Mathematik 1 für Studierende der Fachrichtung Informationswirtschaft

1 Allgemeine Grundlagen
Karlsruhe Institute of Technology
Aussagen sind Behauptungen, für die sich entscheiden läßt, ob sie wahr oder falsch sind.
(1.1)
Verknüpfte Aussagen, die immer wahr sind, heißen Tautologien.
(1.2)
Die Kontraposition (A =⇒ B) ⇐⇒ (¬B =⇒ ¬A) ist eine Tautologie.
Direkter Beweis: A =⇒ B
Aus der Voraussetzung A folgt die Behauptung B.
Indirekter Beweis: ¬B =⇒ ¬A
Angenommen, die Voraussetzung A gelte, aber die Behauptung B sei falsch. Dann zeige,
dass auch die Voraussetzung A falsch sein muss, Widerspruch!
Aussageformen sind Aussagen, die von Variablen abhängen. Sie haben keinen
Wahrheitswert; erst durch Einsetzen der Variablen lässt sich der Wahrheitswert bestimmen.
Wir verwenden Quantoren:
∀x ∈ M : A(x)
für alle x in der Menge M ist die Aussage A(x) wahr
∃x ∈ M : A(x)
es existiert ein x in der Menge M, für das die Aussage A(x) wahr ist
∃!x ∈ M : A(x) es existiert genau ein x in der Menge M, für das die Aussage A(x) wahr ist
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1 Allgemeine Grundlagen
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Mengenbegriff nach Cantor: Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter und
unterscheidbarer Dinge zu einem Ganzen.
Wir schreiben x ∈ M, wenn x Element der Menge M ist, und M ⊂ N, falls x ∈ M ⇒ x ∈ N.
Vereinigung M ∪ N = {x : x ∈ M ∨ x ∈ N}
Durchschnitt M ∩ N = {x : x ∈ M ∧ x ∈ N}
Differenz M \ N = {x ∈ M : x 6∈ N}
Cartesisches Produkt M × N = {(x, y ) : x ∈ M ∧ y ∈ N}
Die Potenzmenge P(M) = {A : A ⊂ M} umfasst die Menge aller Teilmengen von M.
Seien M, N Mengen. Eine Funktion (Abbildung) f ist eine Vorschrift, die jedem Element x ∈ M
genau einen Wert y = f (x) ∈ N zugeordnet. Wir schreiben f : M −→ N, x 7−→ f (x).
(1.5)
a) f : M → N heißt surjektiv, wenn N = f (M) gilt.
b) f : M → N heißt injektiv, wenn gilt: f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 .
c) f : M → N heißt bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist.
Sei y ∈ N.
a) Wenn f : M → N surjektiv ist, ist die Gleichung f (x) = y immer lösbar.
b) Wenn f : M → N injektiv ist und Gleichung f (x) = y lösbar ist, ist die Lösung eindeutig.
c) Wenn f : M → N bijektiv, ist f (x) = y immer lösbar und die Lösung ist eindeutig.
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2 Aufbau des Zahlensystems – Natürliche Zahlen
(2.1)
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Die Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, . . . } lässt sich eindeutig durch die
Peano-Axiome charakterisieren:
(P1) 1 ∈ N
(P2) n ∈ N =⇒ n + 1 ∈ N
(P3) n, m ∈ N, n 6= m =⇒ n + 1 6= m + 1
(P4) n ∈ N =⇒ n + 1 6= n
(P5) Wenn für eine Teilmenge M ⊂ N gilt
(i)
1∈M
(ii)
∀ n ∈ N : 1, . . . , n ∈ M =⇒ n + 1 ∈ M
dann gilt M = N.
(2.2)
(2.3)
Es ist genau dann n < m, wenn m durch (mehrfaches) Ausführen der Nachfolgeoperation +1
erreicht wird.
(P5) ist äquivalent zu:
(P5’) Wenn für eine Teilmenge M ⊂ N gilt
(i)
1∈M
(ii’) ∀ n ∈ N : n ∈ M =⇒ n + 1 ∈ M
dann gilt M = N.
(P5”) Jede Teilmenge S ⊂ N, S 6= 0,
/ besitzt ein genau ein kleinstes Element.
(2.4)
(2.5)
Eine endliche Menge mit N Elementen besitzt 2N Teilmengen.
Es gibt N! Permutationen eines N-Tupels.
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2 Aufbau des Zahlensystems – Natürliche Zahlen
(2.6)
(2.7)
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N
N!
Teilmengen mit k
Eine endliche Menge mit N Elementen besitzt
=
(N − k )! k !
k
N
N
= 2N .
Elementen (dabei setze 0! := 1). Insbesondere gilt ∑
k
k =0
a) Für die Binomialkoeffizienten gilt:
N
N
N +1
N
N
=
=1
und
=
+
für 1 ≤ k ≤ N.
0
N
k
k
k −1
N N k N−k
a b
.
b) Binomischer Lehrsatz (a + b)N = ∑
k
k =0
Kombinatorik - Theorie der Anzahlbestimmung
(2.8)
Aus einer Menge A mit N Elementen kann man folgende Stichproben vom Umfang k ziehen:
a) N k geordnete Stichproben mit Wiederholungen (k ∈ N)
N!
b)
geordnete Stichproben ohne Wiederholungen (k ∈ {1, . . . , N})
(N − k )!
N
ungeordnete Stichproben ohne Wiederholungen (k ∈ {1, . . . , N})
c)
k
N +k −1
d)
ungeordnete Stichproben mit Wiederholungen (k ∈ N).
k
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2 Aufbau des Zahlensystems – Algebraische Grundlagen
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Eine Menge G mit einer Verknüpfung
∗:
G × G −→ G
(a, b) 7−→ a ∗ b
heißt Halbgruppe, wenn gilt:
I) Assoziativgesetz (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) für alle a, b, c ∈ G.
II) Es existiert ein neutrales Element e ∈ G, d. h. e ∗ a = a ∗ e = a für alle a ∈ G
