Übungen zu L1

Übungen zu M3
Blatt 1
1) Überprüfen Sie, ob die Funktion


 y (x, t)  (4D t) 3/ 2 e
 
(x  y) 2
4D t
wirklich eine Lösung der Diffusionsgleichung ist!
2) Die Gleichung für Diffusion in der Kette
 (n)  D  ((n  1)  (n  1)  2(n))
Ist näherungsweise als Reihenentwicklung (Taylorreihe) bis zur dritten Ordnung in t zu lösen,
für
(n, t  0)  n,0
3) Die Funktion von Beispiel 1) ist auch die Greensche Funktion für Diffusion im 3.

 

Wie vereinfacht man die Formel (x, t)   G(x, y, t)(y, 0)d 3 y für Anfangsbedingungen, in
denen die Dichte  in der dritten Koordinate, in y3 , konstant ist?
4) Das Coulomb-Potential ist auch Greensche Funktion für stationäre elektrische Potentiale.
Die Feldstärke des elektrischen Feldes berechnet man daraus mit Gradientenbildung. Was ist
die entsprechende Integralgleichung, um die Feldstärke aus der Ladungsdichte zu berechnen?
5) Wenn die Ladungsdichte in der dritten Koordinate konstant ist (quasi fadenförmig), wie ist
dann die Integralformel für die Feldstärke? Was ist das Potential?

p


6) Betrachten Sie die Abbildung x  x p : x1  x 2

p 1/ p
vom
2
nach
.
Für welche
Zahlen p ist diese „Länge“ eine Norm?



7) Skizzieren Sie die Grenzen der Mengen x p  1 für die Längen aus dem obigen Beispiel,
für p = ½, 1, 2, . Dabei ist


x  : lim x p  sup  x1 , x 2 
p 
8) Was hat die Dreiecksungleichung der Norm mit Konvexität des „Einheitskreises“
 :   1 zu tun? Hinweis: Vergleichen Sie die Normen von ψ, φ und (ψ + φ)/2.
b
1/ p
9) Welche der Funktionen x  x hat eine endliche p-Norm f p :  f (x) dx

a
a) für (a, b] = (0, 1]
b) für [a, b) = [1, )
p
?