Einführung in die Topologie (SS 14)

Einführung in die Topologie (SS 14)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
09.04.2013
Bernhard Hanke
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Ein topologischer Raum (X , T ) heißt metrisierbar, falls eine Metrik auf X
existiert, so dass die von der Metrik induzierte Topologie mit T
übereinstimmt.
Definition
Ein topologischer Raum X heißt Hausdorffsch, falls für alle x, y ∈ X mit
x 6= y offene Teilmengen U und V von X existieren, so dass x ∈ U, y ∈ V
und U ∩ V = ∅.
Falls X mehr als einen Punkt enthält, ist die Klumpentopologie nicht
Hausdorffsch. Sie ist auch nicht metrisierbar, denn
Proposition
Jeder metrisierbare topologische Raum ist Hausdorffsch.
Bernhard Hanke
Metrische Räume und topologische Räume
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Definition
Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen X und Y
heißt
I
stetig falls für jede offene Menge U ⊂ Y das Urbild
f −1 (U) ⊂ X
wieder offen ist.
I
Homöomorphismus falls f bijektiv und f : X → Y , f −1 : Y → X
beide stetig sind. X und Y heißen dann homöomorph, X ≈ Y .
Ist A ⊂ X eine Teilmenge und f : X → Y stetig, so ist f |A : A → X
ebenfalls stetig. Die Komposition stetiger Abbildungen ist stetig.
Satz
Für n 6= m sind Rn und Rm nicht homöomorph.
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Für zwei Topologien T und T 0 auf X nennen wir
T gröber als T
und T 0 feiner als T
:⇔
T ⊂T0
Die Klumpentopologie ist die gröbste und die diskrete Topologie ist die
feinste Topologie auf X .
Definition
Eine Menge B ⊂ T offener Teilmengen eines topologischen Raumes
(X , T ) heißt
I
Basis der Topologie, falls jede offene Menge U ∈ T Vereinigung von
Mengen aus B ist.
I
Subbasis der Topologie, falls jede offene Menge U ∈ T Vereinigung
von Mengen ist, von denen jede Schnitt endlich vieler Mengen aus B
ist.
Jede Teilmenge B ⊂ P(X ) ist Subbasis einer Topologie T von X , der sog.
von B erzeugten Topologie.
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Sind (X , TX ) und (Y , TY ) topologische Räume, so wird die
Produktopologie auf X × Y erzeugt von der Menge
B := {U × Y | U ∈ TX } ∪ {X × V | V ∈ TY }
der Streifen“ U × Y , X × V .
”
Die Rechtecke“ U × V ⊂ X × Y bilden eine Basis der Produkttopologie.
”
Proposition
I
Die Projektionen πX : X × Y → X und πY : X × Y → Y sind stetig
bzgl. der Produkttopologie.
I
Ist T eine echt gröbere Topologie auf X × Y als die
Produkttopologie, so sind die Projektionen X × Y → X und
X × Y → Y nicht beide stetig.
Die Produkttopologie ist die gröbste Topologie auf X × Y so dass beide
Projektionen stetig sind.
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Es seien (X , T ) und (Y , T 0 ) topologische Räume und X ∩ Y = ∅. Dann
erzeugt T ∪ T 0 die Summentopologie auf X ∪ Y .
Sie ist die feinste Topologie auf X ∪ Y , so dass die beiden Inklusionen
iX : X ,→ X ∪ Y und iY : Y ,→ X ∪ Y stetig sind.
Proposition
Es seien X , Y , Z topologische Räume.
I
Falls X ∩ Y = ∅, so ist eine Abbildung X ∪ Y → Z stetig genau dann,
iX
falls die beiden Kompositionen X ,→ X ∪ Y → Z und
iY
Y ,→ X ∪ Y → Z stetig sind.
I
Eine Abbildung Z → X × Y ist stetig genau dann, falls die beiden
πX
πY
Kompositionen Z → X × Y →
X und Z → X × Y →
Y stetig sind.
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