Eine Halbgruppe G heißt Gruppe, wenn gilt:
III) Jedes Element a ∈ G besitzt ein Inverses a−1 ∈ G, d. h. a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e.
IV) Eine Gruppe heißt kommutativ, wenn a ∗ b = b ∗ a für alle a, b ∈ G.
Eine kommutative Gruppe R mit Verknüpfung + und neutralem Element 0 heißt Ring, wenn
auf R eine weitere Verknüpfung · definiert ist, wenn R \ {0} mit · eine Halbgruppe ist, und
wenn gilt:
V) Distributionsgesetz a · (b + c) = a · b + a · c für alle a, b, c ∈ R.
Ein Körper K ist ein Ring, für den K \ {0} mit · eine kommutative Gruppe ist.
Ein angeordneter Körper K ist ein Körper mit einer Ordnungsrelation “ ≤ “ mit
a) x ≤ y ∨ y ≤ x
b) x ≤ x
c) x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y
d) x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z
e) x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z
f) x ≤ y ∧ z ≥ 0 =⇒ x · z ≤ y · z
für alle x, y , z ∈ K
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2 Aufbau des Zahlensystems – Reelle Zahlen
(2.9)
(2.10)
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Der Körper der reellen Zahlen R ist ein angeordneter Körper, der die rationalen Zahlen Q
enthält, und der das Vollständigkeitsaxiom erfüllt:
M ⊂ R heißt nach unten beschränkt, wenn eine untere Schranke a ∈ R existiert mit a ≤ x für
x ∈ M, und M heißt nach oben beschränkt, wenn eine obere Schranke a ∈ R existiert mit
x ≤ a für x ∈ M.
Das Infimum inf M ist die größte untere Schranke von M, d.h.
inf M = s ⇐⇒ ∀ ε > 0∃x ∈ M : x < s + ε
Das Supremum sup M ist die kleinste obere Schranke von M, d.h.
sup M = s ⇐⇒ ∀ ε > 0∃x ∈ M : x > s − ε.
Falls inf M ∈ M, dann heißt inf M = min M das Minimum.
Falls sup M ∈ M, dann heißt sup M = max M das Maximum.
(2.11)
(2.12)
(2.13)
a) Jede nicht leere nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum.
b) Jede nicht leere nach unten beschränkte Menge besitzt ein Infimum.
a) ∀ x ∈ R ∃ n ∈ N :
x <n
1
b) ∀ ε > 0 ∃ m ∈ N :
m <ε
c) ∀ x ∈ R ∀ ε > 0 ∃ q ∈ Q :
|x − q| < ε
Für a ≥ 0 und N ∈ N besitzt die Gleichung x N = a genau eine positive Lösung in R.
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2 Aufbau des Zahlensystems – Komplexe Zahlen
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2 = −1, und sei C = {z = x + iy x, y ∈ R} die Menge der
(2.14) Sei i die imaginäre Einheit mit i
komplexen Zahlen.
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
C ist ein Körper, der R und i enthält.
a) Für z = x + iy heißt x = Re(z) der Realteil und y = Im(z) der Imaginärteil von z.
b) z̄ = xp
− iy ist die konjugiert komplexe Zahl zu z.
c) |z| = x 2 + y 2 ist der Betrag von z.
2πk Es gibt genau N verschiedene komplexe Zahlen zk = exp i
, k = 0, ..., N − 1,
n
mit z N = 1.
Für a1 , . . . , an , b1 , . . . , bN ∈ C gilt:
N
1) allgemeine Dreiecksungleichung N
∑ ak ≤ ∑ |ak |
k =1
k =1
N
N
2) Cauchy-Schwarz-Ungleichung
∑ |ak bk | ≤ ∑ |ak |2
k =1
3) Minkowski-Ungleichung
N
2
∑ |ak + bk |
1/2
k =1
N
≤
k =1
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∑ |bk |2
1/2
k =1
2
∑ |ak |
k =1
N
1/2 1/2
+
N
∑ |bk |2
1/2
k =1
7
2 Aufbau des Zahlensystems – Komplexe Zahlen
(2.19)
(2.20)
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Fundamentalsatz der Algebra:
Jedes Polynom P mit grad P ≥ 1 besitzt eine komplexe Nullstelle ξ ∈ C. d.h. P(ξ ) = 0.
Jedes Polynom P mit grad P = N ≥ 1 besitzt eine Zerlegung
P(z) = aN (z − z1 ) . . . (z − zN ) .
Dabei sind z1 , . . . , zN ∈ C die (nicht notwendig verschiedenen) Nullstellen von P.
(2.21)
(2.22)
ξ ∈ C heißt k -fache Nullstelle von P(z), falls P(z) = (z − ξ )k Q(z) und
Q(ξ ) 6= 0, grad q = N − k .
Wenn für P(z) =
N
N
k =0
k =0
∑ ak z k , Q(z) = ∑ bk z k und P(ξj ) = Q(ξj ) für n + 1 verschiedene ξj gilt,
dann gilt P = Q (also ak = bk für alle k = 0, . . . , N).
(2.23)
Polynomdivision mit Rest: Zu Polynomen P und Q mit grad P ≥ grad Q ≥ 1
existieren Polynome S und R mit grad R < grad Q und
P(z) = S(z)Q(z) + R(z) .
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2 Aufbau des Zahlensystems – Endliche Körper
(2.24)
Eine Zahl m ∈ N heißt Teiler von n ∈ N, falls k ∈ N existiert mit n = k · m.
Wenn n > 1 und wenn n nur die Teiler 1 und n besitzt, heißt n Primzahl.
r
(2.25)
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mi
Jede Zahl n ∈ N, n > 1 besitzt eine Darstellung n = ∏ pi
mit Primzahlen pi 6= pj und mi ∈ N.
i=1
Dabei sind die Exponenten mi eindeutig bestimmt.
(2.26)
(2.27)
Zu n, m ∈ N definiere
ggT(n, m) = max{k ∈ N | k teilt n und m}
kgV(n, m) = min{k ∈ N | n und m teilen k }.
n·m
Es gilt kgV (n, m) =
