑n Sei (akk)k≥0 eine monoton fallende Folge, die gegen 0 konvergiert. Für
n ≥ 0 sei Sn =
k=0 (−1) ak . Man zeige S1 ≤ S3 ≤ S5 ≤ · · · ≤ S4 ≤ S2 ≤ S0 und
|Sn − Sn−1 | = an und folgere daraus, dass limn→∞ Sn existiert.
∑∞
∑∞
k
177. Ist die Reihe k=0 (−1)k k+3
konvergent? Ist k=0 (−1)k kk+1
2 +1 konvergent?
∑∞
∑
k
∞
1
2
k
178. Bestimme den Konvergenzradius: k=0 k+1
xk , k=0 (k+2)
2x .
∑∞ 7
∑∞ k
179. Bestimme den Konvergenzradius: k=0 2k! xk , k=0 2kk xk .
∑∞
∑∞ ( ) k
180. Bestimme den Konvergenzradius: k=0 (k 4 − 4k 3 )xk , k=0 2k
k x .
Die Stirlingsche Formel
181. Sei an =
n
n!e
√
n
n
n
und bn = log an für n ≥ 1. Man zeige bn − bn+1 =
1
2x
log
1+x
1−x
− 1 mit x =
1
2n+1 .
3
1+x
2x
1+x
182. Zeige 2x ≤ log 1−x
≤ 2x + 3(1−x
2 ) für 0 ≤ x < 1[] entweder durch Entwickeln von log 1−x in
1+x
eine Reihe oder durch Untersuchen des Monotonieverhaltens der Funktionen f (x) = log 1−x
−
2x und g(x) = 2x +
1+x
2x3
3(1−x2 ) − log 1−x .
1
bn − 12n
. Man folgere
1
1
183. Für n ≥ 1 sei cn =
0 ≤ bn − bn+1 ≤ 12n
− 12(n+1)
aus Beispiel 181
und 182. Die Folge (bn )n≥1 ist monoton fallend und die Folge (cn )n≥1 ist monoton wachsend.
1
Es existiert ein b mit limn→∞ bn = limn→∞ cn = b und es gilt b ≤ bn ≤ b + 12n
für alle n.
√
(
)
n
2n
√
184. Man zeige aa2n
für n ≥ 1. Wegen Beispiel 183 gilt limn→∞ an = a mit a = eb . Mit
2 =
22n 2 n
n
√
√
Hilfe von Beispiel 169 zeige
man
a
=
2π.
Es
folgt
b
=
log
2π. Damit ist die Stirlingsche
√
n
n!e
Formel limn→∞ nn √n = 2π gezeigt.