.
ggT(n, m)
Euklidischer Algorithmus zu n, m ∈ N
r0 = n, r1 = m
r0 = s1 r1 + r2
r2 ∈ {1, . . . , r1 − 1}
r1 = s2 r2 + r3
r3 ∈ {1, . . . , r2 − 1}
..
.
rk −1 = sk rk + rk +1 mit rk +1 = 0 .
Es gilt: rk = ggT(n, m) und es existieren a, b ∈ Z mit ggT(n, m) = an + bm.
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2 Aufbau des Zahlensystems – Endliche Körper
(2.28)
(2.29)
(2.30)
(2.31)
(2.32)
(2.33)
(2.34)
(2.35)
x ≡ y mod m ⇐⇒ ∃k ∈ Z : x − y = km
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(„x kongruent y modulo m“)
Zm := {0, 1, . . . , m − 1} für m ≥ 2 ist ein kommutativer Ring (Restklassenring) mit
a +m b = c ⇐⇒ a + b ≡ c mod m
a ·m b = c
⇐⇒ a · b ≡ c mod m
x ∈ Zm \ {0} besitzt genau dann ein multiplikatives Inverses y ∈ Zm , wenn x und m
teilerfremd sind (d.h. ggT(x, m) = 1).
Der Restklassenring Zm ist genau dann ein Körper, wenn m = p eine Primzahl ist.
Sei Z∗m = {x ∈ Zm ggT(x, m) = 1} = {x1 , . . . , xϕ(m) } die Menge der zu m teilerfremden
Zahlen. Dann gilt: Z∗m ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation in Zm .
Seien a, m ∈ N teilerfremd. Dann gilt aϕ(m) ≡ 1 mod m.
Die Gruppe der Permutationen von {1, . . . , n} wird mit
Sn = S({1, . . . , n}) = {f : {1, . . . , n} −→ {1, . . . , n} | f bijektiv} bezeichnet.
Sn wird von den Transpositionen [a, b] erzeugt, d.h. σ ∈ Sn lässt sich als Verknüpfung
σ = τ1 ◦ · · · ◦ τr von Transpositionen darstellen.
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3 Lineare Algebra – Vektorräume
(3.1)
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Sei K ein Körper. Eine kommutative Gruppe V bzgl. der Operation + ist ein Vektorraum über
K, wenn eine Operation
· :
K × V −→ V
(λ , v) λ v
existiert mit
i) ∀ v, w ∈ V ∀ λ , µ ∈ K :
λ · (v + w)
(λ + µ) · v
(λ · µ) · v
=
=
=
λ ·v+λ ·w
λ ·v+µ ·v
λ · (µ · v)
ii) für die Eins 1 ∈ K gilt 1 · v = v.
(3.2)
(3.3)
Eine Teilmenge W ⊂ V von einem Vektorraum V heißt (linearer) Unterraum von V , falls W
bzgl. + und · selbst ein Vektorraum ist.
Sei V
a)
b)
c)
ein Vektorraum. W ⊂ V ist genau dann ein Unterraum, wenn
0∈W
∀ v, w ∈ W : v + w ∈ W
∀ w ∈ W ∀ λ ∈ K: λ ·w ∈ W
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3 Lineare Algebra – Vektorräume
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m
(3.4)
Sei V ein Vektorraum und sei v1 , . . . , vm ∈ V . Dann heißt u =
∑ λj vj mit λj ∈ K eine
j=1
Linearkombination von v1 , . . . , vm . Alle Linearkombinationen von v1 . . . , vm bilden den Spann
m
span{v1 , . . . , vm } = ∑ λj vj |λj ∈ K . span{v1 , . . . , vm } ⊂ V ist ein linearer Teilraum.
j=1
(3.5)
Eine Menge {v1 , . . . , vm } ⊂ V heißt linear unabhängig, falls gilt:
m
∑ λj vj = 0
für λj ∈ K =⇒ λ1 = λ2 = · · · = λm = 0
j=0
B = {v1 , ..., vN } heißt Basis von V , wenn v1 , ..., vN linear unabhängig und
span{v1 , ..., vN } = V .
(3.6)
Ist B = {v1 , . . . , vN } eine Basis von V , so lässt sich jeder Vektor u ∈ V als Linearkombination
N
u=
∑ λj vj mit eindeutigen Skalaren λj ∈ K darstellen (Basisdarstellung).
j=1
N
(3.7)
Sei B = {v1 , . . . , vN } eine Basis von V , und sei w =
∑ λj vj mit λk 6= 0
(k ∈ {1, . . . , N}).
j=1
Dann ist auch {v1 , . . . , vk −1 , w, vk +1 , . . . , vN } eine Basis von V .
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3 Lineare Algebra – Vektorräume
(3.8)
(3.9)
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Sei B = {v1 , . . . , vN } eine Basis von einem Vektorraum V , und sei m > N.
Dann ist {w1 , . . . , wm } ⊂ V linear abhängig.
Wenn ein Vektorraum V eine endliche Basis hat, dann ist jede Basis von V endlich, je zwei
Basen haben die gleiche Anzahl von Elementen dim V .
(3.10)
Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.
(3.11)
Seien V , W Vektorräume über K.
a) Eine Abbildung T : V −→ W heißt linear, wenn
∀w∈V:
∀ v ∀ λ ∈ K:
T (v + w)
T (λ v)
=
=
T (v) + T (w)
λ T (v)
b) Eine Abbildung T : V −→ W heißt Isomorphismus, wenn sie linear und bijektiv ist.
c) V und W heißen isomorph, wenn ein Isomorphismus T : V −→ W existiert.
(3.12)
Zwei endlich dimensionale K Vektorräume sind genau dann isomorph,
wenn sie die gleiche Dimension haben.
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3 Lineare Algebra – Lineare Gleichungssysteme
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Gesucht sind N Unbekannte x1 , . . . , xN , die M lineare Gleichungen erfüllen:
a11 x1 + a12 x2 +
a21 x1 + a22 x2 +
..
.
aM1 x1 + aM2 x2 +
···
···
+
+
···
+
a1N xN =
a2N xN =
..
.
aMN xN =
b1
b2
..
.
bM .
Dabei seien anm für 1 ≤ m ≤ M und 1 ≤ n ≤ N und bm für 1 ≤ m ≤ M gegeben.
(3.14)
a) KM×N


a11


 .
=  ..


 a
M1
···
a1N



···
aMN




amn ∈ K
Vektorraum der M × N Matrizen
m = 1, . . . , M 


n = 1, . . . , N
N
b) Zu A ∈ KM×N und x ∈ KN definiere b = Ax mit bm =
∑ amn xn , d.h.
n=1
a11
 .
A · x =  ..
aM1

...
...



a1N
x1
∑N
n=1 a1n xn

..   .. 
.

..
=




.
.
N
aMN
xN
∑n=1 aMn xn


 ∈ KM .

Die Abbildung TA : Kn → Km , x 7→ Ax ist linear: TA (λ x + µy ) = λ TA (x) + µTA (y ).
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3 Lineare Algebra – Lineare Gleichungssysteme
(3.15)
Zu A ∈ KP×M , B ∈ KM×N definiere C = A · B ∈ KP×N durch (cpn ) =
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M
∑
apm bmn
m=1
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
Zu TA :
RM
→ RP ,
y 7→ Ay und TB :
RN
→ RM ,
x 7→ Bx gilt TA ◦ TB = TAB :
RN
p=1,...,P
n=1,...,N
P
→ R , x 7→ ABx.
KN×N ist ein nicht-kommutativer Ring mit neutrales Element bezüglich der Multiplikation


1
0


..
In = diag(1, . . . , 1) = 
.
.
0
1
Zu A ∈ KM×N definiere AT ∈ KN×M durch Vertauschen von Zeilen- und Spaltenindex:

T 

a11 . . . a1N
a11 . . . aM1
 .


..
.
.. 
AT heißt die transponierte Matrix.
 ..
.  =  ..
. 
aM1 . . . aMN
a1N . . . aMN
A ∈ KN×N heißt symmetrisch, wenn AT = A, und orthogonal, wenn AAT = IN = AT A.
Zu A = amn m=1,...,M ∈ CM×N
definiere
A = (ajk )
A ∈ CN×N
konjugierte Matrix
T
adjungierte Matrix
AH = A
heißt hermitisch, wenn AH = A, und unitär, wenn AAH = In = AH A.
n=1,...,N
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3 Lineare Algebra – Lineare Gleichungssysteme
(3.21)
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Sei A ∈ KM×N .
a) Die Lösungen xh ∈ KN von Ax = 0 bilden einen linearen Teilraum des KN . Er heißt Kern
(Nullraum) von A. Ist {x1 , . . . , xk } eine Basis von Kern(A), so ist die allgemeine Lösung
k
der homogenen Gleichung xh =
∑ αj xj mit αj ∈ K .
j=1
b) Ist xs eine spezielle Lösung von Ax = b, dann lautet die allgemeine Lösung des
k
inhomogenen Systems x = xs + xh = xs + ∑ αj xj .
j=1
(3.22)
Sei A ∈ KM×N eine Matrix mit den Spalten a(1) , . . . , a(N) , d.h. A = (a(1) , . . . , a(N) ).
Dann definiere das Bild(A) := span{a(1) , . . . , a(N) } ⊂ KM und Rang(A) = dim Bild(A).
(3.23)
Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist genau dann lösbar, wenn b ∈ Bild(A).
(3.24)
Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist genau dann lösbar, wenn Rang(A) = Rang(A|b).
(3.25)
Sei N > M. Dann hat das homogene System Ax = 0 immer eine nicht-triviale Lösung.
(3.26)
Sei A ∈ KN×N . Dann ist Ax = b genau dann eindeutig lösbar, wenn Rang(A) = N gilt.
(3.27)
Es gilt dim Bild(A) + dim Kern(A) = N.
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3 Lineare Algebra – Gauß-Elimination
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Setze A(1) = A und b(1) = b. Für k = 1, ..., r − 1 vertausche Zeilen bzw. Spalten, so dass
(k )
(k ) (k )
akk 6= 0. Subtrahiere das aik /akk -fache der k -ten Zeile von der m-ten Zeile
(k )
(k +1)
amj
(k )
= amj −
amk
(k )
akk
(k )
(k )
akj ,
(k +1)
bm
(k )
= bm −
amk
(k )
(k )
akk
bk ,
m = k + 1, . . . , M, j = k , . . . , N
bis im Schritt r gilt:








(r ) 
(r
)
A b
=








a11
b1
a12
...
...
...
a1N
(2)
...
...
...
a2N
..
.
(2)
b2
..
.
(r )
...
arn
(r )
br
a22
..
.
arr
(2)
(r )
(r )
br +1
0
..
.
0
(r )


















bM
(r )
(r )
A(r ) x = b(r ) besitzt genau dann eine Lösung, wenn br +1 = · · · = bM = 0 gilt.
(k )
(k )
(k )
Zu xr +1 , ..., xN berechne rückwärts xk = bk − ∑N
j=k +1 akj xk /akk für k = r , r − 1, ..., 1.
Anschließend müssen bei Spaltenvertauschungen die Komponenten xn umnummeriert werden.
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17
3 Lineare Algebra – Gauß-Elimination
(3.28)
(3.29)
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Eine quadratische Matrix A ∈ KN×N heißt regulär (nicht singulär), wenn Rang(A) = N gilt.
Sonst heißt sie singulär.
Für eine quadratische Matrix A ∈ KN×N ist äquivalent:
a) Die Zeilenvektoren sind linear unabhängig.
b) Die Spaltenvektoren sind linear unabhängig.
c) A ist regulär.
d) Rang A = N.
e) Ax = b ist für jede rechte Seite lösbar.
f) Ax = b ist für jede rechte Seite eindeutig lösbar.
g) Die homogene Gleichung Ax = 0 hat nur triviale Lösungen.
(3.30)
(3.31)
Sei A ∈ KN×N .
Wenn ein inverses Element X ∈ KN×N bzgl. · existiert mit XA = AX = IN ,
dann heißt X = A−1 inverse Matrix zu A.
Zu A ∈ RN×N existiert genau dann eine inverse Matrix A−1 , wenn A regulär ist.
Zu einer Permulation σ ∈ SN ist dier Permutationsmatrix P = Pσ mit Pσ x = (xσ (k ) )k = 1, ..., N
regulär mit P −1 = P T .
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3 Lineare Algebra – LR-Zerlegung mit Spaltenpivotsuche
Karlsruhe Institute of Technology
Sei A ∈ KN×N eine reguläre Matrix.
Starte mit dem Permutationsvektor σ = (1, . . . , N).
für k = 1, . . . , N − 1
wähle n ≥ k mit |ank | ≥ |ajk | für k ≤ j ≤ N
falls ank = 0
Abbruch (A singulär)
Vertausche Zeilen n und k :
für j = 1, . . . , N
z = anj ,
s = σ (n),
anj = akj ,
akj = z
σ (n) = σ (k ),
σ (k ) = s
für n = k + 1, . . . , N
a
ank := nk
akk
für j = k + 1, . . . , N
anj := anj − ank akj
Setze `nj = anj für n > j, rnj = anj für n ≥ j und die Permutationsmatrix P = Pσ .
(3.32)
Der Gauß-Algorithmus mit Spaltenpivotsuche liefert für jede reguläre Matrix A eine
Permutationsmatrix P, eine normierte untere Dreiecksmatrix L und eine reguläre obere
Dreiecksmatrix R mit PA = LR. Dann berechnet sich Ax = b aus Ly = Pb, Rx = y .
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19
3 Lineare Algebra – Determinanten
Für eine Permutation σ ∈ SN heißt sgn(σ ) =
∏
a<b
(3.33)
(3.34)
(3.35)
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σ (a) − σ (b)
∈ {−1, 1} die Signum-Funktion.
a−b
Es gilt sgn(σ ◦ µ) = sgn(σ ) sgn(µ).
Zu A ∈ KN×N definiere die Determinante
a11 . . . a1N
..
..
det(A) =
= ∑ sgn (σ ) a1,σ (1) · · · aN,σ (N) .
.
.
σ ∈Sn
aN1 . . . aNN
Die Determinante ist in jeder Zeile linear:
 T
 T 


a1
a1
aT1
 .
 . 


.
 .

 . 

.
.
 .
 . 







det  aTk + λ ãTk  = det  aTk  + λ det  ãTk





..
 ..
 .. 


 .

 . 

.
T
T
aN
aTN
aN





.



Vertauschen von zwei Zeilen ändert nur das Vorzeichen:
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aT1
 .
 .
 .
 T
 aj


det  ..
 .
 T
 ak

 ..
 .
aTN

 T
a1
 .

 .

 .

 T

 ak



 .

 = − det  ..


 aT

 j



 ..

 .

aTN









.






20
3 Lineare Algebra – Determinanten
(3.36)
(3.37)
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det(A) = det(AT )
Für A ∈ KN×N ist äquivalent:
a) det(A) 6= 0
b) die Zeilen von A sind linear unabhängig
c) die Spalten von A sind linear unabhängig
d) A ist regulär.
(3.38)
Es gilt det(AB) = det(A) det(B).
(3.39)
Zu A ∈ KN×N definiere Akn ∈ KN−1×N−1 durch Streichen der Zeile k und Spalte n.
N
Dann gilt: det(A) =
N
∑ (−1)k +n akn det(Akn ) = ∑ (−1)k +n akn det(Akn ).
k =1
n=1
Sei Cof(A) = (−1)k +n det(Akn )
k ,n=1,..,N
A−1 =
(3.40)
∈ KN×N .
Wenn A regulär ist, gilt
1
Cof(A)T
det(A)
Sei A = (a(1) | · · · |a(N) ) ∈ KN×N regulär und b ∈ KN .
Dann gilt für die Lösung x ∈ KN von Ax = b:
xk =
det(a(1) | · · · |b| · · · |a(N) )
det(a(1) | · · · |a(k ) | · · · |a(N) )
(Cramersche Regel)
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4 Lineare Abbildungen – Basisdarstellungen
(4.1)
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Seien V , W endlich dimensionale K-Vektorräume, und sei T : V → W linear.
M
Sei {v1 , . . . , vN } Basis von V und {w1 , . . . , wM } Basis von W . Sei T (vj ) = ∑ akj wk , akj ∈ K,
k =1
eine Basis-Darstellung (j = 1, . . . , N). Dann heißt A = (akj ) ∈ KM×N Matrix-Darstellung von T .
N
(4.2)
Es gilt
w = T (v) ⇐⇒ v =
M
∑ xj vj , w = ∑ yk wk , und Ax = y.
j=1
k =1
N
(4.3)
Sei {ṽ1 , . . . , ṽN } Basis von V , und seien sjk die Koordinaten von ṽk mit ṽk =
∑ sjk vj .
j=1
Dann gilt: S ist regulär, und S −1 beschreibt den Basiswechsel von {ṽj } zu {vj }.
M
(4.4)
Sei R = (rml ) ∈ RM×M mit w̃l =
∑
ril wi Matrix zum Basiswechsel von {wm } zu {w̃j }.
m=1
Dann ist B := R −1 A S Matrixdarstellung von T bzgl. {ṽj } und {w̃j }.
(4.5)
(4.6)
A und B in KM×N heißen äquivalent, wenn es reguläre Matrizen S ∈ KN×N und R ∈ KM×M
gibt mit B = R −1 A S.
Ir 0
A ∈ KM×N ist äquivalent zu Dr =
∈ KM×N mit r = rang A.
0 0
A, B ∈ KM×N sind genau dann äquivalent, falls rang(A) = rang(B).
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4 Lineare Abbildungen – Eigenwerte
(4.7)
(4.8)
(4.9)
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Zwei Matrizen A, B ∈ KN×N heißen ähnlich, wenn eine reguläre Matrix S ∈ KN×N mit
B = S −1 AS existiert. A ∈ KN×N heißt diagonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer
Diagonalmatrix ist, d. h. wenn eine reguläre Matrix S existiert mit


λ1
0


..
S −1 AS = diag(λ1 , . . . , λN ) = 
.
.
0
λN
λ ∈ K heißt Eigenwert (EW) zu A ∈ KN×N , wenn es v ∈ KN , v 6= 0 gibt mit Av = λ v.
Dann heißt v Eigenvektor (EV), und E(λ ) = {v ∈ KN : Av = λ v} heißt Eigenraum.
A ∈ KN×N ist genau dann diagonalisierbar, falls es eine Basis von KN gibt,
die aus Eigenvektoren von A besteht.
(4.10)
χA (λ ) = det(A − λ IN ) heißt charakteristisches Polynom von A.
(4.11)
λ ∈ C ist Eigenvektor von A ⇐⇒ χA (λ ) = 0
N
χA (λ ) =
∑ αn λ n ist ein Polynom von Grad N mit
n=0
(4.12)
αN = (−1)N ,
αN−1 = (−1)N−1 Spur(A) ,
α0 = det A .
a) Die Vielfachheit aλ eines EW λ als Nullstelle von χA heißt algebraische Vielfachheit.
b) Die Dimension gλ = dim E(λ ) des Eigenraums E(λ ) heißt geometrische Vielfachheit.
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23
4 Lineare Abbildungen – Eigenwerte
Karlsruhe Institute of Technology
(4.13)
Eigenvektoren einer Matrix zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.
(4.14)
Eine Matrix A ∈ KN×N mit N verschiedenen Eigenwerten ist diagonalisierbar.
(4.15)
(4.16)
(4.17)
(4.18)
Seien A, B ∈ KN×N ähnliche Matrizen. Dann haben sie das gleiche charakteristische
Polynom, gleiche Eigenwerte mit gleichen algebraischen und geometrischen Vielfachheiten,
gleiche Determinanten und Spuren.
Sei λ ein Eigenwert von A ∈ KN×N . Dann gilt: 1 ≤ gλ ≤ aλ ≤ N.
Eine Matrix A ∈ CN×N ist genau dann diagonalisierbar, wenn für alle Eigenwerte gilt: aλ = gλ .
Ist A ∈ RN×N diagonalisierbar und sind alle Eigenwerte reell, so lassen sich auch die
Eigenvektoren reell wählen.
Sei A ∈ CN×N eine hermitische Matrix, d.h. A = AH (mit AH = ĀT ). Dann gilt:
a) Die Eigenwerte von A sind reell.
N
b) Seien v und w EV zu den EW λ und µ mit λ 6= µ, dann gilt: vH w = ∑ v̄k wk = 0.
k =1
Symmetrische reelle Matrizen haben reelle Eigenwerte.
N
(4.19)
Sei A ∈ KN×N mit charakteristischem Polynom χA (A) = det(A − λ IN ) =
N
Dann gilt χA (A) =
∑ αk Ak = 0.
∑ αk λ k .
k =0
k =0
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4 Lineare Abbildungen – Orthogonalität
(4.20)
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a) v, w ∈ CN heißen orthogonal, wenn vH w = 0.
b) {v1 , . . . , vm } heißt Orthogonalsystem, wenn vH
j vk = 0 für j 6= k , j, k = 1, . . . , m,
und Orthonormalsystem, wenn zusätzlich vH
j vj = 1 für j = 1, . . . , m.
c) Eine Basis {w1 , . . . , wN } heißt Orthonormalbasis (ONB), wenn w1 , . . . , wN orthonormal
sind.
(4.21)
Ein Orthogonalsystem w1 , . . . , wm ist linear unabhängig.
(4.22)
Jeder Vektorraum W ⊂ KN besitzt eine Orthonormalbasis.
(4.23)
A ∈ CN×N heißt normal, wenn AH A = AAH .
(4.24)
(4.25)
Sei A ∈ CN×N normal, d.h. AH A = AAH . Dann ist A diagonalisierbar, und A besitzt eine
Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.
Hermitische komplexe Matrizen und symmetrische reelle Matrizen sind diagonalisierbar.
Sei {w1 , . . . , wN } eine ONB von CN .
n
Dann heißt x =
∑ (wHk x)wk Fourier-Entwicklung von x ∈ CN .
k =1
(4.26)
Sei W ⊂ CN ein Vektorraum. Dann existiert eine lineare Abbildung P : CN → W mit
H
x − P(x) w = 0 für w ∈ W . P heißt Orthogonal-Projektion.
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4 Lineare Abbildungen – Euklidische Vektorräume
(4.27)
(4.28)
(4.29)
(4.30)
(4.31)
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Eine Metrik auf einer Menge X ist eine Abbildung d : X × X → [0, ∞[ mit
(M1) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y
(Definitheit)
(M2) d(x, y) = d(y, x)
(Symmetrie)
(M3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung).
Sei V ein reeller Vektorraum. Eine Norm auf V ist eine Abbildung k · k : V −→ [0, ∞[ mit
(N1) kvk = 0 ⇐⇒ v = 0
(Definitheit)
(N2)
kαvk = |α| kvk
(Homogenität)
(N3)
kv + wk ≤ kvk + kwk (Dreiecksungleichung).
Jede Norm induziert eine Metrik d(v, w) = kv − wk.
Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung h·, ·i : V × V → R mit
(S1) hv, vi ≥ 0 und hv, vi = 0 ⇐⇒ v = 0
(positive Definitheit)
(S2) hv, wi = hw, vi
(Symmetrie)
(S3) hαv + β w, ui = αhv, ui + β hw, ui
(Bilinearität).
Ein Vektorraum mit Skalarprodukt heißt Euklidischer Vektorraum.
p
Jedes Skalarprodukt induziert eine Norm kvk = hv, vi. Dann gilt:
a) |hv, wi| ≤ kvk kwk und |hv, wi| = kvk kwk ⇐⇒ v und w linear abhängig.
b) kv + wk2 + kv − wk2 = 2(kvk2 + kwk2 )
(Parallelogrammgleichung)
c) kv + wk ≤ kv k + kwk (Minkowski-Ungleichung)
d) hv , wi = 0 ⇐⇒ kv + wk2 = kv k2 + kwk2 (Satz des Pytagoras).
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4 Lineare Abbildungen – Euklidische Vektorräume
(4.32)
Sei V ein euklidischer Vektorraum.
Zu v, w ∈ V , v, w 6= 0 existiert genau ein Winkel ϕ ∈ [0, π] mit cos(ϕ) =
(4.33)
(4.34)
(4.35)
(4.36)
(4.37)
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hv, wi
∈ [−1, 1].
kvk kwk
Eine Norm ist genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn die
1
Parallelogrammgleichung gilt. Dann gilt: hv, wi =
kv + wk2 − kv − wk2 .
4
Sei V ein euklidischer Vektorraum.
a) v, w ∈ V heißen orthogonal (v ⊥ w), falls hv, wi = 0.
b) X ⊂ V und Y ⊂ V heißen orthogonal, wenn hx, yi = 0 für alle x ∈ X und y ∈ Y
c) X ⊥ = {v ∈ V | hv, xi = 0 für alle x ∈ X } heißt orthogonales Komplement.
X ⊥ ist Unterraum von V .
Sei W Unterraum von einem euklidischen Vektorraum V . Dann ist V = W + W ⊥ eine direkte
Summe, d.h. zu jedem V existiert genau ein w ∈ W und ein w⊥ ∈ W ⊥ mit v = w + w⊥ , und
es existiert eine Orthogonalprojektion P : V → W mit w = Pv, w⊥ = v − Pv.
Es gilt W ∩ W ⊥ = {0}.
Für eine Teilmenge U ⊂ V gilt: (U ⊥ )⊥ = span U, und falls U Unterraum, gilt (U ⊥ )⊥ = U.
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4 Lineare Abbildungen – Euklidische Vektorräume
(4.38)
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Für die Orthogonalprojektion P : V → W gilt:
zu v ∈ V ist P(v) die Bestapproximation von v in W , d.h. kv − P(v)k = min kv − wk.
w∈W
(4.39)
(4.40)
(4.41)
(4.42)
Eine lineare Abbildung P : V → V ist genau dann eine orthogonale Projektion
auf W = Bild (P), wenn P ◦ P = P und hP(v), wi = hv, P(w)i für alle v, w ∈ V .
Seien V und W euklidische Vektorräume. Eine lineare Abbildung T : V → W heißt Isometrie
(längen- und winkelerhaltende Abbildung), falls hv, T wi = hv, wi gilt für v, w ∈ V .
Für eine Abbildung T : V −→ W ist äquivalent:
a) T Isometrie
b) kT vk = kvk ∀ v ∈ V
c) kT v − T wk = kv − wk
∀ v, w ∈ V .
Sei dim V = dim W = n. Dann gilt: T : V → W ist genau dann Isometrie, wenn
{v1 , . . . , vn } ONB von V
⇐⇒
{T v1 , . . . , T vn } ONB von W .
(4.43)
Sei w ∈ RN , kwk = 1. Die Matrix H = IN − 2wwT beschreibt die Spiegelung an w⊥ .
(4.44)
Seien x, y ∈ Rn mit kxk = kyk, x 6= y.
Dann gilt y = Hx für die Spiegelung H = In − 2wwT mit w =
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x−y
.
kx − yk
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